计量经济学多元线性回归方程

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计量经济学多元线性回归

31
调整过的R2(The Adjusted R-squared)
因此， R2增加并不意味着加入新的变量一定会提高模型拟合度。
调整过的R2是R2一个修正版本，当加入新的解释变量，调整过的R2不一定增加。
R 21(SS /n (R (k 1 ) )1n(k 1 )SSR
SS /n (T 1 )
定义：
y i y 2 to su to a s m flqS ua S总 rT es平
y ˆi y 2exp slu o as m ifq nu e Sd a Sr解 E es释 u ˆi2 ressiu d os m u fq au S l a SrR 残 es 差平
SST= SSE + SSR
3
重新定义变量
为什么我们想这样做？数据测度单位变换经常被用于减少被估参数小数
点后的零的个数，这样结果更好看一些。既然这样做主要为了好看，我们希望本质的东西
不改变。
4
重新定义变量：一个例子
以下模型反映了婴儿出生体重与孕妇吸烟量和家庭收入之间的关系：
(1) b w g h t ˆ 0 ˆ 1 c ig s ˆ 2 fa m in c
explog考虑如果我们想知道时的百分比变化我们不能只报告因为所以22含二次式的模型u的模型我们不能单独将b解释为关于xy变化的度量我们需要将b如果感兴趣的是给定x的初始值和变动预测y的变化那么可以直接使用1
课堂提纲
重新定义变量的影响
估计系数 R 平方 t 统计量
函数形式
对数函数形式含二次式的模型含交叉项的模型
24
wage
7.37
3.73
24.4
exper
25
对含二次式模型的进一步讨论

计量经济学课程第4章(多元回归分析)

Page 2
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想：对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS

N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概率密度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1

2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 24
单侧检验
概率密度
概率概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2

2，
0
HA :

2

2 0

第三章多元线性回归模型(计量经济学,南京审计学院)

Yˆ 116.7 0.112X 0.739P
R2 0.99
(9.6) (0.003) (0.114)
Y和X的计量单位为10亿美元 (按1972不变价格计算).
P
食品价格平减指数总消费支出价格平减指数
100，（1972
100）
3
多元线性回归模型中斜率系数的含义
上例中斜率系数的含义说明如下：价格不变的情况下，个人可支配收入每上升10
c (X X )1 X D
从而将的任意线性无偏估计量 * 与OLS估计量 ˆ 联系
起来。
28
cX I
由
可推出：
(X X )1 X X DX I
即 I DX I
因而有 D X 0
cc (X X )1 X D (X X )1 X D ( X X )1 X D X ( X X )1 D
第三章多元线性回归模型
简单线性回归模型的推广
1
第一节多元线性回归模型的概念
在许多实际问题中，我们所研究的因变量的变动可能不仅与一个解释变量有关。因此，有必要考虑线性模型的更一般形式，即多元线性回归模型：
Yt β0 β1X1t β2 X 2t ... βk X kt ut t=1,2,…,n
Yt
ˆ0
βˆ 1
X
1t
... βˆ K X Kt
2
为最小，则应有：
S
S
S
ˆ0 0, ˆ1 0, ..., ˆ K 0
我们得到如下K+1个方程（即正规方程）：
13
β0 n
β1 X1t ...... β K X Kt Yt
β 0 X 1t β1 X 1t 2 ...... β K X 1t X Kt X 1tYt

