参数化机车几何曲线通过计算

微分几何课后习题答案微分几何课后习题答案微分几何是数学中的一个重要分支，研究的是曲线、曲面以及高维空间中的几何性质。

在学习微分几何的过程中，课后习题是巩固知识、提高理解能力的重要途径。

本文将针对微分几何课后习题给出一些答案，并解析其中的一些关键思路和方法。

一、曲线的参数化1. 给定曲线的参数方程为：x = t^2y = t^3求曲线的切向量和法向量。

解析：曲线的切向量是曲线在某一点上的切线的方向，可以通过对参数方程求导得到。

对x和y分别求导，得到：dx/dt = 2tdy/dt = 3t^2所以切向量为：T = (dx/dt, dy/dt) = (2t, 3t^2)曲线的法向量与切向量垂直，可以通过将切向量逆时针旋转90度得到。

所以法向量为：N = (-dy/dt, dx/dt) = (-3t^2, 2t)二、曲线的长度2. 计算曲线的长度：x = e^ty = e^(-t)解析：曲线的长度可以通过积分求解。

首先计算曲线的切向量：dx/dt = e^tdy/dt = -e^(-t)曲线的长度可以表示为：L = ∫√(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 dt= ∫√(e^t)^2 + (-e^(-t))^2 dt= ∫√(e^2t + e^(-2t)) dt这是一个积分问题，可以通过换元法解决。

令u = e^t，那么du = e^t dt。

将u代入上式，得到：L = ∫√(u^2 + u^(-2)) du= ∫√(u^4 + 1) du这是一个较为复杂的积分，可以通过换元法或者级数展开法求解。

三、曲面的法向量3. 给定曲面的参数方程为：x = u + vy = u - vz = u^2 - v^2求曲面的法向量。

解析：曲面的法向量可以通过对参数方程中的u和v分别求偏导得到。

对x、y、z分别对u求偏导，得到：∂x/∂u = 1∂y/∂u = 1∂z/∂u = 2u对x、y、z分别对v求偏导，得到：∂x/∂v = 1∂y/∂v = -1∂z/∂v = -2v所以曲面的法向量为：N = (∂z/∂u, ∂z/∂v, -∂x/∂u * ∂y/∂v + ∂y/∂u * ∂x/∂v) = (2u, -2v, 2)四、曲面的曲率4. 给定曲面的参数方程为：x = u^2y = v^2z = u + v求曲面的曲率。

曲率半径的求法曲率半径是描述曲线弯曲程度的一个参数，通常用于描述曲线的局部性质。

在数学和物理学中，曲率半径的求法有多种方法，这些方法主要依赖于曲线的参数化表示或曲线的方程。

一、通过参数化曲线求解曲率半径：对于参数化曲线r(t)=(x(t), y(t))，其中t是曲线的参数，可以通过以下公式计算曲率半径：1. 弧长参数化下的求解方法：首先根据参数化曲线求解出曲线的弧长，然后通过以下公式计算曲率半径：k = ||r'(t)|| / ||r''(t)||^2其中r'(t)= (dx/dt, dy/dt)是曲线的速度向量，r''(t) = (d²x/dt²,d²y/dt²)是曲线的加速度向量。

2. 直角参数化下的求解方法：对于直角参数化曲线r(u)=(x(u), y(u))，其中u是曲线的直角参数，可以通过以下公式计算曲率半径：k = ||r'(u) × r''(u)|| / ||r'(u)||^3其中×表示叉乘运算符，r'(u)= (dx/du, dy/du)是曲线的切向量，r''(u) = (d²x/du², d²y/du²)是曲线的法向量。

二、通过曲线的方程求解曲率半径：对于给定曲线的方程F(x, y)=0，可以通过以下公式计算曲率半径：k = |F'(x)·F''(x) + F'(y)·F''(y)| / (F'(x)² + F'(y)²)^(3/2)其中F'(x)和F'(y)分别表示F(x, y)对x和y的偏导数，F''(x)和F''(y)分别表示F(x, y)对x和y的二阶偏导数。

TY600型内燃机车几何曲线通过能力分析与研究作者：喻玫来源：《科技创新与生产力》 2014年第6期喻玫（太原轨道交通装备有限责任公司技术中心，山西太原 030009）收稿日期：２０14－02－16；修回日期：２０14－05－19作者简介：喻玫（1962-），女，湖南省株洲人，工程师，主要从事技术研究，E-mail：zhujunyaa@。

