1.3 全称量词与存在量词 教案2(高中数学选修1-1北师大版)

1.3 全称量词与存在量词学习目标1．通过实例，理解全称量词与存在量词的意义． 学习重点和难点1．重点：理解全称量词与存在量词的意义； 2．难点：全称命题和特称命题的真假判定． 学习过程 一、课前自主学习 1．教材助读（1）什么是全称量词？全称命题？ （2）全称命题的真假判定方法什么？ （3）什么是存在量词？特称命题？ （4）特称命题的真假判定方法什么？ 2．预习自测（1）判断下列命题的真假．①每个指数函数都是单调函数． （ ）②∀x R ∈，20x >． （ ） ③∃0x R ∈，200x ≤． （ ）④至少有一个整数 ，它的绝对值小于零． （ ）3．我的疑惑二、探究·合作·展示 ※ 学习探究【探究一】判断下列全称命题的真假．1．所有的素数都是奇数． （ ）2．∀x R ∈，233x +≥． （ ）【探究二】判断下列特称命题的真假．1．有一个实数0x ，使20020x x +-=． （ ） 2．∃0{|x x x ∈是无理数}，1x -是有理数． （ ） 三、我的收获学习评价 ※ 当堂检测：1．下列语句中是全称命题的是（ ）A. 在{2，2.5，3}中，有一个元素是整数B. 明天的降水概率为20%C. 在抛掷骰子的实验中，上面的数字为1、2、3、4、5、6的概率都是16D. 全部没来 2．判断下列命题的真假（1）所有菱形的四条边都相等． （ ） （2）有的实数是无限不循环小数． （ ） ※ 课后作业：1．下列语句中是特称命题的是（ ）A. 所有的矩形都是菱形B. 每一个棱柱都是多面体C. 奇数不能被2整除D. 有一个实数没有算数平方根2．判断下列命题的真假（1）任何实数都有算术平方根． （ ） （2）{|x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数． （ ） （3）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数． （ ） （4）0{|x x x ∃∈是无理数}，20x 是无理数． （ ）。

