七年级数学代数式学生讲义

七年级数学代数式学⽣讲义

第⼆章

代数式2.1 字母表⽰数和列代数式

【本讲主要内容】

⼀. 教学内容：

⽤字母表⽰数、列代数式 ⼆. 重点、难点：1. 重点：⽤字母表⽰数，代数式的意义，列代数式。

2. 难点：熟练地⽤字母表⽰数，列代数式。 三. 教学知识要点：

1. ⽤字母表⽰数，不要使字母表⽰的数的范围缩⼩，⼀个字母可表⽰任何有理数。

2. 在同⼀个问题中，不同的量必须⽤不同的字母表⽰。

3. 字母与字母相乘，“乘号”可省略，数字与字母相乘，要把数字写在字母前⾯（如a ×3必须写成3a ，不能写成a3）；带分数与字母相乘，⼀定要把带分数化成假分数。5. 代数式的意义

⽤运算符号——加、减、乘、除、乘⽅、开⽅，把数字与字母联结⽽成的式⼦叫代数式。

说明：

（1）单独的⼀个数或字母，虽没涉及运算，但可以看作是该数或字母乘以（或除以）1，规定它们也是代数式（如15，l ，t，0……）。 （2）正确列出代数式的关键为：

抓住关键词语的意义，理清它们之间的数量关系，弄清运算顺序和括号的使⽤⽅法。 （3）代数式中不含“＝”号或“＞、＜、≠”号等表⽰相等关系或不等关系的符号。 四. 考点分析 ㈠⽤字母表⽰数

⽤字母表⽰数可以简明地表达现实中浩繁的数量间的关系，表达数的各种运算定律、性质和法则。如⽤字母a 、b 、c 表⽰三个数，则加法结合律可表⽰为：a+b+c=a+（b+c ）=（a+b ）+c.在⽤字母表⽰数时，应注意：（1）同⼀个问题中的相同量要⽤同⼀个字母表⽰，不同量必须⽤不同字母表⽰.同⼀个字母在不同问题中的意义也是不同的.如在表⽰长⽅形的⾯积公式时，⽤S 表⽰⾯积，a 表⽰长⽅形的长，b 表⽰长⽅形的宽，则有S=ab 。在这⾥，S 、a 、b 分别表⽰不同的量，同样是字母a ，在不同的问题中可表⽰不同的数。（2）应该遵循规定了的、约定俗成的、沿袭的表⽰习惯.如：⽤C 表⽰周长，⽤㎝表⽰厘⽶…… ㈡代数式1. 代数式的定义

像n-2，3b ，yx

，m+3等由运算符号连接的式⼦都是代数式.单独⼀个数或⼀个字母也是代数式.2. 写代数式

（1）数与数相乘⽤“×”；数与字母，字母与字母相乘⽤“·”或省略不写；（2）字母与数字相乘，数字因式应放在字母因式之前，带分数与字母相乘，带分数要化为假分数.如3

4-

a 不能写成311- a.（3）代数式中的除号⼀般⽤分数线表⽰.如2a ÷

b 应写成b a 2.（4）

⼏个字母因数排列时，⼀般按字母顺序排列.如5a 2c 3b 通常写成5a 2bc 3

.（5）代数式若是和

或差的形式，且结果中⼜有单位的，应⽤括号将代数式括起来，后⾯再带单位.如（2a+3）㎝不能写成2a+3㎝. 3. 列代数式

列代数式⾸先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的⼀些关键词语，如和、差、积、商、平⽅、倒数以及⼏分之⼏、⼏成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好⼀般的代数式就不太难了.

【典型例题】

例1. ⽤代数式表⽰：

（1）x 的平⽅与y 的⼀半的和 （2）x 与y 的平⽅的和的2倍 （3）a 与b 的倒数的差的平⽅

（4）两个数的和为100，其中⼀个数为a ，求两数积 （5）m 与n 的和减去2的相反数 （6）⼆个连续偶数的积

例2. 有若⼲张边长都是2的三⾓形纸⽚，从中取出⼀些纸⽚按如图所⽰的顺序拼接起来，可以组成⼀个⼤的平⾏四边形与⼀个⼤的梯形，如果取的纸⽚数为n ，试⽤含n 的代数式表⽰组成的平⾏四边形或梯形的周长。

例3. 计算：

例4 当x=1时，代数式13++qx px 的值为2005，求x=－1时，代数式13++qx px 的值.