随着我国城市地铁和轻轨的发展，地铁和轻轨列车调车、救援车辆在数量上和功能上呈现多样化要求的趋势。

TY600型内燃机车是太原轨道交通装备有限责任公司为地铁列车开发的调车机车，也可用于矿山、工厂、林区、建设工地及地方铁路干线运输和救援。

该车的总体方案设计为外走廊式调车机外形设计，由动力及传动系统、底架、车体、制动系统、电气系统等组成（见图1）。

最高运行速度80 km/h，机车整备重量60 t。

由于国铁和地方铁路线路状况不同，国铁最小曲线半径一般在100 m，而地方铁路可小到60 m。

为了适应不同的线路，扩大该车的适用范围，需要将该车的最小曲线通过能力控制在60 m。

该车走行部采用两轴焊接转向架结构[1]。

在通过曲线时，转向架相对于车体旋转一定角度，此时可能超限的主要部位是车体前后两端、车体中部最外侧。

同时，第一轴外轮对外轨产生冲角，冲角的大小将影响转向架车轮和轮轨表面的磨耗。

笔者采用分析方法验证车辆在60 m曲线半径下，车辆前后两端、车体中部最外侧是否超限，以及冲角的大小是否符合相关规范的要求。

1 TY600型内燃机车整车主要技术参数图1所示，车钩中心线间距（A）14 690 mm；转向架轴距（L）2 200 mm；前、后转向架中心距（L）7 200 mm；轨距（b）1 435 mm；滚动圆间距（2S）1 499 mm；轮对横动量（e）3 mm；通过最小曲线半径（Rmin）60 m；轮缘与钢轨全间隙（Δ+σ）15 + 16 = 31 mm，其中Δ为曲线加宽度，mm；σ为直线上钢轨内侧与轮缘外侧的全间隙；车体端部间距13 500 mm。

55T窄轨内燃机车曲线通过能力分析文章对55T窄轨内燃机车（简称机车）进行几何曲线通过计算的必要性，分析了影响机车几何曲线通过的主要因素。

探讨了机车与曲线线路的几何关系，得出了机车几何曲线通过的计算公式。

本文分析计算的方法对机车设计研发以及运用行业有一定的参考价值。

标签：55T窄轨内燃机车；窄轨；几何曲线通过引言前窄轨内燃机车（简称机车）运用在地铁、铁路干线隧道的盾构施工现场，机车牵引车辆通过曲线一般是依靠转向架的转向来引导，由于55T机车吨位较大、转向架转心距长，现场要求曲线半径较小，所以机车通过曲线远比其牵引的车辆困难。