1.3．1 全称量词与存在量词班级 姓名学习目标：1. 掌握全称量词与存在量词的的意义；2. 掌握含有量词的命题：全称命题和存在性命题真假的判断.学习重难点：含逻辑词的复合命题真假性的判断．正确使用逻辑词表述相关数学内容．一．引入新课复习1：写出下列命题的否定,并判断他们的真假：（1是有理数；（2）5不是15的约数（3）8715+≠ （4）空集是任何集合的真子集复习2：判断下列命题的真假，并说明理由：（1）p q ∨，这里p ：π是无理数，q ：π是实数；（2）p q ∧，这里p ：π是无理数，q ：π是实数；(3) p q ∨，这里p ：23>，q ：8715+≠；(4) p q ∧，这里p ：23>，q ：8715+≠.探究问题：1.下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？（1）3x >； （2）21x +是整数；（3）对所有的,3x R x ∈>； （4）对任意一个x Z ∈，21x +是整数.2. 下列语名是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？(1)213x +=； (2)x 能被2和3整除；（3）存在一个0x R ∈，使0213x +=； （4）至少有一个0x Z ∈，0x 能被2和3整除.新知：1.短语“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做全称命题.其基本形式为： ，读作：2. 短语“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示，含有 的命题，叫做存在性命题.其基本形式为： ，读作：如：“对任意实数x ，都有02≥x ”可表示为 ；“存在有理数x ，使022=-x ” 可表示为 .二．例题讲解例1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并找出其中的量词.（1）任意实数的平方都是正数_____________\____ ____；（2）0乘以任何数都等于0______________\____________；（3）任何一个实数都有相反数___________\______________；（4）⊿ABC 的内角中有小于600的角___________\___________；（5）有人既能写小说，也能搞发明创造____________\__________；例2 判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数； （2）2,11x R x ∀∈+≥；（3）对每一个无理数x ，2x 也是无理数.变式：判断下列命题的真假：（1）2(5,8),()420x f x x x ∀∈=--> （2）2(3,),()420x f x x x ∀∈+∞=--> 小结：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中每一个元素x 验证()p x 成立； 但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个0x x =，使得0()p x 不成立即可.例2 判断下列存在性命题的真假：（1） 有一个实数0x ，使200230x x ++=；（2） 存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3） 有些整数只有两个正因数.变式：判断下列命题的真假：(1)2,32a Z a a ∃∈=- (2)23,32a a a ∃≥=-小结：要判定存在性命题是真命题只要在集合M 中找一个元素0x ，使0()p x 成立即可；如果集合M 中，使()P x 成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题是假命题.三．强化练习1. 下列命题为存在性命题的是（ ）.A.偶函数的图像关于y 轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线都是平行线D.存在实数大于等于32.下列存在性命题中真命题的个数是 .(1),0x R x ∃∈≤；(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数；⑶{|x x x ∃∈是无理数}，2x 是无理数.3.下列命题中假命题的个数(1)2,11x R x ∀∈+≥； ⑵,213x R x ∃∈+=；⑶,x Z ∃∈x 能被2和3整除； ⑷2,230x R x x ∃∈++=4.下列命题中其中全称命题是 ； 存在性命题是（1）有的质数是偶数；（2）与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；（3）有的三角形三个内角成等差数列；（4）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，5. 用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题.(1)实数的平方大于等于0：（2）存在一对实数使2330x y ++<成立：6. 判断下列全称命题的真假：（1）末位是0的整数可以被子5整除；（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等；（3）负数的平方是正数；（4）梯形的对角线相等.7. 判断下列全称命题的真假：(1)有些实数是无限不循环小数；（2）有些三角形不是等腰三角形；（3）有的菱形是正方形.1.3.2 含有一个量词的命题的否定学习目标： 1. 掌握对含有一个量词的命题进行否定的方法，正确掌握量词否定的各种形式；2. 明确全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.学习重难点：含逻辑词的复合命题真假性的判断．正确使用逻辑词表述相关数学内容．一．引入新课复习1：判断下列命题是否为全称命题：（1）有一个实数α，tan α无意义； （2）任何一条直线都有斜率； 复习2：判断以下命题的真假：（1）21,04x R x x ∀∈-+≥ （2）2,3x Q x ∃∈= 探究：含有一个量词的命题的否定问题：1.写出下列命题的否定：（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）2,210x R x x ∀∈-+≥.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?2.写出下列命题的否定：（1）有些实数的绝对值是正数；（2）某些平行四边形是菱形；（3）200,10x R x ∃∈+<.这些命题和它们的否定在形式上有什么变化?新知：1.一般地，对于一个含有一个量词的全称命题的否定有下面的结论：全称命题p ：,()x p p x ∀∈，它的否定p ⌝：2. 一般地，对于一个含有一个量词的特称命题的否定有下面的结论：特称命题p ：00,()x M p x ∃∈，它的否定p ⌝： .试试：1.写出下列命题的否定：（1）,n Z n Q ∀∈∈；（2）任意素数都是奇数；（3）每个指数函数都是奇数.2. 写出下列命题的否定：(1) 有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.二．例题讲解例1 写出下列全称命题的否定：（1）p ：所有能被3整除的数都是奇数；（2）p ：每一个平行四边形的四个顶点共圆；（3）p ：对任意x Z ∈，2x 的个位数字不等于3.变式：写出下列全称命题的否定，并判断真假.(1) p ：21,04x R x x ∀∈-+≥ (2) p ：所有的正方形都是矩形.例2 写出下列存在性命题的否定：(1) p ：2000,220x R x x ∃∈++≤；(2) p ：有的三角形是等边三角形；(3) p ：有一个素数含有三个正因数.变式：写出下列存在性命题的否定，并判断真假.(1) p ：2,220x R x x ∃∈++≤； (2) p ：至少有一个实数x ，使310x +=.三．强化练习1. 命题“原函数与反函数的图象关于y x =对称”的否定是（ ）.A. 原函数与反函数的图象关于y x =-对称B. 原函数不与反函数的图象关于y x =对称C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y x = 对称D. 存在原函数与反函数的图象关于y x =对称2.对下列命题的否定说法错误的是（ ）.A. p ：能被3整除的数是奇数；p ⌝：存在一个能被3整除的数不是奇数B. p ：每个四边形的四个顶点共圆；p ⌝：存在一个四边形的四个顶点不共圆C. p ：有的三角形为正三角形；p ⌝：所有的三角形不都是正三角形D. p ：2,220x R x x ∃∈++≤； p ⌝：2,220x R x x ∀∈++>3.命题“对任意的32,10x R x x ∈-+≤”的否定是4. 平行四边形对边相等的否定是5. 命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是 .6. 写出下列命题的否定：(1) 32,x N x x ∀∈>； (2) 所有可以被5整除的整数，末位数字都是0；(3) 2000,10x R x x ∃∈-+≤； (4) 存在一个四边形，它的对角线是否垂直.7. 判断下列命题的真假，写出下列命题的否定：（1）每条直线在y 轴上都有截矩； （2）每个二次函数都与x 轴相交；（3）存在一个三角形，它的内角和小于180︒； （4）存在一个四边形没有外接圆.。