例5 下图是⼀个数值转换机的⽰意图，请你⽤x 、y 表⽰输出结果，并求输⼊x 的值为3，y 的值为-2时的输出结果.

例6 求代数式()()22222y 2xy x 2y 2xy 3x x 2+--++-+的值，其中

()0|1y |1x 22=++-

例7.如图，是由边长为1的正⽅形按照某种规律排列⽽成的。①

②

③

（1）观察图形，填写下表：

图形①②③

正⽅形个数8

图形的周长18n的代数式表⽰）

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

⼀. 填空题。1. 下列各式：，其中代数式

的个数有__________个。2. a的绝对值与3的倒数的和的平⽅可表⽰为_________________。

3. 甲、⼄两地相距1000⽶，有⼩王每分钟⾛x⽶，⼩李每分钟⾛y⽶，他们两⼈同时分别从甲、⼄两地相向⽽⾏，_______分钟后相遇。4. ⼩红每⼩时⾛公⾥，y⼩时后⾛了_______公⾥。

5. 把a千克盐放进b千克⽔中，配制成的盐⽔浓度为_______。

⼆. ⽤代数式表⽰。

（1）x与y的积的平⽅；

（2）a与b的相反数的和的6倍；

（3）两个数的积为8，其中⼀个数m，求两数和；

（4）⼀个两位数的个位上数字为a，⼗位上数字⽐它多2，求这个两位数；

（5）两个连续整数的积；

（6）被x除余4商为8的数。

三. 应⽤题。1. ⽤1⽴⽅⽶⽔的费⽤为0.98元，1千⽡时的电费为0.5元，⽤x⽴⽅⽶的⽔、y千⽡时的电，⽔电费共多少元？

2. ⼀个三位数，个位数字为a，⼗位数字为b，百位数字为个位数字、⼗位数字的和，求这个三位数。

四. ⽤字母表⽰加法法则，如何表⽰？2.2 求代数式的值

【本讲主要内容】

⼀. 教学内容：

求代数式的值⽤字母表⽰数

⼆. 知识要点1. 知识点概要

（1）了解代数式的概念.

（2）能⽤代数式表⽰简单问题的数量关系

（3）能解释⼀些简单代数式的实际背景或⼏何意义.

（4）通过具体例⼦感受“同⼀个代数式可以表⽰不同的实际意义”，“理解符号所代表的数

量关系”.

（5）了解代数式的值的意义，会计算代数式的值.

（6）能读懂计算程序图，会按照规定的程序计算代数式的值，会按照要求设计简单的计算程序，初步感受“算法”的思想及数量的变化与联系. 2. 重点难点（1）根据简单问题的数量关系正确列出代数式. （2）读懂计算程序图，计算代数式的值.

【典型例题】

例1. 把多项式32

2

3

4

4

6961ab b a b a b a --+--重新排列： （1）按a 的降幂排列；（2）按b 的降幂排列. 例2. 当x=-0.5，y=2

2

1时，求代数式x （x-y ）2

的值.

例3. 下图是⼀组数值转换机，写出图a 的输出结果，找出图b 的转换步骤，并完成下表.

例4. （2008年梅州）如下图所⽰，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸⽚的四个⾓都剪去⼀个边长为x 的正⽅形.

输 ⼊ -3 21-

0 0.25

3

4 图a 的输出 图b 的输出

⑴⽤a，b，x表⽰纸⽚剩余部分的⾯积；

⑵当a=6，b=4，x=2时，求剩余部分的⾯积. 例5. 电话费与通话时间的关系如下表：

通话时间a（分）电话费b （元）1 0.2+0.8

2 0.4+0.8

3 0.6+0.8

4 0.8+0.8……

（1）试⽤含a的代数式表⽰b；

（2）计算当a=100时，b的值.