又因为轮轨横向作用力能引起大的钢轨应力和轮缘磨耗，并展宽轨距，严重时还可能使机车脱轨[1]。

因此，有必要分析机车曲线通过的能力，对窄轨机车行业具有重要意义。

机车的曲线通过能力可分为：几何曲线通过和动力曲线通过。

它们是相互联系的。

几何曲线通过是研究机车与线路的几何关系以及机车自身有关部分在曲线上的相互几何关系。

通过分析该机车的几何曲线通过，也为分析其动力曲线通过提供数据依据。

1 55T机车简介55T机车是根据铁路隧道施工要求而生产的大吨位、带有转向架的窄轨内燃机车，如图1所示。

该机车的日常工作为运输沙石土方和人员[2]。

该机车的走行部由两台转向架组成，每一台转向架主要由转向架构架、轮对、轴箱、牵引心盘、悬挂装置、齿轮箱以及基础制动装置等组成。

转向架的主要技术参数，如表1所示。

2 机车几何曲线通过研究2.1 影响机车几何曲线通过的因素机车几何曲线通过的主要因素有：轴距、转心距、轨距及轮对横动量等[2]。

（1）轴距轴距越大，过曲线时对钢轨的冲击越大，曲线通过能力越困难。

（2）转心距转心距越大，需要更大的曲线半径，同样通过曲线越困难。

（3）轨距轨距越大，机车通过曲线时更加趋于平稳，更加有利于通过曲线。

（4）轮对横动量横动量通常较小，在分析机车曲线通过时一般忽略不计。

2.2 机车与曲线线路的全间隙钢轨与轮缘外侧之间的间隙，称之为全间隙，如图2所示。

代数几何中曲线参数化理论中的Torelli定理在代数几何学中，参数化理论是研究曲线的一种重要方法。

曲线的参数化可以将曲线表示为参数方程，从而使得我们能够更好地理解和研究曲线的性质。

Torelli定理是曲线参数化理论中的一个重要结果，它揭示了曲线参数化的基本性质与曲线自身的性质之间的联系。

在本文中，我们将介绍Torelli定理的基本概念和证明思路，以及它在代数几何学中的应用。

首先，让我们来了解一下曲线的参数化表示。

对于一个平面上的曲线，我们可以将其表示为$x=f(t)$和$y=g(t)$这样的参数方程，其中$t$是曲线上的一个参数。

通过变化参数$t$的取值范围，我们可以得到曲线上的不同点。

曲线的参数化表示在研究曲线的性质时非常有用，例如曲线的长度、曲率等。

Torelli定理是关于曲线参数化的一种基本结果，它表明了通过曲线的参数化表示所能得到的曲线的信息与曲线自身的性质之间存在着紧密的联系。

具体来说，Torelli定理指出，如果两条曲线的参数化表示相同，那么这两条曲线是同构的。

换句话说，通过不同的参数化表示所得到的曲线是相同的。

为了更好地理解Torelli定理的内容，我们可以通过一个例子来说明。

考虑两条平面上的曲线$C_1$和$C_2$，它们的参数化表示分别为$x=f_1(t)$、$y=g_1(t)$和$x=f_2(t)$、$y=g_2(t)$。

如果存在一个函数$h(t)$，使得$f_1(t)=f_2(h(t))$和$g_1(t)=g_2(h(t))$，那么曲线$C_1$和$C_2$是同构的。

换句话说，通过不同的参数化表示所得到的曲线是完全相同的。

Torelli定理在代数几何学中有着重要的应用。

首先，它可以用来证明两条曲线是否同构。

通过研究它们的参数化表示，我们可以判断曲线的同构性质。

其次，Torelli定理还与曲线的不变量联系密切。

曲线的不变量是曲线的一些特征参数，它们在某种程度上反映了曲线的重要性质。

10.16638/ki.1671-7988.2019.06.054高速列车几何曲线通过能力计算魏玉卿，张勇军（青岛四方庞巴迪铁路运输设备有限公司，山东青岛266111）摘要：提出一种分析高速列车几何曲线通过能力的动态计算方法，考虑了车辆的初始偏移量。

给出了综合路况分析模型，可以统一考虑车辆在多种线路条件下的曲线通过能力。

采用有限节点法和局部搜索技术开发了高速列车的几何曲线通过能力模拟程序。

该程序可以在考虑车辆初始偏移量的情况下，模拟车辆通过定圆曲线、曲-直线、反向曲线以及包含缓和曲线的任意曲线时，车钩摆角、横向偏移量、车间距等物理参量随运行距离的动态变化规律。

针对某型高速列车，分析了车辆在三种不同曲线路况下，车钩摆角及车体夹角在整个线路下的动态变化规律。

最后分析了反向曲线中直线段长度对最大车钩摆角的影响。

关键词：铁路车辆；几何曲线；车钩摆角；横向偏移量中图分类号：U461.5 文献标识码：A 文章编号：1671-7988(2019)06-163-03Calculation of High Speed Train Geometry Curve NegotiationWei Yuqing, Zhang Yongjun（Bombardier Sifang Transportation LTD., Shandong Qingdao 266111 )Abstract: A dynamic calculation method is proposed to analysis to rolling stock geometry curve negotiation, and the car body initial displacements are considered. A comprehensive track case is used to study the geometry curve negotiation of the rolling stock on varies curve tracks. The simulation software is developed using the finite node method and local search technique. The dynamic process of the coupler swing angle, car bodies lateral shift, inter-car gap and so on can be obtained using this software to simulate the rolling stock geometrically passing through the single curves, curve-straight lines and reverse curves even the random curve with transition curves, considering the initial vehicle offset. The rule of the coupler swing angle and included angle of the car bodies for the special EMU in the total track line are given on the three cases of the track. The influences of the length of the straight line in the reverse curve on the maximum coupler swing angle are given in the last.Keywords: Rolling Stock; Geometry Curve; Coupler Swing Angle; Lateral ShiftCLC NO.: U461.5 Document Code: A Article ID: 1671-7988(2019)06-163-03前言高速列车的几何曲线通过能力计算主要是为得到车钩摆角、风挡形变、车间距及车顶相对位移等结构数据，以校核车辆能否顺利通过线路曲线并为风挡及高压跳线等的设计提供必要的依据。

代数几何中的代数曲线参数化表示在代数几何领域中，代数曲线的参数化表示是一个重要的概念。

通过参数化表示，我们可以用参数方程的形式清晰地描述出代数曲线上的每一个点。

一. 代数曲线的定义代数曲线是由一个或多个代数方程定义的曲线。

在二维平面上，代数曲线可以用二元多项式方程表示。

一个典型的二元多项式方程形式为：F(x, y) = 0其中F(x, y)是一个多元多项式，通常是关于x和y的不可约多项式。

代数曲线可以是封闭的，也可以是无界的。

二. 代数曲线的参数化表示为了对代数曲线进行参数化表示，我们需要引入一个参数t，使得曲线上的每个点都可以通过参数t来表示。

一种常见的参数化表示方式是使用参数方程，形式如下：x = f(t)y = g(t)其中f(t)和g(t)是关于参数t的函数。

通过选择合适的f(t)和g(t)，我们可以确定出代数曲线上的每一个点。

三. 代数曲线的参数化表示的意义参数化表示允许我们以一种更加直观和方便的方式来研究代数曲线的性质。

通过选择不同的参数化方式，我们可以揭示曲线的几何特征和数学性质。

四. 举例说明让我们以一个具体的例子来说明代数曲线的参数化表示。

考虑抛物线的方程：y = x^2我们可以选择一个参数t，使得x = t，然后将x的值代入方程得到y 的值：y = t^2因此，我们可以将抛物线的方程表示为一个参数方程：x = ty = t^2通过这个参数方程，我们可以很容易地得到抛物线上任意点的坐标。

五. 代数曲线的参数化表示的应用代数曲线的参数化表示在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。

例如，在计算机图形学中，参数化表示可以用于描述曲线和曲面的几何形状。

在物理学中，参数化表示可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹。

六. 总结代数曲线的参数化表示是代数几何中的重要概念。

通过参数化表示，我们可以以参数方程的形式对代数曲线上的每个点进行清晰地描述。

参数化表示在数学和科学领域中有广泛应用，并且可以帮助我们揭示曲线的几何特征和数学性质。