含参的线性规划问题

一类含参数线性规划问题的解法作者：张卫兵
来源：《高中生·高考》2019年第06期
目标函数中含参数的线性规划问题近年来在高考中时常出现，如何解决此类问题呢？下面举例加以说明，
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中仅有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道目标函数的最值就是知道目标函数对应的直线在y轴上的截距z/b（b≠0）的最值.为此，可将目标函数z=ax+by中的z用给定的最值代换，通过直线过定点的特征在可行域中找到符合条件的点，便可求出参数的值.
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中儀有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道目标函数过某一点M（x，y）时取最值，求参数的变化范围时，只需将直线z=ax+by的斜率k=-手（b≠0）与过点M（x，y）的交线的斜率进行比较，通过满足题意的斜率的范围来求出参数的范围，
小结在目标函数z=ax+by中含参数（a，b中仪有一个是参数，另一个是定值）的线性规划问题中，知道其中一个参数的变化范围，求目标函数的最值的变化范围时，只需将目标函数中的参数与直线ax+by=z的斜率k=a/b（b≠o）联系起来，由参数的变化范围得到斜率k=a/b （b≠0）的变化范围，以确定直线ax+by=0的位置，再平行移动直线ax+by=0，通过确定直线ax+by=z在y轴上的截距取最值时所经过的点的方法，求出z=ax+by的最值的变化范围.
（责任编校/冯琪）。

走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱线性规划是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合思想的集中体现.传统的线性规划问题主要研究的是在线性或非线性约束条件下求解目标函数的最值，就知识本身而言并不是难点.但是，近年来这类问题的命题设置在能力立意的命题思想指导下出现了新的动向：一方面将它与函数、方程、不等式、数列、平面向量、解析几何等知识交汇在一起；另一方面在这些问题背景中引进参变量，变换设问角度，提高思维强度，增加题目难度.下面我们对线性规划中参变量的新情景设置给出深度分析，帮助同学们走出思维误区，正确求解线性规划问题.一、约束条件中的参变量例1 已知实数,x y 满足01240y x y x y x my n ≥⎧⎪-≥⎪⎨+≤⎪⎪++≥⎩ ，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54的直角三角形，则n 的值是 .例2 设变量,x y 满足约束条件037x y xx ay ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，其中1a >若目标函数z x y =+的最大值为4，则a 的值为 .例3 在平面直角坐标系中，设不等式组()003x y y n x >⎧⎪>⎨⎪≤--⎩所表示的平面区域为n D ，记n D 内的整点（即横、纵都为正整数的点）的个数为n a ，则n a = .例4 若实数,x y 满足不等式33023010x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，且x y +的最大值为9，则实数m = .例5 实数,,x y k 满足3010x y x y x k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，若22z x y =+的最大值为13，则k = .例6 已知由不等式组00240x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，则k = .例7 已知点(,)P x y 满足条件020x y xx y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则k = .例8 已知2z x y =+，,x y 满足2y xx y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则a = .例9 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件0230x y x y x m +≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为 .例10 若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围为 .二、目标式中设置的参数值例1 已知实数,x y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a = .例2 设,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax by=+()0,0a b >>的最大值为12，则23a b+的最小值为 .例3 已知区域D ：1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，的面积为S ，点集(){},1T x y D y kx =∈≥+在坐标系中对应区域的面积为12S ，则k = .例4 已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a = .例5 已知变量,x y 满足约束条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y=+(0)a >其中仅在点()1,1处取得最大值，则a 的取值范围为.例6 设实数,x y 满足约束条件3602000x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则22a b +的最小值为 .例7 设,x y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+当且仅当在点()2,4处取最大值，在点()1,1处取最小值，则实数a 的取值范围为 .例8 已知实数,x y 满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为 .三、其他类例1 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l上的投影.由区域20340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段AB ，则AB = .例2 在平面直角系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足OA OB =2OA OB ==，则点集{},1,,P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈R 所表示的区域的面积为 .例3 若两个正数,a b 满足24a b +<，则222b z a +=-的取值范围为 .