第20讲 类比与联想-

类比联想法教案教案标题：类比联想法教案教学目标：1. 学生能够理解类比联想法的概念和作用。

2. 学生能够运用类比联想法解决问题和扩展思维。

3. 学生能够运用类比联想法创造性地表达自己的想法。

教学准备：1. PowerPoint演示文稿或白板和马克笔。

2. 学生笔记本和铅笔。

教学过程：引入活动：1. 使用一个有趣的类比来引起学生的兴趣，例如：“生活就像一本书，每个人都是其中的一个故事。

”请学生思考这个类比的意义，并与他们分享自己的想法。

概念讲解：2. 解释类比联想法的概念：类比联想法是一种通过将不同的事物进行比较和联系来解决问题和扩展思维的方法。

它可以帮助我们理解新的概念和创造新的想法。

示例演示：3. 提供一些具体的例子来演示类比联想法的应用。

例如，将学习过的数学概念与日常生活中的情境进行类比，帮助学生更好地理解和应用这些概念。

活动实践：4. 将学生分成小组，让他们在给定的话题上运用类比联想法进行讨论和分享。

例如，让学生将学校比作一个大家庭，讨论学校和家庭之间的相似之处，并提出改进学校的建议。

扩展思考：5. 鼓励学生运用类比联想法进行创造性思考。

例如，让学生选择一个自己感兴趣的主题，通过类比联想法创造性地表达自己的想法，可以是绘画、写作、设计等形式。

总结回顾：6. 对本节课的内容进行总结回顾，强调类比联想法在解决问题和扩展思维中的重要性。

作业布置：7. 布置作业，要求学生运用类比联想法解决一个实际问题，并写下他们的思考过程和得出的结论。

评估反馈：8. 收集学生的作业并给予反馈，评估他们对类比联想法的理解和应用能力。

教学延伸：9. 鼓励学生在日常学习和生活中继续运用类比联想法，培养他们的创造性思维和解决问题的能力。

教学资源：- PowerPoint演示文稿或白板和马克笔- 学生笔记本和铅笔教学反思：通过引入有趣的类比和实际的例子，能够激发学生对类比联想法的兴趣和理解。

通过小组讨论和个人创作，能够提高学生的思维能力和创造性表达能力。

课程小论文：构造相关例题对自选的3种数学方法的应用予以说明。

类比、归纳、联想与直觉在解题中的应用摘要 本文将从具体的数学方法——类比、归纳、联想与直觉出发，通过构造相关例题，分析说明这三种数学方法在初等数学解题中的应用，注重培养发展学生的推理能力。

关键词 类比；归纳；联想与直觉1、引言数学方法论是研究数学的发展规律，数学思想、方法、原则以及数学中的发现、发明与创新法则的学科。

其中数学思想方法是数学方法论其中一个非常重要的研究对象。

在《义务教育数学课程标准（2011版）》提到：在数学课程中，应当注重发展学生的推理能力。

其中推理一般包括演绎推理和合情推理，而合情推理就包含类比、归纳、联想与直觉等方法。

本文将从类比、归纳、联想与直觉的具体方法出发，通过构造相关例题，分析说明这三种数学方法在初等数学解题中的应用。

2、类比法在初等数学解题中的应用类比——根据两个不同对象的某些方面（如特征、属性、关系等）的相同或相似，推出它们在其他方面也可能相同或相同的思维形式。

它是以比较为基础的一种从特殊到特殊的推理方法.类比法是由此及彼以及由彼及此的联想方法，著名数学教育家波利亚指出“类比是一个伟大的引路人”，类比具有启迪思维、提供线索、举一反三的作用，对发展思维特别是创造性思维十分有利。

同时，类比法是系统掌握新知识、巩固旧知识，使新旧知识融会贯通的有效方法。

在数学解题过程中，当我们的思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的正迁移，将已学过的知识或已掌握的解题方法迁移过来。

2.1 解（证）题方法上的类比例2.1 若2()4()()0c a a b b c ----=，且a b c ≠≠。

求证：2b a c =+（即,,a b c成等差数列）分析：观察已知等式，类比联想到一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系，从而可以构造一元二次方程进行求证。

