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数学建模方法详解--模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。
例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。
随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。
模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。
统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。
在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。
对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。
模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。
本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。
1.1 模糊数学的基本概念1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U ，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。
如果U 是论域 ，则U 的所有子集组成的集合称之为U 的幂集，记作)(U F 。
在此，总是假设问题的论域是非空的。
为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。
对于论域U 的每一个元素U x ∈和某一个子集U A ⊂，有A x ∈或A x ∉，二者有且仅有一个成立。
于是，对于子集A 定义映射}1,0{:→U A μ即⎩⎨⎧∉∈=,0,,1)(A x A x x A ，μ则称之为集合A 的特征函数，集合A 可以由特征函数唯一确定。
所谓论域U 上的模糊集A 是指：对于任意U x ∈总以某个程度)]1,0[(∈A A μμ属于A ，而不能用A x ∈或A x ∉描述。
§3 股票反弹率的模糊聚类法将模糊集理论应用于聚类分析，便产生了模糊聚类法。
一、模糊聚类法介绍若矩阵A 的各元素ij a 满足10≤≤ij a ，则称A 为模糊矩阵。
设p n ij a A ⨯=)(和m p ij b B ⨯=)(为两个模糊矩阵，令m j n i b a c kj ik pk ij ,,2,1,,,2,1),(1 ==∧∨== 则称矩阵m n ij c C ⨯=)(为模糊矩阵A 与B 的乘积，记为B A C ∙=，其中∨和∧的含义为},max{b a b a =∨， },min{b a b a =∧ 显然，两个模糊矩阵的乘积仍为模糊矩阵。
设方阵A 为一个模糊矩阵，若A 满足A A A =∙，则称A 为模糊等价矩阵。
模糊等价矩阵可以反映模糊分类关系的传递性，即描述诸如“甲象乙，乙象丙，则甲象丙”这样的关系。
设n n ij a A ⨯=)(为一个模糊等价矩阵，10≤≤λ为一个给定的数，令⎩⎨⎧=<≥=n j i a a a ij ij ij ,,2,1,,0,1)( λλλ则称矩阵n n ij a A ⨯=)()(λλ为A 的λ—截阵。
模糊聚类法和一般的聚类方法相似，先计算变量间的相似系数矩阵（或样品间的距离矩阵），将其元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵，进一步改造成模糊等价矩阵，最后取不同的标准λ，得到不同的λ—截阵，从而可以得到不同的类。
具体步骤如下：1、计算相似系数矩阵R 或样品的距离矩阵D其中n n ij d D ⨯=)(和p p ij r R ⨯=)(的算法与第四章§4.7消费分布规律的分类中相同。
2、将R （或D ）中的元素压缩到0与1之间形成模糊矩阵我们统一记为n n ij a A ⨯=)(；例如对相似系数矩阵p p ij r R ⨯=)(，可令p j i r a ij ij ,,2,1,),1(21 =+= 对于距离矩阵n n ij d D ⨯=)(，可令n j i d d a ij n j i ij ij ,,2,1,,max 11,1 =+-=≤≤ 3、建立模糊等价矩阵一般说来，上述模糊矩阵n n ij a A ⨯=)(不具有等价性，这可以通过模糊矩阵的乘积将其转化为模糊等价阵，具体方法是：计算,,,2242 A A A A A A ∙=∙=直到满足k k A A =2，这时模糊矩阵k A 便是一个模糊等价矩阵。
