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【配套K12】高中数学第二章随机变量及其分布2.2二项分布及其应用第3课时课堂探究学案

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教案试题 2.2 二项分布及其应用 3

课堂探究

探究一 独立重复试验概率的求法

n次独立重复试验的特征：

①每次试验的条件都完全相同，有关事件的概率保持不变；②每次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立；③每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．

【典型例题1】某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后面第2位)

(1)5次预报中恰有2次准确的概率；

(2)5次预报中至少有2次准确的概率；

(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

思路分析：由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．

解：(1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8.

5次预报相当于5次独立重复试验，

2次准确的概率为

p＝C25×0.82×0.23＝0.051 2≈0.05，

因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.

(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，

其概率为p＝C05×(0.2)5＋C15×0.8×0.24＝0.006 72.

∴所求概率为1－p＝1－0.006 72＝0.993 28≈0.99.

(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．

∴概率为p＝C14×0.8×0.23×0.8＝0.020 48≈0.02.

∴恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02.

规律总结 独立重复试验概率求解的关注点：

(1)运用独立重复试验的概率公式求概率时，要判断问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，判断时可依据n次独立重复试验的特征．

(2)解此类题常用到互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．

探究二 二项分布

利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满最新K12教育

教案试题 足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．

【典型例题2】在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为12.

(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；

(2)设这4名考生中选做第15题的考生数为ξ个，求ξ的分布列．

思路分析：(1)设出事件，利用独立事件求概率．(2)按照求分布列的步骤写出分布列即可．

解：(1)设事件A表示“甲选做14题”，事件B表示“乙选做14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“(AB)∪(A B)”，且事件A，B相互独立．

所以P((AB)∪(A B))＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)

＝12×12＋1－12×1－12＝12.

(2)随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3,4.且ξ～B4，12.

所以P(ξ＝k)＝Ck412k1－124－k＝Ck4124(k＝0,1,2,3,4)．

所以变量ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3

4

P 116 14 38 14 116

规律总结 本题考查互斥事件至少有一个发生的概率，相互独立事件的概率以及二项分布的有关知识．解答此题目关键在于分清各知识点的内在区别与联系．

探究三 独立重复试验

在解含有相互独立事件的概率时，首先把所求的随机事件分拆成若干个互斥事件的和，其次要将分拆后的每个事件分拆为若干个相互独立事件的乘积．

【典型例题3】某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时间都是2 min.

(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；

(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min的概率．

思路分析：(1)第三个路口首次遇到红灯，表示前2个路口是绿灯，第3个路口是红灯．

(2)中事件指这名学生在上学路上最多遇到2个红灯．

解：(1)设“这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯”为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以最新K12教育

教案试题 事件A的概率为P(A)＝1－13×1－13×13＝427.

(2)设“这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是4 min”为事件B，“这名学生在上学路上遇到k次红灯”为事件Bk(k＝0,1,2,3,4)．

由题意得P(B0)＝234＝1681，

P(B1)＝C14×131×233＝3281，

P(B2)＝C24×132×232＝2481.

所以事件B的概率为P(B)＝P(B0)＋P(B1)＋P(B2)＝89.

规律总结 本题考查运用概率知识解决实际问题的能力．

探究四 易错辨析

易错点 审题不清致误

【典型例题4】9粒种子分种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．

错解：设需要补种的坑数为X，则X取值为0,1,2,3.

由独立重复试验知P(X＝0)＝C03×123＝18，

P(X＝1)＝C13×12×122＝38，

P(X＝2)＝C23×122×12＝38，

P(X＝3)＝C33×123＝18.

则所求分布列为

X 0 1 2

3

P 18 38 38 18

错因分析：错把每粒种子发芽的概率当成每坑不需要补种的概率．

正解：因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以单个坑不需补种的概率为1－18＝78.

设需要补种的坑数为X，则X取值为0,1,2,3. 最新K12教育

教案试题 P(X＝0)＝C03×180×783＝343512；P(X＝1)＝C13×181×782＝147512；P(X＝2)＝C23×182×781＝21512；P(X＝3)＝C33×183×780＝1512.

所以需要补种坑数的分布列为

X 0 1 2 3

P 343512 147512 21512 1512

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高中数学第二章2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2第1课时离散型随机变量的分布列高效演练新人教A版选修2_3

高中数学第二章2.1离散型随机变量及其分布列2.1.2第1课时离散型随机变量的分布列高效演练新人教A版选修2_3

1 第1课时 离散型随机变量的分布列

A级 基础巩固

一、选择题

1．袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码．在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是( )

A．25 B．10 C．9 D．5

解析：第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．

答案：C

2．若随机变量X的分布列为：

X －2 －1 0 1 2 3

P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1

则当P(X

)

A．(－∞，2] B．[1，2]

C．(1，2] D．(1，2)

解析：由随机变量X的分布列知：P(X<－1)＝0.1，P(X<0)＝0.3，P(X<1)＝0.5，P(X<2)＝0.8，则当P(X

答案：C

3．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝12k，k＝1，2，…，则P(2＜X≤4)等于( )

A.316 B.14 C.116 D.516 解析：P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝123＋124＝316.