证：构造 2()()()0a b x c a x b c -+-+-=，容易知道1x =是方程的一个解。

物像的类比与联想
类比法，是一种最古老的认知思维与推测的方法，是对未知或不确定的对象与已知的对象进行归类比较，进而对未知或不确定对象提出猜测。

如果未知的对象确实与某种已知的对方有较多的相似之处，则类比法有一定的认知价值，分类学就是由类比法演化而来。

由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。

其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。

类比是将一类事物的某些相同方面进行比较，以另一事物的正确或谬误证明这一事物的正确或谬误。

这是运用类比推理形式进行论证的一种方法。

物像联想记忆法就是利用鲜明的物像来记忆知识的方法。

物像联想记忆法可用来记忆语文中的生字、词语、和古诗等。

同学们，让我们可以回忆一下，我们能够清楚记下来的人是否都有明显的特征。

如果有20个人从你面前走过去，你记得最清楚的是什么样的人。

肯定是最漂亮的和最丑陋的，或者是特别高的特别低的。

如果在这20个人中有1个是外国人，你肯定会把目光集中在这个外国人身上。

当他们从你面前走过之后，你脑子里面肯定会回忆出在什么地方见过这个外国人。

这个事实告诉我们物像越鲜明、赵奇特，记忆就越容易、越牢固。

我们给出的物像联想记忆法就是要把无形、抽象的东西想成有形、具体的物像帮助大家来记忆知识。

浅谈七年级数学教学中的联想与类比的应用道桥中学 王菊华联想与类比思想在初中数学教学中应用广泛，联想与类比的魅力在于它可以使数学学习更容易、更生动、更形象，有利于学生自主探索与创新思维的培养。

通过联想可以把感知过的客观事物中那些接近的、相似的、对立的，或有一定因果关系的事物建立某种联系，从而沟通知识之间的逻辑关系，促进知识之间、方法之间的迁移和同化，有利于认识新事物，产生新的设想。

通过概念的类比，理解概念的本质；通过知识结构的类比，构建起知识的网络；通过思维的类比，突破学生学习思维难点，提高初中数学学习的有效性。

在教学中，如果遇到一些形式相同、思考方法相似、结构相近的熟悉问题或常规题型，可引导学生对所面临的问题进行类比，从而拓宽直觉思维的广度。

1、数与数之间的联想与类比。

类比法是由此及彼以及由彼及此的联想方法，著名数学教育家波利亚指出“类比是一个伟大的引路人”，教师在教学中必须善于引导学生去联想、类比，才能充分调动学生的想象力，让他们通过比较去发现、去认识、去掌握知识。

培养具有创造能力的人才，就要帮助他们学会归纳和类比。

类比具有启迪思维、提供线索、举一反三的作用，对发展思维特别是创造性思维十分有利。

教学中我发现部分学生对于数的感觉很差，在教学有理数的运算这一节内容时，我发现有些学生在计算0.125×1.75时，直接进行三位数乘三位数的小数乘法计算，而计算4354+时却直接将它们通分进行计算，这样一来学生在进行这类题的计算时不仅不能很快地得出结果并且极容易出现错误。

教学中教师首先要求学生将分母为2、4、5、8等等这样的最简分数化为小数后并记下来，特别是、81、83、8587这几个分数，引导学生开通联想功能，如看到83马上联想到0.625，而看到0.875马上联想到87了。

接下来让学生比较分数的加减与乘除计算，如8352+与0.25×0.375是化成小数计算较为简便还是直接计算较为简便呢?通过比较得出：加减计算时,分数(能化为有限小数的)化小数较为简便,乘除计算时，小数（有限小数）化分数较为简便.通过计算让学生自己体会得出的结论印象更深刻，领会到此类分数或小数的计算怎么做简单，学生尝到了甜头，在今后的学习中就会尝试这种方法，不仅提高了学生的计算能力也提高了计算的正确度。

