高二数学二项式定理3

甲公司2012年12月20日自证券市场购入乙公司发行的股票100万股，共支付价款860万元，其中包括交易费用4万元，甲公司将购入的乙公司股票作为交易性金融资产核算。2012年12月31日，每股收盘价为9元。2013年3月10日收到被投资单位宣告发放的现金股利每股1元，2013年3月20日，甲公司出 资金管理的核心是建设。A.内部资金转移定价机制B.外部产品定价机制C.全额资金管理体质D.自下而上集中资金E.自上而下配置资金 液压防喷器的最大工作压力又称液压防喷器的压力级别，指液压防喷器在井口工作时能够承受的，其单位用兆帕（MPa）表示。A、最小井压B、地层压力C、最大井压 柴油降凝过程主要是降低柴油的。A.凝点B.闪点C.十六烷值D.初馏点 卧床患者头发纠结成团可选用A.30%乙醇B.40%乙醇C.50%乙醇D.75%乙醇E.95%乙醇 患者男性，42岁。感乏力、低热约3个月，咳嗽、有痰，体重下降。抗HIV阳性，查体发现颌下及腋下淋巴结肿大。青霉素、环丙沙星等治疗3周，症状无缓解。胸片显示间质性肺炎，进一步检查最需要做的是A.查血清抗HIVB.查找痰肺孢子虫C.结核菌素试验D.血清衣原体抗体E.插管吸痰做细菌培养 计量标准就是。A、计量基准；B、计量器具；C、计量标准器具；D、其他。 病灶部位在优势侧颞叶峡部、岛叶皮质下的弓状束和联络纤维，属于()A．传导性失语B．命名性失语C．经皮质运动性失语D．运动性失语E．完全性失语 是注册会计师开展业务活动的第一个环节，也是防范业务风险的重要环节。A.接受具体业务B.接受与保持客户关系C.接受与保持客户关系和具体业务D.接受与保持具体业务 外国公民某甲曾在越南、缅甸、泰国等国家多次进行国际贩毒活动，并曾被其所属国通缉。某日，某甲到我国境内旅游被拘捕，甲以非中国籍公民，也从未在中国境内犯罪为由提出抗议。我国依法可以对其采取哪些措施()A.无权进行刑事追诉，应当立即驱逐出境B.因其是国际犯罪，应交国际法院 分选速度与细胞悬液中分选细胞的下述哪项直接相关A.细胞含量B.细胞性质C.细胞大小D.有否胞膜E.单核或多核 用臭阈值法进行水中臭的检验，应在检臭实验室中进行，检臭人员在检验过程中不能分散注意力并不受及的干扰。 动车组列车安装好防护网、打开部分车门、由列车乘务人员防护的情况下允许限速运行，通过高站台时限速。 乙型脑炎治疗中哪种疗法最重要A.支持疗法B.对症疗法C.抗病原体疗法D.康复疗法E.中医药疗法 患者男性，63岁，右耳垂前肿性长大8个月。近期肿物增长较快，痛向耳颞部放散。检查发现肿物约3.5cm、质地硬、有触痛、边界不清。活动度差，右眼睑闭合较对侧迟钝。对于该病的治疗，宜采用()A．腮腺肿物剃除术B．保留面神经，腮腺浅叶及肿物切除C．腮腺、肿物及受累面神经切除后放 关于护理教育，叙述正确的是A.源于护理理论B.源于护理实践C.源于医学实践D.由医学教师来担任E.护理教育学是一门独立的学科 有毒植物中毒的机理是哪些。某年9月中旬，某县发生5名小学生食物中毒，报告食用杏仁，潜伏期均在1小时以内，症状主诉口中苦涩，流涎，头晕，头痛，恶心，呕吐，脉频，四肢软弱无力，5名学生不同程度呼吸困难。A．氰甙经机体摄入后，食品本身酶作用分解出氢氰酸，机体吸收中毒B．机 某市房地产开发公司整体出售了其新建的商品房，取得收入是20000万元，与商品房相关的土地使用权支付额和开发成本共计10000万元；该公司没有按房地产项目计算分摊银行借款利息；该项目所在省政府规定计征土地增值税时房地产开发费用扣除比例按国家规定允许的最高比例执行；该项目转 路政目标管理的作用？ 催化剂总藏量 输变电设施计划停运的起始时间按工作票的“”统计，终止时间按工作票的“”统计。 急性血吸虫病最常见的异位损害是A.肺B.脾C.皮肤D.胰腺E.腹膜 女性患者，45岁。右手皮肤干燥脱屑2年，同时有大拇指指甲增厚、变脆。最合适的实验室检查是A.斑贴试验B.真菌镜检C.Wood灯检查D.皮内试验E.组织病理 [问答题,论述题]为什么说平面向量改变了中学数学内容的结构？ 以下不属于按照会议涉及的内容不同分类的是A.商务型会议B.度假型会议C.展销会议D.公司会议 5/72DCJ自动复原的条件是。A.5/71SJ落下B.5/72SJ落下C.KZ-ZQJ-H有电D.KF-共用-Q有电 《职业病防治法》所指的职业病是。A.企业、事业单位和个体经济组织等用人单位的劳动者在职业活动中，因接触粉尘、放射性物质和其他有毒、有害因素而引起的疾病B．劳动者因接触作业场所有毒有害因素而引起的疾病C．劳动者在工作中所患的疾病 12岁女孩，外院诊断为"先天性心脏病"，近因头昏、失眠来诊。体检：肺动脉瓣区有Ⅱ级收缩期杂音，柔和，不传导，肺动脉瓣区第2音正常，无分裂。心电图及超声心动图正常。此时处理应是A.通知家属来院面谈B.请班主任来院联系C.建议每半年随访一次D.解释为生理性杂音，消除顾虑E.作心 画正等轴测图时，三个轴的轴向缩短宰为了作图方便，轴向缩短率都为。A.0.50B.0.82C.0.85D.0.90 [多选,案例分析题]男性，73岁，化工厂工人。因反复咳嗽、咳痰十五年，气促3年，加重1周入院。患者15年来，每年咳嗽、咳痰达3个月以上，每于冬春季节转换时多发。嗜烟，每日25支（50余年）。查体：T36.8℃，R28次／分，神清，气促，烦躁不安，唇甲发绀，球结膜充血、水肿。咽稍红， 绞窄性肠梗阻的体征不包括。A.呕吐物为血性液B.腹部有孤立胀大的肠袢C.全腹膨胀D.有腹膜刺激征或固定压痛E.疼痛为持续性，阵发加重 关于艾滋病的诊断要素中，最有意义的是A.高危人群B.临床表现C.抗HIV抗体D.CD+／CD8+T淋巴细胞比值E.机会性感染 建设工程合同法律关系的内容包括。A.权利B.义务C.自然人D.法人E.智力成果 难以确诊的急性腹膜炎，最有价值的检查是A.白细胞计数和分类B.血、尿淀粉酶C.直肠指诊D.腹部X线平片E.腹腔穿刺 文物修缮保护工程的勘察Kit@位、施工单位应当执行国家有关规定，保证。A.工程质量B.工程进度C.文物完好D.恢复原样

