北京市2020届高三数学第二次普通高中学业水平合格性考试试题(含解析)

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（U A）∪B＝（）A. （﹣∞，2）B. [2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）∪[2，+∞）【答案】D【解析】【分析】先求出U A，再求（U A）∪B得解【详解】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴U A＝{x|x≥2}，（U A）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故选：D【点睛】本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 设复数z＝1+i，则z2＝（）A. ﹣2iB. 2iC. 2﹣2iD. 2+2i 【答案】A【解析】【分析】由z求得z，再利用复数的乘方运算求解即可.【详解】∵z＝1+i，∴2z＝（1﹣i）22=+-i i12＝﹣2i.故选：A.【点睛】本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.3. 焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A. x2＝4yB. y2＝4xC. x2＝8yD. y2＝8x 【答案】D【解析】 【分析】根据题意，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.【详解】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题 4. 在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，π6A =，则cosB =（ ） A.34B.4C.4D.4【答案】C 【解析】 【分析】由题意可用正弦定理先求出sin B ，再由三角函数中的平方关系及B 角的范围，求出cos B ，进而得到答案. 【详解】在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得13sin 32sin 24b A B a ⨯⋅===，∴由B为锐角，可得cos B = 故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题. 5. 函数f (x )＝x 1x-是（ ） A. 奇函数，且值域为（0，+∞）B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为（0，+∞）D. 偶函数，且值域为R 【答案】B 【解析】 【分析】由奇偶性定义，求出函数f (x )为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【详解】根据题意，函数f (x )＝x 1x-，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（﹣x ）﹣（1x -）＝﹣（x 1x-）＝﹣f (x )，即函数f (x )为奇函数， 其导数f ′(x )＝121x+，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R ； 故选：B.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题 6. 圆x 2+y 2+4x ﹣2y +1＝0截x 轴所得弦的长度等于（ ） A 2 B. 3 C. 5 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】首先令y ＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长. 【详解】令y ＝0，可得x 2+4x +1＝0， 所以124x x +=-，121=x x ，所以12|AB x x =-==故选：B【点睛】本题考查的是圆中弦长的求法，较简单. 7. 设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，则（ ） A. a b b c ->- B.111a b c<< C. 2a b c +> D. 以上三个选项都不对【答案】C 【解析】 【分析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解. 【详解】设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，所以对于选项A ：当3,2,1a b c ===时，1a b b c -=-=，故错误. 对于选项B ：当0,1,2a bc 时，1a无意义，故错误. 对于选项C ：由于,a c b c >>，所以2a b c +>，故正确. 对于选项D ：由于C 正确，所以选项D 错误. 故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（ ）A.B.2C. 1D.【答案】B 【解析】【分析】两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【详解】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+=. 故选：B.【点睛】本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.9. 设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【详解】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：C.【点睛】本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.10. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【答案】B【解析】【分析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB，CD的位置关系．【详解】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，B C两点重合，所以AB与CD相交，且，故选：B【点睛】本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在（1+5x）6的展开式中，含x的项系数为_____.【答案】30.【解析】【分析】先写出二项式的展开式的通项，要求含x的项系数，只要使得展开式中x的指数是1，求得r，代入数值即可求出含x 项的系数.【详解】展开式的通项公式为： ()6166155rr r r rr r T C x C x -+=⋅⋅=⋅⋅，令x 的指数为1，即r ＝1； ∴含x 的项系数为：16530C ＝； 故答案为：30.【点睛】本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题12. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2＝16，a 5＝1，则a 1＝_____；使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝_____. 【答案】 (1). 9 (2). 5. 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2＝16，a 5＝1，可得2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1，d ，可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出. 【详解】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1+a 2＝16，a 5＝1， ∴2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1， 解得：a 1＝9，d ＝﹣2. ∴a n ＝9﹣2（n ﹣1）＝11﹣2n . 令a n ＝11﹣2n ≥0， 解得n 112≤=512+. ∴使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝5. 故答案为：9；5.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.【答案】4+45. 【解析】 【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积. 【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为， 该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体. 如图所示：所以212242212S =⨯+⨯⨯+=5故答案为：5【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.14. 能说明“若()20m n +≠，则方程2212x ym n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）. 【解析】【分析】由题意可得满足20m n =+>或者0,20m n <+<即可，取满足上述条件的,m n 的值即可（答案不唯一）.【详解】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.15. 已知函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，且当x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3.有以下三个结论： ①f （-1）12=-； ②当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f (x )有无穷多个零点，且存在一个零点b ∈Z . 