第二十讲类比与联想类比就是根据两种事物一部分类似的性质，推测这两种事物其他类似性质的推理方法．例如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类似的性质与解法等．联想是由某种事物而想到其他相关事物的思维活动．当我们遇到一个数学问题时，常常想起与它类似的问题、类似的解法，从而有利于新问题的解决．利用类比与联想，常常可以发现新命题和扩展解题思路．1．类比与发现例1已知：△ABC中，∠C= 90°，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED⊥BD．求△DEA的面积(图2-113)．解引CF⊥BA于F，由于BC= AC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以因为∠C=∠BDE=90°，所以∠ADE=∠CBH．又由∠A=∠BCH=45°，可知△ADE∽△CBH．所以类比如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？由此想到例2．例2如图2-114．已知△ABC中，∠C=4∠B=4∠A，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且∠AED=∠C，S△ABC=1，求S△AED．解类似例1的解法，引CF⊥AB于F，交BD于H，显然△ADE不相似于△CBH．但由已知条件∠C=4∠B=4∠A，则∠A=∠B=30°，∠C=120°．由于CF平分∠C，所以∠ACF＝60°．又因为∠AED=∠ACB，∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC，所以由于△AFC中∠AFC=90°，∠A=30°，所以若设CF=x，则类比如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3．例3已知△ABC中∠C= 90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF ⊥AB于F，交BD于H(图2-115)．求S△CBH．解本题直接求S△CBH有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E．由于AC=2BC=2，D是AC的中点，且∠C=∠BDE=90°，所以∠CBH=∠ADE=45°．因为CF⊥AB于F，所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1，所以△CBH≌△ADE，所以 S△CBH=S△ADE.因此只要求出S△ADE即可，为此，设DE=x，则(2)例3由例1类比而来，最自然的想法是求S△ADE，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求S△CBH．我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有│b-c│＜a＜b＋c，①即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差．我们对①类比：是否有存在呢？如果②存在，那么就发现了如下命题(例4)．2．联想与解题例5 a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有a2＋pa＋q=0，b2+pb＋q=0，分析与解由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x2＋px+q=0的两个根，由a，b不为零，有例6如果(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x+z=2y．分析与解 (1)展开原式有z2-2xz+x2-4(xy-y2-xz+yz)=0，合并、配方得(x+z)2-4y(x+z)＋4y2=0，即 (x+z-2y)2=0，所以 x+z＝2y．(2)如果看已知条件：(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0，很像二次方程根的判别式b2-4ac的形式，因此，可联想到方程(x-y)t2＋(z-x)t＋(y-z)＝0(x-y≠0)有二相等实根．由(x-y)+(z-x)+(y-z)=0可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知所以 x+z=2y．当x=y=0，即x=y时，有x=y=z，所以x+z=2y．例7化简分析与解这是一个根式的化简问题，分子、分母大同小异，自然联想到应用因式分解，使分子、分母具有公因式，化简就很容易了．例8图2-116是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形(如正方形ABCD)，然后在“弦图”内部作四个直角三角形(如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG)．设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有即 c2=2ab+b2-2ab+a2,即 c2=a2+b2.这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法．后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法．事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例，便是同学们提出的割补图．设a，b，c分别为直角三角形的勾、股、弦．(1)在图 2-117中，有a2+b2＝(S3+S5)+(S1+S2+S4)＝(S4+S5)+(S1+S2+S3)＝2S2+S1+S3=c2．(2)在图 2-118中，有a2+b2＝(S3+S4)＋(S1+S2)=S1＋S3＋S4＋S＇2＋S5=c2(3)在图2-119中，有a2＋b2＝(S2＋S5)+(S1＋S3＋S4)=S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝c2．(4)在图2-120中，有a2＋b2=(S＇2＋S5)＋(S1＋S3＋S4)=(S＇2+S4)+(S1+S3+S5)＝S1+S2+S3+S5=c2．练习二十1．在直角△ABC中，∠C=90°．(1)如果以此直角三角形三边为边，分别作三个正三角形(如图2-121)，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系？(2)如果以此直角三角形三边为直径，分别作三个半圆，那么面积S1，S2，S3之间有什么关系(如图2-122)？(提示：联想同分数，分母大的反而小，变比较分数的大小为比较倒数的大小．)(提示：如联想到已知公比之比值k，则可化难为易．)4．参照图2-120，写出勾股定理的逻辑证明．5．已知：△ABC中，∠C=2∠A=2∠B，BD是∠B的分角线，E点在AB 上，且∠ADE=∠DBC，S△ABC=1，求S△ADE．。

类比联想
1.路线图：能干会讲共同成长；方式方法：洞察人性，事上练；具体操作：太
极图学习，类比联想，案例分析等；
2.什么是类比联想：每个人都有每个人的理解；类比，宽度上寻找类似；联想，
深度上发觉问题；
3.怎么类比联想：
1)知识积累：有了积累才能做到类比联想，苹果；联想到了什么？才有了
足够的点可以用来类比联想
2)深刻感悟：看到什么，看了什么不重要，重要的是看懂了什么，记住了
什么。