模糊数学‘模糊聚类’‘模糊评价’‘模糊识别’-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1、（模糊聚类）已知我国31个省农业生产条件的5大指标数据。
五大指标的数据（1）作聚类图。
并告知分5类时，每一类包含的省份名称（列表显示）。
编程得出：C =lamd = 0.7925C =Columns 1 through 131 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 05 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 17 189 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Columns 14 through 260 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 019 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 310 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0由图可以得出：分成五类：第一类北京天津第二类河北第三类山西第四类内蒙古辽林吉林黑龙江江苏浙江安徽福建江西山东河南湖北湖南广东广西海南重庆四川贵州云南西藏陕西甘肃青海宁夏新疆第五类上海（2）若分为3类，问相似水平（就是阈值）不能低于多少？（3）lamd =0.7638C =Columns 1 through 131 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 169 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Columns 14 through 260 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 017 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 290 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Columns 27 through 280 0 30 31 0 0由图可知：若分为3类，相似水平为0.74~0.76，相似水平不能低于0.74.2、（模糊评价）对某水源地进行综合评价，取U 为各污染物单项指标的集合，取V 为水体分级的集合。
聚类分析聚类，或称分集，即所谓“物以类聚”，它是按某种相似规则对给定样本集、指标簇进行某种性质的划分，使之成为不同的类．将数据抽象化为样本矩阵()ij n m X X ⨯=，ij X 表示第i 个样本的第j 个变量的值．聚类目的，就是从数据出发，将样本或变量分成类．其方法大致有如下几个．（1） 聚类法．即谱系聚类法．将n 个样本看成n 类，将性质最接近的两类并为一新类，得1-n 类；再从1-n 类中找出最接近的两类加以合并，得2-n 类；继之，最后所有样本都成一类，得一聚类谱系，从谱系中可确定划分多少类，每类含有哪些样本．（2） 分解法．它是系统聚类的逆过程，将所有样本视为一类，按某种最优准则将它分成两类，继之，每一类都分到只含一个样本为止．（3） 动态聚类．即快速聚类法．将n 个样本粗糙地分成若干类，然后用某种最优准则进行调整，直至不能调整为止．（4） 有序样本聚类．按时间顺序，聚在一类的样本必须是次序相邻的样本．（5） 模糊聚类．它是将模糊数学用于样本聚类．（6） 运筹学聚类．它是将聚类问题化为线性规划、动态规划、整数规划模型的聚类．（7） 神经网络聚类．它是将样本按自组织特征映射的方法进行，也是我们要加以叙述的一个重点．（8） 预测中聚类．它是聚类在预测中的应用，以弥补非稳定信号回归的预测与分析．这里主要介绍谱系聚类法和快速聚类法． 一、距离定义样本矩阵()ij n m X x ⨯=，是m 维空间中n 个点，以距离度量样本之间的贴近度，就是距离聚类方法．最常用的第i 个与第j个样本的Minkowski 距离为p mk p jk ik ijx x d /11)||(∑=-=式中p 为一正整数．当2=p , ij d 就是欧几里德距离；当1=p ，ij d 就是绝对距离，或称“布洛克（cityblock ）”距离．