其中，所有正确结论的序号是_____. 【答案】①②. 【解析】 【分析】由题意可得函数f (x )的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【详解】如图：对①，因为函数f (x )的定义域为R，满足f （x +2）＝2f (x )，x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3，所以f （-1）12=f （-1+2） 12=f （1）12=•（21﹣3）12=-，所以①正确； 对②，f (x )的大致图象如图所示可得当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确 对③，因为x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3＝0， x ＝log 23，又因为f （x +2）＝2f (x )， 所以函数f (x )由无数个零点， 但没有整数零点，所以③不正确； 故答案为：①②.【点睛】本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于中当题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是A 1C 1的中点，且AC ＝BC ＝AA 1＝2.（1）求证：BC 1∥平面AB 1D ；（2）求直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）66【解析】 【分析】（1）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，可得BC 1∥DE ，再由直线与平面平行的判定得到BC 1∥平面AB 1D ；（2）由CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，得CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AB 1D 的一个法向量与1AB 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ， 由ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，得A 1E ＝BE. 又∵D 是A 1C 1的中点，∴BC 1∥DE. ∵BC 1⊄平面AB 1D ，DE ⊂平面AB 1D ， ∴BC 1∥平面AB 1D ；（2）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直， 故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴()1222AB =-，，，()1120B D =-，，，()020BC =-，，. 设平面AB 1D 的法向量为()n x y z ，，=， 由11222020n AB x y z n B D x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y ＝1，得()211n =，，；设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ. 则sin θ＝|cos n BC ＜，＞|6n BC n BC⋅==⋅. ∴直线BC 与平面AB 1D【点睛】本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.17. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由； （2）求函数()f x 的单调递增区间 【答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【解析】 【分析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果. 【详解】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-. 这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2||ππω=， 又因为0>ω，所以2ω=. 由条件②，得2A =. 由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18. 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率tUW=，当t≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x%.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由.【答案】（1）23；（2）分布列见解析；期望为83；（3）不能；答案见解析.【解析】【分析】（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【详解】解：（1）t A9196=＞0.9，t B8491=＞0.9，t C6985=＜0.9，t D5474=＜0.9，t E6469=＞0.9，t F6365=＞0.9.∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为42 63 =.（2）X的可能取值有2，3，4，且P（X＝2）22424625C CC==，P（X＝3）314246815C CC==，P（X＝4）4446115CC==，∴X的分布列为：E （X ）＝25⨯+315⨯+4153⨯=. （3）不能认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”. 理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.【点睛】本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题.19. 设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值； （3）证明:()2xx f x e e->. 【答案】（1）1a =；（2）极小值11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解； （3）由于()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e -+>，结合（2）可得()1ln f x x x e=≥-，故只要证明10xxe e -≥即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证. 【详解】解：（1）()lnf x a x a '+=， 则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-，把点()3,2代入切线方程可得，1a =， （2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>， 易得，当10x e<<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e >时,()0f x '>，函数单调递增，故当1=x e时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值，证明：（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>， 由（2）可得()1ln f x x x e =≥-（当且仅当1=x e时等号成立）①，所以21ln x x x xx x e e e e -+≥-，故只要证明10x xe e-≥即可，（需验证等号不同时成立）设()1x x g x e e =-，0x >则()1x x g x e-'=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增， 所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，② 因为①②等号不同时成立， 所以当0x >时，()2x x f x e e->. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点.（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的方程，可求得b 的值，再由椭圆E 的离心率可求得a 、c 的值，由此可得出椭圆E 的方程；（2）设点()()0000,0D x y x y ≠，可得出220044x y -=，求出直线CD 的方程，可求得点P 的坐标，由4OP OQ =⋅，可求得点Q 的横坐标，代入直线AD 的方程可求得点Q 的坐标，验证BQ BC k k =，即可证得结论成立.【详解】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的坐标可得1b =，由题意可得22310c e a a c c ⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得23a c =⎧⎪⎨=⎪⎩，因此，椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（2）椭圆E 的左、右顶点分别为()2,0A -、()2,0B ，设点()()0000,0D x y x y ≠，则220014x y +=，则220044x y -=，直线CD斜率为001CD y k x -=，则直线CD 的方程为0011y y x x -=+， 令0y =，可得001x x y =-，即点00,01x P y ⎛⎫⎪-⎝⎭， 设点()11,Q x y ，由104OP OQ x x ⋅==，可得()01041y x x -=，直线AD 的斜率为002AD y k x =+，则直线AD 的方程为()0022y y x x =++，将()0041y x x -=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x -+=+，所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 直线BC 的斜率为101022BC k -==-- 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQy x y x y y y y k x x y x x x y y -+-+===-+-----20000200002214242BC x y y y k y x y y -+==-=--， 又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.21. 