反比例函数综合复习讲义全

反比例函数

知识整理

1、 反比例函数的概念

k

一般地，函数 y （k 是常数，k 0 ）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写

x

成y kx 1的形式。自变量x 的取值范围是x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非 零实数。

2、 反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、 四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量

x 0,函数y 0,所以，它的图像

与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、 反比例函数的性质

当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内， y 随x 的增大而减

小。

当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、 四象限。在每个象限内，随x 的增大而增大。

4、 反比例函数解析式的确定

k

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 y

中，只有一个待定系数，因

x

此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。

5、 反比例函数中反比例系数的几何意义

k

如下图，过反比例函数 y — （k 0）图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所

x

得的矩形PMON 的面积S=PM ? PN= y ? x xy 。

k

y —, xy k, S k 。

x

考点一、反比例函数的性质

2、已知一次函数 y 1 = kx + b （k

x

其横坐标分别是 一1和3，当y 1>y 2时，实数x 的取值范围是（

）

【例1】已知反比例函数 y 10，当 1

x

（A ）0

【举一反三】 (B )1

1、已知y 是x 的反比例函数，当 x >0时, 件的

函数表达式 _________ 时，y 的取值范围是

（ ） （C ） 5

（ D ）

y>10

y 随x 的增大而减小.请写出一个满足以上条

A. x< —l 或O3 D . O

A

及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点

C ,求C 的坐标及反比例函数的解析式。

A B

考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征 若点(x i ，y i )，( X 2，y 2)，( X 3，y 3)，都是反比例函数

A . X | X 2 X 3

B . X i X 3 X 2

C . X 2 X i

X 3 D . X 2 X 3 X i

【举一反三】

1

1、 若点A (1 , y i )和点B (2 , y 2)在反比例函数y 图象上，则y i 与y 的大小关系

X

是：

y i __________ y 2 (填 “〉”、“v” 或“

=”)

2、 如图，过点 C (1,2 )分别作X 轴、y 轴的平行线，交直线 y = — x +6于A 、B 两

k

点，若反比例函数 y (x >0)的图像与厶ABC 有公共点，则 k 的取值范围是

x

()

A .2< k w 9

B . 2 < w 8

C . 2 << 5

D . 5 <<8

3、 如图，P 是函数y 丄(x >0)的图象上的一点，直线y x 1分别交x 轴、y 轴于

2x

点A 、B ，过点P 分别作PM 丄x 轴于点M ，交AB 于点E ,作PN 丄y 轴于点N ,交AB 于点

F ,贝U AF • BE 的值为 __________ 。

考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系

1

【例3】已知函数y

的图象在第一象限的一支曲线上有一点 A ( a , c )，点B ( b , c

l x l

+ 1 )在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的两根x i , X 2判

断正确的是【

】

A . X i + X 2 >1 , X i ・X2> 0

B . X i + X 2 < 0 , X i •x 2 > 0

C . 0 < x i + X 2 < 1 , x i •x 2 > 0

D . X i + X 2 与 x i •x

2

的符号都不确定

【举一反三】

1、( 2015 •湖南常德)已知 A (1，-一 3 )是反比例函数图象上的一点，直线

AC 经过点

mx

【例2】(2015自贡) 图象上的点，并且 y i

0 y 2 y 3，则下列各式中正确的是(

3、函数y =mx + n 与y

，其中m 工0, n 工0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是

k

2、如图，若双曲线y 与边长为5的等边△ AOB 的边OA , AB 分别相交于C , D 两点,

x

且OC =3 BD ，则实数k 的值为 ____________ .

+ S 20 =

k 点P 在y k 的图象上运动时，以下结论： x

①厶ODB 与厶OCA 的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化；

③PA 与PB 始终相等； ④当点A 是PC 的中点时，点 B 一定是PD 的中点. 其中一定正确的是

______________________________ 。 考点典例四、反比例函数与一次函数的交点问题

【例4】如图，一次函数y 1=k 1X+b 的图象和反比例函数 y 2=的图象交于A (1 , 2), B (— 2 , — 1 )两点，若 y 1 v y 2，则 x

A( — 3 , 1)，以点O 为直角顶点作等腰直角三角形 AOB ,

3、如图，直线y 6

位于直线下方的一点，过点

4

x 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数 y (x 0)图象上

x

M ，交AB 于点E ,过点P 作y

P 作x 轴的垂线，垂足为点

轴的垂线，垂足为点 N , 交AB 于点F 。则AF BE (

D . 6.2

第4题图 第5题图

4、如上图中，正比例函数y 3x 的图象与反比例函数 y

k (k 0)的图象交于点B ，若k

x

取 1 , 2 , 3 ,…，20 ,

对应的 Rt △ AOB 的面积分别为 S i , S 2 ,…, S 20

,则 S i + S 2 +…

5、两个反比例函数

1 在第一象限内的图象如图所示，点

x

PC 丄x 轴于点C ,

k 知 和y

x

1 y 的图象于点A , PD 丄y 轴于点D ，交y

x

k

P 在y k 的图象上,

x

1

—的图象于点B ,当 x

的取值范围是(

A . x v 1 【举一反三】

1、如图，在平面直角坐标系中,

C2 v x v 0 或 x > 1