2019-2020学年重庆市第七中学高一上学期第三次月考数学试题及答案
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2019-2020学年重庆市第七中学高一上学期第三次月考数学试题及答案一、单选题1．已知集合{}1,2M =且{}1,2,3M N =，则集合N 可能是（ ） A ．{}1,2 B ．{}1,3 C ．{}1 D ．{}2【答案】B【解析】根据集合{}1,2M =且{}1,2,3MN =，分析集合N 是{}1,2,3的子集，集合N 中必须有元素3，结合选项即可得解.【详解】 集合{}1,2M =且{}1,2,3MN =，所以3N ∈且{}1,2,3N ⊆. 故选：B 【点睛】此题考查根据集合并集得集合的包含关系，通过包含关系分析集合中的元素情况.2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A ．y =lnx B ．21y x =+ C ．y =sinx D ．y =cosx【答案】D 【解析】【详解】选项A ：ln y x =的定义域为（0,+∞），故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错； 选项D ：cos y x =是偶函数，且cos 02y x x k ππ==⇒=+，k z ∈，故D 项正确. 【考点】本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.3．若α是第二象限角，则下列结论一定成立的是（ ） A ．sin 02α>B ．cos02α> C ．tan2α>D ．sin cos 022αα<【答案】C【解析】由题意分析2α可能的象限，再利用三角函数在第一、三象限内的函数值的符号，即可得到结论． 【详解】∵π2ππ2π,2k k k α+<<+∈Z ，∴ππππ,422k k k α+<<+∈Z ．当k 为偶数时，2α是第一象限角； 当k 为奇数时，2α是第三象限角．观察四个选项，可知tan 02α>一定成立，故选C ． 【点睛】本题考查了半角所在的象限问题，考查了三角函数值在各个象限的符号，考查判断能力，属于基础题． 4．已知α是第三象限的角，若1tan 2α=，则cos α=A ．BCD ．【答案】D【解析】根据α是第三象限的角得cos 0α<，利用同角三角函数的基本关系，求得cos α的值. 【详解】因为α是第三象限的角，所以cos 0α<，因为1tan 2α=，所以22sin cos 1,sin 1,cos 2αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得：cos 5α=-，故选D. 【点睛】本题考查余弦函数在第三象限的符号及同角三角函数的基本关系，即已知tan α值，求cos α的值. 5．设0.530.53,0.5,log 3a b c ===，则a b c 、、的大小关系 A ．a b c << B ．c b a << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】B【解析】【详解】试题分析： 0.530.531,00.51,log 30a b c =><=<=<，可知c b a <<.故选B.6．3sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴是（ ）A ．23x π=B ．2x π=C ．3x π=-D ．83x π=【答案】C 【解析】由题意，23x π-=kπ+2π，∴x =2kπ+53π，（k ∈Z ），∴3sin 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴是x =﹣3π，故选C ．7．函数()25x f x =-的零点所在区间为[1]()m m m N +∈，，则m 为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】利用零点存在性定理，求得m 的值. 【详解】依题意()()()()21,33,230f f f f =-=⋅<，由于函数为增函数，根据零点存在性定理可知，函数唯一零点所在区间为[]2,3，故2m =. 故选B. 【点睛】本小题主要考查零点存在性定理，考查函数值的求法，属于基础题. 8．设函数()2sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，若对任意的实数,()6x f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，则ω取最小值时，()f π=（）AB C ．D ．【答案】B【解析】对任意的实数,()6x f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立即说明()f x 在6x π=处取最大值，即可求出ω的最小值，即可求出()f π的值． 【详解】由题意可知sin 163ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得2()632k k πππωπ-=+∈Z ，则125()k k ω=+∈Z ，可得ω的最小值为5，此时()2sin 53f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()2sin 52sin 33f ππππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭B ．【点睛】本题考查三角函数值，其关键在于根据其在6x π=取最大值解出三角函数，属于基础题．9．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．278-B ．18-C ．18D ．278【答案】B【解析】利用题意得到，()()f x f x -=-和2421D kx k =+，再利用换元法得到()()4f x f x =+，进而得到()f x 的周期，最后利用赋值法得到1322ff18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后利用周期性求解即可. 