最新高考数学总复习——第10章 第5节 离散型随机变量及其分布列

第6讲 离散型随机变量及其分布列

最新考纲 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.

知 识 梳 理

1.离散型随机变量

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列及性质

(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，„，xi，„，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，„，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表

X x1

x2 „ xi „ xn

P p1 p2 „ pi „ pn

称为离散型随机变量X的概率分布列.

(2)离散型随机变量的分布列的性质：

①pi≥0(i＝1，2，„，n)；②p1＋p2＋„＋pn＝1

3.常见离散型随机变量的分布列

(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为

X

0 1

P 1－p p

，其中p＝P(X＝1)称为成功概率.

(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，„，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.

X 0 1 „ m

P C0MCn－0N－MCnN C1MCn－1N－MCnN „ CmMCn－mN－MCnN

诊 断 自 测

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.( )

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.( )

(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，

X 2 5

P 0.3 0.7

则它服从两点分布.( )

(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布.( )

解析 对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(3)，X的取值不是0，1，故不是两点分布，所以(3)不正确.

10．6 离散型随机变量及其分布列

1．离散型随机变量的概念

(1)随机变量

如果随机试验的结果可以用一个随着试验结果变化而变化的变量来表示，那么这样的变量叫做____________，随机变量常用字母X，Y，ξ，η等表示．

(2)离散型随机变量

所有取值可以__________的随机变量，称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

(1)分布列

设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

为随机变量X的______________，简称为X的分布列．有时为了简单起见，也可用P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．

(2)分布列的性质

①________________________；

②________________________.

3．常用的离散型随机变量的分布列

(1)两点分布(又称0－1分布、伯努利分布)

随机变量X的分布列为(0

X 1 0

P p

则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．

(2)二项分布

如果随机变量X的可能取值为0，1，2，…，n，且X取值的概率P(X＝k)＝__________(其中k＝0，1，2，…，n，q＝1－p)，其概率分布为

X 0 1 … k … n

P C0np0qn C1np1qn－1 … … Cnnpnq0

则称X服从二项分布，记为____________．

(3)超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为__________________(k＝0，1，2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随

机变量X的分布列为超几何分布列，称随机变量X服从______________．

高考数学总复习考点知识专题讲解

专题11离散型随机变量及其分布列

知识点一 随机变量的概念、表示及特征

1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)

与之对应，我们称X为随机变量．

2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的

取值，如x，y，z.

3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特

征：

(1)取值依赖于样本点．

(2)所有可能取值是明确的．

知识点二 离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量．

判断离散型随机变量的方法

(1)明确随机试验的所有可能结果；

(2)将随机试验的结果数量化；

(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离

散型随机变量，否则不是．

【例1】（（2023•丰台区期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为

()

①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数

1X；②一个沿直线

2yx进行随机运动的质点离坐标原点的距离

2X；③某同学射击3次，命中的次数

3X；④某电子元件的寿

命

4X；

A．①②B．③④C．①③D．②④

【例2】（2023•从化区期中）袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个

号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量

X，

则

X所有可能取值的个数是

()

A．25B．10C．9D．5

知识点三 离散型随机变量的分布列及其性质

1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x

1，x

2，…，x

n，我们称X取每一

个值x

i的概率P(X＝x

i)＝p

i，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

2．分布列的性质

(1)p

i≥0，i＝1,2，…，n.

(2)p

1＋p

2＋…＋p

n＝1.

分布列的性质及其应用

(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值

1 高三数学专题复习——离散型随机变量及其分布列

教学目标：了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列

教学重点：离散型随机变量的期望值、方差的意义

教学难点：会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差

考点1 由统计数据求离散型随机变量的分布列

(1)可设出随机变量Y，并确定随机变量的所有可能取值作为第一行数据；(2)由统计数据利用事件发生的频率近似地表示该事件的概率作为第二行数据．由统计数据得到分布列可帮助我们更好理解分布列的作用和意义．

考点2 由古典概型求离散型随机变量的分布列

求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．而超几何分布就是此类问题中的一种．

考点3 由独立事件同时发生的概率求离散型随机变量的分布列

包含的问题有相互独立事件同时发生的概率求法以及分布列，期望的相关知识，公式应用，计算准确是解题的关键．

考点1 由统计数据求离散型随机变量的分布列

典例1 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数

分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学

(1)求这两名同学的植树总棵数Y的分布列；

(2)每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．

变式2 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：

对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率

A1和B1 23 13

A2和B2 25 35

A3和B3 25 35

现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y

(1)求X，Y的分布列； (2)求E(X)，E(Y)．

类型题：

在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。’某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余