高中数学北师大版必修三第一章§4 数据的数字特征

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云

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[核心必知]

1．众数、中位数、平均数

(1)众数的定义：

一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．

(2)中位数的定义及求法：

把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数．

(3)平均数：

①平均数的定义：

如果有n个数x1、x2、…、xn，那么x＝x1＋x2＋…＋xnn，叫作这n个数的平均数．

②平均数的分类：

总体平均数：总体中所有个体的平均数叫总体平均数．

样本平均数：样本中所有个体的平均数叫样本平均数．

2．标准差、方差

(1)标准差的求法：

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．

s＝1nx1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].

(2)方差的求法：

标准差的平方s2叫作方差．

s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]．

其中，xn是样本数据，n是样本容量，x是样本均值．

(3)方差的简化计算公式：

s2＝1n[(x21＋x22＋…＋x2n)－nx2] 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 ＝1n(x21＋x22＋…＋x2n)－x2.

3．极差

一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．

4．数字特征的意义

平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．

[问题思考]

1．一组数据的众数一定存在吗？若存在，众数是唯一的吗？

提示：不一定．若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数；不是，可以是一个，也可以是多个．

2．如何确定一组数据的中位数？

提示：(1)当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数．

(2)当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值．

讲一讲

1.据报道，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：

职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员 职员

人数 1 1 2 1 5 3 20

工资 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．

(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．

[尝试解答] (1)平均数是x＝1 500＋

4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033

≈1 500＋591＝2 091(元)．

中位数是1 500元，众数是1 500元． 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 (2)新的平均数是x′＝1500＋

28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×2033

≈1 500＋1 788＝3 288(元)．

中位数是1 500元，众数是1 500元．

(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．

2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．

3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势．

练一练

1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：

销售量(件) 1 800 510 250 210 150

120

人数 1 1

3 5 3 2

(1)求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；

(2)假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．

解：(1)平均数为115(1 800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2)＝320(件)，中位数为210件，众数为210件．

(2)不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额.

讲一讲

2.甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为： 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 甲：99 100 98 100 100 103

乙：99 100 102 99 100 100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

[尝试解答] (1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，

s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，

s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s2甲>s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．

在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性就越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．

练一练

2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：

甲：27 38 30 37 35 31

乙：33 29 38 34 28 36

根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀．

解：x甲＝16×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝1986＝33，

s2甲＝16×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝946，

s甲＝946≈3.96，

x乙＝16×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝1986＝33，

s2乙＝16×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝766， 你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 s乙＝766≈3.56.

由上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33 m/s，甲的标准差为3.96 m/s，乙的标准差为3.56 m/s，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀．

讲一讲

3.在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：

分数 50 60 70 80 90

100

人数

甲组 2 5 10

13 14

6

乙组 4 4 16 2 12

12

已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．

[尝试解答] (1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．

(2)x甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)

＝150×4 000＝80(分)，

x乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)＝150×4 000＝80(分)．

s2甲＝12＋5＋10＋13＋14＋6[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，

s2乙＝14＋4＋16＋2＋12＋12[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.

∵s2甲

(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．

(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云

你是我心中的一片彩云你是我心中的一片彩云 6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．

要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本讲的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．

练一练

3．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：

(1)请填写下表：

平均数 中位数 命中9环以上的次数(含9环)

甲 7

乙

(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：

①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？

②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？

③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？

解：(1)由图可知，甲打靶的成绩为：2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.

甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；

乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.

(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同．

①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．

②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．

③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．

【解题高手】【多解题】

一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：178, 179, 181, 182, 176, 183, 176, 180,

183, 175, 181, 185, 180, 184，问这个球队的队员平均身高是多少？(精确到1 cm)

[解] 法一：利用平均数的公式计算．