(完整版)高考极坐标知识点及习题

第7讲 极坐标与参数方程【基础知识】一.极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，从O 引一条射线Ox ，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O 点叫做极点，射线Ox 叫做极轴①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 2.极坐标与直角坐标的互化： 二.参数方程知识点1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C 上的点(,)P x y 满足()()x f t y f t =⎧⎨=⎩，该方程叫曲线C 的参数方程，变量t 是参变数，简称参数。

（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

） 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．曲线的参数方程（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .（2）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .（3）抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y pt x ⎩⎨⎧==. （4）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致. 规律方法指导：1.把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2.把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾(一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0,y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y )为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2． 错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == (θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==)5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。

极坐标及参数方程一、极坐标知识点 1.极坐标系的概念：2．有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 3.极坐标与直角坐标的互化： (1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x 轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式二、参数方程知识点（1）圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为 )(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .（2）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .（3）经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos o o ααt y y t x x （t 为参数）.三、点到直线的距离公式、直线与圆、圆与圆位置关系 极坐标方程典型例题1.点()22-，的极坐标为 。

2.已知圆C ：22(1)(3)1x y ++-=，则圆心C 的极坐标为_______(0,02)ρθπ>≤<3.若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．4.化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y = 5.极坐标ρ=cos(θπ-4)表示的曲线是( )A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆6.极点到直线()cos sin 3ρθθ+________ 。

7.在极坐标系中，点3(2,)2π到直线l ：3cos 4sin 3ρθρθ-=的距离为 .8.在极坐标系中，点π(1,)2P 到曲线π3:cos()242l ρθ+=上的点的最短距离为 ．9.已知直线4sin cos :=-θρθρl ，圆θρcos 4:=C ，则直线l 与圆C 的位置关系是________.（相交或相切或相离？）10.在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a 的值。

数学理科选修4-4第一讲《极坐标》习题一．选择题1．已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,5π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,5π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π2．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π3．极坐标方程⎪⎭⎫⎝⎛-=θπρ4cos 表示的曲线是（ ） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．抛物线 D ．圆4．圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,21π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭⎫⎝⎛4,2π5．在极坐标系中，与圆θρsin 4=相切的一条直线方程为（ ） A ．2sin =θρ B ．2cos =θρ C ．4cos =θρ D ．4cos -=θρ6、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππ则ABO ∆为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 7、)0(4≤=ρπθ表示的图形是（ ）A ．一条射线B ．一条直线C ．一条线段D ．圆8、直线αθ=与1)cos(=-αθρ的位置关系是（ ）A 、平行B 、垂直C 、相交不垂直D 、与有关，不确定9.两圆θρcos 2=,θρsin 2=的公共部分面积是（ ） A.214-πB.2-πC.12-πD.2π10.已知点1P 的球坐标是)4,,32(1πϕP ,2P 的柱坐标是)1,,5(2θP ,求21P P .A ．2B ．3C ．22D ．22二．填空题11．极坐标方程52sin 42=θρ化为直角坐标方程是12．圆心为⎪⎭⎫⎝⎛6,3πC ，半径为3的圆的极坐标方程为 13．已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，则极点到直线的距离是 14、在极坐标系中，点P ⎪⎭⎫⎝⎛611,2π到直线1)6sin(=-πθρ的距离等于____________。

(完整版)极坐标系知识点归纳总结
极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它由极径和极
角两个参数组成。

以下是极坐标系的一些重要知识点：
1. 极坐标转换公式：
- 点P的极坐标表示为：(r, θ)，其中r表示点P到极点的距离，θ表示点P与极轴的夹角。

- 点P的直角坐标表示为：(x, y)，则有以下公式：
- r = √(x^2 + y^2)
- θ = arctan(y / x)
2. 极坐标系与直角坐标系的关系：
- 极坐标系和直角坐标系可以相互转换。

- 极坐标转换为直角坐标的公式：
- x = r * cos(θ)
- y = r * sin(θ)
- 直角坐标转换为极坐标的公式：
- r = √(x^2 + y^2)
- θ = arctan(y / x)
3. 极径和极角的范围：
- 极径r可以是任意非负实数。

