高中数学第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用第2课时课堂探究学案
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2.2 二项分布及其应用 2
课堂探究
探究一 判断事件的相互独立性
判断两事件的独立性的方法：(1)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．
(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
(3)当P(A)＞0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
【典型例题1】判断下列各对事件是否是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16.
∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A与B相互独立．
规律总结 区分两个事件是否相互独立，需要深刻理解相互独立事件的特点．
探究二 相互独立事件同时发生的概率
求相互独立事件同时发生的概率时，可运用公式P(AB)＝P(A)P(B)．在解决问题时，要搞清事件是否独立，把复杂事件分解为若干简单事件来处理，同时还要注意运用对立事件把问题简化．
【典型例题2】根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．
(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；
(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率；
(3)求一位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率．
思路分析：分清楚事件间的独立、互斥的关系，再由相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算． 教案、学案、试题、试卷、复习资料
解：记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与B，A与B，A与B都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”．
∴P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝AB.
∴P(D)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
(3)法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括AB，AB，AB，且它们彼此为互斥事件．
∴P(E)＝P(AB∪AB∪AB)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.
法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．
∴P(E)＝1－P(A B)＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.
规律总结 相互独立事件的概率计算必须先根据题设条件，分析事件间的关系，将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积，或若干个乘积之和，然后利用公式计算．
探究三 相互独立事件和互斥事件的概率
求复杂事件的概率，往往先列出题中涉及的各事件，并用适当的符号表示，再理清各事件之间的关系，最后根据事件之间的关系选取相应的公式进行计算．
【典型例题3】已知甲袋中装有3个白球和2个红球，乙袋中装有1个白球和4个红球，现从甲、乙两袋中各摸1个球，试求：
(1)两球都是红球的概率；
(2)恰有1个是红球的概率；
(3)至少有1个是红球的概率．
思路分析：判断基本事件的构成，及各事件间的关系，选择合适的公式计算．
解：记事件A表示“从甲袋中摸出1个红球”，事件B表示“从乙袋中摸出1个红球”，事件C表示“从甲、乙两袋中各摸1个球，恰好摸出1个红球”，事件D表示“从甲、乙两袋中各摸1个球，至少摸出1个红球”．
(1)由题意，A，B相互独立，且P(A)＝25，P(B)＝45，所以两球都是红球的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝25×45＝825＝0.32.
(2)由已知C＝AB∪AB，且AB与AB为互斥事件，而P(A)＝35，P(B)＝15， 教案、学案、试题、试卷、复习资料
则P(C)＝P(AB∪AB)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝25×15＋35×45＝1425＝0.56.
(3)由已知D＝C∪AB，且C与AB为互斥事件，
则P(D)＝P(C∪AB)＝P(C)＋P(AB)＝0.56＋0.32＝0.88.
规律总结 求较复杂事件概率的一般步骤：
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
探究四 易错辨析
易错点 混淆独立事件和互斥事件致误
【典型例题4】设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是14，求事件A和事件B同时发生的概率．
错解：∵A与B相互独立，且只有A发生的概率和只有B发生的概率都是14，∴P(A)＝P(B)＝14，∴P(AB)＝P(A)P(B)＝14×14＝116.
错因分析：在A与B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个事件同时发生，即事件AB发生．
正解：在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件AB发生，只有B发生即事件AB发生．
∵A和B相互独立，∴A与B，A和B也相互独立．
∴P(AB)＝P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝14，①
P(AB)＝P(A)P(B)＝[1－P(A)]P(B)＝14.②
①－②得P(A)＝P(B)．③
①③联立可解得P(A)＝P(B)＝12.
∴P(AB)＝P(A)P(B)＝12×12＝14.