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j ≥b i +1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）. 表1表2（1）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i ﹣j ？等于i +2﹣j 呢？（结论不需要证明）（2）如果b 40，20＝1，且对于任意的i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20，都有b i ，j ﹣b i +1，j ≥1成立，对于任意的m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，19，都有b m ，n ﹣b m ，n +1≥2成立，证明：b 1，1≥78；（3）若a i ，1+a i ，2+…+a i ，20≤19（i ＝1，2，…，40），求最小的正整数k ，使得任给i ≥k ，都有b i ，1+b i ，2+…+b i ，20≤19成立.【答案】（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，；（2）证明见解析；（3）k ＝39. 【解析】 【分析】（1）由1000i j --≥，140i ≤≤，120j ≤≤可知存在表1，使得,100i j b i j =--；若,2i j j i b -+=，则1,12i j j i b +-++=，故,1,10i j i j b b +-=-<，故不存在；（2）对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-成立，进而得()()()1,202,202,203,2039,2040,2039bb b b b b -+-++-≥，故1,2040,203940b b ≥+=，同理由对于任意的1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，得1,11,203878b b ≥+≥.（3）取特殊表1，得39k ≥，再证明39k ≤即可得39k =.【详解】解（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，. 证明：（2）因为对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-.所以1,202,20220320392040201,1,,1b b b b b b -≥--≥≥，，，，.所以()()()1202202203203920402039b b b b b b +++≥---，，，，，，，即12020403940b b ≥+=，，. 由于1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，. 所以1,11,21,21,31,191,202,2,,2b b b b b b ≥--≥-≥所以()()()1112121311912038b b b b b b --++≥-+，，，，，，，即1178b ≥，.解：（3）当表1如下图时，其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意. 重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k ≥39.以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含12.20,,,r r r a a a ，，），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、 则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数. 这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行），的全部实数. 其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j i j b b a ≤≤，（1,2,,20j =）.- 21 - 所以1220122019i i i r r r b b b a a a ++⋯+≤++⋯+≤，，，，，，，所以39k ≤.综上所述39k =.【点睛】本题主要考查不等式，排列组合的综合应用，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是难题.。

A. 〔-00, 0〕B. 〔-00, 1〕C. 〔1, +°°〕7. 在棱长为1的正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E, F 分别为线段CD 和A I B I 上的动点,且满足 CE=A I F,那么四边形D I FBE 所 围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶 点的三个面上的正投影的面积之和〔〕D. (0, +°°)A.有最小值B.有最大值jC.为定值35 . 等差数列｛a n ｝首项为a 1,公差dwQ 那么“ a 〔,a 3, a 9成等比数列〞是“ a 1二d的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6 .函数f 〔x 〕 =：,；；］：,假设函数f 〔x 〕存在零点,那么实数a 的取值范围是〔 〕2021年北京市朝阳区高考数学二模试卷〔二〕 、选择题〔本大题共 8小题,共40.0分〕1. 集合 A={x|x>1}, B={x|x (x-2)<0},贝U AUB=( ) A. {x|x>0} B. {x|1<x< 2} C.{x|1 买v 2} D. {x|x>0且 xw 1} 2 . 复数i 〔1 + i 〕的虚部为〔 〕 A. B. 1 C. 0 3 .在数学史上,中外数学家使用不同的方法对圆周率 兀进行 了估算.根据德国数学家莱布尼茨在 1674年给出的求 兀D. -1的方法绘制的程序框图如下图. 执行该程序框图, s 的值为〔 A. 4 B. D.输出 4. 在 AABC 中,H c=4, cosC = -5,那么 b=()D.为定值28 . 在同一平面内, A 为动点,B, C 为定点,且/BAC4, 二A 却？于口,BC=1, P为BC 中点•过点p 作pQ gC 交AC 所在直线于Q ,那么;Q 在;c 方向上投影的最大值 二、填空题(本大题共 6小题,共30.0分)9 . a=log 3e, b=ln3, c=log 32,贝U a, b, c 中最小的是 .10 .点M (1, 2)在抛物线 C: y 2=2px (p>0)上,那么点M 到抛物线C 焦点的距 离是.I x - votO.* ( i = 1 + 2r,11 .圆心；｛y = 1十(.为参数)上的点P 到直线| y = —1 + (t 为参数)的距离 最小值是. f 工之L12 .实数x, y 满足 ¥=#,能说明“假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1, y=3〞为假 [x 4- y < 4.命题的一组(x, y)值是.13 .由数字1, 2, 3, 4, 5, 6组成没有重复数字的三位数,偶数共有 个,其中 个位数字比十位数字大的偶数共有 个. 14 .如图,在平面直角坐标系xOy 中,点 O (0, 0) , M (-4, 0) , N (4, 0),P (0, -2) , Q (0, 2) , H (4, 2).线段OM 上的动点A 满足;力一%时(''(必‘))； 线段HN 上的动点B 满足j 二"N 直线PA 与直线QB 交于点L,设直线PA 的斜 ntf ni\ 7率记为k,直线QB 的斜率记为k',那么k?k'的值为;当入变化时,动点L 一定 在 (填“圆、椭圆、双曲线、抛物线〞之中的一个)上.三、解做题(本大题共 6小题,共80.0分) 15 .函数 fix) = 2sinxcosx + 入瓦,".一超.(I )求函数f (x)的最小正周期；(n )当某E [一彳,同时,求证：/(X )之一十B.C.是(某电视台举行文艺比赛, 并通过网络比照赛进行直播. 比16.赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分, 场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分. 每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分,将评分根据[7, 8) , [8, 9) , [9, 10]分组,绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E评分9.69.59.68.99.7(I )求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率；(n)从5名专家中随机选取3人,X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人,用频率估计概率, Y表示评分不小于9分的人数；试求 E (X)与E (Y)的值；(出)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数匚作为该选手的最终得分.r 4方案二：分别计算专家评分的平均数;和观众评分的平均数；,用以士作为该选手最终得分.请直接写出f与',的大小关系.