2017-2018学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案：第二讲 五 与圆有关的比例线段 Word版含答案

【人教A版】2017-2018学年高中数学选修4-1创新应用教学案三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定[对应学生用书P7]1．相似三角形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比或(相似系数)．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，简述为：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．引理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．(3)判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简述为：三边对应成比例，两三角形相似．[说明] 1.在这些判定方法中，应用最多的是判定定理1，即两角对应相等，两三角形相似．因为它的条件最容易寻求．在实际证明当中，要特别注意两个三角形的公共角．判定定理2则常见于连续两次证明相似时，在证明时第二次使用此定理的情况较多．2．引理是平行线分线段成比例定理的推论的逆定理，可以判定两直线平行．3．直角三角形相似的判定定理(1)定理：①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例那么它们相似．(2)定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．[说明]对于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，还有其他特殊的方法，如直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．在证明直角三角形相似时，要特别注意直角这一隐含条件的利用．[对应学生用书P8][例1] 如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是角平分线，证明：△ABC ∽△BCD . [思路点拨] 已知AB ＝AC ，∠A ＝36°，所以∠ABC ＝∠C ＝72°，而BD 是角平分线，因此，可以考虑使用判定定理1.[证明] ∵∠A ＝36°，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠C ＝72°. 又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝36°， ∴∠A ＝∠CBD .又∵∠C ＝∠C ，∴△ABC ∽△BCD .判定两三角形相似，可按下面顺序进行：(1)有平行截线，用预备定理；(2)有一对等角时，①找另一对等角，②找夹这个角的两边对应成比例；(3)有两对应边成比例时，①找夹角相等，②找第三边对应成比例，③找一对直角．1．如图，BC ∥FG ∥ED ，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：△AED 与△AFG 相似，△AED 与△ABC 相似，△AFG 与△ABC 相似． 答案：C2．如图，O 是△ABC 内任一点，D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点，求证：△DEF ∽△ABC .证明：∵D ，E ，F 分别是OA ，OB ，OC 的中点， ∴DE ＝12AB ，EF ＝12BC ，FD ＝12CA .∴DE AB ＝EF BC ＝FD CA ＝12. ∴△DEF ∽△ABC .3．如图，D 在AB 上，且DE ∥BC 交AC 于E ，F 在AD 上，且AD 2＝AF ·AB ，求证：△AEF ∽△ACD .证明：∵DE ∥BC ，∴AC AE ＝ABAD .①∵AD 2＝AF ·AB ，∴AD AF ＝ABAD .②由①②两式得AC AE ＝ADAF，又∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ACD .[例2] 的中点，求证：△ADQ ∽△QCP .[思路点拨] 由于这两个三角形都是直角三角形，且已知条件是线段间的关系，故考虑证明对应边成比例，即只需证明AD QC ＝DQCP即可．[证明] 在正方形ABCD 中， ∵Q 是CD 的中点，∴ADQC ＝2.∵BP PC ＝3，∴BC PC＝4. 又BC ＝2DQ ，∴DQ CP ＝2.在△ADQ 和△QCP 中， AD QC ＝DQCP＝2，∠C ＝∠D ＝90°， ∴△ADQ ∽△QCP .直角三角形相似的判定方法：(1)相似三角形的判定定理1,2,3都适用于直角三角形相似的判定．(2)两个直角三角形，已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似．4．如图，∠C ＝90°，D 是AC 上的一点，DE ⊥AB 于E ，求证：△ADE ∽△ABC .证明：∵DE ⊥AB ， ∴∠DEA ＝90°， ∵∠C ＝90°， ∴∠DEA ＝∠C . ∵∠A ＝∠A . ∴△ADE ∽△ABC5．如图，BD ，CE 是△ABC 的高，BD ，CE 交于F ，写出图中所有与△ACE 相似的三角形．解：∵∠ACE 为公共角，由直角三角形判定定理1，知Rt △FDC ∽Rt △ACE . 又∠A 为公共角，∴Rt △ABD ∽Rt △ACE . 又∵∠A ＋∠ACE ＝90°，∠A ＋∠ABD ＝90°， ∴∠ACE ＝∠ABD .∴Rt △FBE ∽Rt △ACE . 故共有三个直角三角形，即Rt △ABD ，Rt △FBE ， Rt △FCD 与Rt △ACE 相似.[例3] 如图，D 为△ABC 的边AB 上一点，过D 点作DE ∥BC ，DF ∥AC ，AF 交DE 于G ，BE 交DF 于H ，连接GH .求证：GH ∥AB .[思路点拨] 根据此图形的特点可先证比例式GE DE ＝EHEB 成立，再证△EGH ∽△EDB ，由相似三角形的定义得∠EHG ＝∠EBD 即可．[证明] ∵DE ∥BC ， ∴GE FC ＝AG AF ＝DG FB ，即GE DG ＝CF FB. 又∵DF ∥AC ，∴EH HB ＝CF FB .∴GE DG ＝EH HB .∴GE ED ＝EH EB. 又∠GEH ＝∠DEB ， ∴△EGH ∽△EDB . ∴∠EHG ＝∠EBD .∴GH ∥AB .不仅可以由平行线得到比例式，也可以根据比例式的成立确定两直线的平行关系．有时用它来证明角与角之间的数量关系，线段之间的数量关系．6．如图，△ABC 的三边长是2、6、7，△DEF 的三边长是4、12、14，且△ABC 与△DEF相似，则∠A ＝__________，∠B ＝__________，∠C ＝________.AB ( )＝( )EF ＝AC ( )＝________.解析：∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，∠C ＝F . AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. 答案：∠D ∠E ∠F DE BC DF 127.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连接CF 交AD 于点E . (1)求证：△CDE ∽△F AE ；(2)当E 是AD 的中点，且BC ＝2CD 时， 求证：∠F ＝∠BCF .证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD .又∵点F 在BA 的延长线上， ∴∠DCF ＝∠F ，∠D ＝∠F AE . ∴△CDE ∽△F AE .(2)∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE . 由△CDE ∽△F AE ，得CD F A ＝DEAE .∴CD ＝F A .∴AB ＝CD ＝AF .∴BF ＝2CD .又∵BC ＝2CD ，∴BC ＝BF .∴∠F ＝∠BCF .8.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，点E 是AC 的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F .求证：AB AC ＝DFAF. 证明：∵E 是Rt △ADC 斜边AC 上的中点， ∴AE ＝EC ＝ED . ∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .又∵AD⊥BC且∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠C.∴∠BAD＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF，∴DBAD＝DFAF.又在Rt△ABD与Rt△CBA中，ABAC＝DB AD，∴ABAC＝DFAF.[对应学生用书P10]一、选择题1．如图所示，AD∥EF∥BC，GH∥AB，则图中与△BOC相似的三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据相似三角形的判定定理可得：△OEF∽△OBC(∵EF∥BC)；△CHG∽△CBO(∵HG∥OB)；△OAD∽△OBC(∵AD∥BC)．故与△BOC相似的三角形共有3个．答案：C2．下列判断中，不．正确的是()A．两直角边分别是3.5,2和2.8,1.6的两个直角三角形相似B．斜边和一直角边长分别是25，4和5，2的两个直角三角形相似C．两条边长分别是7,4和14,8的两个直角三角形相似D．两个等腰直角三角形相似解析：由直角三角形相似判定定理知A、B、D正确．答案：C3．如图，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是()A.AC AB ＝AD BCB.AD CD ＝AC BC C ．AC 2＝CD ·CB D ．CD 2＝AC ·AB解析：∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CBAC ，即AC 2＝CD ·CB 时，才能使△ACD ∽△BCA .答案：CADAC ＝13，则有( ) 4.如图，在等边三角形ABC 中，E 为AB 中点，点D 在AC 上，使得A ．△AED ∽△BED B ．△AED ∽△CBD C ．△AED ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD解析：因为∠A ＝∠C ，BC AE ＝CDAD ＝2，所以△AED ∽△CBD . 