例4 若实数,x y 满足不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最大值为.例5 若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩，表示的区域为Ω，不等式221124x y ⎛⎫-+≤⎪⎝⎭表示的区域为Γ，在Ω中任取一点P ，则点P 落在区域Γ中的概率为 .例6 已知正数,,a b c 满足：534,ln ln c a b c a c b a c c -≤≤-≥+，则b a的取值范围是 .例7 已知实数,x y 满足()21y xx y a a x ≥⎧⎪+≤>⎨⎪≥⎩，22223y xy x x -+的最大值为6，则实数a = .例8 已知实数,x y 满足约束条件104312020x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则211x y z x -+=+的最大值为 .例9 已知不等式组3410043x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A B 、，当APB ∠最大时，cos APB ∠=.例10 设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为 .例11 设,x y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则a= . 答案：一、 1.32- 2.2 3.3n 4.1 5.26.1-7.6-8.149.1- 10.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、 1.12-或 2.256 3.13 4.2 5.10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6.25137.(]2,0- 8.7三、 1.2. 3.()3,1- 4.14 5.3236π+ 6.[],7e 7.4 8.459.1210.18 11.3。

高考数学专题：线性规划中目标函数含参数问题一、单选题1．已知变量,x y 满足约束条件302902x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩,若使z ax y =+取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( ) A ．{}2,0-B ．{}1,2-C ．{}0,1D ．{}2,0,1-2．设,x y 满足不等式组60{210320x y x y x y +-≤--≤--≥，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围是A ．[2,1]-B ．[1,2]-C ．[3,2]--D ．[3,1]-3．若满足约束条件且目标函数取得最大值的点有无数个，则的最小值等于（ ） A ．B ．C ．D ．4．设满足约束条件，则目标函数的最大值为11，则的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85．已知满足约束条件，若2≤m≤4，则目标函数的最大的变化范围是（ ）A ．[1,3]B ．[4,6]C ．[4,9]D ．[5,9] 6．实数x ，y 满足1|1|12x y x +≤≤-+时，目标函数z mx y =+的最大值等于5，则实数m 的值为（ ） A ．1-B ．12-C ．2D ．57．若实数，满足约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为，，则函数当且仅当在点处取得最大值的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若不等式组，所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则= A ．B ．C ．D ．二、填空题9．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件26020x y x y --≤⎧⎨-+≥⎩,若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为_____. 10．已知不等式1010220x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若对任意的(),x y D ∈，不等式20x y t --≥恒成立，则实数t 的最大值为__________11．已知实数x ，y 满足线性约束条件1050250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数()z y ax a R =-∈取最小值时有无数个最优解，则实数a 的取值是______.12．已知实数,x y 满足不等式组20,40,250,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩若当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+?B ．[)1,+∞C ．()1,1-D ．()0,113．已知实数,x y 满足00220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪++⎩………，若10ax y a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是____________.14．若,x y 满足21y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩,若z x my =+的最大值为53，则实数m =________.15．已知实数,x y 满足22222x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，若(0)z x my m =->的最大值为4，则(0)z x my m =->的最小值为__________．16．设实数x ，y 满足条件，若的最小值为0，则实数的最小值与最大值的和等于 ．17．若实数,x y 满足不等式组40{23801x y x y x +-≤--≤≥，目标函数z kx y =-的最大值为12，最小值为0，则实数k =__________．参考答案1．B 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由z ax y =+得y ax z =-+，若0a =，则直线y ax z z =-+=，此时z 取得最小值的最优解只有一个，不满足题意；若0a ->，则直线y ax z =-+在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ax =-与直线290x y --=平行时满足题意，此时2a -=，解得2a =-；若0a -<，则直线y ax z=-+在y 轴上的截距取得最小值时，z 取得最小值，此时当直线y ax =-与直线30x y +-=平行时满足题意，此时1a -=-，解得1a =.