高二下学期期中考试数学(文科)试卷含答案
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高二级第二学期期中考试文科数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:,sin 1p x x ∀∈≤R ，它的否定是（ ） A ．存在,sin 1x x ∈>R B ．任意,sin 1x x ∈≥R C ．存在,sin 1x x ∈≥R D ．任意,sin 1x x ∈>R2．已知复数z 满足（z-1）i=i+1，复平面内表示复数z 的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()f x 在0x=x 处导数存在，若p ：f ‘（x 0）=0；q ：x=x 0是()f x 的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件D ． p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．有下列命题：①若0xy =，则0x y +=；②若a b >，则a c b c +>+；③矩形的对角线互相垂直．其中真命题有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．设复数z=()()12i i a ++为纯虚数，其中a 为实数，则a =（ ）A ．2-B ．12-C ． 12D ．26．双曲线2214y x -=的渐近线方程和离心率分别是（ ）A ． 2,y x e =±B ． 1,2y x e =±=C ．1,2y x e =± D ．2,y x e =±7．若函数()ln f x x x =-的单调递增区间是( ) A ．()0,1 B ．()0,e C ．()0,+∞ D ．()1,+∞8．按照图1——图3的规律，第10个图中圆点的个数为（）个．A．40 B．36 C．44 D．52图1图2图39．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y bx a=+中的b为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )．A．63.6万元B．65.5万元 C．67.7万元D．72.0万元10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )A．乙可以知道两人的成绩 B．丁可能知道两人的成绩C．乙、丁可以知道自己的成绩 D．乙、丁可以知道对方的成绩11．已知函数3()63f x x bx b=-+在(0,1)内有极小值，则b的取值范围是( )A．,0-∞ B．1(0,)2C．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．()0,112．设A、B是椭圆C：2213x ym+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是( )A．(0,1][4,)+∞B．[4,)+∞C．(0,1][9,)+∞D．[9,)+∞第II卷二．填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分．13．设()11i x yi+=+，其中,x y是实数，则x yi+=．14．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为98、63，则输出的a= ．15．已知双曲线的顶点为椭圆2212y x +=长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于1，则双曲线的方程是16． 已知曲线ln y x x =+在点 ()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切，则a = ． 三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知:p 关于x 的方程210x mx ++=有两个不等的负根；:q 关于x 的方程244(2)10x m x +-+=无实根。
若为真，p q ∧为假，求m 的取值范围18． （本小题满分12分）第一次大考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优""p q ∨秀，统计成绩后，得到如下22⨯列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311． （I ）请完成列联表(Ⅱ)根据列联表的数据能否在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为成绩与班级有关系？ 参考公式和临界值表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19． （本小题满分12分）菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x (单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y (单位：微克)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． y （微克）x （千克）38 11 10 其中2x ω=（I ）根据散点图判断，ˆybx a =+与2ˆy dx c =+，哪一个适宜作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(Ⅱ)若用解析式2ˆydx c =+作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程，求出ˆy 与x 的回归方程．(c ，d 精确到0.1)(Ⅲ)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.12.236≈)附：参考公式：回归方程ˆˆˆya bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ()()()121ˆˆˆ,ni i i ni i x x y y bay bx x x ==--==--∑∑20．（本小题满分12分）若函数f (x )＝ax 2＋b x －43ln x 的导函数()f x '的零点分别为1和2．（I ） 求a ， b 的值；（Ⅱ）若当(]0,3x ∈时，()f x a >恒成立， 求实数a 的取值范围．21． （本小题满分12分）设A 、B 为抛物线C ：22(0)x py p =>上两点，A 与B 的中点的横坐标为2，直线AB 的斜率为1．