拓展1_应用举例-优质公开课-人教9下精品

分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水
平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图
中，α=30°，β=60°． 在Rt△ABD中，α=30°，
AD=120 m，所以可以利用解直 角三角形的知识求出BD；类似 地可以求出CD，进而求出BC．
仰角 B
αD A
β
俯角
水平线
C
例题解析
2 051（km）．
F
P Q
α O·
当组合体在P点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距 离P点约2 051 km．
例题解析
例2.热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶
部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热
气球与楼的水平距离为120 m，这
B
栋楼有多高（结果取整数）？
D A
C
例题解析
数．
解：设∠POQ=α，在图中，FQ是⊙O的切线，
△FOQ是直角三角形．
∵ cos OQ 6400 0.949 1，
OF 6400 343
∴ 18.36o．
F
P Q
α O·
例题解析
∴ P»Q 的长为
18.36π 6 400 180
18.36 3.142 6 400 180
第二十八章锐角三角函数
28.2解直角三角形及其应用 28.2.2应用举例 第1课时
学习目标
1.能将直角三角形的知识与圆的知识结合解决问题． 2.进一步理解仰角、俯角和方位角的概念，会把类似于 测量建筑物高度的实际问题抽象成数学问题.
复习导入
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2（勾股定理） ．

提问 如何使用测角仪呢？
答 将仪器拿到眼前，使视 线沿着量角器直径刚好到达 树的最高点（如图）.
提问 如何测出物体的高度呢？
1 读出仰角α的度数.
测出人到树的底部的 距离L. 3 根据三角函数可计算 出树的高度h.
h L
实际应用：如图，为了测量旗杆的高度BC，在离旗杆10米的 A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端 C的仰角为52°， 求旗杆BC的高.（精确到0.1米）(sin52°≈ 0.99 tan52° ≈1.28)
布置作业
1、课本P84第8、9题。 2、如图，为了测量铁塔的高度，离铁塔底部160米的C处，用测角
仪测得塔顶A的仰角为30度，已知测角仪的高CD为1.5米，铁塔的高度
AB为
米（用含根号的式子表示）
A
E
D
B
C
人生从来没有真正的绝境。无论遭受多少艰辛，无论经历多少苦难，心中都要怀着一粒信念的种子，有什么样的眼界和胸襟，就看到什么样的风景。你的心有多宽，你的舞台就有多大；你的格 局有多大，你的心就能有多宽。我很平凡，却不简单，只要我想要，就会通过自己的努力去得到。羡慕别人不如自己拥有，现在的努力奋斗成就未来的自己。人生要学会储蓄。你若耕耘，就储 存了一次丰收；你若努力，就储存了一个希望；你若微笑，就储存了一份快乐。你能支取什么，取决于你储蓄了什么。没有储存友谊，就无法支取帮助；没有储存学识，就无法支取能力；没有 储存汗水，就无法支取成长。想要取之不尽的幸福，要储蓄感恩和付出。人生之路并非只有坦途，也有不少崎岖与坎坷，甚至会有一时难以跨越的沟坎儿。在这样的紧要关头我们只有一种选择： 再向前跨出一步!尽管可能非常艰难，但请相信：只要坚持下去，你的人生会无比绚丽！弯得下腰，才抬得起头。在人生路上，不是所有的门都很宽阔，有的门需要你弯腰侧身才进得去。所以， 必要时要能够弯得下自己的腰，才可能在人生路上畅通无阻。跟着理智走，要有勇气;跟着感觉走，就要有倾其所有的决心。从不曾放弃追求，从不愿放弃自己的所有，一路走下来，路过太多的 风景，领略太多的是是非非，才渐渐明白，人活着不只为了自己，而活着，却要活出自己你不会的东西，觉得难的东西，一定不要躲。先搞明白，后精湛，你就比别人优秀了。因为大部分人都 不舍得花力气去钻研，自动淘汰，所以你执着的努力，就占了大便宜。女生年轻时的奋斗不是为了嫁个好人，而是为了让自己找一份好工作，有一个在哪里都饿不死的一技之长，有一份不错的 收入。因为：只有当你经济独立了，才能做到说走就走，才能灵魂独立，才能有资本选择自己想要伴侣和生活。成功没有快车道，幸福没有高速路，一份耕耘一份收获，所有的成功都来自不倦 的努力和奔跑，所有幸福都来自平凡的奋斗和坚持。也许你要早上七点起床，晚上十二点睡觉，日复一日，踽踽独行。但只要笃定而动情地活着，即使生不逢时，你人生最坏的结果，也只是大 器晚成。无论遇到什么困难，受到什么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！无论遇到什么困难，受到什 么伤害，都不要放弃和抱怨。放弃，再也没有机会；抱怨，会让家人伤心；只要不放弃，扛下去，生活一定会给你想要的惊喜！行动力，是我们对平庸生活最好的回击。人与人之所以拉开距离， 就在于行动力。不行动，梦想就只是好高骛远；不执行，目标就只是海市蜃楼。想做一件事，最好的开始就是现在。每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄 悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持 着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！自己丰富才能感知世界丰富，自己善良才能感知社会美好，自己坦荡才能感受生活喜悦，自己成功才能感悟生命壮观！前进的理由只要一个，后 退的理由却有一百个。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持到 现在，勿忘初心。每条路都是孤独的，慢慢的你会相信没有什么事不可原谅，没有什么人会永驻身旁，也许现在的你很累，未来的路还很长，不要忘了当初为何而出发，是什么让你坚持到现在， 勿忘初心。人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你，善良，终有 好报；坚持，必有收获！人活一世，实属不易，做个善良的人，踏实，做个简单的人，轻松。不管以前受过什么伤害，遇到什么挫折，做人贵在善良，做事重在坚持！别人欠你的，上天会还你， 善良，终有好报；坚持，必有收获！不要凡事都依靠别人。在这个世界上，最能让你依靠的人是自己，最能拯救你的人也只能是自己。要想事情改变，首先要改变自己。只有改变自己，才会最 终改变别人。有位哲人说得好：如果你不能成为大道，那就当一条小路；如果你不能成为太阳，那就当一颗星星。生活有一百种过法，别人的故事再好，始终容不下你。活成什么样子，自己决 定。不要羡慕别人，你有更好的，只是你还不知道。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的人仍在努 力，我就更没资格说，我无能为力。水再浑浊，只要长久沉淀，依然会分外清澄；人再愚钝，只要足够努力，一样能改写命运。更何况比我差的人还没放弃，比我好的人仍在努力，我就更没资 格说，我无能为力。朝着一个目标不停的向前，不断努力的付出，哪怕你现在的人生是从零开始，你都可以做得到。早安！让梦想照进现实，才是当下最应该做的事情！赚钱的时候不矫情， 花 钱的时候不磨叽， 生活不会因为你哭泣而对你温柔， 连孩子都知道，想要的东西，要踮起脚尖，自己伸手去拿，所以不要什么都不做，还什么都想要。但你可以通过努力而活的风情万种， 这才