计量经济学-多元线性回归模型

多元线性回归模型的表达式
Y=β0+β1X1+β2X2+...+βkXk+ε，其中Y为因变量，X1, X2,..., Xk为自变量，β0, β1,..., βk为回归系数，ε为随机误差项。
多元线性回归模型的假设条件
包括线性关系假设、误差项独立同分布假设、无多重共线性假设等。
研究目的与意义
研究目的
政策与其他因素的交互作用
多元线性回归模型可以引入交互项，分析政策与其他因素（如技术进步、国际贸易等）的交互作用，更全面地评估政策效应。
实例分析：基于多元线性回归模型的实证分析
实例一
预测某国GDP增长率：收集该国历史数据，包括GDP、投资、消费、出口等变量，建立多元线性回归模型进行预测，并根据预测结果提出政策建议。
最小二乘法原理
最小二乘法是一种数学优化技术，用于找到最佳函数匹配数据。
残差是观测值与预测值之间的差，即 e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)e = y (beta_0 + beta_1 x_1 + cdots + beta_k x_k)e=y−(β0+β1x1+⋯+βkxk)。
在多元线性回归中，最小二乘法的目标是使残差平方和最小。
t检验
用于检验单个解释变量对被解释变量的影响是否显著。
F检验
用于检验所有解释变量对被解释变量的联合影响是否显著。
拟合优度检验
通过计算可决系数（R-squared）等指标，评估模型对数据的拟合程度。
残差诊断
检查残差是否满足独立同分布等假设，以验证模型的合理性。
04
多元线性回归模型的检验与诊断

高级计量经济学第二章多元线性回归模型

e是理论模型的随机挠动项 u是估计模型的残差项
用方程形式，残差平方和可以表示为
E S S u i 2 Y i Y ˆ i2 Y i ˆ 0 ˆjX ij2
最小二乘法估计
（多元回归模型）
以包括两个解释变量的模型为例，对未知参数求一阶导数得到：
如y果ˆ使xˆ12 , …x1,或 xk保持ˆ不1变，xyˆ1那么有
即每个估计的都反映出当其他因素不变时，该因
素产生的边际影响效果。
多元回归的拟合优度
多元回归方程的拟合优度同样可以用R2表示
R2RSS
TSS
Y Y ˆii Y Y2 21
同样的方法可以用于检验有关多个估计参数之间关系的联合假设。
用下标R和UR区分有约束和无约束的回归方程R2 ，q为约束条件的个数，相应的F统计值计算公式为：
对拟合优度的统计检验
检验拟合优度的虚假设是所有解释变量均不是真正的解释变量，即：
H 0 : 12 .. .k 0
备择假设为至少有一个解释变量的参数不等于零。相应的统计量为：
F k 1 ,N kE RSS K N S S 1 K 1 R R 22N K K 1
需要注意的是，在计量经济学中，“线性”指的是估计参数可以表达为样本观察值和误差项的线性函数，并不要求回归方程中变量之间的关系为线性的。
例：CD函数 Ye0X1 1X2 2eu
对该函数两边取对数得到：LnY=0+1LnX1+2LnX2+u
即比：较：YY *= 0e+0X 1X1 11 *X +2 2 2X 2*u +u
不同数学函数的性质

计量经济学第二章(第二部分)

其中，有k个解释变量；k+1个回归参数
3
计量经济学第二章B
同上
（2）矩阵形式： Y XB N Y1 Y2 Y ... Y n 1 1 X ... 1 0 u1 1 u2 , B , N ... ... u n 1 k (k 1) 1 n n 1 X 11 X 12 ... X 1n X 21 X 22 ... X 2n ... ... ... ... X k1 X k2 ... X kn n (k 1)
2
（2）当 R
2

k n -1
时，
R
2
<0 ,此时，使
2
用 R 将失去意义。因此， R 只适
2
用于Y与解释变量整体相关程度较的
情况。
34
计量经济学第二章B
四、回归方程的显著性检验
(1) 提出原假设 (2) 构造统计量 H 0 : 1 2 ... k 0 F ESS/k RSS/n (3) 对于给定的显著性水平（4）判定方程的显著性，若 F F ，则拒绝原假设若 F F ，则接受原假设 H 0，即模型的线性关系 F 检验； - k -1 ~ F(k, n - k - 1) ( 在 H 0 成立时） F
不管其质量的好坏，而所要求的样本容量
的下限。
20
计量经济学第二章B
同上
ˆ 由 B ( X X)
-1
ˆ X Y 中看到，要使 B
存在，
必须保证(XˊX)-1存在，因此，必须满
足|XˊX|≠0 ，即XˊX为满秩矩阵，而