综上可知，2a =-或1a =，故选B. 2．A 【解析】试题分析：由z ax y =+得，直线是斜率为，轴上的截距为的直线，做出不等式组对应的平面区域如图，则，，∵z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，∴直线z ax y =+过点时，取得最大值为24a +，经过点时取得最小值为1a +，若，则，此时满足条件，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，若，则目标函数斜率，要使目标函数在处取得最小值，在处取得最大值，则目标函数的斜率满足，即，综上-2≤a≤1，故选A ．3．C试题分析：由题意得，由，所以，故直线在截距为，作出平面区域如下，故，故直线，故过点时，目标函数由最小值，故选C．4．B【解析】试题分析：满足约束条件的区域是一个四边形，如图4个顶点是，由图易得目标函数在取最大值，即∴，∴，在时是等号成立，∴的最小值为．5．D 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线：，，则可知当，时，，故选D ．6．B 【解析】画出可行域如图所示，化z mx y =+ 为y mx z =-+，当01m >->-即1m < 时，目标函数在点()4,3A - 处取得最值，即()1435,2z m m =⨯-+==-；当1,m -≤-即m 1≥ 时，目标函数在点()0,2B 处取得最值2，与题意不符（舍）故选B7．A【解析】如图所示，不等式组满足的可行域为直线的斜率，且该直线在轴的截距越大，就越大，所以要使当且仅当在点处取得最大值需满足点共计有个，其中满足的有27个，所以所求概率为故答案选8．C试题分析：作出可行域，求出点的坐标,,；恒过点，所以当直线经过的中点时，直线将平面区域分成面积相等的两部分，则，解得.9．9 4【解析】不等式表示的平面区域阴影部分，当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x−y+2=0与直线2x−y−6=0的交点(8,10)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而515145555912044544a b b aa b a b a b+⎛⎫⎛⎫+=+=+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…当且仅当545b aa b=时取等号，则51a b+的最小值为94.10．5-解：由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示：可求得()3,4A，()0,1B，()1,0C.当直线2z x y=-经过点()3,4A，时，直线的纵截距最大，z最小min3245Z∴=-⨯=-，5t∴≤-.故答案为：5-.11．1-或2如图所示，不等式组1050250x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示区域为以A、B、C三点构成的三角形区域（包含边界），将目标函数变形为y ax z =+，z 取最小值即为直线y ax z =+在y 轴上截距最小， 当0a =时，显然不满足； 当0a >时，结合图象可知，使得z 取最小值时有无数个最优解，直线y ax z =+与直线AC 平行， 此时2a =； 当0a <时，结合图象可知，使得z 取最小值时有无数个最优解，直线y ax z =+与直线BC 平行， 此时1a =-，综上所述，a =1-或2. 故答案为：1-或2. 12．A由题意作出其平面区域，将z y ax =-化为y ax z =+，z 相当于直线y ax z =+的纵截距， 则由图可知，当且仅当1x =，3y =时，y ax -取得最大值，即目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是()1,3B ，则1a >， 故选：A .13．(,1]-∞-实数,x y 满足00220y x y x y ⎧⎪+⎨⎪++⎩………的可行域如图：可知1x ≤-，由10ax y a -+-≥，可得：11y a x -≤-， 其中11y x --的几何意义是可行域内的点与()1,1D 连线的斜率， 由图形可知连线的斜率的最大值为011112BD k -==--， 最小值大于与直线0x y +=平行时的斜率，即11112y x --<≤-. 可得(,1]a ∈-∞-.故答案为：(,1]-∞-.14．2【解析】在平面直角坐标系内画出不等式组21y x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩表示的平面区域，是以点()0,0，1112,,2233⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为顶点的三角形区域，显然0,1m ≠，当11m -≤-，即01m <<时，目标函数z x my =+在点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最大值，则有511322m =+，解得713m =>，不符合题意；当110m -<<，即1m >时，目标函数z x my =+在点12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最大值，则有512333m =+，解得2m =，符合题意；当10m->，即0m < 时，目标函数z x my =+在11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭点处取得最大值，则有511322m =+，解得703m =>，不符合题意，综上所述，实数m 的值为2， 故答案为2.15．6-作出可行域如图：目标函数化简得：1z y x m m=-，因为0m >，故只可能在B ，C 处取最大值. 联立220220x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得B (2,2)--, 联立22020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得C (0,2), 联立20220x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得A (2,0),若目标函数(0)z x my m =->过点A 时，2z =不符合题意，所以过C 时取得最大值，此时422m =-+，解得3m =，(0)z x my m =->过点C 时，min 6z =-.16．试题分析：若的最小值为0，则等价于与区域有交点，不等式组表示的平面区域如图，由，得，，由，得，当直线经过点时，，当经过点时，，则，故实数的最小值和最大值等于．17．3【解析】做出可行域如图，目标函数y kx z =-，当0k ≤时，显然最小值不可能为0，当0k >时，当y kx z =-过点()1,3时取最小值，解得3k =，此时y kx z =-过点()4,0时有最大值，符合题意，故填3k =．。