频率在三^柱ABC-A i B i C i中,底面ABC是正三角形,侧棱AAUB面17.ABC. D, E分别是边BC, AC的中点,线段BC i与B i C交于点G,且AB=4, 叫=2k.(I )求证：EG//平面AB i D；(n)求证：BC i"面AB i D；(m )求二面角A-B i C-B的余弦值.18.函数f (x) = (2ax2+4x) lnx-ax2-4x (aCR,且a*O) (I )求曲线y=f(x)在点(1, f (1))处的切线方程;(n )假设函数f (x)的极小值为试求a的值.19 .椭圆C: 4 + y Z= l (a>1)的离心率为坐.(I )求椭圆C的方程；(n)设直线l过点M (1, 0)且与椭圆C相交于A, B两点.过点A作直线x=3 的垂线,垂足为D .证实直线BD过x轴上的定点.20 .对于由有限个自然数组成的集合A,定义集合S (A) ={a+b|aCA, bCA},记集合S(A)的元素个数为d (S (A)).定义变换T,变换T将集合A变换为集合T (A) =AUS (A).(I )假设A={0 , 1, 2},求S (A) , T (A);(n)假设集合A有n个元素,证实：" d (S (A) ) =2n-1〞的充要条件是“集合A 中的所有元素能组成公差不为.的等差数列〞；(出)假设A?{1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}且{1 , 2, 3,…,25, 26}? T (T (A)), 求元素个数最少的集合 A.1 .答案：A解析：解：根据不等式的解法,易得 B={x|0vx 匚< 2},均召-2? 4 5 .又有 A={ x|x> 1},那么 AUB={x|x>0}. 应选：A.根据不等式的解法,B={x[0vx<2},然后根据并集的定义“由所有属于集合 A 或属于集合B 的元素所组成的集合叫做并集〞进行求解即可. 此题考查并集的运算,注意结合数轴来求解,属于容易题.2 .答案：B 解析：解：.i (1 + i) =-1 + i,. i (1 + i)的虚部为1. 应选：B.直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.此题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的根本概念,是根底题.3 .答案：C 解析：解：第一次,s=4, k=1, k>3否,第二次, 乂辐,k =2 ,k4否, 第二次,s= |+?=m ,k=3, k>3是, 程序终止,输出s=* 应选：C.根据程序框图进行模拟运算即可. 此题主要考查程序框图的识别和判断, 根据条件进行模拟运算是解决此题的关键.比拟根底.4 .答案：B 解析：【分析】由利用同角三角函数根本关系式可求 值. 此题主要考查了同角三角函数根本关系式, 础题. 【解答】解：*c=4, CORC =(, sinC=dl-co5i 々巧,,由正弦定理 岛可得：解得：b=3. 应选：B.答案与解析sinC 的值,根据正弦定理即可计算得解b 的正弦定理在解三角形中的综合应用,属于基5 .答案：C 解析：【分析】此题考查等差、等比数列的定义以及判断,涉及充分必要的定义与判断,属于根底题. 根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,从充分性与必要性的角度分析“ a i, a 3, a 9成等比 数列〞和“ a i =d 〞的关系,综合即可得答案. 【解答】解：根据题意,设数列｛a n ｝的公差为d,假设 a i, a 3, a 9成等比数列,那么〔a 3〕2=a i 39,即〔a i +2d 〕 2=a i • 〔a i +8d 〕,变形可得：a i =d,那么“a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充分条件；假设 a i =d,贝U a 3=a i +2d=3d, a 9=a i +8d=9d,贝U 有〔a 3〕2=a i a 9,贝U " a i, a 3, a 9成等比数 列〞是“ a i =d 〞的必要条件；综合可得：“ a i, a 3, a 9成等比数列〞是“ a i =d 〞的充要条件； 应选：C.6 .答案：D 解析：解：函数f 〔x 〕=：上管,函数的图象如图：函数f 〔x 〕存在零点,那么实数 a 的取值范围是： 〔.,+°°〕. 应选：D.画出函数的图象,利用数形结合推出 a 的范围即可.此题考查分段函数的应用,函数的零点的判断, 考查数形结合以及计算水平.7 .答案：DD'B'E f解后面解：依题意,设四边形D I FBE的四个顶点在后面,上面,左面的投影点分别为D', F', B', E',那么四边形D I FBE在上面,后面,左面的投影分别如上图.所以在后面的投影的面积为S后=1 M=1 ,在上面的投影面积S±=D'E' 1=DEX1 = DE,在左面的投影面积S左=B'E' 1=CEX1=CE,所以四边形D1FBE所围成的图形〔如下图阴影局部〕分别在该正方体有公共顶点的三个面上的正投影的面积之和S=S 后+S 上+S 左=1 + DE+CE=1 + CD=2.应选：D.分别在后,上,左三个平面得到该四边形的投影,求其面积和即可.此题考查了正方体中四边形的投影问题,考查空间想象水平.属于中档题.8 .答案：C 解析：解：建立如下图的平面直角坐标系,那么〔4, 0〕, C4,0〕, P〔0,0〕,设 A 〔x, y〕,那么xv 0,设直线AB, AC的斜率分别为k b k2, 由到角公式得：G an J化简彳导:x2+ (y-,)=；,口次那么x*:,那么」苧叔V0,由;在；方向上投影的几何意义可得:.在；方向上投影为DP|二|x|, 那么H、方向上投影的最大值是降应选：C.先建系,再由到角公式得：=常二tan,化简得：x2+ (y<)=：,那么x29［那么-;今v 0,再由二在M方向上投影的几何意义可得解・此题考查了到角公式及平面向量数量积的运算,属中档题.9 .答案：c 解析：解：b=ln3>1,又2V ev 3,所以10g32V log3ev 1,即cv a< b,故a, b, c中最小的是 c.故答案为：c由对数值大小的比拟得：b=1n3>1,又2V e<3,所以10g32v1og3ev 1,即cvavb,得解.此题考查了对数值大小的比拟,属简单题.10 .答案：2解析：解：由点M (1, 2)在抛物线C: y2=2px (p>0)上,可得4=2p, p=2,抛物线C： y2=4x,焦点坐标F (1, 0),那么点M到抛物线C焦点的距离是：2,故答案为：2.由题意可知：点的坐标代入抛物线方程,求出p=2,求得焦点F (1, 0),利用直线的两点式,即可求点M到抛物线C焦点的距离.此题考查抛物线的标准方程及简单几何性质,直线的两点式方程,考查计算水平,属于根底题. 11 .答案：睥1 解析：解：由ly = 1+ 就月.得x2+(y-1)2=1,由,ly =一1 + t 得x-2y-3=0 ,,一,、一■ 一I r , r、 _ ■ - . |0"2~ 3| J-1圆心〔0, 1〕到直线x+2y+1=0的距离d=:=、后,所以所求距离的最小值为-1故答案为：.^5-1.化成直角坐标方程后用点到直线的距离,再减去半径. 此题考查了参数方程化成普通方程,属中档题.12 .答案:〔2, 2〕r x>l,解析：解：实数x, y 满足y 皂币 的可行域 以及x+y=4的直线方程如图：能说明"假设z=x+y 的最大值为4,那么x=1,y=3〞 为假命题的一组〔x, y 〕值是〔2, 2〕. 故答案为：〔2, 2〕.画出约束条件的可行域,目标函数取得最大值 的直线,然后求解即可.此题考查线性规划的简单应用,画出可行域是 解题的关键.13 .答案：60 36解析：解：根据题意, 对于第一空：分 2步分析：①要求是没有重复数字的三位偶数,其个位是 ②在剩下的5个数字中任选2个,安排在前 那么有3X20=60个符合题意的三位偶数； 对于第二空：分 3种情况讨论：①,当其个位为2时,十位数字只能是 的三位数；②,当其个位为4时,十位数字可以是 个符合题意的三位数；③,当其个位为6时,十位数字可以是5 >4=20个符合题意的三位数；那么有4+12+20=36个符合题意的三位数; 故答案为：60, 36.对于第一空：分 2步分析：①分析可得要求三位偶数的个位有 3种情况,②在剩下的 5个数字中任选2个,安排在前2个数位,由分步计数原理计算可得答案；对于第二空：按个位数字分 3种情况讨论,分别求出每种情况下的三位数的数目,由加 法原理计算可得答案.此题考查排列、组合的应用,涉及分步、分类计数原理的应用,属于根底题.解析：解：叫；「A (-4 入,0),又 P (0, -2) , .*=*$； r 二厂 _ ___ . , 2(-2) / . . , L HRB (4,2-2 k= 4^0- =-2, kk =,设 L (x, y),那么 k=\ k =^, .kk1 = 1?；〞=；, 1 / = = X,即彳-适=1 .2、4或6,有3种情况, 2个数位,有 A 52=20种情况,1,百位数字有4种情况,此时有4个符合题意 1、2、3,百位数字有4种情况,此时有 3>4=121、2、3、4、5,百位数字有4种情况,此时有14.答案：； 双曲线故答案为：:,彳先=1 .根据向量关系得到 A, B 的坐标,再根据斜率公式可得 kk'=;设P (x, y),根据斜 I 率公式可得P 点轨迹方程.此题考查了圆锥曲线的轨迹问题,属中档题. 15 .答案：解：(I) J ⑺="Ehwhh + 笈 3gA -木, =#i 也 2M + \3cosZx, =・ 证实：(II)由于第中, 即归+沁一,1, 所以f (x)在上单调递增. 当 2# + ；=—；时, J Q即工:一;,时, /.%山=一"手所以当X E 时,f W > 75.解析：(I)首先利用三角函数关系式的恒等变换, 把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期.(n )利用函数的关系式,进一步利用函数的定义域求出函数的值域.此题考查的知识要点：三角函数关系式的变换,正弦函数的性质的应用,主要考察学生 的运算水平和转换水平,属于根底题型.16 .答案：解：(I)由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是1. (n ) X 的可能取值为 2, 3. P (X=2)所以X 的分布列为： X233 dP 弱3J 12 所以 E (X ) =2乂-+3XG = M .J0*J 1由题意可知,T 〜巩工］,所以E (Y)所以f (x)的最小正周期 2ltT=V =n3 / 、端 2W ； P (X =3)= np=|(m)* * * = 2 ^ x0 + 0x4 + 0x 2.