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关于圆盘B样条曲线插值及节点插入问题的研究的开题报告一、研究背景和意义圆盘B样条曲线广泛应用于CAD、计算机辅助造型等领域，具有较高的数值稳定性和局部逼近能力。
B样条曲线的插值问题是B样条曲线研究的一个重要问题。
在实际应用中，为了保证B样条曲线的光滑性和逼近精度，在进行节点处插值时，需要探究高效、准确的节点插入算法。
二、研究内容本次研究拟从以下几个方面展开：1. 理论分析当前常用的圆盘B样条曲线插值方法，比较它们在逼近精度、计算量、数值稳定性等方面的优缺点。
2. 提出一种基于局部逼近的圆盘B样条节点插入算法，并分析该算法的复杂度。
3. 基于实际CAD应用，验证论文所提算法的准确性和有效性。
4. 对比不同的节点插入算法在实际应用中的效果，分析数据并提出优化建议。
三、研究方法1. 利用数学方法和计算机仿真对圆盘B样条曲线进行理论分析和数值计算。
2. 从理论上提出四点求圆盘B样条曲线的逼近方案。
3. 利用MATLAB软件编写程序，实现圆盘B样条曲线插值问题的求解，对比不同算法的效果并验证本研究提出的节点插入算法的准确性和有效性。
四、研究成果预期1. 提出一种基于局部逼近的圆盘B样条节点插入算法，降低插值误差和计算复杂度；2. 实现该算法，并在实际CAD应用中验证其准确性和有效性；3. 与其他关键性能更优的方法进行比较，得出优化建议。
五、预期的难点和问题1. 计算节点插入和插值问题的数学模型的建立；2. 如何在降低插值误差的前提下尽量降低计算复杂度，算法效率较低。
六、研究计划1. 2020年10月至2020年12月，对圆盘B样条曲线的插值问题进行理论分析，包括常用的插值方法，并总结其优缺点；2. 2021年1月至2021年4月，基于局部逼近原则，提出一种圆盘B样条节点插入算法，并编写程序进行复杂度的分析；3. 2021年4月至2021年7月，使用MATLAB验证算法的准确性和有效性；4. 2021年7月至2021年10月，对实验结果进行数据分析，与其他节点插入算法进行比较，得出优化建议；5. 2021年10月至2021年12月，完成论文的编写和校稿。
空间统计方法-样条插值1. 样条插值拉格朗日插值和牛顿插值的结果中，插值函数的为n-1次多项式函数（n 是已知点的个数）。
当样本点很多时，多项式的次数会很高。
这会导致插值结果对已知点的取值非常敏感。
样条插值可以解决上述问题。
样条插值的基础是样条函数。
样条函数是一种特殊的函数，由多项式分段定义, 通常是指分段定义的多项式参数曲线。
在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。
用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，分段插值具有良好的稳定性和收敛性，可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。
并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。
样条插值一般包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值，其中三次样条插值最为实用，本节主要介绍三次样条插值。
样条函数插值采用两种不同的计算方法：规则样条(Regularized Spline)和张力样条(Tension Spline)。
设在区间[a,b]上取n+1个节点01a x x x n b =<<<=L ，函数f(x)y =在各个节点处的函数值为f(x )(i 0,1,,1)i i y n ==-L ,若S(x)满足S(x )y ,(i 0,1,,1)i i n ==-L ；S (x )在区间[a ,b ]上具有连续的二阶导数；在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上S(x)是三次多项式。
则称S(x)是函数y f(x)=在区间[a,b]上的三次样条插值函数。
从定义可知，要求出S(x)在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，根据上述条件(2)有S(x 0)S(x 0)i i -=+S (x 0)S (x 0),i 1,2,,1i i n ''-=+=-LS (x 0)S (x 0)i i ''''-=+共有3n-3个条件，再加上条件(1),共有4n-2个条件，因此还需2个条件才能确定S(x)，通常在区间[a,b]的端点0a x ,b x n ==上各加一个条件(称为边界条件)，可根据实际问题的要求给定。
数值计算方法期末论文————同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。
引言在实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据.插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已知函数的参数或寻找某个近似函数，使所得到的近似函数与已知数据有较高的拟合程度.如果要求这个近似函数（曲线或曲面）经过已知的所有数据点，则称此类问题为插值问题。
当所给的数据较多时，用插值方法所得到的插值函数会很复杂，所以，通常插值方法用于数据较少的情况.但数据一般都是由观测或试验得到的，往往会带有一定的随机误差，因而，要求近似函数通过所有的数据点也是不必要的.如果不要求近似函数通过所有数据点，而是要求它能较好地反应数据的整体变化趋势，则解决这类问题的方法称为数据拟合.插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
而面对一个实际问题，究竟应该用插值还是拟合，有时容易确定，有时则并不明显。
本文由具体题目为基础，主要论述了在同等要求下三次样条插值法与最小二值法的分析及比较。