答案：B 二、填空题5．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，GF ∥AB ，DE ，GF 交于点O ，则图中与△ABC 相似的三角形共有________个，它们分别是____________________．解析：与△ABC 相似的有△GFC ，△OGE ，△ADE . 答案：3 △GFC ，△OGE ，△ADE6．如图所示，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，BC ＝3，AC ＝4，则AD ＝________，BD＝________.解析：由题设可求得AB ＝5， ∵Rt △ABC ∽Rt △ACD ， ∴AB AC ＝AC AD .∴AD ＝AC 2AB ＝165. 又∵Rt △ABC ∽Rt △CBD ， ∴AB CB ＝BC BD .∴BD ＝BC 2AB ＝95. 答案：165 957．已知：在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 与AD 交于点E ，与BC 的延长线交于点F ，若CF ＝4，BC ＝5，则DF ＝________.解析：连接AF . ∵EF ⊥AD ，AE ＝ED ， ∴AF ＝DF ， ∠F AD ＝∠FDA .又∵∠F AD ＝∠DAC ＋∠CAF ， ∠FDA ＝∠BAD ＋∠B ， 且∠DAC ＝∠BAD ，∴∠CAF ＝∠B .而∠CF A ＝∠AFB ， ∴△AFC ∽△BF A . ∴AF CF ＝BF AF. ∴AF 2＝CF ·BF ＝4×(4＋5)＝36. ∴AF ＝6，即DF ＝6. 答案：6 三、解答题8．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，D 是AB 的中点，E 在AB 的延长线上，且BE ＝AB ，求证：△ADC ∽△ACE .证明：∵D 是AB 的中点，∴AD AB ＝12. ∵AB ＝AC ，∴AD AC ＝12.∵ BE ＝AB ，∴AB AE ＝12.又AB ＝AC ，∴AC AE ＝12.∴AD AC ＝AC AE. 又∠A 为公共角，∴△ADC ∽△ACE .9.如图，直线EF 交AB 、AC 于点F 、E ，交BC 的延长线于点D ，AC ⊥BC ，且AB ·CD＝DE ·AC .求证：AE ·CE ＝DE ·EF . 证明：∵AB ·CD ＝DE ·AC ∴AB DE ＝ACCD.∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝∠DCE ＝90°. ∴△ACB ∽△DCE . ∴∠A ＝∠D .又∵∠AEF ＝∠DEC ，∴△AEF ∽△DEC . ∴AE DE ＝EFCE. ∴AE ·CE ＝DE ·EF .10．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AE 是∠CAB 的角平分线，CD 与AE 相交于点F ，EG ⊥AB 于G .求证：EG 2＝FD ·EB .证明：因为∠ACE ＝90°，CD ⊥AB ，所以∠CAE ＋∠AEC ＝90°，∠F AD ＋∠AFD ＝90°. 因为∠AFD ＝∠CFE ， 所以∠F AD ＋∠CFE ＝90°. 又因为∠CAE ＝∠F AD ， 所以∠AEC ＝∠CFE . 所以CF ＝CE .因为AE 是∠CAB 的平分线，EG ⊥AB ，EC ⊥AC ， 所以EC ＝EG ，CF ＝EG .因为∠B ＋∠CAB ＝90°，∠ACF ＋∠CAB ＝90°， 所以∠ACF ＝∠B .因为∠CAF ＝∠BAE ， 所以△AFC ∽△AEB ，AF AE ＝CF EB .因为CD ⊥AB ，EG ⊥AB ， 所以Rt △ADF ∽Rt △AGE . 所以AF AE ＝FD EG ，CF EB ＝FD EG.所以CF ·EG ＝FD ·EB ，EG 2＝FD ·EB .2．相似三角形的性质[对应学生用书P11]1．相似三角形的性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．[说明] 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．[对应学生用书P11][例1] 已知如图，△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ，若S△ABC ＝36 cm 2，S △AEF ＝4cm 2，求sin A 的值．[思路点拨] 由题目条件证明△AEC ∽△AFB ，得AE ∶AF ＝AC ∶AB ，由此推知△AEF∽△ACB ，进而求出线段EC 与AC 的比值．[解] ∵CE ⊥AB 于E ，BF ⊥AC 于F ， ∴∠AEC ＝∠AFB ＝90°.又∵∠A ＝∠A ，∴△AEC ∽△AFB . ∴AE AF ＝ACAB. 又∵∠A ＝∠A ，∴△AEF ∽△ACB . ∴(AEAC )2＝S △AEF S △ACB ＝436. ∴AE AC ＝26＝13. 设AE ＝k ， 则AC ＝3k ， ∴EC ＝22k . ∴sin A ＝EC AC ＝223.利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．1．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点．AB ＝8 cm ，AC ＝10 cm ，若△ADE 和△ABC 相似，且S △ABC ∶S △ADE ＝4∶1，则AE ＝________cm.解析：因为△ADE ∽△ABC ，且S △ABC ∶S △ADE ＝4∶1，所以其相似比为2∶1，即AE AC ＝12或AE AB ＝12，所以AE ＝5或4(cm)．答案：5或42.如图，在▱ABCD 中，AE ∶EB ＝2∶3. (1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)若S △AEF ＝8，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD 且AB ＝CD .∵AE EB ＝23，∴AE AE ＋EB ＝22＋3，即AE AB ＝25.∴AE CD ＝25.又由AB ∥CD 知△AEF ∽△CDF ， ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝2∶5. (2)S △AEF ∶S △CDF ＝4∶25， 又S △AEF ＝8，∴S △CDF ＝50.[例2] 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB 走去，他发现教学楼后面有一水塔DC ，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20米和30米，它们之间的距离为30米，小张身高为1.6米．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？[思路点拨] 此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题． [解] 如图，设小张与教学楼的距离至少应有x 米，才能看到水塔． 连接FD ，由题意知，点A 在FD 上，过F 作FG ⊥CD 于G ，交AB 于H ，则四边形FEBH ，四边形BCGH 都是矩形．∵AB ∥CD ，∴△AFH ∽△DFG . ∴AH ∶DG ＝FH ∶FG .即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x ∶(x ＋30)， 解得x ＝55.2(米)．故小张与教学楼的距离至少应有55.2米，才能看到水塔．此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．3.如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝200 mm ，高AD ＝300 mm ，要把它加工成长是宽的2倍的矩形零件，使矩形较短的边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，求这个矩形零件的边长．解：设矩形EFGH 为加工成的矩形零件，边FG 在BC 上，则点E 、H 分别在AB 、AC 上，△ABC 的高AD 与边EH 相交于点P ，设矩形的边EH 的长为x mm.因为EH ∥BC ，所以△AEH ∽△ABC . 所以AP AD ＝EH BC .所以300－2x 300＝x 200，解得x ＝6007(mm)，2x ＝1 2007(mm)．答：加工成的矩形零件的边长分别为6007 mm 和1 2007mm.4．已知一个三角形的三边长分别为3 cm,4 cm,5 cm ，和它相似的另一个三角形的最长边为12 cm ，求另一个三角形内切圆和外接圆的面积．解：设边长为3 cm,4 cm,5 cm 的三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，因为该三角形为直角三角形， 所以R ＝52，且12(3＋4＋5)r ＝12×3×4，即r ＝1.∴S 内切圆＝π(cm 2)，S 外接圆＝π·(52)2＝25π4(cm 2)．又两三角形的相似比为512，∴S ′内切圆＝(125)2S 内切圆＝144π25(cm 2)，S ′外接圆＝(125)2S 外接圆＝36π(cm 2)．[对应学生用书P12]一、选择题1．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，若AE ∶EC ＝1∶2，且AD ＝4 cm ，则DB 等于( )A ．2 cmB ．6 cmC ．4 cmD ．8 cm解析：由DE ∥BC ， 得△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AEAC . ∴AD DB ＝AE EC ＝12. ∴DB ＝4×2＝8(cm)． 答案：D2．如果两个相似三角形对应边上的中线之比为3∶4，周长之和是35，那么这两个三角形的周长分别是( ) A ．13和22 B ．14和21 C ．15和20D ．16和19解析：由相似三角形周长之比，中线之比均等于相似比可得． ∴周长之比l 1l 2＝34.又l 1＋l 2＝35，∴l 1＝15，l 2＝20，即两个三角形的周长分别为15,20. 答案：C3．如图所示，在▱ABCD 中，AB ＝10，AD ＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则BF 的长是( )A ．5B ．8.2C ．6.4D ．1.8解析：∵△CBF ∽△CDE ，∴BF DE ＝CBCD .∴BF ＝DE ·CB CD ＝3×610＝1.8.答案：D4．