= 0BC i DA'-=OxO + 〔-2〕x4+2\Nx2u2 = OBC 1 叫'所以 BC i ±DA, BCUDB i.又由于DA ADB I =D,所以BC i,平面AB i D. ............................ 〔 9分〕 (出)解：显然平面 B i CB 的一个法向量为“ =(I, 0, 0)'=0, L *呼n 8-诙平片灯=0,付1 4尸窗％ ; 0, 【电/ 4叼如ririA.设二面角A-BiC-B 的平面角为0,由图可知此二面角为锐二面角,解析：(I)证实EG/AB i.然后利用直线与平面平行的判定定理证实 EG/印面AB i D.(n )取B iC i 的中点D i,连接DD i,建立空间直角坐标系 D-xyz,通过向量的数量积证实BC i IDA, BCODB i,然后证实BC i 」平面AB i D.(出)求出平面 B i CB 的一个法向量,平面 AB i C 的一个法向量,设二面角 A-B i C-B 的平面角为0,利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可. 此题考查直线与平面垂直以及平行的判定定理的应用, 二面角的平面角的求法,考查计算水平.解析：此题考查了离散型随机变量的期望和方差,属中档题.(I )由图知a=0.3,某场外观众评分不小于 9的概率是:(n )计算概率可得分布列和期望;(m)专家评分的平均分高于观众评分的平均分,17.答案：(本小题总分值14分)(I)证实：由于E 为AC 中点,G 为B i C 中点.所以EG/AB 1. 又由于EG?平面AB i D, AB i ?平面AB i D, 所以EG/狂面AB i D. .................... ( 4分) (II )证实：取BiCi 的中点Di,连接DDi.显然DA, DC, DD i 两两互相垂直,如图,建立空间直角坐 标系D-xyz,那么 D (0,0,0),42、, 0, 0),B (0,-2,0),fl 1(O 1 -2, 2j),2. 2^2), B R G, 1, 0), C (0, 2, 0). 所以又由于 设平面AB i C 的一个法向量为:叼=〔x, y, z 〕,又；=(一2屈 2,.) ni L, ■ =〔.,4, -西设x=i ,贝U y =/1,上二亚,那么:a,隹两.'III所以COSfi =而・. 〔 I4 分〕但专家人数远小于观众人数, 故小于.18 .答案：(本小题总分值13分)解：(I )函数 f (x) = (2ax 2+4x) lnx-ax 2-4x (aCR,且 aw .. 由题意可知 f' (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +°°).f' (1) =0, f (1) =-a-4, .•曲线y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程为 y=-a-4. ....... ( 3分) (n )①当av-1时,x 变化时f (x) , f (x)变化情况如下表：x ◎ 4 Tf-l 1)1 (1, +°°) f (x) -0 +0 -f (x)极小值极大值此时晨一：)②当a=-1时,f' (x) wo 在(0, +oo )上恒成立,所以f (x)在(0, +°°)单调递减. 此时f (x)无极小值,故不成立.③当-1<av .时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表： x (0, 1) 1 J 1A+ 8)f (x) -0 + 0 -f (x)极小值/极大值解得u = -2 +避或a = -2—?3. 由于-1vav0,所以 u =④当a>0时,x 变化时f' (x) , f (x)变化情况如下表: x (0, 1) 1 (1, +°°) f (x)-+f (x)极小值解得a =—2 +小或H =一2-$3 ,故不成立. 综上所述,二-2 +祠. ............ . (13分)解析：(I )由题意可知 f (x) =4 (ax+1) lnx, xC (0, +0°) , f' (1) =0, f (1) =-a-4, 由此能求出曲线 y=f (x)在点(1, f (1))处的切线方程.(n )当av-1时,求出f]-3 =1 +力M-口)=；,解得口 = -^>-1 ,不成立；②当a=-1 f (x)在(0, +8)单调递减.f (x)无极小值;由题意可得一以一4=：,求出4=\信-2；当a>0时,极小值f (1) =-a-4.由此能求出a 的值.此题考查切线方程的求法,考查实数值的求法,考查导数性质、函数的单调性、最值等 根底知识,考查运算求解水平,考查化归与转化思想,是中档题.= 119 .答案：(I )解：由题意可得[〞 —3 解得a=J , b=1 ,\a 2 = b 2 + c 2时,f (x) w 师(0, +oo)上恒成立, 当-1vav0 时,极小值 f (1) =-a-4,所以椭圆C 的方程为；+y 2=i.(n )直线BD 恒过x 轴上的定点 N (2, 0).证实如下 (1)当直线l 斜率不存在时,直线l 的方程为x=1, 不妨设 A (1,乎),B (1, ¥), D (3,悟)此时,直线BD 的方程为：y ((x-2),所以直线BD 过点(2, 0)(2)当直线l 的斜率存在时,设 A (xi, yi) , B (x2, y2),直线AB 为y=k (x-1), D (3, yi).解析：(I )由题意列关于a, b, c 的方程组,求解可得 a, b, c 的值,那么椭圆方程可 求；(n)当直线AB 的斜率不存在时,直线 BD 过点(2, 0).当直线AB 的斜率存在时, 设直线AB 为y=k (x-i),联立方程组,消去 y 整理得：(i+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0,利 用韦达定理、直线方程,结合条件求出直线BD 过x 轴上的定点.此题考查椭圆方程求法,考查考查两直线的交点是否为定点的判断与求法,考查椭圆、 韦达定理、根的判别式、直线方程、弦长公式等根底知识,考查推理论证水平、运算求 解水平,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.20 .答案：解：(I )假设集合 A={0 , i, 2},那么 S (A) =T (A) ={0 , i, 2, 3, 4} •….(3 分)(n )令 A={Xi, x2,…xn}.不妨设 xi 〈x2<e y xn. 充分性：设{xk}是公差为d (dWQ)的等差数列. 贝U x i +x j =x i + (i-i) d+x i + (j-i) d=2x i + (i+j-2) d (iW, j 而)且2M+jwm.所以x i +x j 共有2n-i 个不同的值.即 d (S (A) ) =2n-i. 必要性：假设 d (S (A) ) =2n-i . 由于 2x i 〈x i +x i+i v 2x i+i, ( i=i, 2,…,n-i).所以 S (A)中有 2n-i 个不同的元素：2x i, 2x 2 ,…,2x n, x i + x 2, x 2+x 3,…,x n-i +x n. 任意x i +x j (iw, j 切)的值都与上述某一项相等.又 x i +x i+i v x i +x i+2V x i+i + x i+2, 且 x i + x i+i V 2x i+i V x i+i +x i+2 , i=i , 2 , …,n-2 . 所以X i +x i+2=2x i+i ,所以{x k }是等差数列,且公差不为 0.….(8分)(出)首先证实：iCA.假设i?A, A 中的元素均大于i,从而i?S (A), 因此 i?T (A) , i?S (T (A)),故 i?T (T (A)),与{i , 2, 3,…,25, 26} ?T (T (A))矛盾,因此i CA. 设A 的元素个数为n, S (A)的元素个数至多为C ： + n,从而T (A),的元素个数至多为 C -+n+n=,f^m. * 2假设n=2,那么T (A)元素个数至多为5,从而T (T (A))的元素个数至多为亨=20, 而T (T (A))中元素至少为 26,因此n>3假设 A 有三个元素,设 A={1 , a2, a 3},且 1va 2〈a3W8,那么 1, 2, a2, a 2+1, a 3, a 3+1, 2a 2, a 2+a 3, 2a 3C T (A),, = «一1) x 2+ 所以 x i +x 2= :(1+3k 2) x 2-6k 2x+3k 2-3=0.直线 北BD: y-y i = 所以由于(x-3),令 y=0,得 x-3=故直线BD 过点(2,0). 综上所述,直线 BD 恒过x 轴上的定点(2, 0)从而1, 2, 3, 47(T (A) ) .假设a2>5, T (T (A))中比4大的最小数为32,那么5?T (T (A)),与题意矛盾,故a2<5.集合T (T (A)).中最大数为4a3,由于26CT (T (A)),故4a3> 26从而a3>7, (i)假设A={1 , a2, 7},且a2<5.此时1, 2, a2, a2+1, 7, 8, 2a2, 7+a2, 14b (A), 那么有8+14=22, 2X14=28CT (T (A)),在22 与28之间可能的数为14+2a2, 21+a2. 此时23, 24, 25, 26不能全在T (T (A)).中,不满足题意. (ii)假设A={1 , 32, 8},且32<5 此时1, 2 , 32 , 32+1, 8 , 9 , 232 , 8+ 32, 16CT (A), 那么有16+9=25 CT (T (A)),假设26 CT (T (A)),那么16+232=26 或16+ (8+32)=26, 解得32=5或32=2 .当A={1 , 2, 8}时,15, 21, 23?T (T (A)).,不满足题意.当A={1 , 2, 8}时,T (T (A) ) ={1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 32},满足题意.故元素个数最少的集合A为{1, 5, 8} ....................... ... ( 13分)解析：(I)根据定义直接进行计算即可(n)根据充分条件和必要条件的一结合等差数列的性质进行证实(m )首先证实：1 CA,然后根据条件分别判断A中元素情况即可得到结论.此题主要考查集合元素性质以及充分条件和必要条件的应用, 综合性强,难度比拟大.不太好理解.。