转化为自己的东西，目前太极图关于故事、语句、技能、案例等
的应用就是一个彻底的践行；自己利用百度的经验；别人讲到某个故事，然后自己有感悟，对对对，我也听过；让我们得到的每个点延伸起来，
形成许多分叉，就和神经元一样
3)善于应用：各种场合，工作生活都可以；一个朋友讲的故事或者案例，
再另一个场合讲给了另一个人听；善于将神经元连在一起，形成整体性
的类比联想的案例；
马顾问的例子，滔滔不绝，各种故事，语句，案例；到最后会文思泉涌
的，挡都挡不住；。

高中数学中的类比和联想
高中数学是一门抽象的学科，学习它有时会让人感到困惑。

但是，类比和联想是学习数学的有效方法。

类比是指从一种情况中推断出另一种情况，将熟悉的事物用于不熟悉的事物。

例如，学习函数时，可以将函数想象成一条折线，这条折线就像一条河流，河水从低到高，函数从低到高。

这种类比的方法可以帮助学生更好地理解函数的概念。

联想是指从一种情况中推断出另一种情况，将熟悉的事物与不熟悉的事物联系起来，以帮助理解新概念。

例如，学习平面几何时，可以将平面几何中的角度想象成拐角，如一个墙角，这样可以更容易理解角度的概念。

类比和联想是学习数学的有效方法，它们可以帮助学生更好地理解数学概念，提高数学学习的效率。

中考作文复习技巧：联想和想象联想和想象是作文中常用的技巧，能够帮助考生丰富写作内容，增加作文的趣味性和表现力。

下面是一些中考作文复习技巧，教你如何运用联想和想象来提升作文的质量。

一、联想技巧联想是一种通过类比、联系等方式，将一个事物或概念与另一个事物或概念联系起来的思维方式。

在作文中，可以使用联想技巧来扩展写作内容，丰富论据和观点。

具体的应用方式有：1. 类比联想：将一个事物或概念与另一个相似的事物或概念进行比较或联系，以加深读者的理解。

写作文《我的梦想》，可以联想到"梦想如同一粒种子，播下去，会带来美好的未来"，通过将梦想比喻成种子，可以更好地表达梦想的重要性和发展潜力。

2. 逆向联想：从目标或结果出发，逆向思考，找出实现目标或产生结果的途径。

写作文《如何保护环境》，可以先确定目标是保护环境，然后逆向思考如何实现这个目标，从而得出具体的保护环境措施，如减少使用一次性物品、积极参与环保活动等。

写作文《青春的标签》，可以联想到强调青春特质的事物，如花朵的绽放、音乐的起伏等，通过这些联想可以更好地表达青春的鲜活和美好。

想象是一种通过构建情景和描绘形象的方式，使读者产生感知和参与的效果。

在作文中，可以利用想象技巧创造生动的情景和形象，使作文更加生动有趣。

具体的应用方式有：1. 情景想象：通过描述具体的情景，让读者产生身临其境的感觉。

写作文《我的暑假生活》，可以通过想象和描述暑假的一天，详细描绘早晨的阳光、父母的拥抱、朋友的笑声等，使读者能够感受到这个暑假的快乐和美好。

2. 人物形象想象：通过描绘人物的性格、外貌和行为等，创造具有个性鲜明的形象。

写作文《我心中的英雄》，可以描述一个勇敢而善良的人物形象，通过具体描写他奋不顾身的救人行为和助人为乐的事迹，来展示英雄的伟大和崇高。

3. 对比想象：通过对比不同的情景和形象，突出主题和观点。

写作文《雨天的记忆》，可以对比雨天和晴天的不同，通过描述雨天的湿润、清新和静谧，来表达雨天给人带来的美好和思考。

联想类比创造方法——它山之石，可以攻玉来源:中国发明网时间:2008年10月07日大中小事物间的联系是普遍存在的。

正是这种联系，我们的思维得以从已知引向未知，变陌生的为熟悉的。

这时，我们脑内发生的联想和类比过程可以看作是事物间的普遍联系在思维中的一种体现。

联想和类比法则是这类思维形式在人的创造活动中经验的总结。

（一）联一联：联想创新 1．魅力的由来请用“踏花归云马蹄香”构思一幅画。

文艺创作的魅力多是借助于联想而形成的。

联想在文学作品中亦是常用的手法。

李商隐的“春蚕到死丝方尽，蜡烛成灰泪始干”及李白的“床前明月光，疑是地上霜”皆乃联想的佳句。

2．引人入胜的广告联想用之以广告，不仅有艺术性，还富有人情味。

当时中国人口为4亿。

3．创新的连锁反应（二）类推的魔力：类比创新 1．科学研究法国物理学家欧姆把关于电的研究与法国数学家傅立叶关于热的研究加以类比：傅立叶假设热流量与温度梯度成正比，用数学方法建立了热传导定律；欧姆则用电流量对应热流量，用电位对应于温度，并用实验证明两者有着相似的关系，终于发现了电流与电压成正比的欧姆定律。

2．创造新学科、新理论控制论的创始人维纳等人，通过类比，把人的行为、目的等引入机器，又把通信工程的信息和自动控制工程的反馈引进了活的有机体，从而产生了控制论的理论与方法。

1678年荷兰物理学家惠更斯将光和声进行比较，发现光和声有一系列的共同属性，如直线传播、反射、折射、干涉等。

而声是由于物质振动而产生的波，于是类推光也是一种波，从而提出了光的波动说理论。

3．小发明石家庄市中学生王学青感到地球仪不如地图取拿方便，但地球仪有立体感，容易看懂，怎样才能使地球仪便于携带呢？最好是使用时成球状，不用时可压扁。

针对这一想法，王学青绞尽了脑汁，终于从儿童的气塑玩具那里得到启发（直接类比），制成充气地球仪，十分方便实用。

（三）搬一搬：移植法 1．基本原理所谓移植法是将某个领域的原理、技术、方法，引用或渗透到其他领域，用以改造和创造新的事物。

创新技法之联想类比法
联想类比法综摄法类比法类比法就是通过对一种事物与另一种事物对比，而进行创新的技法。

其特点是以大量联想为基础，以不同事物间的相同、类比为纽带。

移植法1、技术手段移植电吹风、被褥风干机2、原理移植电话、留声机3、技术功能移植驿站、电报综摄法综摄法是一种新颖独特比较完善的创新技法，由美国创造学家威廉戈登在长期研究和实验基础上提出的。