第一章常用逻辑用语第3.1节全称量词与全称命题第3.2节存在量词与特称命题教学过程：学生探究过程：1．思考、分析下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？（1）2x＋１是整数；(2) x＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。

2.推理、判断（让学生自己表述）（1）、（2）不能判断真假，不是命题。

（3）、(4)是命题且是真命题。

（5）－（8）如果是假，我们只要举出一个反例就行。

注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来。

因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容。

（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2）， x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）命题（8）是真命题。

事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数。

也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．3．发现、归纳命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到“所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题。

命题（5）－（8）都是全称命题。

通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示。

那么全称命题“对M中任意一个x，有p（x）成立”可用符号简记为：∀x∈M,p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”。

§3全称量词与存在量词3．1全称量词与全称命题3．2存在量词与特称命题3．3全称命题与特称命题的否定●三维目标1．知识与技能(1)通过生活和数学中的丰富实例，让学生理解全称量词与存在量词的意义．(2)能正确地对含有一个量词的命题进行否定．2．过程与方法在使用量词的过程中，加深对以往所学知识的理解，并通过对所学数学知识的梳理，构建新的理解．3．情感、态度与价值观通过量词的学习，体会运用量词表述数学内容的准确性、简洁性，并能运用数学语言进行讨论和交流．●重点难点重点：理解全称量词和存在量词．难点：1.含有一个量词的命题的否定．2．含有一个量词的命题的真假判断．教学时，要从学生的认知水平入手，通过几组例子，引导学生观察、比较、分析，来理解量词的含义；并通过讨论、探索、发现归纳出含有一个量的命题的否定方法及真假判断方法，从而突出重点，化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采用探究式教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以含有一个量词的命题的否定方法及真假判断方法为探究内容，让学生通过个人探究、小组讨论等多种解难释疑的尝试活动去发现方法、总结规律，通过例题与练习让学生在应用规律方法解决问题的过程中加深对规律方法的认识．●教学流程 通过实例引入课题――→探究全称量词与存 在量词的意义―→全称命题与特 称命题的定义――→探究发现全称命题与特称命题的真假判断方法――→讨论归纳含有一个量词的命题的否定―→小结下面有两个命题：①高二(1)班的每一位学生的年龄都不小于15岁； ②高二(1)班存在一位学生的年龄不小于15岁． (1)这两个命题的含义相同吗？ 【提示】 不同．(2)造成含义不同的原因是什么？【提示】 这两个命题使用了不同的量词．命题①使用的量词是“每一位”；命题②使用的量词是“存在一位”，二者表达的含义不同．1．全称量词与全称命题“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的量词叫做全称量词，含有全称量词的命题，叫做全称命题．2．存在量词与特称命题“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫做存在量词，含有存在量词的命题，叫做特称命题．下面有两个命题：①对任意x ∈R ，都有2x ＞0； ②存在x 0∈R ，使2x 0≤0.(1)从形式上看，这两个命题有什么不同？ 【提示】 ①是全称命题，判断词是“＞”； ②是特称命题，判断词是“≤”． (2)从意义上看这两个命题有什么不同？【提示】 意义相反，即命题②是命题①的否定，同时，命题①也是对命题②的否定． 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假．(1)对任意实数x ，都有x 2＋1＞0. (2)存在一个自然数小于1. (3)菱形的对角线相等．(4)至少有一个实数x 0，使sin x 0＋cos x 0＝53.【思路探究】 着眼点量词命题类型正(反)例命题真假【自主解答】 (1)全称命题．由x 2≥0，知x 2＋1＞0，所以(1)是真命题．(2)特称命题．由于0∈N ，且0＜1，所以(2)是真命题．(3)全称命题．由于有一个角为60°的菱形对角线不等，所以(3)是假命题． (4)特称命题．由于sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2＜53，所以(4)是假命题．1．