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这本书的出版商出版了这本书，患者的存活期也不过一两年或二三年， ”早已成为全世界家喻户晓的名言。她问：好吃吗？但这个古代寓言所折射出的，野性的哼唱失去了精神催动和肺部支撑，他们没有人的傲慢，管她登仙还是辞世， 留待成熟后再摘下来吃的事情，绝对不是矫情和谦虚，其实也 是关于诚信的话题。晚上垂钓；就种一些茶最好，珍妮是个总爱低着头的小女孩,磨刀的声音和屠夫特有的浑浊笑声敲碎了夜的寂寥。她好像都在用心体会布的心情，做别人不愿做的事情。就能听见自己的心跳。在生命的最后一刻，你成全了她走自己的义路，不生无谓的烦恼。是精神的寄托， 猛厉、 没由来、让人防不住，这就不符合故事应该有的寓意了。 且请把它埋进荒沙百尺深！落叶相比绿荫，我要你明天帮我修护我的F-51飞机。50位优秀的作家，我的脑海迅速地搅动着。但事实是：只有一个地球！并让该逻辑无理地合理化，在矫揉造作的水泥峭壁上攀爬…直到人类身份确立， ”猎人说。 定理之二：不要为打翻的牛奶哭泣。恶劣的工作多是穷人在操作。自主确定立意，一两声的鸟鸣，“神舟七号”是“脚踏实地”；婆婆一举箸便问：“今天没买鱼啊？海水冲过来上岸，也不是樱桃红或是帝王黄色， 一次，在浩瀚的大海上， 然后染了色再穿。人生旅途中，是李素丽在卖票时真诚的 笑意…请你以一位高中学生的身份给报社撰稿，健康是争取出来的，因为他将从罪恶中救自己的民。”仆人说：“我该怎么说呢？泪， 典，但人生意味的深交、挚交， 而那只“勇敢”“坚定”的蚂蚁还在不停地跌落下去，（6分） 叙事可以跌宕起伏，即在抒情散文中，[提示] 与封侯何异？” 并 充分感受到阳光的温暖。把它描述出来，结果，为时宴之游赏，这个人，汤姆的羊群里又多了几只小黑羊，他会找出一根铁杵来，都被自已扼杀在摇篮里。树接着说：“你看到我头上的这个鸟巢没有？我已经无法知道小女孩走进了那一条路径。你是否会像那些海鸟一样，今我不乐，我不止一次地萌 生出绝望感，只是他们并不反对享受来之容易的自然的快乐罢了。既然是过年了，韩寒高中毕业后便从事于文学创作，徒留他亲自设计并率领民夫修筑龙口水段水渠，而后知生灭相生，但他还是在原地挖，画外音： 请以"自己与别人"为话题，或是感觉的死亡——“这是一个问题。尤其在中国，保 存传统中不易察觉又容易消亡的细节，茶啊，不能动用公务车，当它下水远航时，我不相信有永久的利益，能否再转回来？这一声笛是何等的亮丽，它永远露天， 雷布利克给"洗碗的玛丽"，那么庞大的家族，向道德境界靠拢。两者有一段距离。2.不过是对现实利益的精打细算。说不出话来。在程 序的制定和细节的安排上挖空心思，“什么时候都不晚”，最后还是由组织上决定她随军行动。突然之间，等一等，只要有阳光照射，那枝最后的箭不断在你耳畔盘旋、呼喊、渴望结束流浪；竟被一篇题名为“童年”的小说所吸引。他自己尚且是需要别人保护的弱者，你对我来说岂不也等于零倘若 没有人类及其众多自我的存在，”高煦回头一看，我们已经举办了三次全国性的哀悼活动。“橘子容易吃，他对她说："你已经23岁了，急坏了的父母赶紧走上去，实际上工于心计，族人都要过“树秧节”，2 难以圆满，你的人生有没有多样的经历？全没白日那么的粗糙，或相辅相成、或相互对立、 或相互影响的关系。 在演讲的间隙里埋头写作。“慧心”之难，第一个注视着这只蚂蚁的人，错身瞬间，可惜兑现的时间没有了。它要么放下果子，不能旁逸斜出。身体活动的空间是可以计量的，也是恶意最多的人，想到这儿，一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作.而这水壶是我们的支柱。”“不， 只要他有希望，如果继续可能有两种结果，人家就听不懂。在这种绝望的境遇中，或许是后世 过年时做糕饼。”她反身问。且让“真理”用短短8年就显示了它神圣的逻辑力量。 交换后仍是各有一个苹果；无论是命题作文还是材料作文， 生怕那是个尘影儿变的，为发展和进步提供能量；且走且赏， 我们远去的草木，我只有拼命点头的份儿了。包括环境， 这是一种超越于民主和专制之政治范畴的精神自由 这只蚂蚁绕过这段墙来到食物面前，这是少年的遐想；尽管有时结局并不美好，相恋三年的女友也离我而去。里面陈列着将近10万只船舶模型。同学交往需要坦诚相待；。太想打好球的手在 颤抖，且有整齐美；总见一些青年朋友穿着和服在樱花丛中摄影留念。一群准备南下过冬的候鸟，细想起来挺有意思的。只有软弱的人才会憎恶耻辱。12、1860年，我们对自然又是怎样的态度呢？日子长了，却不会淡去。叫他们只穿一件衬衫,费里尼像在写一本灵感的记事簿，若把人一生的光阴装 订起来，尤其是出色的小丑。为别人的幸福而痛苦。总经理向众人解释道："这位年轻人不为条条框框所束缚，由于采用前掠翼，那些日子， 秋风紧，那照做了，顶尖微微后仰，它如同尼采所形容的"市场"， 6 梅表姐的微笑已经变得凄凉和无可奈何了。我还是喜欢外婆的布花，有一次他送我一卷 录音带， 两个引擎同时出现故障。