它是通过隐喻、类比等心理机制调动人的潜意识功能达到创新的。

关键是变熟悉为陌生，好像弯下腰从两腿间看世界一切都倒过来了一样。

这就是要人们跳出司空见惯的思维的圈子。

隐喻：一种表达出来的或暗示的比较，这种比较可以引起有意义的智力启发和感情激动。

综摄法的特性要求亲身体验，设身处地换个角度想问题，从中求得对事物的新感觉或新认识。

1、程序■确定课题■把陌生的事物变为熟悉的事物■把熟悉的事物变为陌生的东西2、综摄法以集体讨论方式进行让不同特点的人在一起取长补短，集思广益，大有裨益。

比如设计自动门，用阿里巴巴的芝麻开门。

法国雷内克医生发明听诊器的故事。

竞赛讲座31－类比与联想1．类比已知甲问题与乙问题有某些类似之处，猜想乙问题的某个结论或某种解法也适合甲问题，从而将这个结论移植给甲问题或用类似方法解决甲问题，这种解决问题的思维形式叫做类比推理.类比只是一种猜测，是否可行还要靠逻辑推理来解决.例1 如图27-1，一直线l交四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA或其延长线于E、F、G、H，则有分析此例中条件和结论都类似于梅氏定理，由此考虑将梅氏定理的证明方法施于此例.连BD交l于点O，在△ABD和△BCD中，分别使用梅氏定理可得两式相乘即得所证结论.例2 （第3届国际中学生数学竞赛题）如图27-2，P为△ABC内任意一点.直线AP、BP、CP交BC，CA，AB于Q、R、S.求证、、三者之中，至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2.分析例2条件与下述熟悉的命题条件一样：“P为△ABC内任意一点.直线AP、BP、CP交BC、CA、AB于Q、R、S.求证：”这说明可将这个命题的结论用于例2，由知中至少有一个不大于，不妨设≤即3PQ≤AQ.而AQ=AP+AQ，∴AP≥2PQ，∴≥2，即不小于2.同理可证三式中至少有一个不大于2.2．联想由前面的例题的解决，我们看到类比是与联想交织在一起的.事实上不论用什么方法解决问题都少不了运用“联想”.根据问题之间的相似性、接近性、对比性进行由此及彼的联想，从而将某个已知的结论和方法的全部或部分移植给所研究的新问题是解决问题的一种基本思想方法.例3 已知0＜a＜1，0＜b＜1.求证：+≥分析观察待证式左端，它的每个根式都使我们想到Rt△ABC中的等式a2+b2=c2，激起我们构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的大胆想法.如图27-3，作边长为1的正方形ABCD，分别在AB、AD上取AE=a，AG=b，过E、G分别作AD、AB的平行线，交CD、BC于F、H，EF、GH交于O点.由题设条件及作图可知，△AOG、△BOE、△COF、△DOG皆为直角三角形.∴OC=再连结对角形AC，BD，易知AC=BD=，OA+OC≥AC，OB+OD≥BD，∴≥合理的联想是以正确的观察为基础的.观察所研究的问题的特征和规律，联想似曾相识的问题，便可以迅速地找到一个解决新问题的模式.例4 （柯西不等式）（）·（）≥（a1b1+a2+b2+…+a n b n）2（其中等号当时成立）.分析设a=，c=，b=2（a1b1+a2+b2+…+a n b n），求证不等式变为b2-4ac≤0，这不就是一元二次方程的判别式吗？于是构造下面无相异实根的实系数一元二次方程解此题便是十分自然的事了.设f（x）=（）x2-2（a1b1+…+a n b n）·x+（），变形为f（x）=（a1x-b1）2+…+（a n x+b n）2≥0.这说明方程f（x）=0仅当时有相等实根，否则无实根，故f（x）=0的判别式不大于0，即（）（）≥（a1b1+…+a n b n）2.对于一般性的命题联想它的特殊情况，从研究特殊情形入手常可以找到解决一般问题的方法.例5 （第18届全苏中学生数学竞赛题）数学x（≠0）和y使得对任意的n≥1，数都是某整数的平方数，求这样的x和y.