判断一个命题是全称命题还是特称命题，关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词．2．要判断全称命题“对任意x ∈M ，p (x )成立”是真命题，需要注意的是有些全称命题的全称量词可以省略不写．需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立．但要判断该命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使p (x 0)不成立即可．要判断特称命题“存在x ∈M ，使p (x )成立”是真命题，只要在集合M 中能找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立，否则，这一命题就是假命题．判断下列命题的真假．(1)对任意的x ∈R,2x ≥1.(2)对任意的x ∈N,2x ≥1.(3)存在x 0∈Z ，使x 20＜1.(4)存在x 0∈Q ，使x 20＝2.【解】 (1)当x ＝－1时，2x ＝12＜1，故(1)是假命题．(2)由于x ∈N ，所以x ≥0，所以2x ≥1，故(2)是真命题．(3)当x 0＝0时，x 20＝0＜1，故(3)是真命题．(4)由x 2＝2，得x ＝±2，又因±2∉Q ，故(4)是假命题．(1)所有的矩形都是平行四边形． (2)存在x 0，使sin 2x 0＋cos 2x 0≠1.【思路探究】 着眼点改变量词否定判断词【自主解答】 (1)命题的否定为：存在一个矩形不是平行四边形．(2)命题的否定为：对任意x，sin2x＋cos2x＝1.1．弄清是全称命题还是特称命题，是正确写出含有一个量词的命题否定的前提．2．全(特)称命题的否定是将其全称量词(存在量词)改为存在量词(全称量词)，并把判断词否定．提醒：由于有些命题的全称量词可以省略不写，在对其否定时，易出现只否定判断词，而不改变省略了的全称量词的错误．命题“对任意x∈R，x＞sin x”的否定是()A．存在x0∈R，使x0＜sin x0B．对任意x∈R，x≤sin xC．存在x0∈R，使x0≤sin x0D．对任意x∈R，x＜sin x【解析】将量词“任意”改成“存在”，并将判断词“＞”改成“≤”．【答案】 C已知命题p：存在x0∈R，使x20＋2ax＋a≤0，若命题p是假命题，试求实数a的取值范围．【思路探究】p假→p的否定真→a满足的条件→a的取值范围【自主解答】命题p的否定：对任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0.由p假，知p的否定真．∴Δ＝4a2－4a＜0.解得0＜a＜1.即a的取值范围为(0,1)．1．对任意x∈A，f(x)≥M⇔f(x)min≥M；存在x0∈A，f(x)≥M⇔f(x)max≥M.2．当已知的命题是假命题时，可先求出其否定，利用其否定为真命题求解．将例3中的“命题p是假命题”改为“命题p是真命题”，如何求a的取值范围．【解】由p真，得Δ＝4a2－4a≥0，解得a≥1或a≤0.即a的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞).对含有量词的命题否定不当致误命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是() A．存在k≤0，使方程x2＋x－k＝0无实根B．对任意k≤0，方程x2＋x－k＝0无实根C．存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根D．存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0有实根【错解】错解一将“任意”改成“存在”，并把“k＞0”及“方程x2＋x－k＝0有实根”否定．故选A.错解二将“k＞0”及“方程x2＋x－k＝0有实根”否定．故选B．错解三将“任意”改为“存在”，故选D．【答案】A或B或D【错因分析】(1)错解一否定了条件．(2)错解二没有改变量词．(3)错解三没有否定判断词．【防范措施】(1)弄清是全称命题还是特称命题，是求解此类问题的关键．(2)全(特)称命题的否定既要改变量词，又要否定判断词，但不能否定条件．【正解】将“任意”改为“存在”，并把“方程x2＋x－k＝0有实根”否定，故选C.【答案】 C1．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题．(2)改变量词．(3)否定结论．(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．2．对含有一个量词的命题真假的判定，要用好正例与反例．3．在综合问题中，会经常遇到这样两类问题：(1)由“恒成立”求字母参数的取值范围；(2)探索“是否存在”的探究题．究其实质，也就是分别为全称命题和特称命题，应按全称命题和特称命题的真假进行讨论.1．(2012·安徽高考)命题“存在实数x，使x＞1”的否定是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1【解析】 将“存在”改成“任意”，并把“x ＞1”改成“x ≤1”． 【答案】 C2．下列命题中是假命题的是( ) A ．对任意x ∈(0，π2)，x ＞sin xB ．存在x 0∈R ，使sin x 0＋cos x 0＝2C ．对任意x ∈R,3x ＞0D ．存在x 0∈R ，使lg x 0＝0【解析】 sin x 0＋cos x 0＝2sin(x 0＋π4)≤ 2.故选B ．【答案】 B3．已知命题“存在x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由已知得，命题“对任意x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0”是真命题，所以Δ＝(a－1)2－4＜0，解得－1＜a ＜3.