【详解】()f x 为定义域R 的奇函数，得到()()f x f x -=-①；又由()f x 的图像关于直线1x =对称，得到2421D kx k =+②； 在②式中，用1x -替代x 得到()()2f x f x -=，又由②得()()22f x f x -=--；再利用①式，()()()213f x f x -=+-()()()134f x f x =--=-()4f x =-- ()()()24f x f x f x ∴=-=-③对③式，用4x +替代x 得到()()4f x f x =+，则()f x 是周期为4的周期函数；当01x ≤≤时，3()f x x =，得1128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 11122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13122f f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18=，331228f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于()f x 是周期为4的周期函数，331222f f ⎛⎫⎛⎫∴-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21128f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，答案选B 【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性和周期性，以及考查函数的赋值求解问题，属于中档题 10．函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图象如图示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图象解析式为 （ ）A ．y =sin 2xB ．y =cos2xC ．y =2sin(2)3x π+ D ．y =sin(2)6x π- 【答案】D 【解析】由图像知A="1,"311341264T πππ=-=,T π=⇒2ω=, sin(2)16πφ⨯+=,2πφ<得32ππφ+=⇒6πφ=⇒()sin(2)6f x x π=+，则图像向右移6π个单位后得到的图像解析式为sin[2()]sin(2)666y x x πππ=-+=-，故选D ．11．若函数()(32log 2f a x x b x =++在,0上有最小值-5，（a ，b 为常数），则函数()f x 在0,上（ ）A ．有最大值5B ．有最小值5C ．有最大值3D ．有最大值9【答案】D【解析】考虑函数()(32log g axb x x =+，是一个奇函数，根据函数对称性，结合()f x 在,0上的最值情况即可得解． 【详解】考虑函数()(32log g axb x x =+，定义域为R ，()()(32log g x a x b x =-+-+-，()()0g x g x +-=，所以()(32log g ax b x x =++是奇函数，函数()(32log 2f a x x b x =++在,0上有最小值-5，则()(32log g axb x x =+在,0上有最小值-7，根据函数奇偶性得：()(32log g ax b x x =+在0,上有最大值7，所以()(32log 2f a x x b x =++在0,上有最大值9.故选：D 【点睛】此题考查函数奇偶性的应用，根据对称性质分析函数的最值，属于中档题．12．任意t R +∈时，1()2f f t t ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦恒成立，函数()y f t =单调，则12019f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．2020 B ．2019C ．12020D ．12019【答案】A【解析】设1()m f t t=-，根据()y f t =单调函数，以及1()2f f t t ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦可知，当()2f m =时，m 的值是唯一的；又1()f t m t =+，所以1()2f m m m=+=，求出m 的值，进而求出()y f t =的解析式，即可求出结果. 【详解】设1()m f t t=-，则()2f m =，因为()y f t =单调函数，所以()2f m =的解m 是唯一的；又1()f t m t =+，所以1()2f m m m=+=，所以1m =，所以1()1f t t =+，所以1()20202019f =；故选A. 【点睛】本题考查了函数单调性含义及应用，本题理解函数单调性的含义是解题的关键，本题属于中档题.二、填空题13．求函数12sin 243x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为________. 【答案】9213,3()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】由题得1212sin sin 243234x x y ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解不等式23222342x k k πππππ+≤-≤+即得解.【详解】由题得1212sin sin 243234x x y ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由23222342x k k πππππ+≤-≤+,.k ∈Z 所以92133()88k x k k ππππ+≤≤+∈Z 所以函数的单调增区间为9213,3()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . 故答案为：9213,3()88k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．计算：4454327212589log log log log log ++⋅=______.【答案】229【解析】根据对数运算法则，结合公式log log ,log log 1NM b b b a a a b a NM=⋅=（其中,a b 是不为1的正数），化简计算． 【详解】2244335452327212525829322log log log log 23log log log log 3log 3log 2+++⋅=+⋅ 23238log 2223339log 2=+= 故答案为：229【点睛】此题考查对数的化简求值，关键在于熟练掌握对数运算法则，熟记相关公式．15．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【答案】【解析】试题分析：由扇形面积公式知22118422S r αα=⋅=⋅=，解得18α=.【考点】扇形面积公式. 16．已知函数1,0()1lg ,0xx f x x x x +⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩，且存在实数1x 、2x 、3x ，使123()()()f x f x f x ==．若1x <2x <3x ，则123x x x ⋅⋅的取值范围是___________． 