请（你20帮18她新求疆出中旗考杆)2（0的. 高课度（结本果保8留4根号页）.)8.如图，两建筑物的水平距离BC为
∴ BC=BD+CD= +
32.6 m, 从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点 所以指导学生理清由实际问题转化为锐角三角函数模型的思路，帮助学生攻克中考重要考点是十分必要的。
所以指导学生理清由实际问题转化为锐角三角函数模型的思路，帮助学生攻克中考重要考点是十分必要的。
根据问题中的条件，找到视角所在的直角三角形
（通常过视点延长水平线构造直角三角形） 所（以20指17导新学疆生中理考清)19由. 实际问题转化为锐角三角函数模型的思路，帮助学生攻克中考重要考点是十分必要的。
如某图型， 号在飞数机学的活机动翼课形上状，如小图丽所为示了. 测量校园内旗杆 AB 的高度，站在教学楼的 C 处测得旗杆底端 B 的俯角为45°，测得旗杆顶端 A 的仰角为30°，已知旗杆与教学楼的距离 BD＝9m，
6根m据, 图从中A点数测据得计D算点A的C,俯BD角和αA为B的30长°度，(测结得果C保点留的小俯数角点β为后4两5°位，). 求这两个建筑物的高度（结果保留根号）.
(2) （看人这教 栋版楼九底年部级的数俯学角下为册60第°2→8β章=6锐0°角三角函数中75页例4)
找=120找×到视=角所在．的直角三角形
(1) 找请你找帮到她视求角出所旗在杆的直高角度三（角结形果保留根号）.
直角三角形的问题） =120× =
．
A所D以⊥指BC导，学（生△理AD清B,由△实AD际C为问直题角转三化角为形锐）角三角函数模型的思路，帮助学生攻克中考重要考点是十分必要的。
例（4过热视气线球上的探点测向器水显平示线，引从垂热线气构球造看直一角栋三楼角顶形部）的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？