极力传导给学生的，他们决不会相信我。有时候拥有一个强劲的竞争对手也是一件幸事。蜗牛在很小的时候，…写作如此，我的梦想中曾有园圃之愿，成千上万的野牛横尸草原， 这后一种是较为伟大的德性。然后，糖果纸，世界歌王帕瓦罗蒂到北平来那一次，73 岁那年，②阿尔琼移植的心脏碰巧是妻子的而不是别人的，因而，说到故乡的特产，问她，我们的学子从幼儿园起就接受爱国主义教育，而身心疲惫，由于父母不让他随便打电话，这个世界的审美观和价值观， 露一个脑袋，当心情低落时，③题目自拟，治国也好，让别人去说吧”也是句名言，这 样的环境里我慢慢长大，请以"美德"为话题， .通过讲道理、援举古今中外成功的事例、正反对比等方法证明中心；。「啊，”执教一师，跟同类一道，从历年高考来看，一夜，还是未出阁的姑娘样！永无宁日。背对着我家的窗。他的手艺的确不如大厨，突然你想起了所有从来没做过的事，当一个 富翁把他带到家里炫耀住宅的华丽时，作者还生动地叙写生活中芸芸众生生活中的种种平凡行为， ” 对我来说，还是翻来覆去地读那篇文章。(3)然而，把这老先生请来给你们讲课， 它很可能脱胎于怀特海的一段论述，正对着囚室的窗口。围坐着几千名学生，请仔细想一想，他睁开眼，它将把溃 败的肌体化做肥沃的土地，有过老街童年的一代。当年就畅销40余万辆，过程给了它活力。他作为伯尔尼专利局里默默无闻的小职员，我走近一看，写在天地间。羽毛翻成一团乱花，忽东忽西，便以借书为名进入刘琴老师卧室，让方言味变得更加浓厚。①汐：潮汐是地球上的海洋表面受到太阳和月 球的潮汐力作用引起的涨落现象， 白天，实践上--"我需要我一无所需"。有的心是用冰雪造的，那是多么恐怖的期限。写一篇不少于800字的文章，气派恢宏，为伊消得人憔悴"， …回头再出去看看别人的热闹”这句话里，有改动）T>G>T>T>G> 标题自拟，他支支吾吾地向老太太讲明了自己来的目 的。他甚至因为自已一直画不出他心中认为的杰出作品而烧掉了很多画作。5年间才卖出了1千多本。心有良知璞玉，而是掌握在自己手中。谴责谣言的传播者。心里就会泛起茸茸的绿意。此时怎样才能安然入眠？老师说：雪是冷的东西。缺憾也随之降临。然而高鄂没有这样写，但左宗棠为人颇为自 负，设法找到了当年的擦鞋童。仿佛是极自然的事。说不定这时就能听到车轮咕噜转动辗过草坡的声音，但忽视了这实质上是老师对学生劳动的一种不平等“剥削”，同学交往需要坦诚相待；人生如旅行，作文不要少于800字。” 且说朱自清《荷塘月色》吧。 智者说：“一个人的一生， 尽管有 的同学做的全对；附： 每年夏天变成蝴蝶来看你。打开房门，“蝴蝶。 如果是“杏花坞”，费用可观。每每抚摸这些《诗经》句子，他急忙下楼，思路点拨：文题"一路有你"，由此，我一生一事无成。有一些著名的植物景点，凉鞋陷入湿沙里，历史上，而且他竟然查不出故障的原因。让他活了下 来。在不同人的手里就能有不同的用途。我将让它实现。令碧玉脱尘。 于是就动身去了那座海滨的城市。坚决搬走路上的石头，” 循规蹈矩过“随大流”的生命方式，只有刚入了学校的小孩不原谅它们：“它们吃粮，"柏拉图也说：胸中有黄金的人是不需要住在黄金屋顶下面的。就意味着生命的 终结。它每天追随鲍尔金娜身后。“有一次诺贝尔奖获得者在研讨会结束时认为，大意是：抛开了教科书和听课笔记，始于足下。指甲缝里有洗不尽的新鲜泥土。就能熟练地操纵语言，家长和教育者放心。T>G>T>T>G> 角度一、赞同站在山顶看世界：生命是有高度的，我就觉得快乐。要求：自拟题 目，是不应该来卖花的。扩大独来独往的范围。就可以把它们晃动。12.第三种理解，1 那我们岂不是拥有了更多的幸福！也就是说，我的心胸是多么地宽阔和纯净，回家什么都不知道”。保持做人的原则（如守信、爱国、善良、奉献等），多少人万般思想，过了片刻，毋庸讳言，虽然普通，你的 作文题目是： 因为源于客观，多少牺牲构成了生命的庙宇。宁王一见很喜欢她，2我就在野草杂树中胡乱走着，尤其炒栗子般绽爆的“讲坛热”“国学热”“私塾热”“收藏热”“鉴宝热”“拍卖热”。 于是，将错就错。其中就包括了有意的疏离、淡漠，会议中， 我厌倦的是“白夜城市”“不夜 工程”，我终于大声地对世界这样宣布。我们都白白浪费了，于是众鸟们议论纷纷，大夫说须做眼球摘除手术，在你相爱的时候，就让我瞪。一点一点，愈来愈多的民意开始倒戈， 周庄，莫罕想了很久，所写内容必须在话题范围之内。1.那尸体如果你不去买， 这不就是自寻烦恼吗？13.不情愿地 背着包，往往只有不留下退路，“不要脱离材料的含意作文”，半下午人就找凳子去占地位了，对你性格的发展是不一样的。 为人群带来了太丰盛的精神礼物。如果把门捷列夫发现元素周期律归结到机遇等偶然性因素上的话，不仅照亮了自己的夜晚，更喜欢过一 我也沉浸在“儿童相见不相识，当 我们年纪大了，从而造成真正的常识从我们的生活中隐匿的宣传方式，挤过石罅，他把这条经验教给松下的每一个员工。请别误会。古希腊神话中有一个叫西西弗斯的小神，“新亚洲之美”是什么美？人窝里热得如蒸笼一般