计量经济学-3多元线性回归模型

计量经济学-3多元线性回归模型
2020/12/8
计量经济学-3多元线性回归模型
•第一节概念和基本假定
•一、基本概念： • 设某经济变量Y 与P个解释变量：X1，X2，…，XP存在线性依
存关系。 • 1.总体回归模型：
•其中0为常数项， 1 ~ P 为解释变量X1 ~ XP 的系数，u为随机扰动项。 • 总体回归函数PRF给出的是给定解释变量X1 ~ XP 的值时，Y的期望值：E ( Y | X1，X2，…，XP )。 • 假定有n组观测值，则可写成矩阵形式：
计量经济学-3多元线性回归模型
•2.样本回归模型的SRF
计量经济学-3多元线性回归模型
•二、基本假定： • 1、u零均值。所有的ui均值为0，E（ui）=0。 • 2、u同方差。Var（ui）=δ2，i=1，2，…，n
计量经济学-3多元线性回归模型
•
计量经济学-3多元线性回归模型
•
•第二节参数的最小二乘估计
•五、预测
•（一）点预测 •点预测的两种解释：
计量经济学-3多元线性回归模型
•（二）区间预测
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•例5，在例1中，若X01=10，X02=10，求总体均值E（Y0|X0）和总体个别值Y0的区间预测。
•
Yi=β0+β1Xi1+β2Xi2+ui
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
计量经济学-3多元线性回归模型
•三、最小二乘估计的性质
计量经济学-3多元线性回归模型

5、计量经济学【多元线性回归模型】

二、多元线性回归模型的参数估计
2、最小二乘估计量的性质当 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 为表达式形式时，为随机变量，这时最小二乘估计量 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 经过证明同样也具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）。也就是说，在模型满足那几条基本假定的前提下，OLS估计量具有线性性、无偏性和最小方差性（有效性）这样优良的性质，即最小二乘估计量
用残差平方和 ei2 最小的准则： i
二、多元线性回归模型的参数估计
1、参数的普通最小二乘估计法（OLS）即：
min ei2 min (Yi Yˆi )2 min Yi (ˆ0 ˆ1X1i ˆ2 X 2i ˆk X ki )2
同样的道理，根据微积分知识，要使上式最小，只需求上式分别对 ˆj ( j 0,1, k) 的一阶偏导数，并令一阶偏导数为 0，就可得到一个包含 k 1 个方程的正规方程组，这个正规方程组中有 k 1个未知参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk ；解这个正规方程组即可得到这 k 1 个参数 ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 的表达式，即得到了参数的最小二乘估计量；将样本数据代入到这些表达式中，即可计算出参数的最小二乘估计值。
该样本回归模型与总体回归模型相对应，其中残差 ei Yi Yˆi 可看成是总体回归模型中随机误差项 i 的估计值。
2、多元线性回归模型的几种形式：上述几种形式的矩阵表达式：将多元线性总体回归模型 (3.1) 式表示的 n 个随机方程写成方程组的形式，有：
Y1 0 1 X11 2 X 21 .Y.2.........0.......1.X...1.2........2.X...2.2. Yn 0 1 X1n 2 X 2n
ˆ0, ˆ1, ˆ2, , ˆk 是总体参数真值的最佳线性无偏估计量（ BLUE ）；即高斯—马尔可夫定理 (GaussMarkov theorem)。

计量经济学实验报告(多元线性回归自相关 )

计量经济学实验报告(多元线性回归自相关 )1. 背景计量经济学是一门关于经济现象的定量分析方法研究的学科。

它的发展使得我们可以对经济现象进行更加准确的分析和预测，并对社会发展提供有利的政策建议。

本文通过对多元线性回归模型和自相关模型的实验研究，来讨论模型的建立与评价。

2. 多元线性回归模型在多元线性回归模型中，我们可以通过各个自变量对因变量进行预测和解释。

例如，我们可以通过考虑家庭收入、年龄和教育程度等自变量，来预测某个家庭的消费水平。

多元线性回归模型的一般形式为：$y_i=\beta_0+\beta_1 x_{i1}+\beta_2 x_{i2}+...+\beta_k x_{ik}+\epsilon_i$在建立模型之前，我们需要对因变量和自变量进行观测和测算。

