高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.2 独立重复实验与二项分布素材
- 格式：doc
- 大小：52.01 KB
- 文档页数：3
1 2．2.2独立重复试验与二项分布
要求：
1.理解n次独立重复试验的模型．
2．理解二项分布．
3．能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．
总结：1．独立重复试验必须具备的条件
(1)每次试验的条件完全相同，有关事件的概率不变；
(2)各次试验结果互不影响，即每次试验相互独立；
(3)每次试验只有两种结果，这两种可能的结果是对立的．
2．二项式[(1－p)＋p]n的展开式中，第k＋1项为Tk＋1＝C(1－p)n－kpk，可见P(X＝k)就是二项式[(1－p)＋p]n的展开式中的第k＋1项，故此公式称为二项分布公式．
一、求n次独立重复试验的概率
在n次试验中，有些试验结果为A，有些试验结果为A，所以总结果是几个A同几个A的一种搭配，要求总结果中事件A恰好发生k次，就是k个A同n－k个A的一种搭配，搭配种类为Ckn；其次，每一种搭配发生的概率为pk·(1－p)n－k，所以P(ξ＝k)＝Cknpk(1－p)n－k.
例1.某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)
(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率；
(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率．
【思路点拨】 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(或准确或不准确)，符合独立重复试验模型．
【解】 (1)记“预报一次准确”为事件A，
则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验．
“2次准确”的概率为
P＝C25×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准 2 确”，其概率为
P＝C05×0.25＋C15×0.8×0.24＝0.00672.
所以所求概率为1－P＝1－0.00672≈0.99.
所以“5次预报中至少有2次准确”的概率约为0.99.
【题后小结】 解答此类题目，首先分析随机变量是否满足独立重复试验概型的条件，再利用P(X＝k)＝Cknpk·(1－p)n－k计算即可．
二、二项分布
在n次独立重复试验中，由公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)算出每个概率，即而得到其分布列．
例2.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23，乙队中3人答对的概率分别为23，23，12，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)设C表示事件“甲得2分，乙得1分”，求P(C)．
【思路点拨】 (1)用二项分布求分布列；
(2)用独立事件和互斥事件求概率．
【解】 (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且P(ξ＝0)＝C03×1－233＝127，
P(ξ＝1)＝C13×23×1－232＝29，
P(ξ＝2)＝C23×2321－23＝49，
P(ξ＝3)＝C33×233＝827，
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P 127 29 49 827
(2)甲得2分，乙得1分，两事件是独立的，由上表可知， 3 甲得2分，其概率P(ξ＝2)＝49，
乙得1分，其概率为P＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518.
根据独立事件概率公式P(C)＝49×518＝1081.
【思维总结】 写二项分布，首先确定ξ的取值，直接用公式P(ξ＝k)计算概率．
三、求试验次数
在独立重复试验中，已知某事件的概率，求其发生的次数．
例3. 某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5(相互独立)，求：
(1)至少3人同时上网的概率；
(2)至少几人同时上网的概率小于0.3?
【思路点拨】 利用独立重复试验解决．
【解】 (1)至少3人同时上网，这件事包括3人，4人，5人或6人同时上网，记“至少3人同时上网”为事件A，则
P(A)＝C36123123＋C46124122＋C56125·12＋C66126120＝2132.
(2)由(1)知至少3人同时上网的概率大于0.3，
事件B：至少4人同时上网，其概率为：
P(B)＝C46124122＋C5612512＋C66·126120
＝1132>0.3，
事件C：至少5人同时上网，其概率为：
P(C)＝C5612512＋C66126120＝764<0.3，
所以至少5人同时上网的概率小于0.3.
【题后总结】 本题的这种解法，比直接求解Ck612k·126－k<0.3要简单．
