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高二数学二项式定理3

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二项式定理(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)

二项式定理(课件)高二数学(苏教版2019选择性必修第二册)
二项式系数的和.
典型例题
例4 在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和.
(2)各项系数之和.
(3)所有奇数项系数之和.
解：设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
（1）二项式系数之和为：90 + 91 + 92 +. . . +99 = 29 .
1
1
2
3
4
= 2 (1+12x+54x +108x +81x )= 2


12
+ +54+108x+81x2.

(2)原式=C0 (x+1)n+C1 (x+1)n-1(-1)+C2 (x+1)n-2·(-1)2+…+C (x+1)n-k(-1)k
+…+C (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.
式中的Cnk − 叫做二项展开式的通项，记作 Tk+1 ，为展开式的
第k+1项.
r

1
Tk+1=Cnk −
第 k+1项
探究新知
二项展开式的特点：
1、总共n+1项；
2、a按照降幂排列，b按照升幂排列，每一项中a、b的指数和为n；
3、第k+1项的二项式系数为Cnk .
探究新知
（3）当a=1,b=1时，
(1+1)n=
Cn0 + Cn1 +. . . +Cnn = 2
典型例题
1 6
例1 求 ( + ) 的展开式.

【高中数学】二项式定理课件 2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第3册

【高中数学】二项式定理课件 2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第3册
展开.对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开.
(2)逆用：将展开式合并成二项式( + ) 的形式，即二项式定理从右到左使用是合
并.对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数
的规律以及各项系数的规律.
变1.(1)若() = ( − 1)4 +4( − 1)3 +6( − 1)2 +4( − 1) + 4，则

16 2
解：[法二]( − 2 )4 = ( 2
1 Cmn Cnn m
组合数性质2：Cmn 1 Cnm Cnm 1
(a b) 2 (a b)(a b) aa ba ab bb a 2 2ab b 2
(a b)3 (a b)(a b)( a b)
(aa ab ba bb)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
a 3 3a 2b 3ab 2 b3
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
典例分析
6
1

例1 求 x + 的展开式．
x

6
解： x 1 x x -1 6

x

C 60 x 6 C 61 x 61 x -1 C 62 x 6 2 x -2 C 63 x 6 3 x -3 C 64 x 6 4 x -4 C 65 x 6 5 x -5 C 66 x -6
二项式定理：

高二数学二项式定理

高二数学二项式定理

他发现鞋小了，自己在十八岁时再也穿不上那尚且八九成新的回力鞋了。那双鞋，至今在家里放着，像是收藏品，曾经他想让儿子穿，儿子却无论如何也不穿。 ? 他开始品饭盆里的碎牛肉。明天据说会发工资，包工头说了两个月了，一定要在麦收之前把欠大家的去年的工钱发到手里，
而他们很多人已经打算后天回乡割麦子了！ ? 碎牛肉几乎没有口感，他望了望那大块牛肉，原谅了这些碎肉。筷子却不去动一下那大的，从小养成的习惯，使他根本不会在饭还多时去动那些“镇碗之肉”的。也因为这个好习惯，他存到了一些钱，家里才翻盖了房子，儿子才能说上对
就是要把尿。刚刚收拾干净的屋子，一会儿就被他搞得一片狼藉。有时吵着要看电视里的动画片，有时非要奶奶带到外面去玩，到了外面不想走路又要人抱着。到了午睡的点上，不在旁边唱上至少半个小时的摇篮曲，他是不会闭上眼睛的。这小家伙脾气还挺大，稍不如意就又哭又闹。儿
子儿媳都在村办工厂上班，每天很忙。玉叶婶除了带孙子外，还要负责一家人一日三餐的饮食，以及衣服的洗晒。一天到晚，玉叶婶几乎没有安宁过。就这样辛苦，儿媳还不满意。以前玉叶婶心里郁闷还可以找老伴诉说诉说，去年老伴去世后，玉叶婶无论有多大的委屈，只能憋在心里。
；
答： 代谢：21.
①吃月饼②偷月饼③思念月讲 评分标准：3分。每点1分，意近即可。 22.
代谢示例：这个句子运用了拟人的修辞手法，用“躺”、“望”写出了“我”看见月饼 还在的欣喜之情和“我”极想偷吃月饼的心理。 评分标准：3分。手
法1分，分析2分，意近即可t 23.文中刻画了一们关爱孩子、有教育智慧、无私、宽容的母亲。相关内容：母亲分月饼给孩子，不责怪“我”偷吃月饼，捡月饼屑子，说自己不爱吃沙甜月饼等情节。 评分标准：4分。概括形象说出两点得2分，举例两个得2分，意近即可。 24.相同点：两