2020北京东城高三二模数 学 2020.6本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。

在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1) 已知全集{}0,1,2,3,4,5=U ，集合{}0,1,2=A ，{}5=B ，那么()=U A B(A){}0,1,2 (B) {}3,4,5 (C) {}1,4,5 (D) {}0,1,2,5(2) 已知三个函数33,3,log xy x y y x ===，则(A) 定义域都为R (B) 值域都为R (C)在其定义域上都是增函数 (D) 都是奇函数 (3) 平面直角坐标系中，已知点,,A B C 的坐标分别为(0,1),(1,0),(4,2)，且四边形ABCD 为平行四边形，那么D 点的坐标为(A) (3,3) (B) (5,1)− (C) (3,1)− (D) (3,3)−(4) 双曲线222:1y C x b−=的渐近线与直线1x =交于,A B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为2(5) 已知函数()log a f x x b =+的图象如图所示，那么函数()xg x a b =+的图象可能为(6) 已知向量(0,5)=a ，(4,3)=−b ，(2,1)=−−c ，那么下列结论正确的是(A) −a b 与c 为共线向量 (B) −a b 与c 垂直(C) −a b 与a 的夹角为钝角 (D) −a b 与b 的夹角为锐角(7) 《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(A) 135平方米 (B) 270平方米(C) 540平方米 (D) 1080平方米(8) 已知函数2()ln f x x ax =+，那么“0a >”是“()f x 在(0,)+∞上为增函数”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (9) 已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（A ）π12+ （B ）π14+（C ）π18+ （D ） 1π+(10) 函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知,[0,],4()=,(,],242⎧∈⎪⎪⎨⎪−∈⎪⎩T x x f x T T T x x ()()()g x f x a a R =+∈. 给出下列四个判断：① 对于给定的正整数n ，存在∈a R ，使得1()()0ni i T i Tg f n n=⋅⋅=∑成立; ② 当=4Ta 时，对于给定的正整数n ，存在(1)∈≠k k R ，使得1()()0ni i T i T g k f n n =⋅⋅=∑成立; ③ 当=4Ta k(∈k Z )时，函数()()g x f x +既有对称轴又有对称中心; ④ 当=4T a k(∈k Z )时， ()()g x f x +的值只有0或4T . 其中正确判断的有俯视图侧（左）视图正（主）视图(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。

机密★本科目考试启用前2020年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试(真题)数学试卷S h，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．参考公式：锥体的体积公式V=13第一部分(选择题共81分)本部分共27小题，每小题3分，共81分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，那么集合A∩B等于A．{2} B．{1，2} C．{2，3} D．{0，1，2}2．函数f(x)=x－2的定义域是A．(－∞，－2] B．(－∞，0] C．[2，+∞) D．R3．如果α=27°，那么与角α终边相同的角的集合可以表示为A．{β|β=27°+k·360°，k∈Z} B．{β|β=－27°+k·360°，k∈Z}C．{β|β=27°+k·180°，k∈Z} D．{β|β=－27°+k·180°，k∈Z}4．幂函数y=x3的图象经过A．点(2，1) B．点(2，2) C．点(2，4) D．点(2，8)5．已知全集U={1，2，3}，M={1}，那么集合UM等于A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{1，2，3}6．函数f(x)=1－1的零点的个数为xA．0 B．1 C．2 D．37．已知平面向量a=(1，1)，b=(1，2)，那么a·b等于A．1 B．2 C．3 D．48．2019年某博物馆接待参观者61．3万人次．据统计，18岁以下(不含18岁)的参观人数占总参观人数的11%；18~24岁的参观人数最多，占总参观人数的62%；24岁以上(不含24岁)的参观人数占总参观人数的27%．为了解参观者对博物馆展览内容的需求及建议，现采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取18~24岁的人数为A ．20B ．22C ．34D ．124 9．已知sin α= 22，那么sin (π－α)的值是A ．0B ．12C ． 22D ．110．已知函数f (x )是R 上的增函数，那么A ．f (3)>f (2)>f (1)B ．f (3)>f (1)>f (2)C ．f (1)>f (2)>f (3)D ．f (2)>f (3)>f (1)11．已知函数y =cosx 的部分图象如图所示，那么它的一条对称轴方程可以是A ．x =1B ．x =π2C ．x =πD ．x =3π2 12．计算sin 40°cos 20°+cos 40°sin 20°的结果是A ．0B ． 22C ． 32D ．113．已知函数f (x )为偶函数，且f (－2)=1，那么f (2)等于A ．0B ．1C ．3D ．514．函数f (x )=x 2－2x 在区间[0，1]上的最小值是A ．－4B ．－1C ．0D ．415．函数y =2x 的图象大致是A ．B ．C ．D ．。

2020北京海淀高三二模数 学 2020.6本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若全集U =R ，{}|1A x x =<，{}|1B x x =>-，则（A ）A B ⊆ （B ）B A ⊆ （C ）UB A ⊆（D ）UA B ⊆（2）下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（A ）2y x = （B ）|1|y x =- （C ）cos y x =（D ）ln y x =（3）若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（A ）4（B ）6（C ）8（D ）10（4）已知三条不同的直线,,l m n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（A ）若//m α，//n α，则//m n （B ）若//l m ，m α⊂，则//l α （C ）若//l α，//l β，则//αβ（D ）若//l α，l β⊥，则αβ⊥（5）在△ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π（6）将函数()sin(2)6f x x π=-的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（A ）sin(2)6x π+（B ）2sin(2)3x π+（C ）cos2x（D ）cos2x -（7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为（A ）23（B ）43（C ）2（D ）4（8）对于非零向量,a b ，“2()2+⋅=a b a a ”是“ = a b ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动. 若1D O OP ⊥，则△11D C P 面积的最大值为（A ）255（B ）455（C ）5 （D ）25（10）为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离. 某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座. 例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）. 根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