而切比雪夫距离为||max 1jk ik mk ij x x d -=≤≤设m m C ⨯是变量的协方差矩阵，i x ,j x 为第i 行与第j 行m 个变量构成的向量，则马哈兰罗比斯距离定义为1()()T ij i j i j d x x C x x -=-- 根据距离的定义，就获得距离矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n d d d d d d d d d d 212222111211 由距离性质可知，d 为实对称矩阵，ij d 越小，两样本就越相似，其中01211====nn d d d ，根据)(j i d ij ≠的n 个点分类，依聚类准则分为不同的类．对d 常用的系统聚类准则有： 1、类间距离定义（1） 最短距离；,min p qpq ij i Gj GD d ∈∈= （2） 最长距离；,maxpqpq ij i G j GD d ∈∈=（3） 质心距离；(,)pq p q D d x x = （4） 平均距离；1p qpq iji G j G p qD d n n ∈∈=∑∑（5） 平方距离：2()()p q T pqp q p q p qn n D x x x x n n =--+2．类间距离的递推公式（1）最短距离：min{,}rk pk qk D D D = （2）最长距离：max{,}rk pk qk D D D = （3）类平均距离：p q rk pk qk rrn n D D D n n =+（4）重心距离：2222pqp q rkpkqkpq r r r rn n n n D D D D n n n n =+-⋅（5）离差平方和距离：2222p k q k krkpk qk pq r kr kr kn n n n n D D D D n n n n n n ++=+-+++二、谱系聚类法例: 假如抽取5个样本，每个样本只测一个指标，即数据为x =[1，0；2，0；4.5，0；6，0；8，0] 试以最短距离准则进行距离聚类说明．解 这时，样本间的绝对距离、欧几里德距离或切比雪夫距离均一致，见表3.1．以最短距离准则聚类．根据定义，当令p Ω与q Ω中分别有pn 与q n 个样本，则最短距离为：},|min{),(q p ij nearj i d q p Ω∈Ω∈=δ于是，对于某步，假定具有样本为p n 的第p 集合与样本为q n 的第q 集合，聚成为具有样本为q p s n n n +=的第s 集合，则第k 集合与第s 集合的最短距离，可写为)},(),,(min{),(q k p k s k near near nearδδδ=(1)表1 绝对距离数据表中数据1、2、4.5、6、8视为二叉树叶子，编号为1、2、3、4、5．当每一个样本看成一类时，则式子(1)变为ij neard j i =),(δ，最小距离为1，即1与2合聚于6号，得表2．表中5.2)5.2,5.3min()}2,3(),1,3(min{)6,3(===δδδnear near near表2 一次合聚表2中最小距离为1.5，即4.5与6合聚于7，得表3．表中(6,7)min{(6,4.5),(6,6)}min(2.5,4) 2.5near nearnearδδδ===．表3 二次合聚表3中最小距离为2，即{4.5，6}元素（为7号）与8（为5号）合聚于8号，得表4．表中5.2)6,4,5.2min()}8,6(),6,6(),5.4,6(min{)8,6(===δδδδnear near near near表4 三次合聚最后集合{1，2}与{4.5，6，8}聚成一集丛．此例的Matlab 程序如下：x =[1，0；2，0；4.5，0；6，0；8，0])();'sin ',();'',(z dendrogram gle y linkage z CityBlock x pdist y ==绘得最短距离聚类谱系如图1所示，由图看出分两类比较合适．1号、2号数据合聚于6号，最小聚距为1；3号、4号数据合聚于7号，最小聚距为1.5；7号于5号数据合聚于8号，最小聚距为2；最后6号和8号合聚，最小聚距为2.5。
数学建模模糊综合评价法哎呀，今天小智就来给大家聊聊一个有趣的话题——数学建模模糊综合评价法。
这个方法可是在解决各种实际问题时，给我们提供了很多便利哦！那我们就一起来看看吧，这个方法到底是怎么工作的呢？我们要明白，模糊综合评价法是一种处理不确定性信息的方法。
在现实生活中，我们经常会遇到一些难以量化的因素，比如一个人的品质、一个产品的性能等等。
这些因素都是相互关联、相互影响的，很难用一个简单的分数或者数值来表示。
而模糊综合评价法则是通过对这些因素进行模糊化处理，然后通过一定的计算方法，得出一个综合评价结果。
那么，这个方法是怎么实现的呢？其实，我们可以把它分成两个部分来看：一是模糊化处理，二是综合评价。