【答案】(]1,0-【解析】画出()f x 图像，根据对数运算判断出231x x ⋅=，由1x 的取值范围，求得123x x x ⋅⋅的取值范围. 【详解】画出()f x 图像如下图所示，由于123x x x <<，注意到11lglg lg lg a a a a-==-=，所以231x x ⋅=，结合图像可知110x -<≤，即123x x x ⋅⋅的取值范围是(]1,0-. 故答案为(]1,0-.【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查对数运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.三、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角α的始边为x 轴的非负半轴，终边经过点P （-12，32）．（Ⅰ）求cos （α-π）的值； （Ⅱ）若3()24sin cos tan sin πββαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭--的值．【答案】（I ）12；（II ）125.【解析】由任意角三角函数的定义可得1cos 2α=-，3sin α=，（Ⅰ）cos()cos απα-=-可求（Ⅱ）有tan β=tan α=关系即可化简求解． 【详解】解：由题意可得cosα=12-，sin α=，（Ⅰ）cos （α-π）=-cosα=12，（Ⅱ）∵tanα=∴()24sin cos tan sin πββαβ⎛⎫- ⎪⎝⎭--=4cos cos tan sin ββαβ-==125．【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，同角基本关系的基本应用，属于基础试题．18．已知集合{37}A x x =≤<，{210}B x x =<<，{5}C x a x a =-<<． （1）求A B ，A R；（2）若()C A B ⊆，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{210}A B x x ⋃=<<，{3A x x =<R 或7}x ≥；（2）3a ≤． 【解析】()1由并集的定义,在数轴上表示出集合A B 、即可求出AB ;同时由补集的定义即可求出A R;()2由()1知AB ;由∅是任何集合的子集,分C =∅和C ≠∅两种情况进行讨论,分别求出满足条件的a 的取值范围;最后合并a 的取值范围即可. 【详解】（1）∵集合{37}A x x =≤<，{210}B x x =<<，∴{210}A B x x ⋃=<<，{3A x x =<R 或7}x ≥．（2）由{210}A B x x ⋃=<<， ①当C =∅时，5a a -≥，解得：52a ≤． ②当C ≠∅时，若()C AB ⊆，则55210a aa a -<⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩，解得：532a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围是3a ≤． 【点睛】本题考查集合的交并补混合运算;其中分C =∅和C ≠∅两种情况讨论求a 的取值范围是本题的难点,亦是易错点;C =∅易忽略;本题属于常考题,易错题.19．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =+. （1）当0x <时，求()f x 解析式；（2）若()()1210f a f a -++<，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩；（2）2a <- 【解析】（1）当0x <时，0x ->，根据奇偶性求解析式； （2）根据函数奇偶性，()()1210f a f a -++<等价于解()()121f a f a -<--，结合单调性求解.【详解】（1）函数()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，()22f x x x =+.当0x <时，0x ->，()()()2222f x x x x x -=-+-=-()f x 是R 上的奇函数，当0x <时，()()22f x f x x x =--=-+所以()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩；（2）由（1）可得当0x ≥时，()22f x x x =+单调递增，且函数值大于等于零， 当0x <时，()22f x xx =-+单调递增，且函数值恒小于零，所以函数()f x 是R 上的增函数，()()1210f a f a -++<，即()()()12121f a f a f a -<-+=--， 根据奇偶性得：121a a -<--， 解得：2a <- 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求解析式，结合奇偶性和单调性解不等式，考查函数的综合应用，属于中档题. 20．函数2()f x x bx c =-++()x R ∈满足(1)(3)f x f x -=-,且方程()0f x =的两个根12,x x 满足12x x -=（1）求()f x 解析式; （2）若1a >,函数()x y f a =在[2,1]x ∈-上的最小值为7-,求a 的值.【答案】（1）2()21f x x x =-++ ；（2）4a =. 【解析】【详解】分析：（1）根据题设可知二次函数()f x 的对称轴，进而求出b 的值，再利用12||xx -=()0f x =的两根，利用根与系数关系求出c 的值，进而写出()f x 的解析式；（2）解复合函数问题，采用换元法，令x t a =，求出t 的取值范围，再利用二次函数的单调性及最值列出方程2217a a -++=-，解方程求得a 的值.详解：（1）由题设(1)(3)f x f x -=-知函数()f x 的对称轴为1x =，122bb ∴-=⇒=-， 又12||22x x -=，()0f x ∴=的两根分别为12,12+-，由根与系数关系得(12)(12)1c+-=-，1c =， ∴函数()f x 的解析式为2()21f x x x =-++.（2）令x t a =，由1a >知2[,]t a a -∈，则22()21(1)2y g t t t t ==-++=--+在2[,]t a a -∈的最小值为7-， 易知()g t 在2[,]t a a -∈上为减函数，所以2min ()()217g t g a a a ==-++=-，即2280a a --=，解得2a =-或4a =， 因为1a >，所以4a =.