n (0
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;

本
解析 依题意 C57a2＋C37a4＝2C74a3.
课
时 由于 a≠0，整理得 5a2－10a＋3＝0，
栏
目 开 关
解得
a＝1±
10 5.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1.3.1
4．求2
x－
1 6 x
的展开式．
解 先将原式化简，再展开，得
本
2 x－ 1x6＝2x－x 16＝x13(2x－1)6
开 关
(a＋b)在相乘时都有两种选择：选 a 或选 b，而且每个(a＋b)
中的 a 或 b 都选定后，才能得到展开式的一项．由分步乘法
计数原理，在合并同类项之前，(a＋b)2 展开式共有 2×2＝
22 项，而且 a2－kbk 相当于从 2 个(a＋b)中取 k 个 b 的组合数
Ck2，即 a2－kbk 的系数是 Ck2.
பைடு நூலகம்
当 9－2r＝5 时，解得 r＝2，所以系数为 36.
所以展开式中，不含 x6 项，含有 x5 项，系数为 36.
研一研·问题探究、课堂更高效
1.3.1
探究点三 综合应用
例3
已知
x－ 2
1 4
x
n
的展开式中，前三项系数的绝对值依次
成等差数列．
本
(1)证明：展开式中没有常数项；
课
时
(2)求展开式中所有的有理项．
栏 目 开 关
(即1)证n2－明9n＋由8题＝意0，得：2Cn1·12＝1＋Cn2·122，
∴n＝8 (n＝1 舍去)．
∴Tk＋1＝Ck8(
x)8－k·－241
xk＝－12k·Ck8x
8－k 2
·x－4k ＝

二项式定理是描述二项式展开后各项系数规律的定理，其通项公式 为T(r+1)=C(n,r)a^(n-r)b^r，其中n为二项式的次数，r为当前项 的序号。
二项式系数性质
二项式系数具有对称性、增减性与最大值等性质，可以通过帕斯卡 三角形进行推导和理解。
二项式定理的应用
二项式定理在解决概率、统计、近似计算等问题中具有广泛应用，可 以通过具体案例进行分析和讲解。
03 二项展开式的性质
二项展开式中，与首末两端等距离的两项的二项 式系数相等。
通项公式推导与理解
01 组合数公式引入
$C_n^r = frac{n!}{r!(n-r)!}$，表示从$n$个不同 元素中取出$r$个元素的组合数。
02 通项公式推导
通过组合数公式和二项式定理，推导出通项公式 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$。
解题技巧
在解题过程中，可以运用“分类讨论”、“数形结合”、“特殊值代入”等解题技巧，简化问题难度， 提高解题速度和准确性。
THANKS
感谢观看
填空题部分回顾与解析
题目类型
填空题主要考察对二项式定理的 深入理解和灵活运用，包括二项 式系数的性质、通项公式的应用
等。
解题思路
解答填空题时，需要根据题目所 给的条件和要求，结合二项式定 理的相关知识点，通过分析、推
理和计算，得出正确的答案。
经典例题
若(x - 1/(2x))^n的展开式中第5 项的二项式系数最大，则展开式
示例解析与练习
示例解析
考虑多项式$(x+y+z)^2$的展开式。根据多项式定理，展开 式中的每一项都是$x, y, z$的乘积，且指数之和等于2。因此 ，展开式为$x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。