- 极角θ一般取值范围为[0, 2π)或(-π, π]，表示一个完整的圆周。

4. 极坐标系下的常见图形：
- 圆：r = a，其中a为正实数，表示以极点为圆心，以a为半径的圆。

- 直线：θ = k，其中k为常数，表示与极轴夹角为k的直线。

- 雅可比椭圆：r = a * (1 - e * cos(θ))，其中a和e为正实数，表示以极点为焦点，离心率为e的椭圆。

5. 极坐标系下的曲线方程：
- 极坐标系可以方便地描述一些复杂的曲线。

- 通过给定r和θ的函数关系，可以确定一条在极坐标系下的
曲线方程。

以上是对极坐标系知识点的简要归纳总结，希望对您有所帮助。

1. 极坐标及参数方程知识点1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中旳任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ旳作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中旳坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系旳概念：在平面内取一种定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一种长度单位、一种角度单位(一般取弧度)及其正方向(一般取逆时针方向)，这样就建立了一种极坐标系。

3．点M 旳极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 旳距离||OM 叫做点M 旳极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边旳xOM ∠叫做点M 旳极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 旳极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表达同一种点。

极点O 旳坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ有关极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表达同一点。

假如规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内旳点可用唯一旳极坐标),(θρ表达；同步，极坐标),(θρ表达旳点也是唯一确定旳。

5．极坐标与直角坐标旳互化：6。

圆旳极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径旳圆旳极坐标方程是 r =ρ；在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径旳圆旳极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径旳圆旳极坐标方程是θρsin 2a =；7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表达以极点为起点旳一条射线；)R (∈=ραθ表达过极点旳一条直线.在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴旳直线l 旳极坐标方程是a =θρcos .8．参数方程旳概念：在平面直角坐标系中，假如曲线上任意一点旳坐标y x ,都是某个变数t 旳函数⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x 并且对于t 旳每一种容许值，由这个方程所确定旳点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线旳参数方程，联络变数y x ,旳变数t 叫做参变数，简称参数。