含参数的线性和非线性规划问题【提纲挈领】主干知识归纳1．含参数的线性规划问题通常有两种：即线性约束条件中含有参数与目标函数中含有参数两问题. 方法规律总结1、线性约束条件中含有参数问题：可以根据条件先确定可行域上的边界点或者边界线,进而确定线性约束条件中所含有的参然值,然后画出可行域,把问题转化为一般形式的线性规划问题.2、目标函数含参数的问题：可以根据条件先画出可行域，然后运用数形结合的思想，比较目标函数与边界有关直线的倾斜程度等,直观求解。

【指点迷津】【类型一】在约束条件中仅含一个参数的线性规划问题【例1】：已知x ，y ∈R ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k所表示的平面区域的面积为6，则实数k 的值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：作出不等式组对应的平面区域．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝0，y ＝k ，解得⎩⎨⎧x ＝－2k ，y ＝k ，即A(－2k ，k)；由⎩⎨⎧x －y ＝0，y ＝k ，解得⎩⎨⎧x ＝k ，y ＝k ，即B(k ，k)．∵平面区域的面积是6，∴12×(3k)×k ＝6，即k 2＝4，解得k ＝2或k ＝－2(舍去)．答案:B【例2】：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤a a >1x －y ≤0，若目标函数z ＝x ＋y 取得最大值4，则实数a 的值为 ( )．A ．4B ．3C ．2D.32【解析】：作出可行域，由题意可知可行域为△ABC 内部及边界，y ＝－x ＋z ，则z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，将目标函数平移可知当直线经过点A 时，目标函数取得最大值4，此时A 点坐标为(a ，a )，代入得4＝a ＋a ＝2a ，所以a ＝2.答案:C【例3】设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[8,10]B ．[8,9]C ．[6,9]D ．[6,10]【解析】： 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.答案：A【类型二】、在目标函数中仅含一个参数的线性规划问题【例4】：设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y －18≤0，2x －y ≥0，x ＋y －3≥0，若直线kx －y ＋2＝0经过该可行域，则k 的最大值为________．【解析】：画出可行域如图，k 为直线y ＝kx ＋2的斜率，直线过定点(0,2)，并且直线过可行域，要使k 最大，此直线需过B (2,4)点，所以k ＝4－22－0＝1. 答案：1【例5】：在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a 的值为( )A ．－5B ．3C ．5D ．7【解析】：直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)，且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7. 答案：D【例6】：设实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －10≤0，x －2y ＋8≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )．A.256B.83C.113D ．4【解析】：由可行域可得，当x ＝4，y ＝6时，目标函数z ＝ax ＋by 取得最大值，∴4a ＋6b ＝12，即a 3＋b2＝1.∴2a ＋3b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ·⎝⎛⎭⎫a 3＋b 2＝136＋b a ＋a b ≥136＋2＝256.答案：A【类型三】、在约束条件和目标函数中都含参数的线性规划问题【例7】：设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________．【解析】：目标函数z ＝x ＋my 可变为y ＝－1m x ＋zm，∵m >1，∴－1<－1m <0，z 与zm同时取到相应的最大值，如图，当目标函数经过点P ⎝⎛⎭⎫1m ＋1，m m ＋1时，取最大值，∴1m ＋1＋m 2m ＋1<2，又m >1，得1<m <1＋ 2. 答案：(1,1＋2)【例8】：设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a 等于( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】：当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎨⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．答案：B【例9】：(山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( ) A ．5 B ．4 C. 5 D ．2【解析】：方法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示． 由⎩⎨⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 方法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值， 所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方， 故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.故选B. 答案：B【同步训练】【一级目标】基础巩固题组一、选择题1、点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a 的值为（）A 、2B 、3C 、4D 、5【解析】：由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3. 答案：B2、 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为()A ．－2B ．－1C ．0D ．1【解析】：当kx －y ＝0与直线x ＝1垂直时，k ＝0示的平面区域如图①所示，直角三角形的面积S ＝12×3×3＝92满足题意．当kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时，k ＝1，不等式组所表示的平面区域如图②所示，直角三角形的面积S ＝12×(2－1)×(3－1)＝1，满足题意．综上可知，k 的值为1.