如图，是一个简单的幻灯机，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30 cm ，幻灯片到屏幕的距离是1.5 m ，幻灯片上小树的高度是10 cm ，则屏幕上小树的高度是( )A ．50 cmB ．500 cmC ．60 cmD ．600 cm解析：图中的两个三角形相似．设屏幕上小树的高度为x cm ，根据相似三角形对应高的比等于相似比，得x10＝30＋15030，解得x ＝60 cm. 答案：C 二、填空题5．在比例尺为1∶500的地图上，测得一块三角形土地的周长为12 cm ，面积为6 cm 2，则这块土地的实际周长是________m ，实际面积是________m 2.解析：这块土地的实际形状与地图上的形状是两个相似三角形，由比例尺可知，它们的相似比为1500，则实际周长是12×500＝6 000(cm)＝60 m ；实际面积是6×5002＝1 500 000(cm 2)＝150 m 2.答案：60 1506．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝10，则AE 的长为________．解析：∵AE ∥BC ，∴△BGF ∽△AGE . ∴BF ∶AE ＝BG ∶GA ＝3∶1. ∵D 为AC 中点，∴AE CF ＝ADDC ＝1.∴AE ＝CF .∴BC ∶AE ＝2∶1.∵BC ＝10，∴AE ＝5. 答案：57．如图所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，S矩形ABCD ＝40 cm 2.S △ABE∶S △DBA ＝1∶5，则AE 的长为________．解析：因为∠BAD ＝90°，AE ⊥BD ， 所以△ABE ∽△DBA .所以S △ABE ∶S △DBA ＝AB 2∶DB 2. 因为S △ABE ∶S △DBA ＝1∶5， 所以AB ∶DB ＝1∶ 5. 设AB ＝k cm ，DB ＝5k cm ， 则AD ＝2k cm.因为S 矩形ABCD ＝40 cm 2，所以k ·2k ＝40，所以k ＝25(cm)． 所以BD ＝5k ＝10 (cm)．AD ＝45(cm)． 又因为S △ABD ＝12BD ·AE ＝20，所以12·10·AE ＝20.所以AE ＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答题8．如图，已知△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为AB 中点，E 是AC 上的点，BE 、CD 交于M .若AC ＝3AE ，求∠EMC 的度数．解：如图，作EF ⊥BC 于F ， 设AB ＝AC ＝3，则AD ＝32，BC ＝32，CE ＝2，EF ＝FC ＝ 2. ∴BF ＝BC －FC ＝2 2.∴EF ∶BF ＝2∶22＝1∶2＝AD ∶AC . ∴△FEB ∽△ADC .∴∠2＝∠1. ∵∠EMC ＝∠2＋∠MCB ，∴∠EMC ＝∠1＋∠MCB ＝∠ACB ＝45°.DE ＝12CD .9.如图，▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，(1)求证：△ABF ∽△CEB ；(2)若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AB ∥CD . ∴∠ABF ＝∠E . ∴△ABF ∽△CEB .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD .∴△DEF ∽△CEB ，△DEF ∽△ABF . ∵DE ＝12CD ，∴S △DEF S △CEB ＝(DE EC)2＝19，S △DEF S △ABF ＝(DE AB)2＝14.∵S △DEF ＝2，∴S △CEB ＝18，S △ABF ＝8， ∴S 四边形BCDF ＝S △BCE －S △DEF ＝16. ∴S ▱ABCD ＝S 四边形BCDF ＋S △ABF ＝16＋8＝24.10．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝12 cm ，BC ＝6 cm ，点P沿AB 边从点A 开始向点B 以2 cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1 cm/s 的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t 秒表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么：(1)当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？(2)对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果无关的结论． (3)当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 解：(1)由题意可知：AQ ＝6－t (cm)，AP ＝2t (cm)． 若△QAP 为等腰直角三角形， 则AQ ＝AP ，即t ＝2(s)．(2)S 四边形QAPC ＝S 矩形ABCD －S △DQC －S △PBC ＝12×6－12×12×t －12×6×(12－2t )＝72－6t －36＋6t ＝36(cm 2)， 结论：无论P 、Q 运动到何处， S 四边形QAPC 都不变，为36 cm 2. (3)①△QAP ∽△ABC ， ∴AQ AB ＝AP BC .∴6－t 12＝2t 6. ∴t ＝1.2 s.②△QAP ∽△CBA ， ∴AQ BC ＝AP AB .∴6－t 6＝2t 12.∴t ＝3 s. 即t 为1.2 s 或3 s 时，以Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似．。

第1课时绝对值三角不等式[核心必知]1．绝对值的几何意义(1)实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．(2)对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．2．绝对值三角不等式(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果把上面的绝对值三角不等式中的实数a，b换成向量a，b，则它的几何意义是三角形两边之和大于第三边．3．三个实数的绝对值不等式如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．[问题思考]1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|．2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．3．绝对值不等式|a －c |≤|a －b |＋|b －c |的几何解释是什么？提示：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |；当点B 不在点A ，C 之间时，|a －c |＜|a －b |＋|b －c |．(1)以下四个命题：①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |； ②若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1； ③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23；④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12( lg|A |＋lg|B |)．其中正确的命题有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个(2)不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________．[精讲详析] 本题考查绝对值三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证； 解答问题(2)应分|a |＞|b |与|a |<|b |两类讨论． (1)|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a | |a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确； 1＞|a －b |≥|a |－|b |， ∴|a |＜|b |＋1，②正确； |y |＞3，∴1|y |＜103.又∵|x |＜2， ∴|x ||y |＜23.③正确； ⎝⎛⎭⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)， ≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |， ∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |.∴lg|A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确． (2)当|a |>|b |时，有|a |－|b |>0， ∴|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|a |－|b |. ∴必有|a ＋b ||a |－|b |≥1.即|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充分条件． 当|a ＋b ||a |－|b |≥1时， 由|a ＋b |>0，必有|a |－|b |>0. 即|a |>|b |，故|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的必要条件．故所求为：|a |>|b |. 答案：(1)A (2)|a |＞|b |(1)定理|a |－|b |＜|a ±b |＜|a |＋|b |的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．(2)对|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |的诠释：1．(1)若x ＜5，n ∈N ＋，则下列不等式： ①|x lgn n ＋1|＜5|lg nn ＋1|； ②|x |lg n n ＋1＜5lg n n ＋1；③x lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1|；④|x |lg n n ＋1＜5|lg n n ＋1|.