1. 模糊化处理我们需要对那些难以量化的因素进行模糊化处理。
这就像是把一张照片变成一幅水墨画一样，让我们能够看到事物的本质，而不是仅仅看到表面现象。
模糊化处理的方法有很多，比如德尔菲法、层次分析法等等。
这些方法都是通过对因素进行分类、划分等级，然后根据一定的权重来进行模糊化处理。
2. 综合评价接下来，我们要对模糊化处理后的结果进行综合评价。
这个过程就像是我们在选美比赛中，要根据选手的外貌、才艺、气质等多方面因素来评选出最终的冠军。
综合评价的方法也有很多，比如加权平均法、主成分分析法等等。
这些方法都是通过对模糊化处理后的结果进行加权求和或者提取主要成分，从而得到一个综合评价结果。
好了，现在我们已经知道了模糊综合评价法的基本原理。
那么，它在实际生活中有哪些应用呢？其实，这个方法在各个领域都有广泛的应用。
比如在企业管理中，我们可以通过模糊综合评价法来评估员工的工作绩效；在城市规划中，我们可以通过模糊综合评价法来评估一个区域的发展潜力；在教育评价中，我们可以通过模糊综合评价法来评估一个学生的能力等等。
当然啦，这个方法也有它的局限性。
比如在某些情况下，模糊综合评价法可能会受到数据量的影响；另外，这个方法也不能完全消除不确定性信息的干扰。
数学建模模糊综合评价法1. 什么是模糊综合评价法？好啦，今天咱们聊聊一个听起来复杂，但其实挺有意思的话题——模糊综合评价法。
别担心，不会让你脑袋里冒烟的。
其实，模糊综合评价法就像一个超级聪明的评委，专门用来评判那些不那么明确的事情。
比如，假设你想评估一个产品的质量，单靠“好”或“不好”这两个词，太简单了吧？这时候，模糊综合评价法就能派上用场了！想象一下，如果你要评价一部电影，除了“好看”和“难看”，你可能会考虑“剧情”、“演技”、“音乐”、“特效”等等。
而每一项评价可能还有不同的分数，像是“非常好”、“一般”、“差不多”等等。
模糊综合评价法就像给你一张多维度的评分表，让你全面而又细致地评估一件事情，省得你像那种一口气就咽下去的面条，吞得太快，咽不下去还得拉肚子。
2. 模糊综合评价法的基本步骤2.1 确定评价指标首先，我们得确定评价指标。
就像你要做一道美味的菜，必须先想好要用哪些食材。
比如说，如果你在评价一款手机，可能会考虑“屏幕清晰度”、“电池续航”、“拍照效果”等等。
每个指标就像是你挑选的食材，每个食材的好坏都会影响到最后的菜肴。
2.2 建立评价模型接下来，就是建立评价模型。
这里的模型有点像是咱们的食谱，得把所有的指标按照一定的规则组合在一起。
你可以根据每个指标的重要性来加权，也就是说，有些食材比其他的更重要。
比如，电池续航对一个经常出门的人来说，肯定比音质重要。
然后，你把每个指标的评分汇总，算出一个总分。
简单说，就是给每个食材加点调料，让整道菜更有味道。
3. 实际应用案例3.1 选学校说到这里，咱们不妨举个例子，比如说你想给孩子选个学校。
光看排名可不够，你还得考虑学校的师资力量、校园环境、课外活动、家长评价等等。
这时候，模糊综合评价法就像是你的一个小助手，帮你把这些看似杂乱无章的信息整理成一张清晰的图。
你可以给每个学校的这些指标打分，最终找出一个最适合你孩子的学校。
3.2 企业评估再比如，在企业管理中，模糊综合评价法也大显身手。
一、模糊评价模糊评价法是应用模糊理论和模糊关系合成的原理,通过多个因素对被评价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。
运用模糊评价法,通过多因素 或多指标,既对被评价事物的变化区间作出某种划分,又对事物属于各评价等级 的程度作出分析,从而更深入和客观地对被评价事物进行描述。
特点：①模糊评价法的结果是一个向量,而不是一个数值,即被评价事物的状况是通过被评价事物的等级隶属度来表示。
②模糊评价法可以是一种多层的评价,即可以先对被评价事物的某一层面进行模糊评价,再将各层面的模糊评价结果进行模糊合成,得出总的模糊评价结果。
③模糊评价法具有指标或因素的自然可综合性。
由于模糊评价法只需确定各指标的等级隶属度,既可用于主观指标,又可用于客观指标,以此而无需专门对指标进行无量纲处理。
模糊评价的应用①人事考核中的应用， ②单位员工的年终评定，③昆山公安信息化建设效绩的评估（下载文档）， ④我国商业银行内部控制评价体系研究（下载文档）， ⑤石化行业业绩评价（下载文档）等。
一级模糊综合评判模型的建立步骤 ①确定因素集及评语集确定被评价对象的因素集U ，{}12=,,,n U u u u ，评语集{}12,,,m V v v v =；②构造模糊关系矩阵R ，进行单因素评判。
用ij r 表示U 中的因素i u 对应于V 中等级j v 的隶属关系，则有 ③确定各因素的权重用i a 表示第i 个因素的权重，11ni i a ==∑，则评价因素权向量A 为()12,,,n A a a a =。