高二数学二项式定理

高二数学二项式定理

问题探究
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a + b)n =
C n0a n + C n1a n- 1b + C n2a n- 2b2 + L
+
C
n n
-
1abn -
1
+
C nnbn
如何证明这个猜想？
形成结论
(a + b)n
=
C n0an
+
C
a1 n-
n
1b
+
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究
共有n＋1项；字母a的最高次数 为n且按降幂排列；字母b的最高次 数为n且按升幂排列；各项中a与b 的指数幂之和都是n；各项的二项 式系数依次为 C n0,C n1,C n2,L ,C nn且与a， b无关.
（n∈N*）.
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写内容必须在话题范围之内，立意自定，文体自选，题目自拟，不少于800字，不得抄袭。 [写作提示]从话题形式上看，“命运与××”这是一道填空式关系型话题，“改变了环境，便能改变命运”告诉我们，这两个概念之间可以理解为因果关系，也可理解为 条件关系。 “××”是指什么？

高二数学人选修课件二项式定理

高二数学人选修课件二项式定理
二项式定理是描述二项式展开后各项系数规律的定理，其通项公式 为T(r+1)=C(n,r)a^(n-r)b^r，其中n为二项式的次数，r为当前项 的序号。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。

高二数学二项式定理课件可修改文字

高二数学二项式定理课件可修改文字

C
5 5
(
2
x
)5
1 10x 40x2 80x3 80x4 32x5
(2)若展开（1 2x)5呢？
（1
2 x )5
C50(2 x)0
C
1 5
(-2
x
)1
C
2 5
(2
x
)2
C
3 5
(2
x
)3
C54
(2
x)4
C55
(2
x)5
1 10x 40x2 80x3 80x4 32x5
[合 作 探 究·攻 重 难]
最后结果要合并同类项.所以项的系 数为就是该项在展开式中出现的次数.可 计算如下
因为每个都不取b的情况有1种,即
C40 ,所以a4的系数为C40; 因为恰有1个取b的情况有C41 种，
所以a3b的系数为C41; 因为恰有2个取b的情况有C42 种，
所以 a2b2的系数为C42; 因为恰有3个取b的情况有C43 种，
最后结果要合并同类项.所以项的 系数为就是该项在展开式中出现的次 数.可计算如下:
因为每个都不取b的情况有1种,即C30 , 所以a3的系数为C30;
因为恰有1个取b的情况有C31种，所 以a2b的系数为C31;
因为恰有2个取b的情况有C32 种，所 以ab2的系数为C32;
因为恰有3个取b的情况有C33 种，所 以 b3的系数为C33;
展开时，每个括号中要么取a,要么取b, 而且只能取一个来相乘得项,所以展开后 其项的形式有:an ,an-1b,an-2b2, …,bn
最后结果要合并同类项.所以项的系 数为就是该项在展开式中出现的次数. 可计算如下:
因为每个都不取b的情况有1种,即Cn0 , 所以an的系数为Cn0;

二项式定理说课 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

TEXT HERE
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多项式，培养学生的逻辑推理与数学抽象的核心素养。
七、说教学过程
（二）探究归纳，发现规律
思考3：不计算，能否运用摸球试验解释( + )3 ？并写出展开式？
TEXT HERE
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学学习的热情，培养核心素养。通过这两个计算，学生体会学习是一
个日积月累的过程。
七、说教学过程
（四）知识迁移，初步应用
反思：1.探究展开式某一项时，常用什么方法？
2.二项式系数与项系数是同一个概念吗如果不是，二者的区别
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是带领学生初步体验二项式定理在解决问题时的
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方法：赋值或是赋表达式。
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七、说教学过程
（四）知识迁移，初步应用
1. 求 （1 + 2）5 的展开式。
2. 求 （2 + ）6 的展开式的第三项。
情境，
初步
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发现 TEXT形成
TEXT HERE
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体验
规律 TEXT定理
TEXT HERE
TEXT HERE
TEXT HERE
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知识
回顾
布置
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高二数学二项式定理


