6 第一章 集合与常用逻辑用语 章末复习提升课

第1章 集合与常用逻辑用语章末测试（提升）一．单选题（每题5分，每题只有一个选项为正确答案，共8题40分）1．（2021·山东）已知集合{{},1,,A B m B A ==⊆，则m =（ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或32．（2021·青海西宁市）如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么丙是甲的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·安徽池州市）集合{}{}201A x x ax a =++=⊆，则a 为（ ）A ．12-B ．()0,4a ∈C ．()[),04,a ∈-∞⋃+∞D ．()10,42a ⎧⎫∈-⋃⎨⎬⎩⎭4．（2021·陕西西安市第三中学高一期末）已知集合{}13A x x =-≤≤，集合{}11B x m x m =-≤≤+.若B A ⊆，则m 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞ B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]0,25．（2021·全国高三专题练习）已知集合(){}223A x y xy x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．46．（2021·浙江高三专题练习）若命题：“x R ∃∈，220ax ax -->”为假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(][),80,-∞-+∞ B ．()8,0- C ．(],0-∞D ．[]8,0-7．（2021·黑龙江）命题2:,240p x R ax ax ∃∈+-≥为假命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．40aB ．40a -≤<C ．30a -≤≤D ．42a -≤≤8．（2021·浙江）已知集合{}*N 0A x x y =∈=≥∣，若B A ⊆且集合B 中恰有2个元素，则满足条件的集合B 的个数为（ ）． A ．1 B ．3C ．6D ．10二、多选题（每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分）9．（2021·江西）已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为（ ） A ．12B ．1C ．0D ．以上选项都不对10．（2021·广东湛江市）已知集合{}23180A x x x =∈--<R ，{}22270B x x ax a =∈++-<R ，则下列命题中正确的是（ ） A ．若A B =，则3a=- B ．若A B ⊆，则3a =-C ．若B =∅，则6a ≤-或6a ≥D ．若BA 时，则63a -<≤-或6a ≥11．（2021·台州市书生中学高一开学考试）已知命题0:p x R ∃∈，使得200220x ax a +++”，若命题p是假命题，则实数a 的取值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．312．（2021·浙江宁波市·镇海中学高一期末）若“()00,2x ∃∈，使得200210x x λ-+<成立”是假命题，则实数λ可能的值是（ ）A ．1B ．C ．3D ．三．填空题（每题5分，共20分）13．（2021·全国高一单元测试）已知:2p x >，:1q x >，则p 是q 的_______________（充分条件”、“必要条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选择一个填空）．14．（2021·辽宁）已知命题“2,230x x ax a ∃∈-+R ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 15．（2021·贵溪市实验中学）已知:12p x -≤<，2:21q a x a ≤≤+，若p 是q 的必要条件，则实数a的取值范围是16．（2021·浙江高一期末）命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________ 四．解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（2021·全国高一单元测试）若集合{}2560A x x x =+-=，(){}222130B x x m x m =+++-=.（1）若0m =，写出A B 的子集；（2）若A B B =，求实数m 的取值范围.18．（2021·广东广州市·广雅中学高一期末）设集合11|4322x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}|121B x m x m =-≤≤+. （1）若3m =，求()RA B ⋃；（2）若A B B =，求m 的取值范围；19．（2021·湖南省东安县第一中学高一期末）在①{14}=-<<∣B xx ，②R{6}B x x =>∣，③{7}B x x =≥∣这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中.问题：已知集合{10}=<<-∣A x a x a ， ，若AB =∅，求a 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20．（2021·江苏南通市·高一期末）已知集合{}2540P xx x =-+≤∣，{}11S x m x m =-≤≤+∣. （1）用区间表示集合P ；（2）是否存在实数m ，使得x P ∈是x S ∈的______条件.若存在实数m ，求出m 的取值范围：若不存在，请说明理由.请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上： ①充分不必要；②必要不充分；③充要.21．（2021·全国高二课时练习）已知命题“关于x 的方程2250x mx m +++=有两个不相等的实数根”是假命题.（1）求实数m 的取值集合A ；（2）设集合{|121}B x a x a =-≤≤-，若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21．（2021·全国高一单元测试）已知集合{}22|,,A x x m n m n Z ==-∈（1）判断8，9，10是否属于集合A ；（2）已知集合{}|21,B x x k k Z ==+∈，证明：“x A ∈”的充分条件是“x B ∈”；但“x B ∈”不是“x A ∈”的必要条件；（3）写出所有满足集合A 的偶数.。

《第一章集合与常用逻辑用语复习课》教学设计一、内容和内容解析1.内容2.内容解析本章学习内容包括集合的有关概念，关系和运算，还有充分条件、必要条件、充要条件、全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词命题及其否定。

这些知识在后续学习中会得到大量应用，是进一步学习的重要基础。

复习本章所学知识，在知识的复习和再现的基础上，用联系的观点和递进的方式可以加深对本章内容的理解。

复习本章知识能有效总结和提升学习内涵，整理学习方法提高学习效率，对于全章知识的联系和整合也能有更好的效果。

在本章内容的复习中，首先应掌握集合语言的表述方式，学习了集合的含义，明确了集合中元素的确定性、无序性、互异性等特征；再学习了列举法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的性质；类比数与数的关系，我们研究了集合之间的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与集合的关系决定的，其中集合的相等关系很重要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、补运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密关联的集合，由此可以表示研究对象的某些关系。

常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交流的工具。

充分条件、必要条件和充要条件，全称量词命题，存在量词命题及它们的否定都能与许多已学过的内容进行融合，如初中学习过的数学定义、定理、命题及许多代数结论等都可以用常用逻辑用语表示。

