【中考数学】平面图形的认识(二)压轴解答题精选附答案

【中考数学】平面图形的认识（二）压轴解答题精选附答案

一、平面图形的认识（二）压轴解答题

1．问题情境：如图1，已知 ， .求 的度数.

（1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作 ，根据平行线有关性质，可得

________.

（2）问题迁移：如图3， ，点P在射线OM上运动， ，

.

①当点P在A，B两点之间运动时， 、 、 之间有何数量关系？请说明理由.

②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出

、 、 之间的数量关系，

（3）问题拓展：如图4， ， 是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________.

2．如图，长方形 中， ， 为边 上一点，将长方形沿 折叠( 为折痕)，使点 与点 重合， 平分 交 于 ，过点 作 交 于点 ，

（1）求证:

（2）若 ，求 的度数

3．已知 ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）.连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°.

（1）如图，当点 P 在 ABC 内时，

①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝________； ②探究 s、t、x、y 之间的数量关系，并证明你得到的结论.

（2）当点 P 在 ABC 外时，直接写出 s、t、x、y 之间所有可能的数量关系，并画出相应的图形.

4．如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1 ， 第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2 ， 第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3 ， …，第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En.

（1）如图①，已知∠ABE=50°，∠DCE=25°，则∠BEC = ________°；

（2）如图②，若∠BEC=140°，求∠BE1C的度数；

（3）猜想：若∠BEC＝α度，则∠BEnC = ________ °.

5．如图

（1）问题情境：

如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°。求∠PAB+∠PCD的度数。

经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=________。

（2）问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β。

当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由。

（3）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系。

（4）问题拓展：

如图4，MA1∥NAn ， A1-B1-A2-…-Bn-1-An ， 是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________ 。

6．己知AB∥CD，点E在直线AB，CD之间。

（1）如图①，试说明：∠AEC=∠BAE+∠ECD；

（2）若AH平分∠BAE，将线段CE沿射线CD平移至FG。

①如图②，若∠AEC=90°，FH平分∠DFG，求∠AHF的度数；

②如图③，若FH平分∠CFG，试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由。

7．[感知发现]：如图，是一个“猪手”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE ，我们发现：∠E=∠B+∠D

证明如下：过E点作EF∥AB．

∠B=∠1(两直线平行，内错角相等．）

又 AB∥CD(已知）

CD∥EF(如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．）

∠2=∠D(两直线平行，内错角相等．）

∠1+∠2=∠B+∠D(等式的性质1．）

即：∠E=∠B+∠D

（1）[类比探究]：如图是一个“子弹头”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE．试探究∠E+∠B+∠D=360°．写出证明过程．

（2）[创新应用]：(1)．如图一，是两块三角板按如图所示的方式摆放，使直角顶点重合，斜边平行，请直接写出∠1的度数．(2)．如图二，将一个长方形ABCD按如图的虚线剪下，使∠1=120 ，∠FEQ=90°． 请直接写出∠2的度数．

8．操作探究：

（1）实践：如图1， 中， 为 边上的中线， 的面积记为 ，

的面积记为 ．则 ．

探究：在图2中， 、 分别为四边形 的边 、 的中点，四边形 的面积记为 ，阴影部分面积记为 ，则 和 之间满足的关系式为________：

（2）解决问题：

在图3中， 、 、 、 分别为任意四边形 的边 、 、 、 的中点，并且图中阴影部分的面积为 平方厘米，求图中四个小三角形的面积和，并说明理由．

9．如图，三角形ABC ， 直线 ，CD、BD分别平分 和 ．

（1）图 中， ， ，求 的度数，说明理由．

（2）图 中， ，直接写出 ________．

（3）图 中， ， ________．

10．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上连接AB,AB的长为a，其中a是不等式 的最大整数解

（1）求AB的长

（2）动点P以每秒2个单位长度的速度在AB上从A点向B点运动，设B[的长度为d，运动时间为t，请用含t的式子表示d；

（3）如图2，在（2）的条件的下，BD平分 交y轴于点D，点E在AB上，点G在BD上，连接 ，且 ，点E与点G的纵坐标的差为2，连接OP并还延长交过B点且与x轴垂直的直线于M，当t为何值时，

，并求 的值．

11．如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．

（1）求证：∠BAG＝∠BGA；

（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；

（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出 的值．

12．如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别是(-2,0),(4,0)，现同时将点A,B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到A,B的对应点C,D连接AC,BD,CD.

（1）写出点C,D的坐标并求出四边形ABCD的面积.

（2）在x轴上是否存在一点E，使得 的面积是 面积的2倍？若存在，请求出E 的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）若点F是直线BD上一个动点，连接FC,FO,当点F在直线BD上运动时，请直接写出

与 的数量关系.

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一、平面图形的认识（二）压轴解答题

1． （1）252°

（2）解：①解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：

如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；

②∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β

（3）∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.

【解析】【解答】（1）解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，

∵∠APC=108°，

∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；

故答案为：252°；

（ 2 ）②解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由： 如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；

当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.理由：

如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，

∴AD∥PE∥BC，

∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，

∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.

（ 3 ）问题拓展：分别过A2 ， A3…，An-1作直线∥A1M，过B1 ， B2 ， …，Bn-1作直线∥A1M，

由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.

故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn. 【分析】（1）问题情境：根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；

（2）问题迁移：①过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；②过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；

（3）问题拓展：分别过A2 ， A3…，An-1作直线∥A1M，过B1 ， B2 ， …，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解.

2． （1）证明：平行，理由如下：

∵长方形沿 折叠，∴

∵ 平分

∴

∵ ，

∴

∴

∵ ，

∴

（2）解：∵ ，

∴

∵长方形 中

∴

∵

∴

【解析】【分析】（1）由折叠的性质得出∠AEB=∠AEF，证出AE⊥EG，进而得出结论；

（2）求出∠AEB=70°，由平行线的性质进而得出答案.

3． （1）100;解：②结论：x=y+s+t. 理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，

∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC， ∴x=y+s+t.

（2）解：s、t、x、y之间所有可能的数量关系：

如图1：s+x=t+y；

如图2：s+y=t+x；