问题探究
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a + b)n =
C n0a n + C n1a n- 1b + C n2a n- 2b2 + L
问题探究
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = C 20a2 + C 21ab + C 22b2
问题探究
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) C 30a 3 + C 31a 2b + C 32ab2 + C 33b3
+
C
n n
-
1abn -
1
+
C nnbn
如何证明这个猜想？
形成结论
(a + b)n
=
C n0an
+
C
a1 n-
n
1b
+
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究

人教版数学高二《二项式定理》 精品课件


8 x
＝x4－12C81·x143＋14C82·x52－18C83·x74＋116C84x－312C85x14＋
614C86x－12－1128C87x－54＋2516x－2.
高中数学
方法二：
x－ 1 24
x8＝2·2x344－x 18＝281·x2(1－2·x34)8
＝
1 256x2
(1－2·C81x34
• 1．(1－x)10展开式中x3项的系数为( )
• A．－720
B．720
• C．－120
D．120
• 解析： Tr＋1＝C10r(－x)r， • 令r＝3，则T4＝－C103x3＝－120x3. • 答案： C
高中数学
2．对于二项式1x＋x3n(n∈N*)，有以下四种判断： ①存在n∈N*，展开式中有常数项；
数．(易混点)
高中数学
高中数学
• 牛顿善于在日常生活中思考，他取得了科学史 上一个个重要的发现．有一次，他在向一位姑 娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了 无穷量的二项式定理，他抓住姑娘的手指，错 误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞， 痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未 娶．
• 那么，什么是二项式定理？ • 二项式定理的无穷魅力在哪里？
A．－40
B．－20
C．20
D．40
高中数学
解析： 令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.
因此 x＋1x 2x－1x 5展开式中的常数项即为 2x－1x 5展开
式中
1 x
的系数与x的系数的和.
2x－1x
5展开式的通项为Tr＋1＝
C5r(2x)5－r·(－1)r·x－r＝C5r25－rx5－2r·(－1)r.

高二数学二项式定理(201912)

= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 就是在4个括号中选几个 取b的方法种数 3)．你能分析说明各项前的系数吗？
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此
1.5 二 项 式 定 理
引入
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们 的各项是什么呢？
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温故知新
2.化 简：
( x 1) 4( x 1) 6( x 1) 4( x 1) 1
4 3 2
.
3.(1 x) (1 x)
x 2 5 1.求： ( ) 的有理项 2 x
2 3
(1 x) (1 x)
15
1820 展开式中含x3项的系数为___________ 。
8 7
a7 a6 a1 ______ -255
近似计算问题
1、计算0.9973 的近似值（精确到0.001）
0.9973= (1-0.003)3 =1−3· 0.003+3· 0.0032−0.0033 ≈1−3· 0.003 =0.991
练习：求2.9986的近似值（精确到小数点后第三位）； 2.9986=(3-0.002)6 =36−6·35· 0.002+15· 34· 0.0022−20· 33· 0.0023+„ ≈36−6· 3 5· 0.002+15· 34· 0.0022=729−2.916+0.00486
10 9 1 10 8 2 10 7 3 10 6 4 10 5
5 10
3 C 3 C 3 C 3C 1024
4 6 10 3 7 10 2 8 10 9 10
⑶求证： 3 2
n
n 1
( n 2)( n N , n 2)
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求证：5555+1能被8整除； 因为5555+1=(56−1)55+1=56· M−1+1=56· M,
所以5555+1能被8整除. 3、求证：42n+1+3n+2能被13整除；
42n+1+3n+2=4· 16n+9· 3n
=4· (13+3)n+9· 3n
=4· 13· M+4· 3n+9· 3n
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大胆了吧？这么一搞要是给别人看到不就要被说三道四了吗？有可能我会被当成色狼被抓去坐牢的。幸好这时没什么人，不然 我刚进来傅家就要被赶出去了。想罢，我坐起来小心翼翼的说道，“姑娘，天这么黑，你是看不见我的模样的。其实，我也没 帅到那种程度了。”“那也是。”她应和道。“还有，你靠着我的脸这么近，不怕被人说闲话吗？”吃亏的可是你啊，我心想。 “你在担心这个啊，我没想过啊。只是听完你讲的话，就好想看你长什么样子，于是就凑前去看了。”她打趣说道，“只可惜 太暗，没看清。”哎，原来她是个想啥就做啥的女孩，不能怪她，谁叫我吹牛皮都吹上天去了，只是她让我的小心脏紧张了好 久，让我的年少情怀被激活了这么一下。想罢，我觉得不能继续和她聊下去了，也不知道会让她又产生什么好奇心然后做出什 么大胆的事情来，虽然我是不介意，但毕竟这是古代，被人发现受罚的肯定是我。于是，我便说道，“好像时间不早了，我要 回去睡觉了。”说罢，我起身转头就走去。那女的听到我这么说了，又对我说了一句，“你住在这屋里吗？我觉得你这人好好 玩，我以后来找你玩吧！”我一听，有点哭笑不得。这女的应该也是个丫鬟，貌似不能随便进入家丁之地吧。但是不知怎地， 心里还是觉得想和她聊聊天的，可能是刚才被那么刺激了一下，想多了解一下她吧。于是，我转身对她说道，“这个，我是这 里的家丁，白天没时间和你玩。只是晚上睡不着会出来院子看看月亮。”哎，我说的好隐晦，不知道她听懂没有。不管了，先 进屋睡觉去吧，“姑娘，时间不早了，你再不去睡觉，明天起不来干活就要挨骂了。”她听后，知道我真的是要进屋睡觉了， 于是也站起来往别处走去。此时月光正照着她的背影，秀长的头发显得格外亮丽。那就是今晚陪我一起无聊扯谈的人吗？不知 怎地，此时的我觉得她的背影，很美。“妹子，别跑，等等哥！”我追着妹子的背影跑着，这背影是多么的美啊，尤其是那秀 发。但是妹子越跑越快，我已经跟不上了。突然，妹子停住了脚步，站在原地。我喜出望外，知道妹子终于懂得哥的心意了。 于是我慢步走前去，右手轻轻搭着妹子的左肩，慢慢地把妹子转向我来“莲，别睡了，是时候起床干活了。”三木一边说着一 边把我弄醒了。我带着浓厚的困意，勉强醒了过来。这时，我看到大伙都在忙着收拾自己的东西，这里还是我们的甲屋一房， 身边的还是一群刚认识的兄弟。原来，我做了一场追逐妹子的梦，那妹子就是昨晚和我一起扯谈的妹子。哎，可能昨晚刺激太 强烈，连做梦都梦到那妹子，只是我真希望能看到妹子长啥样再醒过来啊，心中又是一阵无奈。这时荣哥和华弟走前来，齐声 对我说道，“莲，你赶紧洗漱穿衣吧，傅三大爷
n ( x 7 y ) 6. 展开式的二项式系数之和为128、那么展
开式的项数是
；各项系数之和为：
温故知新
7.
(1 x) (1 x) (1 x)
2
n
的所有二项式的各项系数和是 2n+1-2 ； 8. ( x 2) 则 a8
8
a8 x a7 x a1 x a0
=4· 13· M+13· 3n
所以42n+1+3n+2能被13整除.
题组四(求值、等式与不等式证明问题)
(1)求值： 1 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2
1 5 2 2 5 4 3 5 6 4 5 8 5 5
10
( 2) 证明： 3 3 C 3 C 3 C 3 C 3 C
≈ 726.089
余数与整除问题
求：112004被10除的余数。
(10 1)
2004
C 10
0 2004
2004
C 10
1 2004
2003
C
2003 2004
10 C
2004 2004
10 M 1
练：①5510被8除的余数.
②5710被8除的余数.
余数与整除问题
2 n 4. ( x 2 ) 的展开式中，第五项与第三项的二项式系 x
数之比为14：3，求展开式的常数项
温故知新
Tr 1 C ( x )
r 10
王新敞
奎屯 新疆
10 r
2 r r r ( 2 ) (2) C10 x x
10 5 r 2
Hale Waihona Puke 5.(2 x 1)2
n
1 展开式的各项系数和为______；