2017_2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末复习课学案新人教B版选修1_2

(5)复数的模：向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 |z| 或_|_a_＋__b_i|_， 即|z|＝|a＋bi|＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi←―一――一―对――应―→复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R). (2)复数 z＝a＋bi(a，b∈R) ←―一――一―对――应―→平面向量O→Z.
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ (a＋c)＋(b＋d)i ； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ (a－c)＋(b－d)i ； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i ；
解答
反思与感悟 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应 的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或 者用向量相等直接给出结论.
跟踪训练3
在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数
2 z
＋z2对应的
点位于
√A.第一象限
C.第三象限
B.第二象限 D.第四象限
解析 ∵2z＋z2＝1＋2 i＋(1＋i)2 ＝1＋2 i＋2i＝(1－i)＋2i＝1＋i，
解 z＋1 ＝
2＋i
＝2＋i＝1－i，
∴z2－z＋3z1＋6的模为 2.
解答
z 跟踪训练 2 (1)已知1＋i＝2＋i，则复数 z 等于
A.－1＋3i C.3＋i
√B.1－3i
D.3－i
解析 ∵1＋z i＝2＋i，∴ z ＝(1＋i)(2＋i)＝2＋3i－1＝1＋3i，∴z＝1－3i.

第三课 数系的扩充与复数的引入[核心速填]1．复数的有关概念及分类(1)代数形式为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中实部为a ，虚部为b ； (2)共轭复数为z ＝a －b i(a ，b ∈R )． (3)复数的分类 复数a ＋b ia ，b ∈R⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0⎩⎨⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧,整数分数无理数无限不循环小数虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0①若 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是实数，则z 与z 的关系为z ＝z .②若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是纯虚数，则z 与z 的关系为z ＋z ＝0(z ≠0)． 2．与复数运算有关的问题 (1)复数相等的充要条件a ＋b i ＝c ＋d i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(2)复数的模复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2.(3)复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) ①加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； ②减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ； ④除法：z 1z 2＝a 1a 2＋b 1b 2＋a 2b 1－a 1b 2i a 22＋b 22＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； 3．复数的几何意义(1)任何一个复数z ＝a ＋b i 一一对应着复平面内一个点Z (a ，b )，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ →.(2)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ →1、OZ →2不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ →1、OZ →2为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．(3)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ →1、OZ →2的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．[体系构建][题型探究]复数的概念当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i.(1)为实数； (2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0. 【导学号：31062230】 [解] (1)z ∈R ⇔a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2.故a ＝0.(3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＞0，a 2－3a ＋2＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，或a ＞2，a ＜1，或a ＞2，∴a ＜0，或a ＞2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0， ∴a ＝2.[规律方法] 处理复数概念问题的两个注意点 1当复数不是a ＋b i a ，b ∈R 的形式时，要通过变形化为a ＋b i 的形式，以便确定其实部和虚部.2求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根. [跟踪训练]1．(1)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－2(2)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1D ．3(1)A (2)D [(1)因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i ＋(－2i)＝0.故选A.(2)因为a －103－i ＝a －103＋i 3－i 3＋i ＝a －103＋i10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.]复数的几何意义(1)在复平面内，复数－2＋3i3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝________，b ＝________.【导学号：31062231】(1)B (2)－3 －10 [(1)－2＋3i3－4i ＝－2＋3i3＋4i25＝－18＋i 25＝－1825＋125i ，∴复数－2＋3i 3－4i对应的点位于第二象限．(2)∵OC →＝2OA →＋OB →∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.][跟踪训练]2．若i 为虚数单位，图3­1中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z1＋i的点是( )图3­1A ．EB ．FC ．GD ．HD [∵点Z (3,1)对应的复数为z ，∴z ＝3＋i ，z 1＋i ＝3＋i 1＋i ＝3＋i1－i 1＋i 1－i ＝4－2i2＝2－i ， 该复数对应的点的坐标是(2，－1)复数的四则运算(1)已知z 是z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )【导学号：31062232】A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i(2)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝3＋2i (2＋，则z 1等于( )A ．－4＋3iB ．3＋4iC ．3－4iD ．4－3i(1)A (2)D [(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入z ·z i ＋2＝2z 中得，(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，∴2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴z ＝1＋i ，故选A.(2)z 1z 2＝()2－3i ()2＋i 23＋2i ＝()2－3i ()3－2i ()2＋i 2()3＋2i ()3－2i ＝－13i ()3＋4i 13＝4－3i.]母题探究：1.(变结论)本例题(1)中已知条件不变，则z z＝__________.[解析] 由解析知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i.z z＝1＋i1－i＝i. [答案] i2．(变结论)本例题(2)中已知条件不变，则z 1z 2＝__________. [解析] z 1z 2＝()2－3i ()3＋2i ()2＋i 2＝12－5i 3＋4i ＝()12－5i ()3－4i ()3＋4i ()3－4i ＝16－63i 32＋42＝1625－6325i. [答案] 1625－6325i[规律方法]1复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；2复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a ＋b i a ，b ∈R 的结构形式.3利用复数相等，可实现复数问题的实数化.转化与化归思想已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围.【导学号：31062233】[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. 又z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i)＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数，∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限．∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2＞08a －2＞0，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．[规律方法] 一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i x ，y ∈R ，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.[跟踪训练]3．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . [解] 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.。

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3．1 数系的扩充[学习目标］1。

了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念。

3。

掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．［知识链接]为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？答设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．[预习导引］1．复数的有关概念（1）复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R,i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i。

(3）复数集定义:全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．2．复数的分类及包含关系（1)复数(a＋b i，a，b∈R)错误!(2）集合表示：3．复数相等的充要条件设a,b，c，d都是实数，那么a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d。

③“ ”是“复数 是纯虚数”的_________________条件．
④“ ”是“复数 所对应的点在虚轴上”的_________条件．
2．已知复数 在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数 的取值范围．
3．已知复数 ， ，试比较它们模的大小．
4．设 ，满足条件的点 的集合是什么图形？（1） ；（2） ．
1.设 ，则 _______.
2.已知复数 ， 是 的共轭复数，则 _______.
3.已知复数 满足 ，则 _______.
4.已知 ，则 ________.
5.设 ，则复数 在复平面内对应的点位 于第_______象限.
6.在复平面内，一个正方形的 个顶点对应的复数分别是 ， ， ，求第四个顶点对应的复数.
备注
【课堂检测】
1．分别求出复数 ， ， ， ， ， 的模.
2.设 与复平面内的点 对应，当 满足什么条件时，点 位于：（1）实轴上？（2）虚轴上（原点除外）？（3）实轴的上方？（4）虚轴的上方？
3.在复平面内，点 对应的复数分别是 ， ，则线段 的中点对应的复数是__________.
4.在复平面内，复数 与 分别对应向量 和 ，其中 为坐标原点，则 =______.
5.已知复数 ，则 _______.
6.已知复数 ，则 _______.
7.已知复数 的模为 ，则 的最大值是_______.
8.已知在复平面内，定点 与复数 对应，动点 与复数 对应，那么满足不等式 的点 的集合是什么图形？
9.设复数 满足 ，则 的最小值为______.
【回标反馈】
备注
【巩固练习】
7.设复数 在复平面内对应点为 ，方程 的两个根在复平面
内对应点分别为 ，则向量 对应的复数为___________.