点睛：（1）关于对称的常用结论：若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(()2)f x f a x =+-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）在采用换元法解决问题时，注意标明新元的范围. 21．函数()()sin 0,0,,2f x A x A x R πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭的部分图象如图，M 是图象的一个最低点，图象与x 轴的一个交点坐标为,02π⎛⎫⎪⎝⎭，与y 轴的交点坐标为()0,2-.（1）求A ，ω，ϕ的值；（2）关于x 的方程()0f x m -=在[]0,2π上有两个不同的解，求实数m 的取值范围． 【答案】(1)2A =，12ω=，4πϕ=-．(2) 2m <【解析】（1）利用sin()y A x ωϕ=+的部分图象可求得其周期4T π=，从而可求得ω；由其图象与x 轴的一个交点坐标为(2π，0)及||2ϕπ<可求得ϕ，当0x =时，sin()4y A π=-=得A ；（2）求出函数()f x 在[0x ∈，2]π的取值情况，利用数形结合即可得到结论． 【详解】解：（1）由题图可知，函数的周期4422T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴24ππω=，12ω=． ∵图象与x 轴的一个交点坐标为,02π⎛⎫⎪⎝⎭，∴1sin 022A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴4k πϕπ+=，k Z ∈，故()4k k Z πϕπ=-∈．由2πϕ<得，22ππϕ-<<，∴4πϕ=-，∴1sin 24y A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭．当0x =时，sin 4y A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴2A =．综上可知，2A =，12ω=，4πϕ=-．（2）由（1）可得：()12sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．当[]0,2x π∈时，13,2444x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 可得：()12sin 2,224f x x π⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎣⎦⎝⎭．由()0f x m -=得()f x m =，要使方程()0f x m -=在[]0,2x π∈上有两个不同的解．则()f x m =在[]0,2x π∈上有两个不同的解，即函数()f x 和y m =在[]0,2x π∈上有两个不同的交点，由图象可知()322f m f ππ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭22m ≤<． 【点睛】本题考查sin()y A x ωϕ=+的部分图象确定函数解析式，求得A 、ω、ϕ的值是关键，考查三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想的应用，属于中档题． 22．已知函数()1(0,1)x x tf x a a a a-=+>≠是定义域为R 的奇函数. （1）求实数t 的值； （2）若()10f >，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若()312f =且()()2212xxh x a mf x a =+-在 [1,)+∞上的最小值为2-，求m 的值.【答案】（1）2t =（2）(3,5)-（3）2m =【解析】（1）根据奇函数定义确定()00f =，代入可得实数t 的值，再利用定义证明2t =时，函数为奇函数，（2）先研究函数单调性：为R 上的单调递增函数，再利用奇函数和单调性转化不等式()()()()2224044f x bx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>-，最后再根据一元二次不等式恒成立，利用判别式恒负求实数b 的取值范围；（3）先根据条件()312f =，解出a 的值.再根据22122x x+与122x x-的关系，将函数()h x 转化为一元二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系讨论最小值取法，最后由最小值为2-，求出m 的值. 【详解】（1）因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，所以()110t +-=，所以2t =， （2）由（1）知：()1(0,1)x x f x a a a a=->≠， 因为()10f >，所以10a a->，又0a >且1a ≠，所以1a >， 所以()1x x f x a a =-是R 上的单调递增， 又()f x 是定义域为R 的奇函数， 所以()()()()2224044f xbx f x f x bx f x x bx x ++->⇒+>-⇔+>-即240x bx x +-+>在x ∈R 上恒成立， 所以()21160b ∆=--<，即35b -<<，所以实数b 的取值范围为()3,5-.（3）因为()312f =，所以132a a -=，解得2a =或12a =-（舍去），所以()222111122222222222xxx x x x x x h x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令()122x x u f x ==-，则()222g u u mu =-+，因为()122x x f x =-在R 上为增函数，且1x ≥，所以()312u f ≥=， 因为()()221222x x h x mf x =+-在[)1,+∞上的最小值为2-， 所以()222g u u mu =-+在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上的最小值为2-，因为()()222222g u u mu u m m =-+=-+-的对称轴为u m =所以当32m ≥时， ()()2min 22g u g m m ==-=-，解得2m =或2m =-（舍去）， 当32m <时， ()min3173224g u g m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，解得253122m =>， 综上可知：2m =. 【点睛】函数单调性的常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内；（4）求参数的取值范围或值.。