其中，能够成立的有________．(2)已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n 解析：(1)∵0＜n n ＋1＜1.∴lg nn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系， ∴可以否定①②③，而|x |lgnn ＋1＜0，④成立． (2)∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |， ∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a －b ||a －b |＝1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1，∴m ≤1≤n .答案：(1)④ (2)D已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.[精讲详析] 本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难．从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定．如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有|a |＞|b |.所以本题应从讨论|a |与|b |的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决．①若|a |＞|b |， 左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |.∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |， 1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |. ∴左边≥|a |－|b |2＝右边②若|a |<|b |，左边>0，右边<0， ∴原不等式显然成立．③若|a |＝|b |，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立．含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2．若f (x )＝x 2－x ＋c (c 为常数)，|x －a |＜1， 求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)．证明：|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1<1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4.求|a|＋|b|的最大值．[精讲详析]本题考查绝对值三角不等式的应用．解答本题可先求出|a＋b|，|a－b|的最值，再通过|a|＋|b|与它们相等时进行讨论求出最大值．|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|1|≤2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3＋2×4＋5＝16.①若ab≥0，则|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②若ab＜0，则|a|＋|b|＝|a－b|≤16.即a＝8，b＝－8时，|a|＋|b|取得最大值，且|a|＋|b|＝|a－b|＝16.(1)求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，本题直接求|a|＋|b|的最大值比较困难，可采用|a＋b|，|a－b|的最值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已．(2)求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方法有：①借助绝对值的定义，即零点分段；②利用绝对值几何意义；③利用绝对值不等式性质定理．3．(1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值；(2)求函数y ＝|x －4|＋|x －3|的最小值． 解：(1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4. ∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝∴－4≤y ≤4. ∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1， ∴y min ＝1.本课时主要考查绝对值三角不等式的应用，江苏高考以解答题的形式考查绝对值三角不等式在证明中的应用，是高考的一个新亮点．[考题印证](江苏高考)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜518.[命题立意] 本题综合考查不等式的性 质和绝对值三角不等式的的应用．[证明] 因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 由题设知|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，从而3|y |＜23＋16＝56，所以|y |＜518.一、选择题1．不等式|a ＋b ||a |＋|b |＜1成立的充要条件是( )A ．a 、b 都不为零B ．ab ＜0C ．ab 为非负数D ．a 、b 中至少有一个不为零 解析：选B |a ＋b ||a |＋|b |＜1⇔|a ＋b |＜|a |＋|b |⇔a 2＋b 2＋2ab ＜a 2＋b 2＋2|ab |⇔ab ＜|ab |⇔ab ＜0.2．“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R )的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选A ∵|x －a |＜m ，|y －a |＜m ， ∴|x －a |＋|y －a |＜2m .又∵|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a |， ∴|x －y |＜2m ，但反过来不一定成立，如取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，|3－1|＜2×2.5， 但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x －y |＜2m 不一定有|x －a |＜m 且|y －a |＜m ，故“|x －a |＜m 且|y －a |＜m ”是“|x －y |＜2m ”(x ，y ，a ，m ∈R )的充分不必要条件．3．若1＜1a ＜1b ，则下列结论中不．正确的是( ) A ．log a b ＞log b a B ．|log a b ＋log b a |＞2 C ．(log b a )2＜1D ．|log a b |＋|log b a |＞|log a b ＋log b a |解析：选D 由1＜1a ＜1b，得0＜b ＜a ＜1，∴log a b ＞0，log b a ＞0，由绝对值的有关性质可得|log a b ＋log b a |＝|log a b |＋|log b a |，所以应选D.4．若|a －c |＜b ，则下列不等式不成立的是( ) A ．|a |＜|b |＋|c | B ．|c |＜|a |＋|b | C ．b ＞|c |－|a | D ．b ＜||a |－|c || 解析：选D ∵|a －c |＜b ，令a ＝1，c ＝2，b ＝3. 则|a |＝1，|b |＋|c |＝5，∴|a |＜|b |＋|c |成立． |c |＝2，|a |＋|b |＝4，∴|c |＜|a |＋|b |成立． ||c |－|a ||＝||2|－|1||＝1，∴b ＞||c |－|a ||成立． 故b ＜||a |－|c ||不成立． 二、填空题5．若ab ＞0，则下面四个不等式：①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |中，正确的有________．解析：∵ab ＞0，∴a ，b 同号． ∴|a ＋b |＝|a |＋|b |. ∴①④正确． 答案：①④6．(江西高考)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.答案：57．下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)； ②|a －b |＜|a |＋|b |；③|b a ＋ab|≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的是________(把你认为正确的序号都填上)． 解析：log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确．ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确； ∵ab ≠0，b a 与ab同号，∴⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确． 综上①③④正确． 答案：①③④8．设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数m ＞0，使|f (x )|≤m |x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为F 函数．给出下列函数：①f (x )＝0；②f (x )＝x 2；③f (x )＝2(sin x ＋cos x )；④f (x )＝xx 2＋x ＋1；⑤f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤2|x 1－x 2|.其中是F 函数的序号是________．解析：由|f (x )|≤m |x |，当x ≠0时，知m ≥|f （x ）||x |，对于①，有|f （x ）||x |＝0，x ≠0，故取m ＞0即可；对于②，由|x 2|＝|x |2，∴|f （x ）||x |＝|x |，无最大值； 对于③，由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，而|f （x ）||x |＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4|x |无最大值；对于④，由|f （x ）||x |＝1x 2＋x ＋1≤43，x ≠0，只要取m ＝43即可；对于⑤，令x 2＝0，x 1＝x ，由f (0)＝0，知|f (x )|≤2|x |. 