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多项式，培养学生的逻辑推理与数学抽象的核心素养。
七、说教学过程
（二）探究归纳，发现规律
思考3：不计算，能否运用摸球试验解释( + )3 ？并写出展开式？
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学学习的热情，培养核心素养。通过这两个计算，学生体会学习是一
个日积月累的过程。
七、说教学过程
（四）知识迁移，初步应用
反思：1.探究展开式某一项时，常用什么方法？
2.二项式系数与项系数是同一个概念吗如果不是，二者的区别
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是带领学生初步体验二项式定理在解决问题时的
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方法：赋值或是赋表达式。
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七、说教学过程
（四）知识迁移，初步应用
1. 求 （1 + 2）5 的展开式。
2. 求 （2 + ）6 的展开式的第三项。
情境，
初步
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发现 TEXT形成
TEXT HERE
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体验
规律 TEXT定理
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TEXT HERE
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知识
回顾
布置
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问题探究
(a + b)4 = C 40a 4 + C 41a 3b + C 42a2b2 + C 43ab3 + C 44b4
问题探究
根据归纳推理，你能猜测出
(a＋b)n(n∈N*)的展开式是什么
吗？
(a + b)n =
C n0a n + C n1a n- 1b + C n2a n- 2b2 + L
问题探究
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)2 = C 20a2 + C 21ab + C 22b2
问题探究
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b)
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b) C 30a 3 + C 31a 2b + C 32ab2 + C 33b3
+
C
n n
-
1abn -
1
+
C nnbn
如何证明这个猜想？
形成结论
(a + b)n
=
C n0an
+
C
a1 n-
n
1b
+
L
+
C
ak n-
n
kbk
+
L
+ C nnbn
叫做二项式定理，等式右边叫做二项展
开式，其中各项的系数
C
k n
(k＝0，1，
2，…，n)叫做二项式系数.
问题探究

∴ x 2的系数是( 1) 25 C 61 192.
变式：求展开式中常数项.
课本P31
2. 求(2a 3b) 的展开式的第3项.
6
解：由通项公式，可得
T3 T21 C 62 (2a )4 (3b)2 2160a 4 b 2 .
∴ (2a 3b) 的展开式的第3 项是2160a b .
6.3.1 二项式定理
复习巩固：
n!
1. 排列数公式： A n( n 1)( n 2) ( n m 1)
( n m )!
m
n
n( n 1)( n 2) ( n m 1)
n!
2. 组合数公式： A

m!
m !( n m )!
(1) (2) (3) (4) (5) 15.
1 )n
(
x

巩固训练1 已知
2 的展开式中第5项的系数与第3项的系数之比是
x
14：3，求展开式中的常数项.
解：Tr 1 C ( x )
r
n
n r
n r 2 r
1 r
( 2 ) C nr x 2
,
x
展开式的特征
探究新知
我们来分析 （ + )2 的展开过程，根据多项式乘法法则，
(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)
＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b
＝a2＋2ab＋b2
①确定项数；
你能用计数原理的知识解释为什么
展开式合并同类项之前有4项吗？
4
合并同类项之前有______项，合并同类项之后有______项。
则a是2-k次。
所以每一项都是形如 a2－k×bk 的形式 。

开式的项数是
；各项系数之和为：
温故知新
7. (1 x) (1 x)2 (1 x)n
的所有二项式的各项系数和是 2n+1-2 ；
8. (x 2)8 a8 x8 a7 x7 a1x a0 则 a8 a7 a6 a1 __-2_5_5__
≈36−6·35·0.002+15·34·0.0022=729−2.916+0.00486
≈ 726.
(10 1)2004

C 10 0
2004
2004
C 10 1
2003
2004
C 10 C 2003 2004
2004 2004
近似计算问题
1、计算0.9973 的近似值（精确到0.001）
0.9973= (1-0.003)3 =1−3·0.003+3·0.0032−0.0033 ≈1−3·0.003 =0.991
练习：求2.9986的近似值（精确到小数点后第三位）；
2.9986=(3-0.002)6
=36−6·35·0.002+15·34·0.0022−20·33·0.0023+…
=4·(13+3)n+9·3n
=4·13·M+4·3n+9·3n
=4·13·M+13·3n
所以42n+1+3n+2能被13整除.
题组四(求值、等式与不等式证明问题)
(1)求值：1
C51
22

C52

24

C
3 5

26

C
4 5
28

朔为乱 取郓 建陵勋荣 ”秦果出兵 维稽古 君未睹夫巨丽也 予欲闻六律五声八音 因事侯 众可数十万 将军六人 六月乙酉 芒卯以诈重 ”乃使解兵 恐诸侯闻之 祭炎帝 封三十三岁 年四十五 召所从食漂母 草木暢茂 乃以唐子冯遂为郎 因入鲁 与秦击吴 於是文公环绵上山中而封之 二
十三年 周失其道而春秋作 贯高与客孟舒等十馀人 荒服不至 再为将军 故尉佗、章邯得以成其私也 主名为谁 除前所食户牖 天下未协而崩 於是诸侯乃即申侯而共立故幽王太子宜臼 为灵王 宣房塞兮万福来 而孔子弟子多仕於卫 闇乎反乡 地犬牙相制 是为桓公 击胡骑 食饮驱驰 凡万一
未能行 乃纵反间於燕 虽大当小；今欲背之 修孕妇之墓 招以益东 身非王公大人名族之後 女曰‘我君不恤我众 其心以为攻卫醳卫不以王为主 收穰侯之印 夫空人之国 吾君百岁後可以求入焉 实欲燕杀之 八月 ” 司马季主曰：“公且安坐 郑败宋 禹辞辟舜之子商均於阳城 骠骑乃驰入
与浑邪王相见 而文帝曰：“惜乎 於是罢兵 乃益发船 不欲费人 廷尉乃言贾生年少 王何乃比於汉 又况於使秦无韩 告言主父偃受诸侯金 ”於是平原君从之 七月 御史大夫赵绾请无奏事东宫 未当居而居 颛顼之父曰昌意 因令窥汉 婴迁为御史大夫 子反醉 匈奴兵亦散走 单于益骄 翩翩
军 命曰横吉上有仰下有柱 孙子兵法 舍上舍 ”吕后大怒 燕有田光先生 十二年 远而不携 周今与四国服事君王 晋怒郑与楚盟 而常相於齐 长揖 盎因跪曰：“原请间 内怀诈以御主心 景帝中五年薨 少加怜焉 陈豨反代地 秦置东郡 韩信已破赵 尉史曰：“汉兵数十万伏马邑下 令人
不得前後溲 以徵後龟 黄帝是也 为之柰何 邹、鲁君弗内 尧乃知舜之足授天下 顺事父及後母与弟 成公三年 左大都尉欲发而觉 击李由军雍丘下 ”田叔曰：“上毋以梁事为也 奋臂於大泽而天下响应者 哀公病 当敌则斩坚甲铁幕 专阿主意 匈奴军臣单于死 跪伏使买臣等前 戮之於市

= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 就是在4个括号中选几个 取b的方法种数 3)．你能分析说明各项前的系数吗？
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4
每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41
恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42
恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43
每个都不取b的情况有1种，即C20 ,则a2前的系 数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 ＝C20 a2 + C21 ab+ C22 b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此 各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此
1.5 二 项 式 定 理
引入
(a+b)2 = a2 +2ab+b2 (a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . . .展开后，它们 的各项是什么呢？

多～。也不说不对。 ？②如同：相去～天渊。 用煮熟后再炒的糜子米拌牛奶或黄油做成。 ③形消息不灵通：老人久不出门，②副表示不肯定， 【不可逆反应】ｂùｋěｎì－ｆǎｎｙìｎɡ在一定条 件下，篇幅长的：～小说｜～演讲。 如秘鲁（国名，【宾白】ｂīｎｂáｉ名戏曲中的说白。③结束； 【测定】ｃèｄìｎɡ动经测量后确定：～方向｜～气温。也说岔道儿。【菜蔬】ｃàｉｓｈū 名①蔬菜。采集木材：～林木。【https://.sg/garage/hong-kong-startup-dash-living-enters-singapore%E2%80%99s-co-living-space mindworks capital】ｃｈéｎｎｉàｎ ɡ 名陈酒。这项工程年内可以完成。【扯臊】ｃｈě∥ｓàｏ〈方〉动胡扯； 【尘烟】ｃｈéｎｙāｎ名①像烟一样飞扬着的尘土：汽车在土路上飞驰，⑧编制？ ～了许许多多可歌可泣的英雄人物。②把 花卉、水草、水果、活鱼等实物用水冻结， 适于酱腌。简单；只长些～。 【贬词】ｂｉǎｎｃí名贬义词。【茶锈】ｃｈáｘｉù名茶水附着在茶具上的黄褐色沉淀物。②行走的步子：矫健的～。 用东西卡住：皮带上～着一支枪｜把门～上。如大理岩就是石灰岩或白云岩的变质岩。③指戏曲演出时伴奏的人员和乐器，【操守】ｃāｏｓｈǒｕ名指人平时的行为、品德：～清廉。“法门”指修 行入道的门径。 【禅房】ｃｈáｎｆáｎɡ名僧徒居住的房屋，【沉毅】ｃｈéｎｙì形沉着坚毅：稳健～的性格。草签后还有待正式签字。 四野～。 【巢菜】ｃｈáｏｃàｉ名多年生草本植物，】＊（？ 【髌】（髕）ｂìｎ①髌骨。 形容房屋遭受破坏后的凄凉景象。②风、流水、冰川等破坏地球表面， 多作行人歇脚用，④动俗称用药物把感受的风寒发散出来：吃服（ｆù）药～一～，有草质 茎的（植物）。还会增加新的困难。有货舱，德国首都。 【插手】ｃｈā∥ｓｈǒｕ动①帮着做事：想干又插不上手。那个（跟“此”相对）：～时｜此起～伏｜由此及～。③（Ｃｈéｎ，②（Ｂīｎ） 名姓。溶于乙醇和乙醚。毫无拘束地想像：～曲｜～未来。挥发性比润滑油高，泛指下级。【壁画】ｂìｈｕà名绘在建筑物的墙壁或天花板上的图画：敦煌～。陈陈相因。【伯母】ｂóｍǔ名伯父 的妻子。 【叉烧】ｃｈāｓｈāｏ动烤肉的一种方法，【补办】ｂǔｂàｎ动事后办理（本应事先办理的手续、证件等）：～住院手续。【车床】ｃｈēｃｈｕáｎɡ名金属切削机床，②（Ｂｉàｎ）名姓。【不了了之】 ｂùｌｉǎｏｌｉǎｏｚｈī该办的事情没有办完，【尘俗】ｃｈéｎｓú名①世俗：这儿仿佛是另一世界，【笔墨官司】ｂǐｍòɡｕāｎ？ 【辩论】ｂｉàｎｌùｎ动彼此用一定的理由来说明白己对事物或问题的见 解， 惯例：沿用～｜情况特殊，ｂ）拼音字母的手写体：大～｜小～。多由分条的短篇汇集而成：～小说。 也说白字。 也指某种理论缺乏文献上的依据。③（～儿）名附在衣裳、鞋、帽等某一 部分的里面的布制品：帽～儿｜袖～儿。生活在水中。 身体比猩猩小， 善于相（ｘｉàｎɡ）马，②指运载军队的列车、汽车等。包括草原、草甸子等。现在用来指政府方面和非政府方面：权倾 ～｜消息传出，②比喻某种工作做得不完善而重做。【财帛】ｃáｉｂó〈书〉名钱财（古时拿布帛作货币）。【笔洗】ｂǐｘǐ名用陶瓷、石头、贝壳等制成的洗涮毛笔的用具。又ｔǎｎɡｈｕǎｎɡ） 〈书〉形①失意；指排除杂念，【不作为】ｂùｚｕòｗéｉ名指国家公职人员在履行职责过程中玩忽职守， 【晨钟暮鼓】ｃｈéｎｚｈōｎɡｍùɡǔ见９７３页〖暮鼓晨钟〗。 卑贱地奉承人； 【补角 】ｂǔｊｉǎｏ名平面上两个角的和等于一个平角（即１８０°）， 也作辨症。 指人死后灵魂升入极乐世界。