答案：A

4．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝m23k，k＝1，2，3，则m的值为( )

A.1718 B.2738 C.1719 D.2719 2 解析：P(X＝1)＝2m3，P(X＝2)＝4m9，P(X＝3)＝8m27，由离散型随机变量的分布列的性质知P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1，即2m3＋4m9＋8m27＝1，解得m＝2738.

答案：B

5．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝i2a(i＝1，2，3)，则P(X＝2)等于( )

A.19 B.16 C.13 D.14

解析：因为12a＋22a＋32a＝1，所以a＝3，

第二章随机变量及其分布练习题

第二章随机变量及其分布练习题

精品文档

. 第二章随机变量及其分布练习题

1．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，则两人都击中目标的概率是（ ）

Ａ．1.4 Ｂ．0.9 Ｃ．0.6 Ｄ．0.48

2．设随机变量1~62XB，，则(3)PX等于（ ）

Ａ．516 Ｂ．316 Ｃ．58 Ｄ．716

3．设随机变量X的概率分布列为

X 1 2

3

P 16 13 12

则E(X＋2)的值为

( )．

A.113

B．9 C.133 D.73

4．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a，b，则产生故障的电脑台数的均值为（ ）

Ａ．ab Ｂ．ab Ｃ．1ab Ｄ．1ab

5．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是0.9,0.8,0.75，则三人中至少有一人达标的概率为( )

A．0.015 B．0.005

6．设随机变量~()XBnp，，则22()()DXEX等于（ ）

Ａ．2p Ｂ．2(1)p Ｃ．np Ｄ．2(1)pp

7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是 ( )．

A.35 B.25 C.110 D.59

8．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝

( )．

A.18 B.14 C.25 D.12 精品文档

. 9．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)等于 ( )．

2.1.2离散型随机变量的分布列导学案(选修2-3)1

2.1.2离散型随机变量的分布列导学案(选修2-3)1

§2.1.2离散型随机变量的分布列导学案（理）

一、教学目标

1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；

2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题．

3. 理解二点分布的意义.

重点：离散型随机变量的分布列的意义及基本性质.

难点：分布列的求法和性质的应用.

二、预习自测：

1. 如果离散型随机变量X的所有可能取得值为x1，x2，„，xn；X取每一个值xi（i=1，2，„，n）的概率为p1，p2，„，pn，则称表

X „ „

P „ „

为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列

2. 离散型随机变量的分布列的两个性质：

⑴ ；

⑵ ．

3.如果随机变量X的分布列为：

X

P

其中0

三、典例解析：

例1在抛掷一枚图钉的随机试验中，令10X，针尖向上；，针尖向下. 如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的概率分布。

变式训练 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X表示“取到的白球个数”，即，当取到红球时，，当取到白球时，01X求随机变量X的概率分布。

例2 掷一枚骰子，所掷出的点数为随机变量X：

（1）求X的分布列；

（2）求“点数大于4”的概率；

（3）求“点数不超过5”的概率。

结论：

变式训练 盒子中装有4个白球和2个黑球，现从盒中任取4个球，若X表示从盒中取出的4个球中包含的黑球数，求X的分布列.

例3已知随机变量X的概率分布如下：

X -1 -0.5 0 1.8 3

P 0.1 0.2 0.1 0.3 a

求: （1）a； （2）P（X<0）；（3）P（-0.5≤X<3）；（4）P（X<-2）；

第二章 《随机变量及其分布》练习题

第二章 《随机变量及其分布》练习题

1 第二章 《随机变量及其分布》练习题

一、选择题

1．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )A．34 B．38 C．13 D．14

2．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为6581，则事件A在1次试验中发生的概率为( )A．13 B．25 C．56 D．34

3．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )

A．C810×0.88×0.22 B．C810×0.82×0.28 C．0.88×0.22 D．0.82×0.28

4．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )

A．无法求 B．0 C．E(X) D．2E(X)

5．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为( )

A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.6

6．已知随机变量ξ的概率分布如下表所示：

ξ 0 1

2

P 715 715 115

且η＝2ξ＋3，则E(η)等于( )A.35 B.65 C.215 D.125

7．随机变量ξ的分布列为

ξ 1 2 3

P 0.2 0.5 m

则ξ的数学期望是( )

A．2

B．2.1

C．2.3 D．随m的变化而变化

8．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ～B5，14，则E(－ξ)的值为( ) A.14 B．－14 C.54 D．－54

9．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则X的数学期望是( )A．7.8 B．8 C．16 D．15.6

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