答案：①④⑤ 三、解答题9．设m ，ε＞0，|x －a |＜ε2，|y －b |＜ε2，|a |≤m ，|y |≤m ，求证：|xy －ab |＜mε.证明：|xy －ab |＝|xy －ay ＋ay －ab |≤|xy －ay |＋|ay －ab |＝|y (x －a )|＋|a (y －b )|＝|y ||x －a |＋|a||y －b|＜m ×ε2＋m ×ε2＝mε. ∴|xy －ab |＜mε.10．设a ，b ∈R ，求证：|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |≥|a ＋b |1＋|a |＋|b |.证明：法一：①若ab ＝0或a ＋b ＝0，不等式显然成立． ②若ab ≠0且a ＋b ≠0， ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |， ∴|a |＋|b |1＋|a |＋|b |＝11＋1|a |＋|b |≥11|a ＋b |＋1＝|a ＋b |1＋|a ＋b |(*) 又|a |1＋|a |＞|a |1＋|a |＋|b |，|b |1＋|b |＞|b |1＋|a ＋b |， ∴|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |＞|a |＋|b |1＋|a |＋|b |. 又由(*)式可知|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |＞|a ＋b |1＋|a ＋b |. 综上①②可知|a |1＋|a |＋|b |1＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |.法二：若ab ＝0或a ＋b ＝0，不等式显然成立． 若ab ≠0且a ＋b ≠0， ∵|a ＋b |≤|a |＋|b |，∴0＜1＋1|a |＋|b |≤1＋1|a ＋b |，即0＜1＋|a |＋|b ||a |＋|b |≤1＋|a ＋b ||a ＋b |.取倒数得|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |，又由法一知，原不等式成立． 法三：∵|a |＋|b |≥|a ＋b |， ∴|a |＋|b |＋(|a |＋|b |)·|a ＋b |≥ |a ＋b |＋(|a |＋|b |)·|a ＋b |，即(|a |＋|b |)(1＋|a ＋b |)≥|a ＋b |(1＋|a |＋|b |)． 两边同除以(1＋|a ＋b |)(1＋|a |＋|b |)得 |a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |.又由法一知，原不等式成立． 法四：构造函数f (x )＝x1＋x ，任取x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1＜x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 1－x 21＋x 2＝x 1－x 2（1＋x 1）（1＋x 2）＜0.∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数． 又|a |＋|b |≥|a ＋b |， ∴f (|a |＋|b |)≥f (|a ＋b |)， 即|a |＋|b |1＋|a |＋|b |≥|a ＋b |1＋|a ＋b |.又由法一知， 所证不等式成立．11．已知a 、b 、c 为实数，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，g (x )＝ax ＋b ，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1. (1)证明：|c |≤1；(2)证明：当－1≤x ≤1时，|g (x )|≤2.证明：(1)当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1，取x ＝0时， 有|c |＝|f (0)|≤1，即|c |≤1.(2)法一：当a ＞0时，g (x )＝ax ＋b 在[－1，1]上是增函数． ∴g (－1)≤g (x )≤g (1)． ∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1)，|c |≤1， ∴g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ≤|f (1)|＋|c |≤2. g (－1)＝－a ＋b＝－f (－1)＋c ≥－(|f (－1)|＋|c |)≥－2. 由此得|g (x )|≤2.当a ＜0时，g (x )＝ax ＋b 在[－1，1]上是减函数． ∴g (－1)≥g (x )≥g (1)． ∵|f (x )|≤1(－1≤x ≤1)，|c |≤1，∴g (－1)＝－a ＋b ＝－f (－1)＋c ≤|f (－1)|＋|c |≤2. g (1)＝a ＋b ＝f (1)－c ≥－(f (1)＋|c |)≥－2. 由此得|g (x )|≤2.当a ＝0时，g (x )＝b ，f (x )＝bx ＋c . ∵－1≤x ≤1，∴|g (x )|＝|f (1)－c |≤|f (1)|＋|c |≤2.综上所述，|g (x )|≤2.法二：由x ＝（x ＋1）2－（x －1）24，得g (x )＝ax ＋b＝a ⎣⎡⎦⎤（x ＋1）24－（x －1）24＋b ⎝⎛⎭⎫x ＋12－x －12 ＝⎣⎡⎦⎤a ⎝⎛⎭⎫x ＋122＋b ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋c －⎣⎡⎦⎤a ⎝⎛⎭⎫x －122＋b ⎝⎛⎭⎫x －12＋c ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－f ⎝⎛⎭⎫x －12.当－1≤x ≤1时，有0≤x ＋12≤1，－1≤x －12≤0，∴|f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－f ⎝⎛⎭⎫x －12|≤|f ⎝⎛⎭⎫x ＋12|＋|f ⎝⎛⎭⎫x －12|≤2.即|g (x )|≤2.第2课时 绝对值不等式的解法[核心必知]1．含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法2．|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ．3．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解．(2)以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性进而去掉绝对值符号是解题关键．(3)构造函数，结合函数的图象求解．[问题思考]1．|x |以及|x －a |±|x －b |表示的几何意义是什么？提示：|x |的几何意义是数轴上表示数x 的点到原点O 的距离；|x －a |±|x －b |的几何意义是数轴上表示数x 的点与表示数a ，b 的点的距离之和(差)． 2．如何解|x －a |＜|x －b |、|x －a |＞|x －b |(a ≠b )型的不等式的解集？ 提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．解下列不等式：(1)1＜|x －2|≤3； (2)|2x ＋5|＞7＋x ； (3)1x 2－2≤1|x |. [精讲详析] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax＋b |＞c (c ＞0)或|ax ＋b |＜c (c ＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式． (3)可分类讨论去掉分母和绝对值． (1)法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＞1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1或x ＞3，－1≤x ≤5， 解得－1≤x ＜1或3＜x ≤5，所以原不等式的解集为{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}． 法二：原不等式可转化为：①⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1＜x －2≤3，或②⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，1＜－（x －2）≤3， 由①得3＜x ≤5，由②得－1≤x ＜1，所以原不等式的解集是{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}．法三：原不等式的解集就是1＜(x －2)2≤9的解集，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2≤9，（x －2）2＞1，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤5，x ＜1或x ＞3，∴－1≤x ＜1或3＜x ≤5.∴原不等式的解集是{x |－1≤x ＜1或3＜x ≤5}． (2)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，可得2x ＋5＞7＋x 或2x ＋5＜－(7＋x )， 整理得x ＞2或x ＜－4.∴原不等式的解集是{x |x ＜－4或x ＞2}． (3)①当x 2－2＜0且x ≠0， 即当－2＜x ＜2，且x ≠0时，原不等式显然成立． ②当x 2－2＞0时，原不等式与不等式组⎩⎨⎧|x |＞2，x 2－2≥|x |等价，x 2－2≥|x |，即|x |2－|x |－2≥0， ∴|x |≥2，∴不等式组的解为|x |≥2， 即x ≤－2或x ≥2. ∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－2，0)∪(0，2)∪[2，＋∞)．绝对值不等式的常见类型及其解法：(1)形如|f(x)|＜a，|f(x)|＞a(a∈R)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①当a＞0时，|f(x)|＜a⇔－a＜f(x)＜a.|f(x)|＞a⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；②当a＝0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a⇔f(x)≠0；③当a＜0时，|f(x)|＜a无解．