高等数学基础第九章

高等数学第九章知识要点二 重 积 分 三 重 积分 概念来源 1、曲顶柱体体积、曲顶柱体体积 ()()()()ini i i DiDn i i i u d y x M m f d x f v s h x s s h x s l l D ==D ==åòòòòå=®=®1010,lim ,2,lim 、平面薄片质量空间中立体的质量()()ini iiiv u dv z y x u M D ==òòòåW=®1,,lim,,z h x l基本性质 1、线性性质：()()[]()()òòòòòò+=×+×DDDdxdy y x g ldxdy y x fkdxdy y x g l y x fk ,,,,2、关于区域的可加性：()()()21,,,,21D DD dxdy y x f dxdy y x f dxdy y x f D DD +=+=òòòòòò3、()()()òòòò===D D D d dxdy y x f y x f 的面积时，s s ,1,4、()()()()()òòòò£Þ£ÎDDdxdy y x g dxdy y x f y x g y x f D y x ,,,,,时，5、()()òòòò£DDdxdy y x f dxdy y x f ,, 6、估值定理 ：()s s M dxdy y x f m D££òò,7、中值定理 ：()()()D f dxdy y x f D Î×=òòh x s h x ,,,,三重积分有类似的性质 计算方法1、直角坐标系下()()()()()òòòò=Dba x x X D dy y x f dxd y x f 21,,f f s 型为()()()()()òòòò=Dd cy yY D dx y x f dyd y x f 21,,y y s 型为2、极坐标下()()()()òòòò=D d f d d y x f 21211sin ,cos ,q qq r rq rr q r q r qs 1、直角坐标系下 ）（1投影法投影法 ()()()()òòòòòòúûùêëé=W Dxy y x z y x z dxdy dz z y x f dv z y x f ,,21,,,, （2）截面法）截面法()()òòòòòò=Dc c Dz dxdy z y x f dz dv z y x f 21,,,,2、在柱面坐标系下()òòòWdv z y x f ,,()()()()()òòò=212121,,,sin ,cos q q q r q r q r q r q r q r rqz z dz z f pd d3、球面坐标系下()òòòWdv z y x f ,,()()()òòò=212121,.2sin cos ,cos sin ,sin sin j jq j q j q qj q q j q j jqr r drr r r r f d d几何及物1、体积 ()òò=Ddxdy y x f v ,2、曲面面积 òò++=Dy x dxdy f f A 221 1、体积 òòòW =dv v 2、质量 ()òòòW=dv z y x M ,,r理中的应用 3、质量 ()òò=Ddxdy y x m ,r4、质心坐标 ()()òòòò==DDy d y x d y x x M M x s r s r ,,()()òòòò==D D x d y x d y x y M M y s r sr ,, 5、转动惯量()òò=Dx d y x y I s r ,2，()sr d y x x I Dy òò=,2()()òò+=DOd y x y xI s r ,226 6、平面薄片对空间质点的引力、平面薄片对空间质点的引力设面密度为()xoy y x 的,r 面上的闭区域D 对位于点()()0,0,0>a a 处的单位质量的质点的引力为()z y x F F F F ,,=，则，则òòòò==Dy D x d r y G F d r x G F s rs r 33,òò-=D z dr GaF s r 3其中G 为引力常数，222a y x r ++=3、质心坐标 ()()òòòòòòW W ==dv z y x dvz y x x M M x yz,,,,r r ()()òòòòòòW W ==dvz y x dv z y x y M M y zx ,,,,r r ()()òòòòòòWW==dvz y x dv z y x z MM z xy ,,,,r r 4、转动惯量()()òòòW +=dvz y x z y I x,,22r ()()òòòW+=dvz y x x z I y,,22r ()()òòòW++=dvz y x z y x I O,,222r 5、物体对空间质点的引力设物体密度为()z y x ,,r ，占有空间闭区域W 的物体对位于点()()0,0,0>a a 处的单位质量的质点的引力为()z y x F F F F ,,=则dv r yp G F dv r xpG F y x òòòòòòW W ==33,,()dv r a z GF z òòòW-=3r 其中G 为引力常数，()222a z y x r -++=对称性在计算中的应用 1、若（、若（11）D 关于x 轴对称，且1D 为D 内0³x 部分 （2）()y x f ,是关于y 的奇函数或偶函数，则有的奇函数或偶函数，则有()òòD d y x f s,=()()()()()ïîïíì=--=-òòDy x f y x f d y x f y x f y x f ,,,,2,,,0当当s 当D 关于y 轴对称，而()y x f ,关于x 为奇函数或偶函数时，有类似的结论函数时，有类似的结论2、若D 关于直线x y =对称，则对称，则()()òòòò=D Dd x y f d y x f s s ,,3、若D 关于原点对称，则关于原点对称，则()òòD d y x f s,()()()()()ïîïíì=--=--=òòy x f y x f d y x f y x f y x f D ,,,,2,,,01当当s 01³x D D 内为部分部分若（若（11）W 关于xOy 面对称；部分为01³W z（2）()z y x f ,,是关于z 的奇函数或偶函数，则有的奇函数或偶函数，则有()òòòWdv z y x f ,,=()()()()()ïîïíì=--=-òòòW 1,,,,,,,2,,,,0z y x f z y x f dv z y x f z y x f z y x f 当当， 当W 关于()zOx yOz 面对称，而()z y x f ,,是关于)(y x 的奇函数或偶函数时，有类似结论函数时，有类似结论..。

第九章 多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ， 此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。

微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。

本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。

本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。

-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。

- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。

2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。

- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。

3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。

-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。

-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。

4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。

-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。

5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。

-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。

6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。

高数第九章知识点总结第九章是高等数学中的重要章节，主要涉及到数列和级数的概念和性质。

数列和级数是数学中研究数值规律和求和的重要工具，具有广泛的应用价值。

下面将对第九章的知识点进行总结。

一、数列的概念和性质1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的一组数，可以用一个公式或递推关系来表示。

2. 数列的分类：数列可以分为等差数列和等比数列，其中等差数列的相邻两项之差为常数，等比数列的相邻两项之比为常数。

3. 数列的通项公式：对于等差数列，可以通过求出公差和首项来得到通项公式；对于等比数列，可以通过求出公比和首项来得到通项公式。

4. 数列的性质：数列可以进行加法、乘法、递推等运算，可以通过这些性质来研究数列的规律和性质。

二、级数的概念和性质1. 级数的定义：级数是将数列的各项相加所得到的和，可以用求和符号来表示。

2. 部分和数列：级数的部分和数列是指将级数的前n项相加所得到的和，可以用Sn表示。

3. 级数的收敛与发散：如果级数的部分和数列Sn的极限存在，则称该级数收敛，否则称该级数发散。

4. 收敛级数的性质：收敛级数的部分和数列是有界的，且任意两个部分和之间的差值可以任意小。

5. 收敛级数的判定：通过级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法等方法可以判断级数的收敛性。

三、数列和级数的应用1. 数列的应用：数列可以应用于等差数列和等比数列的求和问题，常见的应用有求等差数列和等比数列的前n项和，求解等差数列和等比数列的最大值和最小值等。

2. 级数的应用：级数可以应用于求解无穷级数的和问题，常见的应用有求解几何级数的和，求解幂级数的收敛区间等。

以上就是高数第九章的主要知识点总结。

掌握数列和级数的概念和性质，对于理解高等数学的整体框架和解题思路具有重要作用。

在实际应用中，数列和级数也有广泛的应用价值，能够帮助我们更好地理解和解决各种实际问题。

因此，我们要认真学习和掌握这些知识点，提高数学素养和解题能力。