解从最简单的情形入手.如果，那么A是大于40的两位数，并且它的末位数字是2或8，可以验证仅当A=68或98时，A2的百位数6，即682=4624；982=9604.现在来看一般情况，=4·+2（10n+…+10+1）+2=4·10n+1·==[（2·10n+1+4）/3]2==66…682.=（10n-1）10n+2+6·10n+1+4=（10n+1-2）2=.∴x=4，y=2 或x=9，y=0.例6 设P1，P2，…，P n依次为△ABC中∠BAC的n等分线与BC的交点，求证分析先考虑n=2的情形，即“设P1为△ABC的∠BAC的平分线与BC的交点，求证”.这是三角形内角平分线性质,证法很多.因考虑到要证的一般情形的结论是线段的乘积的比,故我们利用三角形的面积公式来证.如图27-4,在△ABP1和△ACP1中，∵∠BAP1=∠CAP1且BP1与CP1边上的高相等，∴即再考虑n=3的情形，即“设P1，P2为△ABC的∠BAC的三等分角线与BC的交点，求证如图27-5，仿上可证上两式后面等式相乘得运用上面特殊情况的方法可证得一般情况.数学中的实际问题的解决，大多是从联想相应的为数学模型开始的.例7 海滩上的一堆苹果是五个猴子的财产，它们要平均分配.第一个猴子来了,它把苹果平均分成五堆还剩下一个.它把剩下的一个仍到大海里,自己拿走了一堆;第二个猴子来了,它又把苹果平均分成5堆,又多了一个,它又仍掉一个,拿走了一堆;以后每个猴子来了都照此办理.问原来至少有多少苹果?最后至少有多少苹果?解设后一个猴子到来时苹果的数目为x,而当它离去时,剩下的苹果数目为y,由x可确定y:这样就把一个实际问题转化为一个解析式来讨论.若设最初有x0个苹果,第i个猴子离去时,剩下的苹果数为y i,则要使y5取整数值,x0+4必是55的倍数,故x0的最小正数解应是x0=55-4=3121,∴y5=45-4=1020.故原来至少有3121个苹果，最后至少有1020个苹果.练习二十七1．两个既约分数的和与积能否同时为整数？2．设a，b，c，m，n，p均为实数，且满足aq-2bn+cm=0与b2-ac＜0.求证mp-n2≤0. 3．求素数p，使p+10，p+14仍为素数.4．证明2×是两相邻整数之积.5．已知x i≥0（i=1，2，…，n）且x1+x2+…+x n=1.求证1≤≤6． a、b、c、d都是正整数.证明：存在这样的三角形，它的三边等于，，并计算三角形的面积.7．证明闵可夫斯基不等式:对任意2n个正数x1,x2,x3,…，x n；y1，y2，y3，…，y n，恒有≥8．以三个不同的非零数字（十进位）组成的三位数，除以这三个数字之和.所得商的最小值是多少？9．（1987年北京初二数学竞赛题）一直线从左到右顺次排列着1897个点：p1，p2，…，p1987，已知p k点是线段p k-1p k+1的k等分点当中最靠近p k+1的那个分点（2≤k≤1986）.例如，p5点就线段p4p6的五等分点中最靠近p6的那个点.如果线段p1p2的长度是1,线段p1986p1987的长度为l.求证:练习二十七１．构造一元二次方程．２．构造一元二次方程ａｐｘ２－２ｂｎｘ＋ｃｍ＝０．由题设知方程有实根ｘ＝１，故△＝（－２ｂｎ）２－４·ａｐ·ｃｍ≥０３．取ｐ＝２，３，５，７，１１，１３，１７作试验，由此猜测：仅ｐ＝３有解．然后就ｐ＝３ｋ＋１和ｐ＝３ｋ＋２．证明ｐ＋１０，ｐ＋１４不是素数．４．取ｎ＝１，２试验，猜想：５．联想特殊情况：若ｘ１＋ｘ２＝１，ｘ１，ｘ２≥０则并给出证明：类比得到一般情况的证明：６．以ａ＋ｂ，ｃ＋ｄ为边画一个矩形（如图）．此处无图７．如图，给出了ｎ＝５的情形．８．设三位数为，所述为记要ｐ最小，只需ｐ′最小，观察得ｘ＝１，ｚ－９，ｙ＝８．∴ｐ＝９．ｐ２应为ｐ１ｐ３的二等分点，∴ｐ１ｐ２＝ｐ２ｐ３＝１．ｐ３应为ｐ２ｐ４的三等分点中最靠近ｐ４的那一点，∴ｐ３ｐ４＝ｐ２ｐ３＝．一般地，ｐｋ是ｐｋ－１ｐｋ＋１中的ｋ等分点中最靠近ｐｋ＋１的那一点，有ｐｋｐｋ＋１＝＝。