关键词：数值计算方法、三次样条插值法、最小二值法目录引言--------------------------------------------------- 2第一章三次样条插值------------------------------------ 41.1三次样条插值函数--------------------------------- 41.2 分段线性插值------------------------------------ 51.3插值理论----------------------------------------- 6 第二章最小二乘法--------------------------------------- 72.1 线性最小二乘拟合法------------------------------ 72.2 一般线性最小二乘拟合法--------------------------- 82.3非线性最小二乘拟合法------------------------------ 9 第三章算法对比与实现------------------------------------ 103.1对比实例一---------------------------------------- 103.2对比实例二---------------------------------------- 113.3结果及分析---------------------------------------- 15 第四章总结---------------------------------------------- 16第一章 三次样条插值1.1三次样条插值函数：若函数S （x ）∈2c [a,b],且在每个小区间[1,j j x x +]上是三次多项式，其中a =01x x <<…n x <b =是给定节点，则称S(x)是节点01,,...,n x x x 上的三次样条函数。
四、三次样条插值1.样条函数插值的原理给定区间[,]a b 上划分011:n n a x x x x b -∆=<<<<=，若分段函数()S x 满足： 1. ()S x 在各个子区间1[,]i i x x +，0,1,,1i n =-上均为x 的三次多项式；2. ()S x 在整个区间[,]a b 上有直至二阶的连续导数。
则称()S x 为[,]a b 上依次划分的三次样条函数，简称样条函数。
具体地有分段表达式：3200000132111112322222233211111,[,],[,](),[,](1),[,]n n n n n n a x b x c x d x x x a x b x c x d x x x S x a x b x c x d x x x a x b x c x d x x x -----⎧+++∈⎪+++∈⎪⎪=+++∈⎨⎪⎪⎪+++∈⎩共有4n 个参数,,,,0,1,,i i i i a b c d i n =，它们在内节点处满足00''00''''00()(),()(),1,2,, 1.(2)()(),i i i i i i S x S x S x S x i n S x S x -+---+=⎧⎪==-⎨⎪=⎩满足样条函数定义的函数集合称为分划∆上的三次样条函数空间，记为(3,)S ∆，可以证明(3,)S ∆为线性空间。
若()(3,)S x S ∈∆，且进一步满足插值条件()(),0,1,,(3)i i i S x y f x i n===其中i y 为节点i x 处的给定函数值（若被插函数()f x 已知，则用()i f x 代替之），则称()S x 为以011,,,,n n x x x x -为节点的三次样条函数。
其中式（3）插值节点提供了1n +个约束条件，加上式（2）的33n -个，合起来共有42n -个，欲求4n 个待定参数的唯一解，尚缺两个条件。
多项式插值方法—样条插值-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52f (x)P 5(x)P 10(x)当插值节点过多→龙格现象插值多项式虽然满足插值条件，但是在节点之外，靠近插值区间端点处与实际函数偏离较大，出现了震荡现象如何解决龙格现象？☐根据数据特点选用三角函数或有理函数☐由于多项式的优良性能，更偏爱多项式☐使用分段函数数学模型，在较小的区间段上使用低次多项式插值要点与学习目标☐掌握样条插值的概念和数学模型☐了解样条插值函数系数的确定方法样条插值☐改善分段线性插值和二次插值的精度☐保持曲线的光滑性☐样条的概念三次样条插值函数对于给定的函数表 x)(x f yxx 1xny 1yn思考：根据该定义，关于四个节点的三次样条插值函数的数学模型是什么？需要多少个约束方程才能确定该样条？分段样条插值的数学模型231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩以四个节点为例，四个节点的样条插值函数思考：该函数能否由节点数据完全确定？231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩(0)(0)(1,2,...,1)'(0)'(0)(1,2, (1)''(0)''(0)(1,2, (1)()(0,1,...,)i i i i i ii i S x S x i n S x S x i n S x S x i n S x y i n -=+=-⎧⎪-=+=-⎪⎨-=+=-⎪⎪==⎩样条插值问题的边界条件归根到底，样条插值问题是线性方程组求解的问题。
非均匀三次B样条曲线插值的Jacobi-PIA算法
刘晓艳;邓重阳
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2015(027)003
【摘要】为了求解非均匀三次B样条曲线插值问题,基于解线性方程组的Jacobi 迭代方法提出一种渐进迭代插值算法——Jacobi-PIA算法.该算法以待插值点为初始控制多边形得到第0层的三次B样条曲线,递归地求得插值给定点集的三次B样条曲线;在每个迭代过程中,定义待插值点与第k层的三次B样条曲线上对应点的差向量乘以该点对应的B样条系数的倒数为偏移向量,第k层的控制顶点加上对应的偏移向量得到第k+1层的三次B样条曲线的控制顶点.由于Jacobi-PIA算法在更新控制顶点时减少了一个减法运算,因而运算量更少.理论分析表明该算法是收敛的.数值算例结果表明,Jacobi-PIA算法的收敛速度优于经典的渐进迭代插值算法,与最优权因子对应的带权渐进迭代插值算法基本相同.