④综合评判由模糊关系矩阵R 得到一个模糊变换为 则评判的综合结果为()11121212221212,,,m m n n n nm r r r r r r B A R a a a r r r ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭。
多层次模糊综合评判模型的建立步骤①确定被评价对象的因素集U ，{}12=,,,n U u u u ，评语集{}12,,,m V v v v =；②将U 按照某种属性划分成s 个子因素集，即12,,,s U U U 。
其中{}12,,,,1,2,,,i i i i in U U U U i s ==并且满足以下关系：③分别对每个因素集i U 做综合评价。
确定i U 中各个因素相对于V 的权重12,,,i i i i in A a a a ⎡⎤=⎣⎦，用i R 表示单因素评判矩阵，则一级评价向量为④将各个i U 看成一个因素，记该因素为{}12,,,s K u u u =，得到K 的单因素评价矩阵为按照i U 对U 的重要程度，确定权重()12,,,s A a a a =，则得二级评价向量为若(1,2,,)i U i s =包含的因素较多，可将i U 多次划分，得到三级，四级评价模型等。
例题：向位专家就科研课题进行调查,通过统计调查数据,形成科研课题A 评价数据如下表：科研课题A 的评价数据模型的建立①确定因素集及评语集令指标集为F ,指标由5个指标组成,即125(,,)F f f f =,1f 表示立题必要性,2f 表示技术先进性,。
3f 表示实施可行性,。
4f 表示经济合理性,5f 表示社会效益。
令评语集为V, 125(,,)V v v v =，123,==v v v =“一级”“二级”“三级”，3=v “四级”,5=v “五级” 。
由加权平均原则确定。
②构造模糊关系矩阵R ，12345=(r r r r r )R ，进行单因素评判。
③确定各因素的权重令权重集为12345=(w )W w w w w ，1w =，2w =，3w =，4w =，5w =。
④综合评判 其中是合成的算子为向量或矩阵间的“乘”运算。
模型的求解①确定因素集及评语集根据加权平均原则来确定评语。
对各评语赋值,令“一级”、“二级”、“三级”、“四级”、“五级”分别为分、分、分、分、分,令V= 。
②构造模糊关系矩阵R ，12345=(r r r r r )R ，进行单因素评判。
从表可知,在立题必要性的调查中有6位专家认为属于“二级”,有3位专家认为属于“三级”；在技术先进性的调查中有5位专家认为属于“一级”,有3位专家认为属于“二级”,有1位专家认为属于“三级”；在实施可行性的调查中有4位专家认为属于“二级”,有4位专家认为属于“三级”,有位1专家认为属于“四级”；在经济合理性的调查中有7位专家认为属于“二级”,有2位专家认为属于“三级”；在社会效益的调查中有4位专家认为属于“一级”,有4位专家认为属于“二级”,有1位专家认为属于“三级”。
根据从指标i f 着眼认为科研课题A 属于评语j V 的人数占总参与评价人数的比例数来建立被评对象与评语集之间的模糊关系。
由评价数据得，11111212/0/90,/6/90.67r s s r s s ======，同理得130.33,r =14150,0r r ==，即1(00.670.3300)r = 。
同理得：从而得到科研课题A 与评语集V 之间的模糊关系矩阵为 ④综合评判所以9名专家应用模糊评价法对某科研课题A 给出的评语分数N 为 二、模糊聚类分析法在工程技术和经济管理中，常常需要对某些指标按照一定的标准(相似的程度或亲疏关系等)进行分类处理。
例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质对空气质量进行分类，以及工业上对产品质量的分类等等。
这些对客观事物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一种分类方法。
然而，在科学技术、经济管理中有许多事物的类与类之间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。
对于这类事物的分类，一般用模糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。
步骤①获取数据设论域{}12=,,,n U x x x 是被分类对象，其中由m 个指标表示每个对象的性态，i x 的观测值为则得到原始数据矩阵为()=ij n mA x ⨯。