极坐标知识讲解一、极坐标系定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单 位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．二、极坐标定义：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 三、极坐标与直角坐标的互化内容：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，，有co s s i n x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 注：若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2017秋•天心区校级期末）点M，为极坐标系中的一点，给出如下各点的坐标：①，；②，；③，；④，．其中可以作为点M关于极点的对称点的坐标的是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【解答】解：在极坐标系中，与点M，关于极点对称的点的坐标一是极径不变，极角互补，是：②，；另一种是极角不变，极径互为相反数，是③，；故选：C．2．（2017秋•南关区校级期末）在直角坐标系xOy中，点A（﹣2，2）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为（）A．，B．（2，）C．，D．，【解答】解：根据题意，设极坐标系下，点A的极坐标为（ρ，θ），则有ρ==2，tanθ=﹣1，则有θ=，分析可得：点A的极坐标为（2，）；故选：B．3．（2018春•兴庆区校级期末）点M的直角坐标为（﹣，﹣1）化为极坐标为（）A．（2，）B．（2，）C．（2，）D．（2，）【解答】解：∵点M的直角坐标为（﹣，﹣1），∴ρ==2，再根据此点位于第三象限，且tanθ==，∴可取θ=，故选：B．4．（2018春•滦南县期末）点M的极坐标（1，π）化成直角坐标为（）A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）【解答】解：点M的极坐标（1，π）化成直角坐标为（cosπ，sinπ），即（﹣1，0）．故选：B．5．（2018春•伊通县期末）点P极坐标为（2，），则它的直角坐标是（）A．（1，﹣） B．（﹣1，） C．（，﹣1） D．（﹣，1）【解答】解：根据题意，设P的直角坐标为（x，y）点P极坐标为（2，），则有，解可得，即P的直角坐标为（﹣，1）；故选：D．6．（2018春•新罗区校级期中）在极坐标系中，若点A（3，），B（﹣3，），则△AOB（O为极点）的面积为（）A．B．3 C．D．9【解答】解：∵在极坐标系中，点A（3，），B（﹣3，），O为极点，∴在平面直角坐标系中，A（，），B（﹣，﹣），O（0，0），∴=（﹣，﹣），=（，），||==3，||==3，cos＜，＞===﹣，∴sin＜，＞==，∴△AOB（O为极点）的面积为：＜，＞==．故选：C．7．（2018春•小店区校级期中）已知点P的直角坐标，，则它的一个极坐标为（）A．（4，）B．（4，）C．（﹣4，）D．（4，）【解答】解：根据题意，设P的一个极坐标为（ρ，θ）（0≤θ＜2π），点P的直角坐标，，即x=﹣2，y=﹣2，且P在第三象限；则ρ==4，tanθ==，且P在第三象限；则有θ=；则P的一个极坐标为（4，）；故选：B．8．（2018春•龙岩期中）点P极坐标为，，则它的直角坐标是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：点P极坐标为，，则它的直角坐标是（，1）．故选：D．9．（2017春•兴庆区校级期末）点M的直角坐标是，，则它的极坐标是（）A．，B．，C．，D．，【解答】解：=2，tanθ=，取θ=．∴极坐标为，．故选：A．10．（2016秋•西城区期末）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=【解答】解：∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选：A．二．解答题（共5小题）11．写出下列各点的极坐标，如图所示．【解答】解：A（4，0），B，，C，，D，，E，，F，，G，．12．在极坐标系中，ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，则点M1（ρ1，θ2），M2（ρ2，θ2）的位置关系？【解答】解：∵ρ1+ρ2=0，θ1+θ2=π，∴可得点M2（ρ2，θ2）即（﹣ρ1，π﹣θ2）与点M1（ρ1，θ2）的位置关系是关于极轴对称．13．在极坐标系中，作出下列各点：A（3，0）、B（﹣3，）、C（5，）、D（﹣2，π）、E（0，﹣）【解答】解：在极坐标系中，作出下列各点，如图所示：14．在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标系分别为A（2，）、B（2，π）、C（2，）．（1）判断△ABC的形状；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）根据极坐标与直角坐标的互化方法，A（2，）、B（2，π）、C （2，），直角坐标分别为A（1，），B（﹣2，0），C（1，﹣），所以AB=CB=AC，所以△ABC是等边三角形；（2）△ABC的底边为AC，高为2，面积S==3．15．在极坐标系中，作出下列各点：（1）A（2，），B（6，﹣120°），C（1，），D（4，﹣），E（4，0），F（2.5，180°）；（2）A（3，），B（3，），C（3，），D（3，π），E（3，），并说明这5个点有什么关系；（3）A（﹣2，），B（﹣1，），C（3，），D（4.5，），E（4.55，），并说明这5个点有什么关系．【解答】解：（1）如图（1）所示：（2）A、B、C、D、E这5个点都在以极点为圆心、半径等于3的圆上，如图（2）所示：（3）A、B、C、D、E这5个点都在直线θ=上，如图（3）所示：。

极坐标及参数方程知识点及例题一、极坐标知识点1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点 O，从 O 引一条射线 Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正方向 (通常取逆时针方向为正方向 )，这样就建立了一个极坐标系， O 点叫做极点，射线 Ox 叫做极轴①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可 .2．点 M 的极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离| OM |叫做点 M 的极径，记为；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM 叫做点M 的极角，记为。

有序数对(,) 叫做点M 的极坐标，记为M ( ,) .极坐标( , )与( , 2k )(k Z) 表示同一个点。

极点O 的坐标为(0, )( R ) .3.极坐标与直角坐标的互化：(1)互化的前提条件①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与 x 轴的正半轴重合③两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式2 x2 y 2 , x cos ,y sin , tan y( x 0) x4.曲线的极坐标方程：1．直线的极坐标方程：若直线过点M ( 0 , 0 ) ，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0 sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程（ 1）直线过极点（2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴（3）直线过M (b,) 且平2 行于极轴方程：（ 1）(R )或写成及（2）cos a（3）ρsinθ=b2．圆的极坐标方程： 若圆心为 M ( 0 , 0 ) ，半径为 r 的圆方程为：22 0 cos()2 r 2几个特殊位置的圆的极坐标方程（ 1）当圆心位于极点， r 为半径 （2）当圆心位于 C (a,0) (a>0),a 为半径 （ 3） 当圆心位于 C(a,) (a 0) ， a 为半径2 方程： (1) r (2)2acos (3)2asin5.在极坐标系中， (0) 表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线 .极坐标方程典型例题考点一 极坐标与直角坐标的互化1.点 M 的直角坐标是 ( 1, 3) ，则点 M 的极坐标为（ ）A ． (2,)B ． (2,)C ．(2,2)D ． (2, 2k),( k Z) 33332.点 2， 2 的极坐标为。