答案：D3、(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥)3(31x a y y x x 若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2 【解析】：本题可先画出可行域，然后根据图形确定出最小值进行解答．作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎨⎧x ＝1，y ＝a x －3得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，答案：B4、设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，若目标函数z ＝ax ＋y 取得最大值时最优解不唯一，则a 的值为( )A ．－1B ．0C ．－1或1D ．1ax ＋y ＝0，当其与直线BC 重合时，目标函数值最大，此时a ＝1. 答案:D5、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，x －y ≥0，0≤x ≤k .若z ＝x ＋ky 的最小值为－2，则z 的最大值为()A ．12B ．16C ．20D ．24【解析】：由题易知k>1.作出不等式组对应的平面区域如图所示，联立⎩⎨⎧x ＝k ，x ＋2y －1＝0，解得B(k ，1－k2)．当直线y ＝－1k x ＋z k 过点B(k ，1－k 2)时，在y 轴上的截距最小，即zk 最小，所以k ＋k ·1－k2＝－2，解得k ＝4(－1舍去)． 当直线y ＝－1k x ＋zk 过点C(4，4)时，z ＝x ＋4y 取得最大值20.答案：C 二、填空题6、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋2y －a ≤0，若目标函数z ＝3x ＋y 的最大值为6，则a ＝________【解析】：作出不等式组表示的平面区域，即可行域如图中阴影部分所示．直线x ＋2y －a ＝0与x 轴交于点A (a ，0)，目标函数为z ＝3x ＋y ，当直线y ＝－3x ＋z 过可行域内点A (a ，0)时，z 恰好取得最大值6，即z max ＝3a ＋0＝6，得a ＝2，即直线x ＋2y －a ＝0过点(2，0)，故a ＝2. 答案：27、若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．【解析】：如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.答案18、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．【解析】：画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.答案：),21(+∞ 三、解答题9、不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，2x －y －2≤0所确定的平面区域记为D .若点(x ，y )是区域D 上的点，求（1）2x ＋y 的最大值（2）若圆O ：x 2＋y 2＝r 2上的所有点都在区域D 上，求圆O 的面积的最大值．【解析】：区域D 如下图所示：当直线2x ＋y ＝z 过点A (4,6)时，z max ＝14.又圆x 2＋y 2＝r 2在区域D 上，故半径r 的最大值是原点O 到直线2x －y －2＝0的距离d ＝|－2|2212＝25，∴圆O 的面积的最大值为45π.答案：1445π 10、若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 【解析】：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．答案：(1) z 的最大值为1，最小值为－2 (2) a 的取值范围是(－4,2)【二级目标】能力提升题组一、选择题1、在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3 【解析】：画出⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的平面区域如图，直线l ：y ＝ax ＋1过定点(0,1)，由于ax －y ＋1≥0与⎩⎨⎧x ＋y －1≥0x －1≤0围成平面区域的面积为2，∴a >0，令x ＝1得y ＝a ＋1，∴12×(a ＋1)×1＝2，∴a ＝3答案：D2、 [2015·福建卷] 变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于()A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】：C [解析] 由约束条件可知，①若m ∈[2，＋∞)，则当⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0时， z max ＝0(舍去)；②若m ∈(12，2)，则当⎩⎨⎧x －2y ＋2＝0，mx －y ＝0，即⎩⎨⎧x ＝22m －1，y ＝2m 2m －1时， z max ＝2×22m －1－2m2m －1＝2，所以m ＝1； ③若m ∈(－∞，12]，则z 无最大值(舍去)．答案：C 二、填空题3、已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若y －mx ≤2恒成立，则实数m 的取值范围为________．【解析】： 由题意作出不等式组表示的平面区域，y －mx ＝2恒过点(0，2)，且m 是y －mx ＝2的斜率，则由图可知，若y －mx ≤2成立，则－1≤m ≤2. 答案:－1≤m ≤2 三、解答题4、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，求ab 的最大值。

高考中线性规划专题纵观近几年高考试题，线性规划问题是每年的必考内容。

题型多以选择题、填空题出现，它是直线方程在解决实际问题中的运用，特别是含参数线性规划问题，与数学中的其它知识结合较多，题目灵活多变，要引起高度重视. 近三年全国卷是这样考1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T15)若x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x 则y x 的最大值为 .2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T15)若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩则z=3x+y 的最大值为 .3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T14)若x,y 满足约束条件则z=x+y 的最大值为 .4.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T4)若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩则z=2x+y 的最大值为 .5. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T9) 设x,y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则z=x+2y的最大值为( )6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T9)设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩则z=2x-y的最大值为 ( )7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a>0,x,y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩若z=2x+y 的最小值为1,则a= ( ) A.14 B. 128.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（ ） A.7- B.6- C.5- D.3-9．（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ14）设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧≤-≤-≤≤0131y x x ，则y x z -=2的最大值为______. 10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 . 11.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为.D 若直线()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .含参问题的探究 一、恒过“定点”问题例1.（2009福建，9）在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x （a 为参数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 （ ） A ．5- B. 1 C. 2 D. 3解析：作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-≥-+010101y ax x y x 所围成的平面区域。

含参数的简单线性规划问题的解法教学目标：1、知识与技能：掌握目标函数或约束条件中含参数问题的一般解法2、过程与方法：（1）通过例1及其变式的讨论，让学生掌握含参数问题可以抓住直线恒过定点的角度考虑；（2）通过例2的四个小变式的讨论，让学生体会含参数问题可以考虑参数的几何意义，数形结合讨论动直线的几何特征，画出目标函数，列式求解3、情感态度与价值观：以学生为主体，以问题解决为目的，激发学生观察思考，猜想探究的兴趣；培养学生分析问题、解决问题的能力教学重点：解决含参数的简单线性规划问题中的四个解法步骤：动中找静，确定参数几何意义，研究动直线的几何特征，列式求解教学难点：根据参数出现的不同位置，数形结合研究动直线的几何特征，从而能有效解题教学方法：尝试、归纳法教学过程：一、实例探索例1、若不等式组3434xx yx y≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx=+分为面积相等的两部分，则k的值为（）A. 73B.37C.43D.34变式：若不等式组34040xx ykx y≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域为三角形，则k的取值范围为_________________.设计意图：此类问题中参数的变化导致直线位置不确定，因此先要找到直线恒过的定点，再确定参数的几何意义，根据其它条件进行列式求解例2当实数,x y 满足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时（1） 若目标函数z ax y =-+取到最大值时的最优解有无穷多个，则实数a 的值是_________________.（2） 若目标函数z ax y =-+取到最大值时的唯一最优解是()2,1，则实数a 的取值范围是_________________设计意图：在平面区域定的前提下，确定参数a Z 、的几何意义，数形结合讨论动直线的变化过程，加强学生分类讨论的思想（3） 若目标函数z ax y =-+取到最大值为12，则实数a 的值是_________. 设计意图：通过上面的讨论分析，学生从形上就能快速找到取到最大值的点（4） 若4ax y -+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________________.设计意图：从最值的角度思考，结合上面的分析，最大值所取的点二、随堂练习若0,0a b ≥≥ ，且当0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩时，恒有1ax by +≤，则以,a b 为坐标点(),p a b 所形成的平面区域的面积等于________________.三、课时小结解决含参数的简单线性规划问题的基本解法：（1）动中找静（2）确定参数的几何意义（3）数形结合研究动直线的几何特征（4）列式求解四、课后作业1、若不等式组()0211y y x y a x ⎧≥⎪≤⎨⎪≤-+⎩表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围为________________.2、（2011湖南）设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤+⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）。

12.如图, 目旳函数u ＝ax －y 旳可行域为四边形OACB(含边界). 若点C( , )是该目旳函数旳最优解, 则a 旳取值范围是________.
解析：由u ＝ax －y 得y ＝ax －u, 于是要使点C( , )是目旳函数旳最优解, 需有kAC ≤a ≤kBC, 而kAC ＝－ , kBC ＝－ .
答案：⎣⎡⎦⎤－125
，－310 19. (本小题满分16分)已知x 、y 满足 设z ＝ax ＋y(a>0), 若当z 取最大值时对应旳点有无数多种, 求a 旳值.
解: 画出可行域, 如图所示, 即直线z ＝ax ＋y(a>0)平行于直线AC, 则直线通过线段AC 上任意一点时, z 均获得最大值, 此时将满足条件, 有无数多种点使函数获得最大值.
分析知当直线y ＝－ax ＋z 刚好移动到直线AC 时, 将会有无数多种点使函数获得最大值.
又由于kAC ＝ ＝－ ,
即－a ＝－ , ∴a ＝ .
9．已知实数x, y 满足 假如目旳函数z ＝x －y 旳最小值为－1, 则实数m 等于________．
解析: x, y 满足旳区域为图中阴影部分, 由题意知, 当(x, y)在点A 处时, z ＝x －y 获得最小值.
由 得A( , ).
∴ － ＝－1,
∴m ＝5.