例如，我们可以通过调查一定数量的家庭，获得他们的收入、年龄、教育程度和消费水平等数据。

接下来，我们可以通过多元线性回归模型，对家庭消费水平进行预测和解释。

在实际的研究中，我们需要对多元线性回归模型进行评价。

其中一个重要的评价指标是 $R^2$ 值，它表示自变量对因变量的解释程度。

$R^2$ 值越高，说明多元线性回归模型的拟合程度越好。

3. 自相关模型在多元线性回归模型中，我们假设各个误差项之间相互独立，即不存在自相关性。

但实际上，各个误差项之间可能会互相影响，产生自相关性。

例如，在一个气温预测模型中，过去的温度对当前的温度有所影响，说明当前的误差项和过去的误差项之间存在相关性。

我们可以通过自相关函数来研究误差项之间的相关性。

自相关函数表示当前误差项和过去 $l$ 期的误差项之间的相关性。

其中，$l$ 称为阶数。

自相关函数的一般形式为：$\rho_l={\frac{\sum_{t=l+1}^{T}(y_t-\bar{y})(y_{t-l}-\bar{y})}{\sum_{t=1}^{T}(y_t-\bar{y})^2}}$在自相关模型中，我们通过对误差项进行差分或滞后变量，来消除误差项之间的自相关性。

高级计量经济学第二章多元线性回归模型

高级计量经济学第二章多元线性回归模型
本章内容
古典线性回归(Ordinary Linear Squares)
模型估计方法和统计检验
其他模型估计方法
最大似然法（Maximum Likelihood）广义矩法（Generalized Method of Moments）
模型设定与设定误差虚拟变量的使用建立多元回归模型时应注意的问题
斜率(dY/dX)
β1 β1Y/X β1Y β1/X -β1/X2 -β1Y/X2 β1+2β2X β1+β2Z
弹性(dY/dX)(X/Y)
β1X/Y β1 β1X β1/Y
-β1/(XY) -β1/X
(β1+2β2X)X/Y (β1+β2Z)X/Y
5
假定2：矩阵X是满秩的
X是一个n K 矩阵，X的秩应该等于K；该假定也被称做识别条件。只有当识别条件得到
用下标R和UR区分有约束和无约束的回归方程R2 ，q为约束条件的个数，相应的F统计值计算公式为：
F q ,N k 1E ER U S S E R N S S U S K R q S R 1 U 2 R R U 2 R R 2R N qK
最大似未知的总体分布，样本数据提供了有关概率分布参数的信息，估计方法建立在样本来自哪个概率分布的可能性最大基础之上。
对估计系数的统计检验
利用前述的估计量方差矩阵可以得到每个估计参数的标准差sj，估计参数与该标准差的比值为相应的t统计值。
利用t统计表（或相应的软件）可以得到与模型自由度相对应的显著性水平，据此可以判断结果在统计意义上的可靠性。
对模型参数的联合检验
同样的方法可以用于检验有关多个估计参数之间关系的联合假设。