|f(x)|＞a⇔f(x)有意义．(2)形如|f(x)|＜|g(x)|型不等式此类问题的简单解法是利用平方法，即|f(x)|＜|g(x)|⇔[f(x)]2＜[g(x)]2⇔[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＜0.(3)形如|f(x)|＜g(x)，|f(x)|＞g(x)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即①|f(x)|＜g(x)⇔－g(x)＜f(x)＜g(x)，②|f(x)|＞g(x)⇔f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)可正也可负)．若此类问题用分类讨论法来解决，就显得较复杂．(4)形如a＜|f(x)|＜b(b＞a＞0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即a＜|f(x)|＜b(0＜a＜b)⇔a＜f(x)＜b或－b＜f(x)＜－a.(5)形如|f(x)|＜f(x)，|f(x)|＞f(x)型不等式此类问题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|＞f(x)⇔f(x)＜0，|f(x)|＜f(x)⇔f(x)∈∅.1．(江苏高考)解不等式x ＋|2x －1|＜3.解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x ＋（2x －1）＜3，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜0，x －（2x －1）＜3.解得12≤x ＜43或－2＜x ＜12.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2＜x ＜43.解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.[精讲详析] 解答本题，可以采用零点分段法求解，也可以转化为分段函数，借助函数图象求解．法一：当x ≤－1时，原不等式可以化为 －(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得：x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为 x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为 x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.综上，可知原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－32或x ≥32.法二：将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0. 构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，作出函数的图象，如图所示：函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(1)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．(2)|x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的图象解法和画出函数f (x )＝|x －a |＋|x －b |－c 的图象是密切相关的，其图象是折线，正确地画出其图象的关键是写出f (x )的分段表达式．不妨设a ＜b ，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋b －c ， （x ≤a ），b －a －c ， （a ＜x ＜b ），2x －a －b －c ， （x ≥b ）.这种图象法的关键是合理构造函数，正确画出函数的图象，求出函数的零点，体现了函数与方程结合、数形结合的思想．2．解不等式|2x ＋1|－|x －4|＞2. 解：法一：令y ＝|2x ＋1|－|x －4|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5⎝⎛⎭⎫x ≤－12，3x －3⎝⎛⎭⎫－12＜x ＜4，x ＋5（x ≥4）.作出函数y ＝|2x ＋1|－|x －4|与函数y ＝2的图象，它们的交点为(－7，2)和⎝⎛⎭⎫53，2.所以|2x ＋1|－|x －4|＞2的解集为(－∞，－7)∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞. 法二：当x ≥4时，(2x ＋1)－(x －4)＞2， 解得x ＞－3，∴x ≥4.当－12≤x ＜4时，(2x ＋1)＋(x －4)＞2，解得x ＞53，∴53＜x ＜4.当x ＜－12时，－(2x ＋1)＋(x －4)＞2，解得x ＜－7，∴x ＜－7.综上可知，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－7或x ＞53.设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |，如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．[精讲详析] 本题考查绝对值不等式的解法．解答本题应先对a 进行分类讨论，求出函数f (x )的最小值，然后求a 的取值范围．若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a ＜1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a ＜x ＜1，2x －（a ＋1），x ≥1，f (x )的最小值为1－a .若a ＞1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －（a ＋1），x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.所以∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．含有参数的不等式的求解问题分两类，一类要对参数进行讨论，另一类如本例，对参数a 并没有进行讨论，但去绝对值时对变量进行讨论，得到两个不等式组，最后把两个不等式组的解集合并，即得该不等式的解集．3．设函数f (x )＝|2x －4|＋1. (1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集非空，求a 的取值范围． 解：(1)由于f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋5，x <2，2x －3，x ≥2， 则函数y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图象可知， 当且仅当a ≥12或a <－2时，函数y ＝f (x )与函数y ＝ax 的图象有交点． 故不等式f (x )≤ax 的解集非空时， a 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞.本课时在高考中基本上以考查含绝对值不等式的解法为主，全国丙卷通过解绝对值不等式，考查等价转化思想及运算求解能力，通过求参数的a 的取值范围，考查推理论证能力和分类讨论思想．[考题印证](全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．[命题立意] 本题主要考查含绝对值不等式的解法，利用绝对值三角不等式求参数取值范围的方法．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥3，即⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x ≥3－a 2. 又⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪x －a 2＋⎪⎪⎪⎪12－x min ＝⎪⎪⎪⎪12－a 2， 所以⎪⎪⎪⎪12－a 2≥3－a 2，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．一、选择题1．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a 的取值为( )A ．8B ．2C ．－4D ．－8解析：选C 原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4.又∵－1＜x ＜2，∴验证选项易知a ＝－4适合．2．不等式⎪⎪⎪⎪x 2－x ＞x 2－x 的解集是( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |x ＜0或x ＞2}C ．{x |x ＜0}D ．{x |x ＞2}解析：选B 由⎪⎪⎪⎪x 2－x ＞x 2－x ，可知x 2－x＜0， ∴x ＜0或x >2.3．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3，5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析：选D 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3.4．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[－1，0]C ．[0，1]D ．[0，＋∞)解析：选C 作出y ＝|x ＋1|与l 1：y ＝kx 的图象如图，当k ＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k >0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0，1]．二、填空题5．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1＜1的解集为________． 解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1＜1，∴⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|＜|x －1|，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－（x －1）2＜0，x －1≠0，解之得4x ＜0，即x ＜0. 