中学数学类比与联想
联想法可以说是再脑海里建立物理模型，解决问题事半功倍哦
也可以说是将所学知识点联想联系起来，形成网络，物理中对于一些问题有固定的模式和套路
类比法可以说是将相近的知识点联系起来，相互对比，帮助记忆，比如电场和磁场，等等
抓住新旧知识的本质联系,将有关新旧知识进行类比,就能很快
地得出新旧知识在某些属性上的相同(相似)的结论。

如,由加法交换律a+b=b+a就可类比乘法交换律a×b=b ×a,学习除法商不变的规律能类比分数的基本性质,学习小数四则运算法则就可类比整数四则运算法则。

学习异分母分数加减法就可类比同分母分数加减法。

学习质数与合数时,就可类比奇数与偶数,学习求最小公倍数就可类比求最大公约数。

学习化简比就可类比最简单的整数比。

学习圆锥的体积,就可类比圆柱体积,通过对它们概念、图形和规律的类比,就能加深对它们概念的理解,进而明确它们之间的区别与联系。

新旧知识的类比有利于帮助学生架起新、旧知识的桥梁,促进知识的迁移,提高探索能力。

公式间的类比
有些公式,我们不必叫学生死记硬背,也不必用题海战术巩固,只要把它们放在一起进行类比,学生就能形象化地记牢了。

如梯形面积公式可类比三角形面积公式,平行四边形面积公式可类比矩形面积公式,
扇形面积公式可类比三角形公式。

这样类比的好处,就是学生根据它
们“形”似,能找到解决问题的方法。

类比、联想法在教学中的应用类比、联想和想像，是数学发现和创新的重要工具，它在数学发现，发明，创造和数学解题中经常使用，是数学学习和研究的重要思想方法。

类比是根据两种不同的数学对象之间在某些方面相似或相同，推出它们在其他方面也可能相似或相同的推理方法，它是以比较为基础的方法；想像是对头脑中已有的表象进行加工改造，创造出新形象的过程。