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一、模型的类型与变换二、非线性回归实例
3.5 回归模型的其他函数形式
如在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。
著名的恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线形式等。
于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间：
Yˆ0 t ˆ X 0 (XX) 1 X0 E(Y0 ) Yˆ0 t ˆ X 0 (XX) 1 X0
2
2
其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值。
二、Y0的置信区间
如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：
e0 Y0 Yˆ0
(****)
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得
1 2 3 0
因此，对（****）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。
表 3.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
X
X1
GP
FP
XC
Q
P0
P1
(当年价) (当年价) (上年=100) (上年=100) (1990年价) (1990年价) (1990=100) (1990=100)
X
βˆ
0
它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估
计值，而不是预测值。
为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括E(Y0)和Y0的置信区间。
一、E(Y0)的置信区间
易知
E(Yˆ0 ) E(X0βˆ ) X0 E(βˆ ) X0β E(Y0 ) Var(Yˆ0 ) E(X0βˆ X0β)2 E(X0 (βˆ β)X0 (βˆ β))
ˆ
2 e0
ˆ 2 (1 X0 (XX)1 X0 ))
构造t统计量
ห้องสมุดไป่ตู้
t Yˆ0 Y0 ~ t(n k 1)
ˆ e0
可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间：
Yˆ0 t ˆ 1 X 0 (XX) 1 X0 Y0 Yˆ0 t ˆ 1 X 0 (XX) 1 X0
2
2
3.5 回归模型的其他函数形式
但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归的方法进行计量经济学方面的处理。
恩格尔曲线(Engle curves)表现为幂函数曲线形式
反映的是所购买的一种商品的均衡数量与消费者收入水平之间的关系的曲线。
10
菲利普斯曲线（Pillips cuves）表现为双曲线形式
《计量经济学》
《Econometrics》《经济计量学》
1
3.4 多元线性回归模型的预测
一、E(Y0)的置信区间二、Y0的置信区间
2
3.4 多元线性回归模型的预测
对于模型 Yˆ Xβˆ
给定样本以外的解释变量的观测值
X0=(1,X10,X20,…,Xk0)，可以得到被解释变量的预
测值：
Yˆ0
容易证明 E(e0 ) E(X0β 0 X0βˆ )
E(0 X0 (βˆ β)) E(0 X0 (XX)1 Xμ)
0
Var(e0 ) E(e02 )
E(0 X0 (XX)1 Xμ)2 2 (1 X0 (XX)1 X0 )
二、Y0的置信区间
e0服从正态分布，即
e0 ~ N(0, 2 (1 X0 (XX)1 X0 ))
1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线
s = a + b r + c r2
c<0
s：税收； r：税率
设X1 = r，X2 = r2，则原方程变换为
s = a + b X1 + c X2
c<0
一、模型的类型与变换
2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数 Q = AKL
例题
选择题下列模型不能转化为线性模型的是：p83 A、 s = a + b r + c r2 +μ B、 Q = AKL+μ C、1/Q=a+b*1/P+μ D、 Q = AKLeμ
答案：B
16
二、非线性回归实例
例：建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
Var(Yˆ0 ) E(X0 (βˆ β)(βˆ β)X0 ) X0 E(βˆ β)(βˆ β)X0
2 X0 (XX) 1 X0
一、E(Y0)的置信区间
容易证明
Yˆ0 ~ N (X0β, 2X0 (XX) 1 X0 )
Yˆ0 E(Y0 ) ~ t(n k 1)
ˆ X0 (XX) 1 X0
1981 456.8 420.4
102.5
102.7
646.1
318.3
70.7
Q：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动
方程两边取对数： ln Q = ln A + ln K + ln L
一、模型的类型与变换
并非所有的函数形式都可以线性化
无法线性化模型的一般形式为:
Y f (X1, X 2, , X k )
其中，f(x1,x2,…,Xk)为非线性函数。如：
Q AK L
通胀率
失业率反应失业率和通货膨胀率此消彼长的关系
11
一、模型的类型与变换
1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法
例如，商品的需求曲线是双曲线形式： 1/Q = a + b *1/P + μ
Q：商品需求量； P：商品价格设Y = 1/Q ，X = 1/P ，则原方程变换为
Y=a+bX+μ
一、模型的类型与变换
Q f (X , P1, P0 )
(*)
Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额
P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。
零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变
Q f (X / P0 , P1 / P0 )
(**)
为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。
首先,确定具体的函数形式
根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系:
对数变换:
Q
AX
P 1 2 1
P 3 0
ln(Q) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0
(***)
考虑到零阶齐次性时
ln(Q) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln(P1 / P0 )

计量经济学多元线性回归方程

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