极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换),(y x P 的作用下，点对应到点，称伸缩变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ),(y x P ),(y x P '''一、1、极坐标定义：M 是平面上一点，表示OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极角；一般地，，。

，点P 的直角坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直角坐标极坐标 2、极坐标直角坐标⇒cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩⇒222tan (0)x y yx xρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确y x ,t ⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的y x ,t 方程叫做普通方程。

（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上对应的参数是。

高考数学十大专题技巧知识点+练习题专题一极坐标方程及其应用(综合型)1．极坐标系如图(1)所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ．②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ．③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)，一般不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．图(1)图(2)3．极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图(2)可知下面的关系式成立：＝ρcos θ，＝ρsin θ2＝x 2＋y 2，θ＝y x(x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．4．常见曲线的极坐标方程[微点提醒]关于极坐标系1．极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．一般地，点M(ρ，θ)的极坐标通式是(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋2kπ＋π)(k∈Z)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．3．极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．【例题选讲】[例1]已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．(1)用x，y，θ0表示m，n；(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝π4，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．[例2]已知曲线C1＝4＋5cos t，＝5＋5sin t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)求C1的极坐标方程，C2的直角坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(其中ρ≥0，0≤θ<2π)．[例3](2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1＝2＋t，＝kt(t为参数)，直线l2的＝－2＋m，＝mk(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．[例4]已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ 2.(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[例5]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρ2－4ρcosθ＋3＝0，θ∈[0，2π]，曲线C2：ρ＝3θ∈[0，2π]．(1)求曲线C1的一个参数方程；(2)若曲线C1和曲线C2相交于A，B两点，求|AB|的值．[例6]在平面直角坐标系xOy中，圆C ＝1＋cosφ，＝sinφ(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρ33，射线OM：θ＝π3与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[例7]在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋3y＝53，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；(2)射线OP：θ＝π6与圆C的交点为O，A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．[例8]在平面直角坐标系xOy中，曲线C ＝2cosθ＝2sinθ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R)，θ＝2π3(ρ∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．[例9]在直角坐标系xOy中，曲线C1＝t cosα，＝t sinα(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝23cosθ．(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．[例10]已知直线l ＝1＋2018t，＝3＋20183t(t为参数)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ2＝4ρcosθ＋23ρsinθ－4.(1)求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，求|OA|·|OB|．[例11]在平面直角坐标系中，曲线C1＝2cosφ，＝sinφ(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝π3与曲线C2交于点(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，2，θ0A ，B 都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值．[例12]极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线C 2＝m ＋t cos α，＝t sin α(t 为参数，0≤α＜π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4与曲线C 1交于(不包括极点O )三点A ，B ，C ．(1)求证：|OB |＋|OC |＝2|OA |；(2)当φ＝π12时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．1．极坐标方程与普通方程互化技巧(1)进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx(x ≠0)．(2)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．(3)巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．(4)将直角坐标方程中的x 转化为ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程．(5)进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，并重视公式的逆向与变形使用．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．3．已知极坐标方程求线段的长度的方法(1)先将极坐标系下点的坐标、曲线方程转化为平面直角坐标系下的点的坐标、曲线方程，然后求线段的长度．(2)直接在极坐标系下求解，设A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，则|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ2－θ1)；如果直线过极点且与另一曲线相交，求交点之间的距离时，求出曲线的极坐标方程和直线的极坐标方程及交点的极坐标，则|ρ1－ρ2|即为所求．【对点训练】1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρ＝22．(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐极；(2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．3．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C ．(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．4．以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程．5．已知曲线C＝2＋5cos α，＝1＋5sin α(α为参数)，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝1，求直线l 被曲线C 截得的弦长．6．在直角坐标系xOy 中，曲线C＝2cos α，＝2＋2sin α(α为参数)，直线l＝3－32t ，＝3＋12t(t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ(1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值．7．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l＝－1＋t ，＝t(t 为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．8．在直角坐标系xOy 中，曲线C＝3＋5cos α，＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积．9．点P 是曲线C 1：(x －2)2＋y 2＝4上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中点，将点P逆时针旋转90°得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝π3(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于A，B两点，定点M(2，0)，求△MAB的面积.10．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1＝2＋cosα，＝2＋sinα(α为参数)，直线C2的方程为y＝3x．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|．。