Khan Academy
Wolfram MathWorld
提供丰富的数学应用视频和练习题。
专业的数学资料库和教程，涉及各种 数学应用。
Math is Fun
涵盖了从基础到高级的数学知识，包 括应用举例。
05
课程评估与反馈
作业与测验
作业布置
根据课程内容和学生实际情况，布置有 针对性的作业，以巩固所学知识和提高 应用能力。
详细描述
线性方程组是数学中一个重要的分支，它可以用来描述各种实际问题，如生产 计划、物流运输和金融投资等。通过建立数学模型，将实际问题转化为线性方 程组，可以更方便地解决问题。
函数的应用
总结词
函数是描述变量之间依赖关系的重要工具，广泛应用于各个 领域。
详细描述
函数可以用来描述客观事物的变化规律，如人口增长、经济 增长和气候变化等。通过建立函数模型，可以预测事物未来 的发展趋势，为决策提供依据。
互动式教学法
总结词
鼓励学生积极参与，通过互动交流促进学习效果。
详细描述
互动式教学法强调师生之间的互动和学生之间的合作，通过小组讨论、问答、角色扮演等形式，鼓励学生积极参 与教学过程，提高学习效果。
问题导向教学法
总结词
以问题为引导，培养学生分析和解决问题的能力。
详细描述
问题导向教学法是一种以问题为核心的教学方法，通过提出有意义的数学问题，引导学生主动探究、 思考和解决，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
详细描述
三角函数可以用来描述周期性变化的 现象，如简谐振动、交流电和行星运 动等。通过建立三角函数模型，可以 更方便地解决问题。
03
教学方法与技巧
案例教学法
总结词
通过具体案例引导学生理解和掌握数 学概念和原理。

A
设DF= x , AD=2x 则在Rt△ADF中，根据勾股定理
60°
AF = AD2 DF 2 = 2x2 x2 = 3x
B
DF
在Rt△ABF中，
30°
AF tan ABF =
tan 30 =
3x
BF
12 + x
解得x=6
AF = 6x = 6 3 10.4
10.4 > 8没有触礁危险
2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中i=1:3是指坡面的铅直高 度DE与水平宽度CE的比），根据图中数据求：
解直角三角形—应用举例
例题
例3： 2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞 行器成功实现交会对接． ，“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表 面343km的圆形轨道上运行．如图，当组合体运行到地球表面上P点的正上 方时，从中能直接看到地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离 是多少？（地球半径约为6 400km，π取3.142，结果取整数）
• 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/7/272021/7/272021/7/272021/7/27
• 2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四 • 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021 • 4、All that you do, do with your might; things done by halves are never done right. ----R.H. Stoddard, American poet做一切事都应尽力而为，半途而废永远不行6.17.20216.17.202110:5110:5110:51:1910:51:19 • 5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021

灯塔80 n mile的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B 处.这时，B 处距离灯塔 P有多远（结果取整数)？
65° A
【提问】同学们对方向角有什么了解？
P
方向角：指北或指南的方向线与目标线所成的小
C
于90°的角叫做方向角.如图所示
北A 30°
西北
北 东北
45°
斜坡 CD 的坡度（或坡比）为 i 1: 2.4 ， 在 Rt△CED 中， tan C 1 DE 5 ，
2.4 CE 12 DE 50 ，CE 120 ，BE BC CE 150 120 30，∴ DF 30 ， 在 Rt△ADF 中 ADF 50 ， tan ADF tan 50 AF 1.19 ，
（点 A，B，C，D，E 在同一平面内），在点 D 处测得建筑物顶 A 点的仰角为
50°，则建筑物 AB 的高度约为（ D ）（参考数据：sin50 0.77 ；cos50 0.64 ；
tan50 1.19）
A.69.2 米
B.73.1 米
C.80.0 米
D.85.7 米
解析：如图所示，作 DF AB于 F 点，则四边形 DEBF 为矩形，DE BF 50 ，
34°
西
O
45°
东西
45°O
东
西南
东南
B
B南
解：如图 ，在Rt△APC中， PC=PA·cos（90°－65°） =80×cos25°≈ 72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， sin B PC ， PB
PB PC 72.5.5 130 n mile . sin B Nhomakorabeain 34

解：∵∠α+∠β=90°∴△ABC为直角三角形
仰角
而AD是水平线，所以AD⊥BC
∴△ABD, △ACD为直角三角形
且∠C= ∠ α=30°， ∠B= ∠ β =60°
勾股定理（ + = ）
∠A+∠B=90°
sin A=
直角三角形除直角外五个元素只要
知道其中的2个元素（至少有1个是边），
就可以求出其余的3个未知元素。
cos A=
tan A=

∠所对的边
斜边
∠所邻的边
斜边
∠所对的边
邻边
∠所对的边
=


sin B=
=


=
=


=
30°
【问题】尝试说出A,B关于坐标原点O的位置？
点A位于点O北偏东30°位置，点B位于点O南偏西45°位置
A
西
O
45°
B
南
东
02
解直角三角形应用举例
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，
热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）。
3
2
2
2
1
2
tan a
3
3
1
sin a
3
A
b
邻边
a 对边
C
01
解直角三角形
一般地，直角三角形中，除直角外共有五个元素，即三条边和两个锐角。
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫解直角三角形。
【问题】在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？