例6. 观察下⾯⼀系列等式：32-12=8=8×1；52-32=16=8×2；72-52=24=8×3；92-72=32=8×4.

你从中发现了什么规律？⽤代数式表述这个规律..

例7.你能很快算出19952吗？

分析：为了解决这个问题，我们考察个位数为5的⾃然数的平⽅，任意⼀个个位数为5的⾃然数可⽤代数式表⽰为10n+5，问题即求（10n+5）2的值（n为⾃然数），试分析n ＝1，n＝2，n=3，…这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论（在下⾯横线上填上你的探索结果）.

（1）通过计算，探索规律：152=225，可写成100×1×（1+1）+25，

252=625，可写成100×2×（2+1）+25，

352=1225，可写成100×3×（3+1）+25，

452=2025，可写成100×4×（4+1）+25，

752=5625，可写成_____________， 852=7225，可写成_____________， ……

（2）从第（1）题的结果，归纳、猜想得：

（10n+5）2

＝_____________.

（3）根据上⾯的归纳、猜想，请算出：19952＝______.

例8. 若a+2004=b+2005=c+2008，则（a-b ）2+（b-c ）2+（a-c ）2= .

例9. 已知代数式132++x x 的值是8，那么代数式201242

-+x x 的值是 .

【⽅法总结】1. 字母表⽰数的思想 引⼊字母表⽰数，是从算术进⼊代数的重要标志之⼀，正确地理解⽤字母表⽰数的意义，是学好数学基础知识的基本要求.2. “特殊与⼀般”的思想⽅法 从⼏个简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出⼀般的规律和性质，反过来，应⽤⼀般的规律和性质去解决特殊的问题，这是数学中经常使⽤的思想⽅法，列代数式和求代数式的值，就体现了这种思维⽅法.3. 整体思想 从⼤处着眼，由整体⼊⼿，通过细⼼的观察和深⼊的分析，找出整体与局部的有机联系，从整体上把握问题，从⽽在客观上寻求解决问题的途径的⼀种常⽤的⽅法.

【模拟试题】（答题时间：90分钟）

⼀、细⼼选⼀选（每题2分，共20分）1. ⽤字母表⽰加法交换律，错误的是（ ）. A. a+b=b+a B. m+n=n+m C. p ·q=q ·p D. x+y=y+x

2. 如果m 表⽰奇数，n 表⽰偶数，则m+n 表⽰（ ）. A. 奇数 B. 偶数 C. 合数

D. 质数

3. 已知⼀个三位数，它的百位数字是a ，⼗位数字是b ， 个位数字是c ，则这个三位数字是（ ）.A. abc

B. a+b+c

C. 100a+10b+c

D. 100c+10b+a 4. 下列代数式的意义是a ，b 的平⽅和的是（ ） .

A.（a+b ）2

B. a+b 2

C. a 2+b

D. a 2+b 2

5. ⽤语⾔叙述

1

a

-2表⽰的数量关系中，表达不正确的是（ ） . A. ⽐a 的倒数⼩2的数 B. ⽐a 的倒数⼤2的数 C. a 的倒数与2的差 D. 1除以a 的商与2的差6. 下列说法：①a 与

b

a c +均是代数式，②c a

b 表⽰ a 除以

c 再乘 b ，③%60+a b 表

⽰a 与b 的和的60%，④2)(b a -表⽰b a 、的差的平⽅．其中正确的有（ ）. A. ①② B. ③④ C. ①④

D. ②④ 7. 已知a-b=5， c+d=-3， 则（b+c ）-（a-d ）的值为（ ）. A. 2 B. –2 C. –8

D. 8

8. 当的值是时，代数式

2

2

1121x x x x x +-++=（ ）. A. 3

B.

3

7

C.

2

3 D. 2

*9. 当的值为，那么的值是时，代数式a 06232

3

++--=ax x x x （ ）. A. –1 B. –13 C. 0

D. 6 *10. 已知-x+2y=6，则3（x-2y ）2