第53讲-离散型随机变量及其分布列(解析版)-2021年新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

第53讲 离散型随机变量及其分布列

一、 考情分析

1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；

2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.

二、 知识梳理

1.离散型随机变量

如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列及性质

(1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为p1，p2，…，pn，则表

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列.

(2)离散型随机变量分布列的性质：

①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1；

③P(xi≤x≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj.

3.常见离散型随机变量的分布列

(1)二点分布：如果随机变量X的分布列为

X 1

0

P p q

其中0

(2)超几何分布：设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，当X＝m时的概率为P(X＝m)＝CmMCn－mN－MCnN(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.

三、 经典例题

考点一 离散型随机变量分布列的性质

【例1】 设随机变量X的分布列为PX＝k5＝ak(k＝1，2，3，4，5).

(1)求a的值；

(2)求Px≥35；

(3)求P110

解 (1)由分布列的性质，得PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝115.

(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115＝45.

(3)P110

规律方法 分布列性质的两个作用

(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.

(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.

考点二 超几何分布的应用 典例迁移

【例2】 (经典母题)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；

(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列.

解 (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝C48C510＝518.

(2)由题意知X可取的值为0，1，2，3，4，则

P(X＝0)＝C56C510＝142，P(X＝1)＝C46C14C510＝521， P(X＝2)＝C36C24C510＝1021，P(X＝3)＝C26C34C510＝521，

P(X＝4)＝C16C44C510＝142.

因此X的分布列为

X 0 1 2 3 4

P 142 521 1021 521 142

【迁移探究1】 用X表示接受乙种心理暗示的男志愿者人数，求X的分布列.

解 由题意可知X的取值为1，2，3，4，5，则

P(X＝1)＝C16C44C510＝142，P(X＝2)＝C26C34C510＝521，

P(X＝3)＝C36C24C510＝1021，P(X＝4)＝C46C14C510＝521，

P(X＝5)＝C56C510＝142.

因此X的分布列为

X 1 2 3 4 5

P 142 521 1021 521 142

【迁移探究2】 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数与男志愿者人数之差，求X的分布列.

解 由题意知X可取的值为3，1，－1，－3，－5，

则P(X＝3)＝C44C16C510＝142，P(X＝1)＝C34C26C510＝521，

P(X＝－1)＝C24C36C510＝1021，P(X＝－3)＝C14C46C510＝521，

P(X＝－5)＝C56C510＝142，

因此X的分布列为

X 3 1 －1 －3 －5

P 142 521 1021 521 142

规律方法 1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是：

(1)考察对象分两类；(2)已知各类对象的个数；(3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布. 2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.

考点三 求离散型随机变量的分布列

【例3】 为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；

(2)从这200名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的分布列.

解 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人，

送考2次的有100人，送考3次的有80人，

∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1＋100×2＋80×3200＝2.3.

(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次”为事件B，“这两人中一人送考1次，另一人送考3次”为事件C，

“这两人送考次数相同”为事件D，

由题意知X的所有可能取值为0，1，2，

P(X＝1)＝P(A)＋P(B)＝C120C1100C2200＋C1100C180C2200＝100199，

P(X＝2)＝P(C)＝C120C180C2200＝16199，

P(X＝0)＝P(D)＝C220＋C2100＋C280C2200＝83199，

∴X的分布列为

X 0 1 2

P 83199 100199 16199

规律方法 求随机变量分布列的主要步骤：(1)明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；(2)求每一个随机变量取值的概率；(3)列成表格.对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率.

[方法技巧]

1.对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率.

2.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.

四、 课时作业

1．（2020·浙江高三二模）已知随机变量满足1(0)3P，1Px，2(2)3Px，若203x，则随x增大（ ）

A．()E增大()D增大 B．()E减小()D增大

C．()E减小()D减小 D．()E增大()D减小

【答案】C

【解析】解：随机变量满足1(0)3P，1Px，2(2)3Px，

124()012()333Exxx，

222224144218111()(0)(1)(2)()()3333339612Dxxxxxxxx.

若203x，则随x增大，()E减小，()D减小.

2．（2020·广东湛江二十一中高三月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：2~7,XN，若(3)0.872PX，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）

A．0.372 B．0.256 C．0.128 D．0.744

【答案】C

【解析】因为7，所以根据正态曲线的对称性知，(11)(3)1(3)10.8720.128PXPXPX.

3．（2020·四川省遂宁市第二中学校高三其他（理））“学习强国”是一个网络学习平台，给人们提供了丰富的学习素材．某单位为了鼓励职工加强学习，组织了200名职工对“学习强国”中的内容进行了测试，并统计了测试成绩（单位：分）．若测试成绩服从正态分布2120,N，且成绩在区间110,130内的人数占总人数的1725，则此次测试成绩不低于130分的职工人数大约为（ ）

A．10 B．32 C．34 D．37

【答案】B

【解析】设测试成绩为，则2~120,N，

又178110130111013012525PPP，

所以18411013022525PP，

所以成绩不低于130分的职工人数大约为42003225．

4．（2020·新疆高三三模（理））某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现解析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是( )

A．85 B．85.5 C．86 D．86.5

【答案】A

【解析】解：由题意，这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是40905081854050，故选：A．

5．（2020·黑龙江哈九中高二月考（理））已知随机变量1~4,3B，则该变量的方差D（ ）

A．43 B．113 C．89 D．329

【答案】C

【解析】1~4,3B，由二项分布的方差公式可得11841339D.

6．（2020·苏州大学附属中学高二月考）校园内移栽4棵桂花树，已知每棵树成活的概率为45，那么成活棵数X的方差是（ ）

A．165 B．6425 C．1625 D．645

【答案】C

【解析】由条件可知44,5XB