【答案】 (－1,3)4．对任意实数x ，sin x ＋cos x ＞m 恒成立，求实数m 的取值范围． 【解】 ∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－2，∴m ＜－ 2.即实数m 的取值范围是(－∞，－2).一、选择题1．(2012·湖北高考)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∉QC ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈QD ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q【解析】 根据对命题的否定知，是把量词取否定，然后把结论否定，因此选D ．【答案】 D2．下列命题中真命题是()A．存在x∈Z，使1＜4x＜3B．存在x∈Z，使2x－1＝0C．对任意x∈R,2x＞x2D．对任意x∈R，x2＋1＞0【解析】当x∈R时，x2≥0，∴x2＋1≥1＞0.【答案】 D3．命题p：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≤1，则()A．p是假命题，p的否定：存在x0∈[0，＋∞)，使(log32)x0＞1B．p是假命题，p的否定：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1C．p是真命题，p的否定：存在x0∈[0，＋∞)，使(log32)x0＞1D．p是真命题，p的否定：对任意x∈[0，＋∞)，(log32)x≥1【解析】0＜log32＜1，∴y＝(log32)x在[0，＋∞)上单调递减，0＜y≤1，∴p是真命题；“对任意”的否定为“存在”，“≤”的否定为“＞”，故选C.【答案】 C4．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数【解析】改变量词并否定判断词．【答案】 D5．非空集合A、B满足A B，下面四个命题中正确的个数是()①对任意x∈A，都有x∈B；②存在x∉A，使x∈B；③存在x∉B，使x∈A；④对任意x∉B，都有x∉A.A．1 B．2C．3 D．4【解析】根据A B知，①②④正确，③错误．【答案】 C二、填空题6．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．【解析】 改变量词并否定判断词．【答案】 存在向量a ，使零向量与向量a 不共线7．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当a ＝0时，x ＜0，不合题意． 当a ≠0时，{a ＜Δ＝4－4a 2＜0，解得a ＜－1.综上得，a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)8．若存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a ≤0时，取x 0＝－1，得ax 20＋2x 0＋a ＝2a －2≤－2＜0.当a ＞0时，Δ＝4－4a 2＞0，即0＜a ＜1. 综上得，a ＜1. 【答案】 (－∞，1) 三、解答题9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)所有的实数a 、b ，关于x 的方程ax ＋b ＝0恰有惟一解． (2)存在实数x 0，使得1x 20－2x 0＋3＝34.【解】 (1)该命题是全称命题．当a ＝0，b ≠0时方程无解，故该命题为假命题． (2)该命题是特称命题． ∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2， ∴1x 2－2x ＋3≤12＜34. 故该命题是假命题．10．写出下列各命题的否定，并判断其真假． (1)不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实数根． (2)存在一个实数x 0，使(12)x 0＞1.【解】 (1)命题的否定：存在一个实数m 0，使方程x 2＋m 0x －1＝0无实根．假命题．(2)命题的否定：对任意实数x ，(12)x ≤1.假命题．11．已知对任意x ∈(－∞，1]，不等式(a －a 2)4x ＋2x ＋1＞0恒成立．求a 的取值范围． 【解】 令2x ＝t ，∵x ∈(－∞，1]，∴t ∈(0,2]，∴a 2－a ＜t ＋1t 2. 要使上式在t ∈(0,2]上恒成立，只需求出f (t )＝t ＋1t 2在t ∈(0,2]上的最小值即可．∵f (t )＝t ＋1t 2＝(1t )2＋1t ＝(1t ＋12)2－14， 且1t ∈[12，＋∞)，∴f (t )min ＝f (2)＝34. ∴a 2－a ＜34.∴－12＜a ＜32.所以a 的取值范围是(－12，32).(教师用书独具)命题“存在x ∈R ，使x 2＞3成立”不能表述为( ) A ．有一个x ∈R ，使x 2＞3成立 B ．对有些x ∈R ，使x 2＞3成立 C ．任选一个x ∈R ，使x 2＞3成立 D ．至少有一个x ∈R ，使x 2＞3成立【解析】 已知的命题是特称命题，而选项C 是全称命题，故选C. 【答案】 C一个全称命题或特称命题，可以有不同的表述，如下：用“存在”或“任意”表述下列命题：(1)有理数是实数．(2)不等式x2＜1有负数解．【解】(1)任意一个有理数都是实数；(2)不等式x2＜1存在负数解．。