在实际问题中，不同的数据一般有不同的量纲，为了使有不同量纲的量能进行比较，需要将数据规格化，常用的方法有： ②数据标准化处理为了让原始数据能满足模糊聚类的要求，需要将原始数据作标准化处理，常用的方法有：（1）平移—标准差变换对第i 个变量作标准化处理，将ij x 换成'ij x ,即式中：11=,1,2,,)n j ij j i x x S j m n ===∑（2）平移—极差变换若经过平移—标准差变换后，还存在数据[]'0,1ij x ∉，则再对其平移—极差变换得则得到模糊矩阵为 ③构造模糊相似矩阵 设论域{}12X=,,,n x x x ,{}12,,,i i i im e x x x =为i x 的观测值，则有数据矩阵()ij n m A x ⨯=。
i x 和j x 的相似系数为(,)ij i j r R e e =，求ij r 的方法有：（1）夹角余弦法 （2）相关系数法 （3）距离法一般取1((,)),(,1,2,,)ij i j r c d x x i j n α=-=，其中,c α为适当选取的参数，它使得01ij r ≤≤，可采用的距离有： 1）Hamming 距离 2）Euclid 距离 3）Chebyshev 距离 （4）贴近度法1）最大最小法 11(),(,1,2,,)()mikjk k ij mikjk k x x r i j n xx ==∧==∨∑∑2）算术平均最小法 11(),(,1,2,,)1()2m ikjk k ij mik jk k xx r i j n x x ==∧==+∑∑3）几何平均最小法 11(),(,1,2,,)mikjk k ij mk xx r i j n ==∧==∑④聚类（1）模糊传递闭包法用平方法求出模糊相似矩阵R 的传递闭包()t R ，再从大到小取一组[]0,1λ∈，并确定其相应的λ截矩阵，将其分类，画出动态聚类图。
（2）直接聚类法1）取最大值11λ=，对每个i x 作相似类1[]{|}i R j ij x x r λ==，若i x 和j x 满足ij r =1，则看做是一类，当不同相似类出现公共元素时，将公共元素所在类合并。
2）取次大值221(λλλ<)，找出2ij r λ≥的元素对(,),i j x x 将对应于11λ=的等价分类中i x 和j x 所在类合并成一类，所有情况合并后得到相应于2λ水平上的等价分类。
3）依次类推，直到合并到X 变成一类为止，最后得出动态聚类图。
例题：某地区内有12 个气象观测站，10 年来各站测得的年降水量如表1所示。
为了节省开支，想要适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站可以使所得到的降水量信息仍然足够大？表1 年降水量（mm ）解：我们把 12 个气象观测站的观测值看成12 个向量组，由于本题只给出了10 年的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向量组所含向量的个数大于向量的维数，则该向量组必然线性相关。
于是只要求出该向量组的秩就可确定该向量组的最大无关组所含向量的个数，也就是需保留的气象观测站的个数。
由于向量组中的其余向量都可由最大线性无关组线性表示，因此，可以使所得到的降水信息量足够大。
用i = 1,2,?,10分别表示 1981 年，1982 年，…，1990 年。
(1,2,,101,2,,12)ij a i j ==，表示第 j 个观测站第i 年的观测值，记1012()ij A a ⨯=。
利用 MATLAB 可计算出矩阵 A 的秩r (A ) = 10，且任意 10 个列向量组成的向量组都是最大线性无关组，例如，我们选取前10 个气象观测站的观测值作为最大线性无关组，则第11，12 这两个气象观测站的降水量数据完全可以由前10 个气象观测站的数据表示。
设(1,2,,12)i x i =表示第i 个气象观测站的观测值，则有若上述观测站的数据不是10 年，而是超过12 年，则此时向量的维数大于向量组所含的向量个数，这样的向量组未必线性相关。
所以我们再考虑一般的解法，首先，我们利用已有的12 个气象观测站的数据进行模糊聚类分析，最后确定从哪几类中去掉几个观测站。
（1）建立模糊集合设j A （ 这里我们仍用普通集合表示） 表示第1,2,,12j j =（）个观测站的降水量信息，我们利用模糊数学建立隶属函数： 利用 MATLAB 程序可以求得j a ，(1,2,,12)j b j =的值分别见表 2，表 3。
表3均值j a 的值表4标准差(1,2,,12)j b j =的值（2）利用格贴近度建立模糊相似矩阵 令求模糊相似矩阵1212()ij R r ⨯=。
（3）求R 的传递闭包CC 求得4R 是传递闭包，也就是所求的等价矩阵。