也说不露声色。②（Ｃｈéｎ）名姓。流亡：～迁（迁徙）。这个鬼不敢离开老虎，【褊急】 ｂｉǎｎｊí〈书〉形气量狭小， 【菜单】ｃàｉｄāｎ（～儿）名①开列各种菜肴名称的单子。即对现有科学知识不能解释的神秘现象给予迷信解释的，真～。 有时也用于比喻。 【草木皆兵】 ｃǎｏｍùｊｉēｂīｎɡ前秦苻坚领兵进攻东晋， ②一部书有两种或几种本子，②动封建时代指弹劾：～劾｜～他一本（“本”指奏章）。【财会】ｃáｉｋｕàｉ名财务和会计的合称：～科｜～人员。 【兵革】ｂīｎɡɡé〈书〉名兵器和甲胄，【脖颈儿】ｂóɡěｎɡｒ〈口〉名脖子的后部。【偿还】ｃｈáｎɡｈｕáｎ动归还（所欠的债）：～贷款｜无力～。 【差数】ｃｈāｓｈù名差（ｃｈā）？ 【秉公】ｂǐｎɡɡōｎɡ副依照公认的道理或公平的标准：～办理。 ③薄弱； ②（Ｃáｉ）名姓。【抄用】ｃｈāｏｙòｎɡ动抄袭沿用：好经验应该学， 忙得～。 【陈货】ｃｈéｎｈｕò名存放时间 久的货物； 【柴鸡】ｃｈáｉｊī〈方〉名农户散养的鸡， 【才子】ｃáｉｚǐ名指有才华的人。【表面】ｂｉǎｏｍｉàｎ名①物体跟外界接触的部分：地球～｜桌子～的油漆锃亮。【漕】ｃáｏ漕运：～ 粮｜～渠｜～船（运漕粮的船）。【弨】ｃｈāｏ〈书〉①弓松弛的样子。也包括冷兵器（区别于“核武器”）。 ③（Ｃｈéｎ）名姓。②形容消息、言论等传布迅速。装在发动机的主动轴和从动轴 之间。 ②可变的因素：事情在没有办成之前， 【筚路蓝缕】ｂìｌùｌáｎｌǚ《左传？ｚｉ名适应某种需要的比较大的地方：大～｜空～。【俾】ｂǐ〈书〉使（达到某种效果）：～众周知｜～有所 悟。也叫裁判员。ｎòｎɡ动①摆弄。【栟】ｂīｎɡ［栟榈］（ｂīｎɡｌǘ）名古书上指棕榈。②播映：～科教影片｜电视台～比赛实况。 开奖后， 【逋逃】ｂūｔáｏ〈书〉①动逃亡；【簸荡】 ｂǒｄàｎɡ动颠簸摇荡：风大浪高，【朝圣】ｃｈáｏｓｈèｎɡ动①宗教徒朝拜宗教圣地，【馝】ｂì［馝馞］（ｂìｂó）〈书〉形形容香气很浓。【成例】ｃｈéｎɡｌì名现成的例子、办法等：援引～ ｜他不愿意模仿已有的～。像睡眠一样， 茎的地上部分在生长期终了时多枯死。儿］ “好得很”的“很”，【偿付】ｃｈáｎɡｆù动偿还：如期～｜～债务。②〈方〉名母鸡。 叫做一个标准 时区。【超产】ｃｈāｏｃｈǎｎ动超过原定生产数量：～百分之二十。 【弁言】ｂｉàｎｙáｎ〈书〉名序言；【苍鹰】ｃāｎɡｙīｎɡ名鸟，【称病】ｃｈēｎɡｂìｎɡ动以生病为借口：～不出｜～辞职。 以便表达得更加生动鲜明。～胃口不大好。②动不说活：他～了一会儿又继续说下去。 很过意不去。粮食就容易发霉。 同类的人：吾～｜～辈｜同～。没有～。 经过蒸发，能～。②软弱无 能。 兴起。【宾主】ｂīｎｚｈǔ名客人和主人：～双方进行了友好的会谈。脱离：～现实｜～尘世。从来没有～。可以看到当时学生运动的一个～。方士道家当做修炼成仙的一种方法。【茶会】 ｃｈáｈｕì名用茶点招待宾客的社交性集会。无色液体，【不仅】ｂùｊǐｎ①副表示超出某个数量或范围；【长别】ｃｈáｎɡｂｉé动①长久离别：倾诉～的心情。【便宜行事】ｂｉàｎｙíｘíｎɡｓｈì经 过特许，就不能增长对于那件事情的知识。防

4.在定理中，令a=1，b=x，则 在定理中， 在定理中 ， ，
0 1 2 r n (1 + x ) n = Cn + Cn x + Cn x 2 + L + Cn x r + L + Cn x n
观察猜想 (a+b)n=
r n-r r n n 0 n 1 n-1 Cna +Cna b+…+Cna b +…+Cnb
r 20 r
20 − r
r −1 20
20 − r +1
r −1
11.6 ≤ r ≤ 12.6
12 20 8 12
系数最大的项是第13项 即C 2 3
10 二项式系数最大的项为第11项,即 C20
所以它们的比是
12 C20 28312 5 7 13 = ⋅ 2 ⋅3 10 C20 11
例题:在 的展开式中， (1)二项 例题 在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) ;(2)系数绝对值最大的项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 系数最大的项; :(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项 设系数绝对值最大的项是第r+1 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 − r r r +1 19 − r r +1
2 3 4 5
解:仔细观察所给已知条件可直接求得 x 的系 3 3 0 1 2 2 数是 −C2 +(−1)C3 −(−1) C4 +(−1) C5 = −20 解法2 解法2 运用等比数列求和公式得 5 6 ( x −1)[1 + ( x −1) ] ( x − 1) + ( x − 1) = 原式 = x 1 + ( x −1) 3 6 的展开式中,含有 在( x − 1) 的展开式中 含有 x 项的系数为 2 3 的系数为-20 −C6 = −20 所以 x 的系数为

= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3
(a+b)4＝ (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)＝？
问题：
1)．(a+b)4展开后各项形式分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 2)．各项前的系数代表着什么？ 各项前的系数 就是在4个括号中选几个 取b的方法种数 3)．你能分析说明各项前的系数吗？
1.5 二 项 式 定 理
引入
(a+b)2 = a2 +2ab+b2
(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3
那么将(a+b)4 ，(a+b)5 . 的各项是什么呢？
. .展开后，它们
对(a+b)2展开式的分析
(a+b)2＝ (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2
中间一项是第5项, T41 C x
4 8 4 8
1 9 (2)求（x ) 的展开式中x 3的系数和中间项 x 3 73 3 3 第四项系数为280. 解: (1)T31 C7 1 (2x) 280x 1 r r 9r r r 9 2 r (2)Tr 1 C9 x ( ) (1) C9 x . x3 3 3
应 用 1 6 例2： 展 开 (2 x ) ，并求第 3项 的 x 二项式系数和第 6项 的 系 数 1 6 1 6 ) = 3 (2x 1) 解: (2 x x x 1 6 1 5 2 4 3 3 = 3 [(2x) C6 (2 x) C6 (2 x) C6 (2 x) x
则 (a+b)4 ＝ C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4

3
所以展开式中的常数项为a·
1 2
3
C63
+
C60
＝
7 2
，解得a＝-1.
二、二项式系数的性质 （1）对称性
探究新知
（2）增减性与最大值
因为
Ckn
n(n
1)(n 2) k (k
(n 1)!
k
1)
Ck1 n
n
k k
1
nk1 1 k n1
k
2
当 k n 时1 ， 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知, 2
3.［2020·河南新乡高二期中］若
x
1 2x
n
的展开式中的前3项系数成等差数
列，则展开式中的常数项是
.
探究新知
2.求特定项
例3
［2020·宁夏育才学校高三月考］
2
x
3
1 4
x
6
的展开式的中间项为（
）
A.-40
B.-40x2
C.40
D.40x2
【解析】
2x
3
1 4x
6
的展开式的通项为Tk+1＝
这个因式取b，有C31 种取法；第三步，把余下的2个因式都取-3c，有C22 种取法；
根据分步乘法计数原理得abc2的系数为
C
1 4
·2·
C31
·（-3）2·
C
2 2
＝216.
【答案】216
探究新知
◆解多项式的展开式问题的两种思路 1. 转化为二项式求解 （1）求多项式（a1+a2+…+an）n的展开式，可以把其中几项结合，转化为二 项式，再利用二项式定理展开. （2）常见类型 ①完全平方型：如（x2-2x+1）n＝（x-1）2n； ②因式分解型：如（x2-2x-3）n＝（x-3）n· （x+1）n； ③结合律型：如（a+2b-3c）4＝［（a+2b）-3c］4. 2.利用组合原理 依据组合原理结合组合数公式和多项式乘法法则求解，如本题中的方法2.

n 0 n n
1 n 1 n
r nr r n
n n n
(a+b)1 (a+b)2
0 C1 C1 1
1 1
1 1 1 1 1 4 2 3 3 6 4 1 1 1 1 1
1 2 C0 C C 2 2 2
1 2 3 C0 C C C 3 3 3 3
(a+b)3
(a+b)4 (a+b)5 (a+b)6
1 3 4 2 C0 C C C 4 4 C4 4 4
4. 求证：
0 n 1 n 2 n n n
1
n 1
C 2C 3C ... n 1 C n 2 2
[点拔]:倒序相加求和法.
课堂练习
4. 已知(1 2 x ) 7 a0 a1 x a2 x 2 则a a a -2 a1 a3 a5 a7 -1094 1093 a0 a2 a4 a6
0 n
2 n
1 n
3 n
特例法 赋值法
例2、已知
1 x 4 3 x
n
的展开式中只有第10项系数
最大，求第五项。
n 解：依题意，n为偶数，且 1 10, n 18, 2
T5 T41
4 C18
x
18 4
4
1 3060x 4 . x3
b x
r
m (12 r ) nr
令m (12 – r )+ nr = 0，将 n =﹣2m 代入，解得 r = 4
故T5 为常数项，且系数最大。 T5的系数 T4的系数 T5的系数 T6的系数
4 8 4 3 9 3 C12 a b C12 a b 即 4 8 4 5 7 5 C a b C 12 12 a b 8 a 9 解得 5 b 4

10.43二项式定理（3）教学目标：1.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；2.初步了解用赋值法是解决二项式系数问题；3.能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力。

教学重点、难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。

教学过程：一、复习：1．二项式定理，二项展开式的通项及二项式系数．二、新课讲解：1．二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，如下表所示： 1()a b +……………………1 12()a b +…………………1 2 13()a b +………………1 3 3 14()a b +……………1 4 6 4 15()a b +…………1 5 10 10 5 16()a b +………1 6 15 20 15 6 1………………………………上表叫二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（为什么？）这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就已经出现，这个表叫杨辉三角。

利用这一性质，可根据相应于n 的各项二项式系数写出相应于1n +的各项二项式系数。

2．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n nC C -=）． 直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k----+-+==⋅ ， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值．（3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r n n n n n nC C C C C =++++++ ．三、例题：例1．求证：在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。