【总页数】7页(P485-491)
【作者】刘晓艳;邓重阳
【作者单位】杭州电子科技大学理学院杭州 310018;杭州电子科技大学理学院杭州 310018
【正文语种】中文
【中图分类】O245
【相关文献】
1.非均匀三次B样条曲线插值的GS-PIA算法 [J], 刘晓艳;邓重阳
2.非均匀三次B样条曲线的G2光滑条件 [J], 张爱华
3.局部构造C2连续的三次B样条插值曲线和双三次插值曲面 [J], 冯仁忠;查理
4.非均匀三次B样条曲线光顺性研究 [J], 周泽萍
5.基于曲率单调变化的空间非均匀三次B样条曲线的构造方法 [J], 王爱增; 何川; 赵罡
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样条插值法公式样条插值法是一种在数学和计算机科学中非常有用的数值分析方法。
咱们今天就来好好聊聊这个听起来有点高大上的“样条插值法公式”。
想象一下，你正在做一个科学实验，测量了一些数据点，但是这些点之间的空白区域你不知道具体数值是多少。
这时候，样条插值法就派上用场啦！先来说说什么是样条插值法。
简单来说，就是通过一系列的分段多项式来连接给定的数据点，使得曲线不仅经过这些点，而且还很光滑。
样条插值法公式有很多种，比如三次样条插值公式。
咱们就以三次样条插值为例来深入了解一下。
假设我们有 n + 1 个数据点 (x₀, y₀), (x₁, y₁),..., (xₙ, yₙ) ，并且x₀ < x₁ <... < xₙ 。
对于每个区间 [xᵢ, xᵢ₊₁] ，我们定义一个三次多项式 Sᵢ(x) = aᵢ(x - xᵢ)³+ bᵢ(x - xᵢ)² + cᵢ(x - xᵢ) + dᵢ。
为了确定这些系数 aᵢ、bᵢ、cᵢ、dᵢ，我们需要满足一些条件。
首先，Sᵢ(xᵢ) = yᵢ，Sᵢ(xᵢ₊₁) = yᵢ₊₁，这保证了曲线经过给定的数据点。
然后，还需要满足在每个节点处一阶导数和二阶导数连续。
这一堆条件看起来很复杂，但其实就是为了让我们得到的曲线既经过点，又光滑自然。
我记得有一次，我在帮一个学生解决物理实验中的数据处理问题。
实验是测量一个物体自由下落的高度和时间的关系。
但是由于测量设备的精度问题，得到的数据点并不是很连续。
我们就用样条插值法来填补这些空缺。
通过计算那些复杂的公式，一点点地确定系数，最终得到了一条非常漂亮的曲线，准确地反映了物体下落的规律。
那个学生当时眼睛都亮了，直说：“老师，这太神奇了！”在实际应用中，样条插值法可广泛用于图像处理、工程设计、金融分析等领域。
比如说，在图像处理中，对图像进行缩放或者变形时，就可以用样条插值来保持图像的质量。
总之，样条插值法公式虽然看起来有点吓人，但只要我们掌握了它的原理和方法，就能在很多情况下发挥大作用，解决那些让我们头疼的数据空缺问题。