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）直线():0l x t t =≠ 交x 轴于点M ，交抛物线C ：)0(22>=p py x 于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为65cos 5sin x y αα=-+⎧⎨=⎩（α为参数）．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）若点(,)x y 是圆C 上的动点，求x y +的最大值．高二级第二学期期中考试文科数学参考答案一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二． 填空题:本大题共4小题．每小题5分，满分20分．13； 14． 7 ； 15．222y x -= ； 16． 8．三．解答题：17．解：若方程210x mx ++=有两个不等的负根，则2124000m x x m m ⎧∆=->⎪⎨+=-<⇒>⎪⎩，解得2m >，即p:2m >………………………3分若方程244(2)10x m x +-+=无实根，则2216(2)1616(43)0m m m ∆=--=-+<，解得13m <<，即q ： 13m <<……………………6分因""p q ∨为真，""p q ∧为假，所以p 、q 两命题中应一真一假，即p 为真，q 为假或q 为真，p 为假 213m m m >⎧∴⎨≤≥⎩或 或213m m ≤⎧⎨<<⎩，………………………10分解得3m ≥或12m <≤所以m 的取值范围是3m ≥或12m <≤………………………12分18．解：（I ）根据题意，甲、乙两个文科班第一次大考数学成绩优秀人数31103011⨯=（人），…………………2分由此列联表如下所示………………………4分 (Ⅱ)由列联表的数据，得到 ()2110103020507.485 6.63560503080k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯………………………10分因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下，认为成绩与班级有关． ………12分19．解：（I ）根据散点图判断2ˆydx c =+适宜作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程类型；……2分 （Ⅱ）令2x ω=，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81281751=2.0374iii ii w w yyd w w ==---=≈--∑∑，∴=38211=60c y dw =-+⨯． ……7分 ∴y 关于w 的线性回归方程为ˆ 2.060.0yw =-+，……9分 ∴y 关于x 的回归方程为2ˆ 2.060.0yx =-+．……10分 (Ⅲ)当ˆ20y <时，22.060.020x -+< ， 4.5x >∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜……12分20．解：（I ） 函数()24ln 3f x ax bx x =+-的定义域是()0,+∞， ，…2分∵函数()4'23f x ax b x=+-的零点分别为1和2， ∴4(1)203f a b '=+-=，2(2)403f a b '=+-= 得13a =，b = 2……4分 （Ⅱ）当(]3,0∈x 时，a x f >)(恒成立，当且仅当[]min )(x f a <……5分由（I ）得，()()2142ln 033f x x x x x -+->．()()()21224'2333x x f x x x x x----+-=．由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝2． ①当f ′(x )＞0时1＜x ＜2；②当f ′(x )＜0时0＜x ＜1或x ＞2． ………………………7分 当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：………………………9分因此，f (x )的区间(]3,0的最小值是5(1)3f =和4(3)3ln33f =-的较小者， ∵()5443ln 3ln 310333⎛⎫--=-> ⎪⎝⎭，∴543ln333>-， ∴f （x ）的区间(]0,3的最小值是4(3)3ln33f =-………………………11分∴实数a 的取值范围是4,3ln 33⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭………………………12分21．解：（Ⅰ）设 1122(,),(,)A x y B x y ，AB 直线的斜率为1，又因为A ，B 都在曲线C 上， 所以2112x y p = ① 2222x y p=②…………………2分-得2221122121()()22x x x x x x y y p p-+--==……………………4分 由已知条件124x x +=得212121y y x x p-==-，得p = 2，所以抛物线C 的方程是24x y =．………6分 （Ⅱ）由题意，可知点,,M P N 的坐标分别为(,0)M t ，2,4t P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2t N t ⎛⎫⎪⎝⎭，…7分从而可得直线ON 的方程为2t y x =，联立方程224t y x x y⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得220,0x t x y y t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩．………………………9分 依题意，点H 的坐标为22,t t ，由于(,0)M t ，()22,H t t ，可得直线MH 的方程为()y t x t =-， 联立方程2()4y t x t x y=-⎧⎨=⎩，整理得22440x tx t -+=，………………………11分则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．………………12分 22． 解：（Ⅰ）将圆C 的参数方程为（α为参数）化为普通方程得2212110x y x +++=，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可得，圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=．………………………5分（Ⅱ）因点),(y x 是圆C 上的动点，所以65cos 5sin x y αα=-+⎧⎨=⎩5sin 5cos 664x y πααα⎛⎫+=+-=+- ⎪⎝⎭，所以x y +的最大值是6…10分。