绝密★启用前北京市普通高中2020届高三年级第二次学业水平合格性考试数学试题(解析版)一在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1.已知集合{}1,2M =，{}2,3N =，那么M N ⋂等于（ ）A. φB. {}1C. {}2D. {}3【答案】C【解析】【分析】根据交集运算直接写出结果.【详解】因为{}1,2M =,{}2,3N =,所以{}2M N =I ,故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算,难度较易.2.已知向量()2,1a =r ,()0,2b =-r ,那么a b +r r 等于（ ）A. ()2,3B. ()21，C. ()20，D. ()2,1-【答案】D【解析】【分析】根据向量加法的坐标运算直接写出结果. 【详解】因为()2,1a =r ,()0,2b =-r ,所以()()()20,122,1a b +=++-=-r r ,故选：D.【点睛】本题考查向量加法的坐标表示,难度较易.3.2019年中国北京世界园艺博览会于4月29日至10月7日在北京市延庆区举办．如果小明从中国馆、国际馆、植物馆、生活体验馆四个展馆中随机选择一个进行参观,那么他选择的展馆恰为中国馆的概率为（ ） A. 12 B. 14 C. 18 D. 116【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概率计算完成求解.【详解】可能出现的选择有4种,满足条件要求的种数为1种,则14P =, 故选：B.【点睛】本题考查利用古典概型完成随机事件的概率的求解,难度较易.古典概型的概率计算公式：（目标事件的数量）÷（基本事件的总数）.4.圆心为()2,3A -,半径等于5的圆的方程是( )A. 22(2)(3)5x y -++=B. 22(2)(3)5x y ++-=C. 22(2)(3)25x y -++=D. 22(2)(3)25x y ++-= 【答案】C【解析】【分析】对比圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=进行判断即可.【详解】因为圆心(),a b 即为()2,3-,半径=5r ,所以圆的标准方程为：()()222325x y -++=,故选：C. 【点睛】本题考查根据圆心和半径写出圆的标准方程,难度较易.5.已知向量()2,1a =-r ,()1,b m =r ,且a b ⊥r r ,那么m 等于( )A. 0B. 1C. 2D. 3。

高考保温练习2-2020届朝阳二模第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1)在复平而内，复数/(1÷∕)对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限In Y(2)函数f(x)=—的宦义域为x-1(A) (0, +oc ) (B) (0, 1)51, +s)(C) [0, +s) (D) [0, 1)51, +oo)⑶若UbCWR且“> C,则下列不等式一立成立的是(A) ac2 >bc2(B)U2 >b2 > C2(C)U+ c >2J?(D)a-c>b-c⑷圆心在直线x-y = 0上且与y轴相切于点(OJ)的圆的方程是(A) (χ-l)2+(y-l)2 =1 (B) (x+l)2+(y + Γ)2 = l(C) (χ-l)2+(y-l)2 =2 (D) (x+l)2+(y + l)2=2(5)直线/过抛物线y^ = 2x的焦点F,且/与该抛物线交于不同的两点A(X p y I XB(X2,y2)∙若召+x? =3,则弦43的长是(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 8(6)设等差数列｛%｝的公差为d,若⅛=2Λ*,则FvO是JbJ为递减数列”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件(7)已知函数/(x) = sin(2x--),则下列四个结论中正确的是6(A)函数/(x)的图象关于(―,0)中心对称12(B)函数/(X)的图象关于直线X = --对称8(C)函数/(x)在区间(-兀，龙)内又4个零点(D)函数/(Q在区间［一一,0］上单调递增2⑻圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推左巧气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表")和一把呈南北方向水平固左摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭“)•当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭而上，圭而上日影长度最长的那一天泄为冬至，日影长度最短的那一天泄为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳髙度角(即ZABC)为26.5。

123456顺义区 2020 届高三第二次统练 数学参考答案及评分参考一、选择题（共 10 题，每题 4 分，共 40 分）（ 1 ）C （ 6 ）B（ 2 ）B （ 7 ）D（ 3 ）A （ 8 ）B（ 4 ）C （ 9 ）A（ 5 ）D （10）D二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）（11） 2（12） an n 1, n N（13） y sin(2x ) 3（14） a 1（15）②③注：第 14 题全部答对得 5 分，只写一个答案得 3 分,有错误答案得 0 分；第 15 题全部选 对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。

三、解答题（共 6 题，共 85 分）（16）（共 14 分）解：选①：在ABC 中， cosC 1 , 3根据余弦定理c2 a 2 b2 2abcosC-------------2 分且a b 5 ， c 3 ，得到9 25 2ab 2ab 3------------- 6 分所以 ab 6所以a b ab 65，解得ba 2 3或a b 3 2------------- 8 分 -------------10 分∵ cosC 17∴ sin C 2 2 31所以三角形ABC的面积是 S ABCab sin C 222-------------12 分 -------------14 分选②：在ABC 中， cosC 1 , 3当 cosC 1 时，根据余弦定理 c2 a 2 b2 2abcosC . 3-------------2 分又 a b 5 ， c 3，得到 ab 12------------- 8 分此时方程组a b 5 a b 12无解.所以这样的三角形不存在.------------- 12 分 -------------14 分选③：在 ABC 中，因为 sin C 2 2 ,所以 cosC 1 .33-------------2 分当 cosC 1 时，根据余弦定理c2 a 2 b2 2abcosC 3且a b 5 ， c 3 ，得到9 25 2ab 2ab 3-------------4 分 ------------- 6 分所以 ab 6所以a b ab 65，解得ba 2 3或a b 3 21所以三角形ABC的面积是 S ABCab sin C 222-------------8 分 -------------10 分-------------12 分当cosC 1 时，根据余弦定理c2 a 2 b2 2abcosC ,8又a b 5 ， c 3 ，得到ab 12 ,此时方程组aa bb 5 12无解.所以这样的三角形不存在.------------- 14 分2③法二：在 ABC 中，因为a b2 (a b)2 25 2 c,22a2 b2 c2根据余弦定理 cosC ,得到 cosC 02ab------------- 2 分因为sin C 2 2 ,所以cosC 133-------------4 分根据余弦定理 c2 a 2 b2 2abcosC-------------6 分和 a b 5 ， c 3，得到 ab 6所以a b ab 65，解得ba 2 3或a b 3 2所以三角形ABC的面积是 S ABC1 ab sin C 22217. （共 14 分）-------------10 分 -------------12 分-------------14 分解：（I）取 BD 中点O ，联结 AO , C1O BD AO ， BD C1O.又 AO , C1O 平面AC1O BD 平面AC1O又 AC1 平面AC1O BD AC1-------------2 分 . ------------- 4 分------------- 5 分3（II）二面角 A BD C1 是直二面角 C1OA 90 C1O AO OA,OB,OC1 两两垂直以O 为原点，如图建系：-------------6 分 O(0, 0, 0) ， A(1, 0, 0) ， B(0,1, 0) ， D(0, 1, 0) ， C1 (0, 0,1)又 E, F 为中点1111 E(0, , ) ， F ( , 0, )2222 DF1 (1 ,1,) ， DE31 (0, ,)2222设n (x, y, z) 是平面 DEF 的一个法向量 11DFn 2 DE n x 3 yy 12 zz 0022令 y 1得 z 3, x 1 n (1,1, 3) 又 OC1 平面ABD 平面 ABD 的一个法向量OC1 (0, 0,1) cos n,OC1 n OC1= n OC13 11 11-------------8 分-------------11 分 -------------13 分平面 DEF 与平面 ABD 所成的锐二面角余弦值为 3 11 1118.（本题 15 分）-------------14 分解：（I）根据甲班的统计数据可知：甲班每天学习时间在 5 小时以上的学生频率为0.5 0.25 0.05 0.8 -------------2 分所以，估计高三年级每天学习时间达到 5 小时以上的学生人数45C C ' ，= 5 5 a e 为600 ⨯ 0.8 = 480人-------------4 分（II ）甲班级自主学习时长不足 4 小时的人数为： 40 ⨯ 0.05 = 2 人乙班级自主学习时长不足 4 小时的人数为： 40 ⨯ 0.1 = 4 人-------------6 分X 的可能值为： 0,1, 2C 3 1 C 1C 2 3 C 2C 1 1P (x = 0) = 4 = , P (x = 1) = 2 4= , P (x = 2) = 2 4 = -------------9 分3 3 36 6 6∴的分布列为：∴ +5 5 5-------------12 分(III) D 甲 < D 乙 -------------15 分19.（本题 14 分）（I ） a = 1时， f (x ) = e x - x 2 ． f '(x ) = e x - 2x （或在这里求的 f '(x ) = e x - 2ax 也可以）．-------------2 分∴ f (0) = e 0 - 0 = 1， k = f '(0) = e 0 - 0 = 1．