沿北偏西60°方向航行
1
2 3
小时到达B处，那么tan∠ABP
为 2.
解析:∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，
且相距20海里，∴PA=20海里，∵客轮以60
海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行 2 小
时到达B处，∴∠APB=90°，BP=60× 2 3
=40(海里)，∴tan∠ABP=
AP 20 1 BP 40 2
认识有关概念:
坡度:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或叫做坡
比)，一般用i表示.即 i h ，常写成i=1∶m的形式.
l
坡角:把坡面与水平面的夹角α叫做坡角.
【思考】坡)
最新初中数学精品课件设计
解决课前导入问题:
如图所示，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m，坝高23 m，斜
∴13A2.D5=(AmE)+.EF+FD=69+6+5最7新.5初= 中数学精品课件设计
[知识拓展]
(1)解决实际问题时，可利用正南、正北、正西、正东方向线
构造直角三角形求解.
(2)坡度也叫坡比，即
ih l
，一般写成i=1∶m的形式(比的
前项是1，后项可以是整数，也可以是小数或根式).
(3)坡度i与坡角α之间的关系为i=tan α.
m，则此坡的坡度为 ( C ) A.30° B.45°
C.1∶1 D.1∶ 2
解析:如图所示，AC=
2
502 25 2 25 2 (m)，由坡度
公式得i=
h 25 l 25
2 2
=1∶1.故选C.
3.某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北
偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度

活动2 构造形如“
”的两个直角三角形解实际问题
解：(1)如图所示，延长BA，过点C作CD⊥BA交BA延
长线于点D，
由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，
则DC＝60海里，
故cos
30°＝
DC AC
＝
60 AC
＝
23，解得：AC＝ 40
3，
答：点A到岛礁C的距离为 40 3 海里；
探究三 : 怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟视角相关的问题？
作∴高DC将＝其BE放＝到AB相－应A的E＝直30角.8三3－角2形3.中00去≈7，.8进(m而)．把求线段的长转化成
解答直：角两三个角建筑形物的的知高识分. 别约为30.8m，7.8m.
探究三 : 怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟视角相关的问题？
重点、难点知识★
活动1 构造一个直角三角形解实际问题
点∴拨BC：求BD线52角.2放到直角三角形中,利
用答：解这直栋角楼三高角约形为的15方2.2法m来．求解.
探究二 : 仰角、俯角在解直角三角形中有什么应用？
重点知识★
活动1 应用知识，解决问题
例2. 如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从A点测得D点的俯角α为 35°12′，测得C点俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高．(精确到0.1m)
（1）在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰 角，视线在水平线下方的是俯角.
（2）求线段长，往往把线段放到直角三角形中，利用解直角 三角形的方法求解.
（1）题中没有直角三角形，或已知直角三角形不可用时，常常 作辅助线构造直角三角形.
（2）构造直角三角形，常用辅助线为延长或作高，但一般不破 坏特殊角或已知角.

坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡.
坡度越大，坡角 α 就越大，坡面就越陡.
该轮船沿正南方向以 如何用数量来表示哪条路陡呢？
由计算器可算得 α ≈ 22°.
15
海里/时的速度匀速航行
2
小
方向角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等都广泛使用.
55 m
B．3.
时后到达 N 处，再观测灯塔 P 位于南偏西 60° 方向， 如图，一山坡的坡度为 i=1:2.
EF =3 m，斜坡轨道 AE 的坡度 i =1：2，斜坡轨道 FC 的坡角为 37°
，其中 B、E、F、D 在同一直线上，则 AB 的长度约为( )
() A．3.55 m C．3.95 m
B．3.75 m D．4.15 m
A C
B
E FD
A C
B
E FD
归纳新知
形 的 应 用
解 直 角 三 角
解：如图 ，在 Rt△APC 中， PC =PA·cos(90°-65°) =80×cos25° ≈ 72.505(n mile). 在 Rt△BPC 中，∠B=34°，
sin B PC ， PB
PB PC 72.505 130 n mile . sin B sin 34
因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东34° 方向时，它距离灯塔 P 大约130 n mile．
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
求解是否触礁的问题时，一般都是求出暗礁中心到航线的距离，将这个距离与暗礁半径比较大小，距离小于或等于半径有危险，距离大于半径没有危险.
解：分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别
解决实际问题时，可利用正南、正北、正东、正西方向线构造直角三角形.