答案：5。

问题11含参数的线性规划与非线性规划问题性一、考情分析线性规划是高考必考问题,常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题,是线性规划中的难点,其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．二、经验分享(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行四边形或梯形),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个三角形分别求解再求和即可．(2)利用几何意义求解的平面区域问题,也应作出平面图形,利用数形结合的方法去求解．(3)先准确作出可行域,再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．当目标函数是非线性的函数时,常利用目标函数的几何意义来解题.(4)当目标函数中含有参数时,要根据临界位置确定参数所满足的条件,含参数的平面区域问题,要结合直线的各种情况进行分析,不能凭直觉解答,目标函数含参的线性规划问题,要根据z的几何意义确定最优解,切忌搞错符号．三、知识拓展常见代数式的几何意义：①x2＋y2表示点(x,y)与原点(0,0)的距离,?x－a?2＋?y－b?2表示点(x,y)与点(a,b)的距离；②yx表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率,y－bx－a表示点(x,y)与点(a,b)连线的斜率．四、题型分析类型一目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值．1．目标函数中x的系数为参数【例1】x ，y 满足约束条件，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为_______________. 【答案】2或1-【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线y ax =，因此要使线性目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线y ax =的斜率，要与直线或的斜率相等，∴2a =或1-．【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系．通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问题可能没有最优解；（2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解．【牛刀小试】已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若z ax y =+的最大值为4，则a =___________.【答案】2【解析】将z ax y =+化为z ax y +-=，作出可行域（如图所示），当0≤a 时，当直线z ax y +-=向右下方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 减少，当直线z ax y +-=过原点时，0max =z （舍）；当0>a 时，当直线z ax y +-=向右上方平移时，直线z ax y +-=在y 轴上的截距z 增大，若01<-≤-a ，即10≤<a 时，当直线z ax y +-=过点)1,1(B 时，，解得3=a （舍），当1-<-a ，即1>a 时，则当直线z ax y +-=过点)0,2(A 时，，解得2=a ．【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率a -的符号，还要讨论斜率a -与边界直线斜率1-的大小关系. 2．目标函数中y 的系数为参数【例2】已知变量,x y 满足约束条件若目标函数的最大值为1，则a = ．【答案】3．【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B （4，1）点是取得最大值，∴141a =-⨯，∴3a =． 【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值． 3．目标函数中,x y 的系数均含参数【例3】设x ，y 满足约束条件221x x yyx ≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，若目标函数的最小值为2，则ab 的最大值为 ． 【答案】41．【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得，要目标函数的最小值为2，∴222=+b a ，即1==b a ，∴，当且仅当21==b a 等号成立．故ab 的最大值为41．【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用．应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般在多边形的顶点处取得．应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．【牛刀小试】设x y ，满足约束条件，若目标函数的最大值为12，则ba 32+的最小值为______________. 【答案】625【解析】作出x y ，满足约束条件下平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点()4,6A 取得最大值12，即，亦即236a b +=，所以＝，当且仅当b a a b =，即65a b ==时等号成立．【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已知ax by m +=﹙﹚求的最小值，通常转化为c d x y +＝1()c d m xy+（ax by +)，展开后利用基本不等式求解． 4．目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D ．若圆()0>r 不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是_______________．【答案】【解析】不等式对应的区域为ABE ∆．圆心为(1,1)--，区域中A 到圆心的距离最小，B 到圆心的距离最大，∴要使圆不经过区域D ，则有0r AC <<或r BC >．由1x y x =⎧⎨=⎩得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ．由14x y x =⎧⎨=-+⎩，得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)B ．∴22AC =，25BC =，∴022r <<或25r >，即r 的取值范围是．【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题．对于目标函数为平方型：，可看成可行域内的点(),P x y 与定点(),Q a b 两点连线的距离的平方，即；也可看成是以(),Q a b 为圆心，z 为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题．【牛刀小试】设二元一次不等式组所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x (a ＞0，a ≠ 1)的图象过区域M 的a 的取值范围是___________. 【答案】[2，9]【解析】平面区域M 如图所示，求得，由图可知，欲满足条件必有且图象在过B 、C 两点的图象之间，当图象过B 点时，，当图象过C 点时，，所以，故的取值范围是．【评注】巧妙地识别目标函数的几何意义是研究此类问题的基础，纵观目标函数包括线性与非线性、非线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸，使得线性规划问题得以深化，本题的解答中正确理解目标函数表示指数函数的图象与二元一次不等式组表示的平面区域有公共点这一意义是解得本题的关键。