-------------4 分所求切线方程为 y = x + 1 （II ）方法一： f '(x ) = e x - 2ax .---------------5 分若 f (x ) = e x - x 2 在(0, +∞) 上单调递增，则对任意 x ∈ (0, +∞) ，都有 f '(x ) ≥ 0 -------6 分即 ≤ e x恒成立，等价于 2xx≤ ( 2x )min ． ----------------7 分x设 g (x ) 2xe x (x -1) g (x )2x2---------------8 分令 g '(x ) = 0 得 x = 1C ，则=5 a e当x ∈ (0,1) 时，g'(x) < 0 ，g(x) 在(0,1) 上单调递减；当x ∈ (1, +∞) 时，g'(x) > 0 ，g(x) 在(1, +∞) 上单调递增，所以函数 g(x) 的最小值为 g(1) =e．------------------11 分2所以a ∈⎛-∞, e ⎤．------------------12 分2 ⎥⎝⎦方法二：f '(x) =e x - 2ax ．若f (x) =e x -x2 在(0, +∞) 上单调递增，则对任意x ∈ (0, +∞) ，都有f '(x) ≥ 0 --------6 分等价于( f '(x))≥ 0．min设h(x) =e x - 2ax ，h'(x) =e x - 2a ．当 x ∈ (0, +∞) 时， e x > 1----------------7 分分类讨论：①当2a ≤ 1，即a ≤1 时，h'(x) ≥ 0 恒成立，2所以h(x) =e x - 2ax 在x ∈ (0, +∞) 上单调递增，那么h(x) ≥h(0) = 1 ，所以a ≤1 时，满足f '(x) ≥ 0 ．-------------------8 分2②当2a > 1，即a >1 时，令h'(x) =e x - 2a = 0 ，得x = ln 2a ．2当x ∈ (0, ln 2a) 时，h'(x) < 0 ，h(x) 在x ∈ (0, ln 2a) 上单调递减；当x ∈ (ln 2a, +∞) 时，h'(x) > 0 ，h(x) 在x ∈ (ln 2a, +∞) 上单调递增；所以函数h(x) 的最小值为h(ln 2a) = 2a(1 - ln 2a) ----------------10 分由2a(1 - ln 2a) ≥ 0 解得a ≤e ，所以 1 <a ≤e．-------------------11 分2 2 2综上：a ∈⎛-∞, e ⎤．--------------------12 分2 ⎥⎝⎦（III）2 个-------------------14 分67⎨ ⎩． 分+ = ⎩ 8k 2 20. （本题 14 分）⎧ （I ）由题意得⎪2c = 2 a = 2 解得a = 2, b =3, c = 1---------------------3 分⎪a 2 = b 2 + c 22故椭圆C 的方程为 x y 1 --------------------------------------------------------- 5 4 3（II ） F (1, 0) ， A (-2, 0) ，直线l 的方程为 y = k (x - 1) ．------------------6 分由⎧ y = k (x - 1) 得(3 + 4k 2 )x 2 - 8k 2 x + 4k 2 - 12 = 0 . ⎨3x 2 + 4 y 2 = 12直线l 过椭圆C 的焦点，显然直线l 椭圆C 相交.2设 P (x 1 , y 1 ) ， Q (x 2 , y 2 ) ，则 x 1 + x 2 = 3 + 4k 2 , x 1 ⋅ x 2 =4k 2 -12 3 + 4k 2--------------8 分 直线 AP 的方程为 y =y 1(x + 2) ，令 x = 4 ，得 y = 6 y 1； 即 M (4, 6 y 1 )同理： N (4,6 y 2 )x 2 + 2x 1 + 2 x 1 + 2 x 1 + 2--------------10 分∴ FM = (3, 6 y 1x 1 + 2 ) ， F N = (3, 6 y 2 ) x 2+ 2 又 FM ⋅ FN = 9 + 36 y 1 y 2(x 1 + 2)(x 2+ 2)-------------------11 分36k (x -1) ⋅ k (x -1)36k 2 [x x - (x + x ) +1] = 9 + 1 2 = 9 + 1 21 2(x 1 + 2)(x 2 + 2) x 1 x 2 + 2(x 1 + x 2 ) + 424k 2 -12 8k 236k (3 + 4k 2 -3 + 4k 2 +1) = 9 + 4k 2 -12 16k 23 + 4k 2 + 3 + 4k 2 + 4= 9 +36k 2 ⋅ -93 + 4k 236k 2 3 + 4k 2= 9 - 9 = 0∴以 MN 为直径的圆恒过点 F .----------------14 分M821. （本题 14 分）解：（I ） d 1 = 4 ， d 2 = 5 ， d 3 = 2 ．----------------3 分（II ）因为a 1 > 0 ，公比0 < q < 1 ， 所以 a 1 , a 2 , , a n 是递减数列．因此，对i = 1, 2, , n - 1 ， A i = a i , 于是对i = 1, 2, , n - 1 ，B i = a i +1 ． ----------------5 分d = B - A = a - a = a (q - 1)q i -1 ．----------------7 分iiii +1i1因 此 d i ≠ 0 且d i +1= q （ i = 1, 2, , n - 2）， di即d 1 , d 2 , , d n -1 是等比数列． ----------------9 分(III) 设d 为d 1 , d 2 ,⋅⋅⋅, d n -1 的公差，则d > 0对1≤ i ≤ n - 2 ，因为 B i ≥ B i +1 ，所 以 A i +1 = B i +1 - d i +1 ≤ B i - d i +1 = B i - d i - d < B i - d i = A i ， 即 A i +1 < A i 又因为 A i +1 = min{A i , a i +1}，所以a i +1 = A i +1 < A i ≤ a i ．------------11 分从而a 1 , a 2 , , a n -1 是递减数列．因此 A i = a i （ i = 1, 2, , n -1）．----------------12 分又因为 B 1 = A 1 +d 1 = a 1 +d 1 > a 1 ，所以 B 1 > a 1 > a 2 > > a n -1 ． 因此a n = B 1 ．所 以 B 1 = B 2 = = B n -1 = a n ． a i = A i = B i - d i = a n - d i ．因此对i = 1, 2, , n - 2 都有a i + 1 - a i = d i - d i +1 = -d ，即a 1 , a 2 , , a n -1 是等差数列． ----------------14 分。

北京东城区2020—2020学年度高三第二学期统一练习（二）数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，共150分.考试时刻120分钟.考试终止，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知集合M N M ⊆-=则满足},1,1{的集合N 的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．11,221,)(122=⎪⎩⎪⎨⎧>-++≤==x x a x x x x f a 在是函数处持续的（ ） A ．充分没必要要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本 ①采纳随机抽样法：抽签掏出20个样本； ②采纳系统抽样法：将零件编号为00，01……，99，然后平均分组抽取20个样本； ③采纳分层抽样法：从一级品，二级品，三级品中抽取20个样本。

以下说法中正确的选项是 （ ） A ．不管采纳哪一种方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等 B ．①②两种抽样方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；③并非如此 C ．①②两种抽样方式，这100个零件中每一个被抽到的概率都相等；②并非如此 D ．采纳不同的抽样方式，这100个零件中每一个零件被抽到的概率是各不相同的4．在23,)1(x x x n与展开式中+的系数别离为a ，b ，若是b ba那么,3=的值为 （ ）A ．70B ．60C ．55D ．405．设数列32}{21=+a a a n 满足，且对任意的)2,1(),(*,1=∈+n n n n P P a n P N n 都有点，那么{n a }的前n 项和为S n 为（ ）A ．)34(-n nB ．)43(-n nC ．)32(-n nD ．)21(-n n6．已知直线l 1α212//,l l l α⊂α到记点A l B l A ,,21∈∈c a b ≤≤a c b ≤≤c b a ≤≤bc a ≤≤,542sin ,532cos==θθθ0724=-y x 0724=+y x 0247=+y x 0247=-y x )0(22>=p py x 222py x =+2py -=4)2(222p p y x =-+0=y )1(),(0,10,12)(112--⎩⎨⎧≥-<-=f x f x x x x x f 则的反函数为10．已知过原点的直线与圆⎩⎨⎧=+-=θθsin ,cos 2y x （其中θ为参数）相切，假设切点在第二象限，那么该直线的方程为 . 11．将函数)32sin(2)(π+=x x f 图象上每一个点的横坐标扩大为原先的2倍，所得图象所对应的函数解析式为 ；假设将)(x f 的图象沿x 轴向左平移m 个单位（m>0），所得函数的图象关于y 轴对称，那么m 的 最小值为 .12．如图，PD ⊥平面在ABCD ，ABCD 为正方形，PD=AD ，那么直线PA 与直线BD 所成的角 为 .13．6个人分乘两辆不同的出租车，若是每辆车最多能乘4个人，那么不同的搭车方案有 种。