利用常用逻辑用语表述数学内容，进行推理论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，提升逻辑推理素养。

结合以上分析，确定本节课的教学重点是：引领复习全章重点内容。

二、目标和目标解析1.目标（1）理解集合的含义，表示法，明确元素与集合，集合与集合的关系；（2）理解并掌握集合的运算法，能解决集合的交、并、补运算问题；（3）能通过“若p，则q”形式命题的真假性，判断充分条件、必要条件、充要条件；（4）能辨别全称量词命题和存在量词命题的真假，并能写出否定形式。

《集合与常用逻辑用语》知识系统整合规律方法收藏1．由集合的混合运算结果求变量在利用集合的混合运算结果求变量的值或取值范围时，要注意对求出的值进行验证，以保证满足集合中元素的互异性．2．集合与方程的综合集合知识常常与方程结合在一起出题．此类题目主要有两类：一是不含参数的，直接求方程的解；二是含参数的，有时需要进行分类讨论求参数的值或取值范围．交集问题有时转化为解方程(组)或求曲线的交点问题．3．与集合有关的新定义问题(1)定义新集合要与集合定义类比解决．(2)定义新关系要与集合间关系类比解决．(3)定义新运算要与集合间的运算类比解决．4．充分条件与必要条件的理解及判定(1)充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件和结论之间的关系，解决此类问题的基本步骤是：①确定条件是什么，结论是什么； ②把复杂的条件(结论)化简；③尝试从条件推结论，从结论推条件； ④确定是什么条件．(2)要证明命题的条件是充要条件，既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题成立就是证明条件的充分性，证明逆命题成立就是证明条件的必要性．5．全称量词命题与存在量词命题(1)确定命题中所含量词的意义，是全称量词命题和存在量词命题的判断要点．有时需要根据命题所述对象的特征来确定量词．(2)全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．(3)要判定一个全称量词命题为真命题，必须对限定集合M 中的每一个x 验证p (x )成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假命题，只需举出一个反例即可．(4)要判定一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M 中能找到一个x 0，使p (x 0)成立即可，否则这一存在量词命题为假命题．学科思想培优一、分类讨论思想解分类讨论问题的实质是将“整体”化为“部分”来解决，化为“部分”后，增加了题设条件，这也是解分类问题总的指导思想．本章的分类讨论思想主要体现在空集的特殊性上．[典例1] 若集合A ＝{x |－1≤x ≤7}，B ＝{x |n ＋1≤x ≤2n －3，n ∈R }，且B ⊆A ，求n 的取值范围．解 当B ＝∅时，n ＋1＞2n －3，解得n ＜4.此时B ⊆A . 当B ≠∅时，要使B ⊆A ，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1≥－1，2n －3≤7，n ＋1≤2n －3，解得4≤n ≤5.综上所述，n 的取值范围为{n |n ≤5}． 二、数形结合思想在解答集合的运算问题时，我们往往根据集合中元素的不同属性采用不同的图形求解，若给定的集合是不等式的解集，常用数轴来求解；若给定的集合是有限数集，一般采用Venn 图来求解．1．运用数轴[典例2] 已知集合A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}，B ＝{x |2a ＜x ≤a ＋1，a ∈R ，a ＜1}，B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 ∵a ＜1，∴2a ＜a ＋1，∴B ≠∅. 在数轴上表示集合A ，B ，如图：由B ⊆A 知，a ＋1＜－1或2a ≥1， 即a ＜－2或a ≥12. 又a ＜1， ∴实数a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ＜－2或12≤a ＜1. 2．运用Venn 图[典例3] 已知全集I ＝{x |0＜x ＜10，x ∈N ＋}，A ∩B ＝{3}，A ∩(∁I B )＝{1,5,7}，(∁I A )∩(∁I B )＝{9}，求集合A 和B .解 由全集I ＝{x |0＜x ＜10，x ∈N ＋}，得I ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．用Venn 图表示A ∩B ＝{3}，A ∩(∁I B )＝{1,5,7}，(∁I A )∩(∁I B )＝{9}，如图，得集合A ＝{1,3,5,7}，集合B ＝{2,3,4,6,8}．三、定义法[典例4] 已知p ：－2＜m ＜0,0＜n ＜1，q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1且互不相等的正实根，试判断p 是q 的什么条件．解 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1且互不相等的正实根，则Δ＝m 2－4n >0，即m 2>4n .设方程的两根为x 1，x 2，则0<x 1<1,0<x 2<1，且x 1≠x 2， 有0<x 1＋x 2<2，且0<x 1x 2<1.根据根与系数的关系，有⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n .解得⎩⎪⎨⎪⎧0＜－m ＜2，0＜n ＜1.所以－2<m <0,0<n <1，且m 2>4n ，即有q ⇒p . 反之，取m ＝－13，n ＝12，那么方程变为x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12<0. 此时方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以p ⇒/q . 综上所述，p 是q 的必要不充分条件． 四、反证法利用量词命题与量词命题的否定的真假性相反的性质，达到证明的目的． [典例5] 设三个正实数a ，b ，c 满足条件1a ＋1b ＋1c ＝2，求证：a ，b ，c 中至少有两个数不小于1.证明 假设a ，b ，c 中至多有一个数不小于1，这包含下面两种情况： ①a ，b ，c 三数均小于1，即0<a <1,0<b <1,0<c <1，则1a >1，1b >1，1c >1.所以1a ＋1b ＋1c >3，与已知条件矛盾；②a ，b ，c 中有两个数小于1，不妨设0<a <1,0<b <1，而c ≥1，则1a >1，1b >1.所以1a ＋1b ＋1c >2＋1c >2，也与已知条件矛盾．所以假设不成立．所以a ，b ，c 中至少有两个数不小于1.。