答案：{x |x ＜0}6．不等式|2x －1|－x ＜1的解集是________．解析：原不等式等价于|2x －1|＜x ＋1⇔－x －1＜2x －1＜x ＋1⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x ＞0，x ＜2⇔0＜x ＜2. 答案：{x |0＜x ＜2}7．(陕西高考)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：|x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.答案：[－2，4]8．(重庆高考)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|<a 无解，则实数a 的取值范围是________．解析：|x －5|＋|x ＋3|≥|(x －5)－(x ＋3)|＝8，故a ≤8.答案：(－∞，8]三、解答题9．解不等式|2x －4|－|3x ＋9|＜1.解：(1)当x ＞2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，（2x －4）－（3x ＋9）＜1， 解得x ＞2.(2)当－3≤x ≤2时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤2，－（2x －4）－（3x ＋9）＜1， 解得－65＜x ≤2. (3)当x ＜－3时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－3，－（2x －4）＋（3x ＋9）＜1，解得x ＜－12.综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－12或x ＞－65. 10．(新课标全国卷)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}．(2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0，此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0 或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2.由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 11．已知函数f (x )＝|x －3|－2，g (x )＝－|x ＋1|＋4.(1)若函数f (x )的值不大于1，求x 的取值范围；(2)若不等式f (x )－g (x )≥m ＋1的解集为R ，求m 的取值范围．解：(1)由题意得f (x )≤1，即|x －3|－2≤1，得|x －3|≤3.因为|x －3|≤3⇔－3≤x －3≤3⇔0≤x ≤6，所以x 的取值范围是[0，6]．(2)f (x )－g (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6，因为∀x ∈R ，由绝对值三角不等式得f (x )－g (x )＝|x －3|＋|x ＋1|－6＝|3－x |＋|x ＋1|－6≥|(3－x )＋(x ＋1)|－6＝4－6＝－2， 于是有m ＋1≤－2，得m ≤－3，即m 的取值范围是(－∞，－3].。

比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数比较大小的充要条件．作差比较法证明的一般步骤是：①作差；②恒等变形；③判断结果的符号；④下结论．其中，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑差能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．若x ，y ，z ∈R ，a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证： b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2≥2(xy ＋yz ＋zx )． [证明] ∵b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b c z 2－2(xy ＋yz ＋zx )＝⎝⎛⎭⎫b a x 2＋a b y 2－2xy ＋⎝⎛⎭⎫c b y 2＋b c z 2－2yz ＋(a c z 2＋ca x 2－2zx )＝⎝⎛⎭⎫ b ax －a b y 2＋(c by － b c z )2＋⎝⎛⎭⎫ acz －c a x 2≥0.∴b ＋c a x 2＋c ＋a b y 2＋a ＋b cz 2≥2(xy ＋yz ＋zx )成立.综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要证明的不等式成立．综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)f (1)＞0，求证： (1)方程f (x )＝0有实根； (2)－2＜ba＜－1；(3)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个实根， 则33≤|x 1－x 2|＜23. [证明] (1)当a ＝0时，b ＝－c ，f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－c 2≤0，与已知矛盾， 所以a ≠0.方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式Δ＝4(b 2－3ac )， 由a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得Δ＝4(a 2＋c 2－ac ) ＝4[⎝⎛⎭⎫a －12c 2＋34c 2]＞0. 故方程f (x )＝0有实根．(2)由f (0)·f (1)>0，得c (3a ＋2b ＋c )>0. 由a ＋b ＋c ＝0，消去c 得(a ＋b )(2a ＋b )<0. 因为a 2＞0，所以⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋ba ＜0. 故－2<ba<－1.(3)由已知得，x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝c3a ＝－a ＋b 3a ，所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝49⎝⎛⎭⎫b a ＋322＋13.因为－2<b a <－1，所以13≤(x 1－x 2)2<49.故33≤|x 1－x 2|<23.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论．分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即由待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式．当要证的不等式不知从何入手时，可考虑用分析法去证明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法．一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，求证： a ＋12＋b ＋12≤2. [证明] 要证 a ＋12＋ b ＋12≤2，只要证⎝⎛⎭⎫a ＋12＋b ＋122≤4， 即证a ＋b ＋1＋2⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤4. 只要证：⎝⎛⎭⎫a ＋12⎝⎛⎭⎫b ＋12≤1. 也就是要证：ab ＋12(a ＋b )＋14≤1，即证ab ≤14.∵a ＞0，b >0，a ＋b ＝1.∴1＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab ≤14，即上式成立．故a ＋12＋ b ＋12≤2.(1)反证法：先假设要证明的结论是不正确的，然后利用公理、已有的定义、定理、命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(已有的定义、定理、公理等)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的命题结论正确．(2)放缩法：将需要证明的不等式的值适当地放大(或缩小)，使不等式由繁化简，达到证明的目的．若a ，b ，c 为直角三角形三边，c 为斜边．求证：a 3＋b 3＜c 3. [证明] 假设a 3＋b 3≥c 3，则⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3≥1.①∵a ，b ，c 为直角三角形的三边且c 为斜边，∴a 2＋b 2＝c 2，a c ∈(0，1)，b c∈(0，1)，∴⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝1，∴⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3＜1.②①与②矛盾．∴假设不成立．∴a 3＋b 3＜c 3.求证：1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <3.[证明] 由11×2×3×…×k <11·2·2·…·2＝12k －1(k 是大于2的自然数)，得1＋11＋11×2＋11×2×3＋…＋11×2×3×…×n <1＋1＋12＋122＋123＋…＋12n －1＝1＋1－12n1－12＝3－12n －1＜3.一、选择题1．证明命题：“f (x )＝e x ＋1e x 在(0，＋∞)上是增函数”，现给出的证法如下：因为f (x )＝e x ＋1e x ，所以f ′(x )＝e x －1e x .因为x ＞0，所以e x ＞1，0＜1e x ＜1，所以e x －1ex ＞0，即f ′(x )＞0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是( ) A ．综合法 B ．分析法 C ．反证法 D ．以上都不是解析：选A 上述证明过程是从已知条件出发，经过推理论证得到结论，用了综合法． 2．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n （x 2n ＋3）3x 2n ＋1(n ＝1，2，…)．试证：数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n ＜x n ＋1，或者对任意的正整数n 都满足x n ＞x n ＋1.