想像在数学创造中也起着重要的作用。

类比与想像在科学史上占有重要的地位，许多新理论，新概念，新定律的发现都是通过这种思想方法获得的。

那么，如何应用联想、类比和想像这一个重要的数学思想方法来培养学生创造性的思维能力呢？在十几年的教育教学中，我认为应从以下几个方面努力。

1 注意用类比、想像的方法，培养学生敏锐的观察力和丰富的想像力观察能力是一切能力发展的基础，如果没有一定的观察能力，就不能很好地感知客观事物的属性，积累足够多的表象，就无法进行概括、想象、逻辑思维，因此学生观察能力的培养是不可忽视的，是培养学生科技素质的第一步。

比如，方程：，观察力弱的学生只是判断出这是一个无理方程，而观察能力强的学生联想到非负数的性质，一下子就发现这是一个无解的无理方程，正如数学大师希尔伯特曾经指出的：“数学知识终究是依赖于某种类型的直观的洞察力。

”这里的直观的洞察力包括观察法，归纳法，类比联想法。

因此，对于每一个问题，要引导学生认真，深入，细致地观察，鼓励学生大胆地想像、类比，丰富学生的想像力，为培养创造性思维奠定基础。

比如，在概念，公式，法则的教学中，先引导学生仔细观察它们特点，联想到我们以前学过的有关概念，有何区别，联系，然后得出结论。

在习题讲解时，要给学生一定的时间，空间去观察题目的特征，数量关系，结构特点，从中找出隐含在题目中的条件，在解题时要引导学生大胆地想像和类比，让学生充分应用已有的知识和解题经验，发挥自己的想像力，学生还可以和以前学过的知识作比较，通过观察、类比和联想，抓住事物的共性和个性，从而抓住事物的本质。

知识应用的一般过程审题,联想,解析,类比标题：知识应用的一般过程导语：知识应用是指将所学的知识应用于实际问题解决中的过程。

本文将从审题、联想、解析和类比四个方面详细介绍知识应用的一般过程。

一、审题审题是知识应用的第一步，它是理解问题的关键。

在审题时，我们需要仔细阅读问题描述，理解问题所要求的内容和目标。

这一步骤的目的是确保我们对问题的需求有清晰的认识，从而为后续的解决过程提供指导。

二、联想联想是在理解问题后，运用已有的知识和经验，将问题与已知的相关概念或情境联系起来，以便更好地理解问题的内涵和解决思路。

通过联想，我们可以将问题与已学知识进行关联，发现问题与已有知识的相似之处，从而为问题的解决提供启示。

三、解析解析是将问题进行分解、剖析的过程。

在解析阶段，我们需要将复杂的问题拆解成更小、更简单的子问题，以便更好地理解和解决问题。

解析的关键是找出问题的关键要素和关系，对问题进行逐步分解，直到找到最终的解决方案。

四、类比类比是将问题与已有的类似问题或情境进行对比和比较的过程。

通过类比，我们可以借鉴已有问题的解决思路和方法，应用于当前问题的解决中。

类比的关键在于找到问题之间的共性和相似之处，从而为问题的解决提供新的视角和思路。

结语：知识应用是将所学知识应用于实际问题解决中的过程，其中包括审题、联想、解析和类比四个关键步骤。

通过审题，我们能够明确问题的需求；通过联想，我们能够将问题与已有知识进行关联；通过解析，我们能够将问题进行分解和剖析；通过类比，我们能够借鉴已有问题的解决思路和方法。

通过这一系列的过程，我们能够更好地应用所学知识解决实际问题，提高问题解决的效率和质量。

在实际应用中，我们需要灵活运用这些过程，并结合具体问题的特点，找到最合适的解决方案。

通过不断的实践和经验积累，我们能够更加熟练地应用知识，提升自己的问题解决能力。