当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1且x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0解析：选B “x n ＜x n ＋1或x n ＞x n ＋1”的对立面是“x n ＝x n ＋1”，“任意一个”的反面是“存在某一个”．3．若a >0，b >0，则p ＝a a b b ，q ＝a b b a 的大小关系是( ) A ．p ≥q B ．p ≤q C ．p >q D ．p <q 解析：选A p q ＝a a b b a b ba ＝⎝⎛⎭⎫ab a －b .当a >b >0时，a b >1，a －b >0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，p >q .当0<a <b 时，0<a b <1，a －b <0，则⎝⎛⎭⎫a b a －b >1，p >q .当a ＝b >0时，⎝⎛⎭⎫a b a －b＝1，p ＝q ，综上可知p ≥q .4．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( ) A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a b 2>aD.a b >a >a b2 解析：选C 本题中的四个选项，实际是在比较三个数的大小，可以认为是先比较1b ，1b 2，1的大小，再比较a b ，a b 2，a 的大小．又因为a <0，所以又可认为是在比较－1b ，－1b 2，－1的大小．因为b <－1，所以1>1b 2>1b .也可以令a ＝－1，b ＝－2，分别代入A 、B 、C 、D 中，知A 、B 、D 均错．二、填空题5．设α、β为锐角，且M ＝sin(α＋β)，N ＝sin α＋sin β，则M 、N 的大小关系是________． 解析：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β<sin α＋sin β. 答案：M <N6．设a ＞0，b ＞0，M ＝a ＋b a ＋b ＋2，N ＝a a ＋2＋b b ＋2，则M 与N 的大小关系是________．解析：∵a >0，b >0，∴N ＝a a ＋2＋b b ＋2＞a a ＋b ＋2＋ba ＋b ＋2＝a ＋b a ＋b ＋2＝M .∴M ＜N . 答案：M ＜N7．若c ＞a >b >0，比较大小：a c －a ________bc －b .(填“＞”“＝”或“＜”)解析：∵c >a >b >0，∴c －b >c －a >0，∴1c －a >1c －b >0，又∵a >b >0，∴a c －a >bc －b .答案：>8．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应该满足的条件是________． 解析：a a ＋b b >a b ＋b a ⇒a (a －b )－b (a －b )>0 ⇒(a －b )2(a ＋b )>0 a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案：a ≥0，b ≥0，a ≠b 三、解答题9．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. 证明：3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2) ＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a ) ＝(3a 2－2b 2)(a －b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，3a 2－2b 2>0， 从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0. 故3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2成立．10．已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1， 求证：|ac ＋bd |≤1.证明：法一(综合法)：因为a ，b ，c ，d 都是实数， 所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22.又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，所以|ac ＋bd |≤1. 法二(比较法)：显然有 |ac ＋bd |≤1⇔－1≤ac ＋bd ≤1. 先证明ac ＋bd ≥－1.∵ac ＋bd －(－1)＝ac ＋bd ＋12＋12＝ac ＋bd ＋a 2＋b 22＋c 2＋d 22＝（a ＋c ）2＋（b ＋d ）22≥0.∴ac ＋bd ≥－1.再证明ac ＋bd ≤1. ∵1－(ac ＋bd )＝12＋12－(ac ＋bd )＝a 2＋b 22＋c 2＋d 22－ac －bd ＝（a －c ）2＋（b －d ）22≥0，∴ac ＋bd ≤1.综上得|ac ＋bd |≤1. 法三(分析法)：要证|ac ＋bd |≤1， 只需证明(ac ＋bd )2≤1.即只需证明a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤1.① 由于a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，因此①式等价于 a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，② 将②式展开、化简，得(ad －bc )2≥0.③因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以③式成立，即①式成立． 原命题得证．11．已知a 、b 、c 为三角形的三条边，求证：以a 1＋a ，b 1＋b ，c 1＋c 为边也可以构成一个三角形．证明：(放缩法)设f (x )＝x1＋x ，x ∈(0，＋∞)，设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1) ＝x 21＋x 2－x 11＋x 1＝x 2－x 1（1＋x 1）（1＋x 2）＞0， 故f (x )在(0，＋∞)上为增函数．∵a 、b 、c 为三角形的三条边，于是a ＋b ＞c ， ∴c 1＋c ＜a ＋b 1＋（a ＋b ）＝a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b＜a 1＋a ＋b 1＋b ，即c 1＋c ＜a 1＋a ＋b 1＋b， 同理：b 1＋b ＜a 1＋a ＋c 1＋c ，a 1＋a ＜b 1＋b ＋c1＋c. ∴以a 1＋a ，b 1＋b ，c 1＋c为边可以构成一个三角形．(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x ＜0)，则a 与b 的大小关系是 ( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．a ＝b D ．a ≤b解析：选B ∵a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x (x ＜0)，故b ＜1，∴a ＞b . 2．若a >b ，则下列不等式正确的是( ) A.1a <1bB ．a 3>b 3C ．a 2>b 2D ．a >|b |解析：选B 若a ＝1，b ＝－3，则1a >1b ，a 2<b 2，a <|b |，知A 、C 、D 错误；函数f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2≥0，函数f (x )＝x 3为增函数，若a >b ，则a 3＞b 3.3．已知a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，那么有( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．c <a <b解析：选A ∵a －b ＝(2－5)－(5－2)＝4－25＜0， ∴a ＜b .b －c ＝(5－2)－(5－25) ＝(5－2)(1－5)＜0， ∴b <c . ∴a <b <c .4．用反证法证明命题“如果a ＞b ，那么3a >3b ”时，假设的内容应是( ) A.3a ＝3b B.3a <3bC.3a ＝3b 且3a <3bD.3a ＝3b 或3a <3b 解析：选D3a 与3b 大小包括3a >3b ，3a ＝3b ，3a <3b 三方面的关系，所以3a >3b的反设应为3a ＝3b 或3a <3b .5．使不等式3＋8>1＋a 成立的正整数a 的最大值为( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．13解析：选C 用分析法可证a ＝12时不等式成立，a ＝13时不等式不成立． 6．设a ，b ，m 都是正数，且a ＜b ，则下列不等式中恒成立的是( ) A.a b <a ＋m b ＋m <1 B.a b ≥a ＋m b ＋m C.a b ≤a ＋m b ＋m ≤1 D ．1<b ＋m a ＋m <b a解析：选A ∵0<a <b ，m >0，∴a b －a ＋m b ＋m ＝ab ＋am －ab －bm b （b ＋m ）＝m （a －b ）b （b ＋m ）<0，又a ＋mb ＋m －1＝a ＋m －b －m b ＋m ＝a －b b ＋m<0，∴a b <a ＋mb ＋m <1.7．已知a >b >－1，则1a ＋1与1b ＋1的大小关系是( ) A.1a ＋1>1b ＋1 B.1a ＋1＜1b ＋1 C.1a ＋1≥1b ＋1 D.1a ＋1≤1b ＋1 解析：选B 1a ＋1－1b ＋1＝（b ＋1）－（a ＋1）（a ＋1）（b ＋1）＝b －a（a ＋1）（b ＋1）.∵a >b >－1，∴b －a <0，a ＋1>0，b ＋1>0. ∴b －a （a ＋1）（b ＋1）＜0，∴1a ＋1－1b ＋1＜0.即1a ＋1＜1b ＋1. 8．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a ，Q ＝a ＋b ，则( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析：选A P －Q ＝a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－ab （a ＋b ）ab＝（a ＋b ）（a 2＋b 2－2ab ）ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab .∵a ，b 都是正实数，且a ≠b ， ∴（a ＋b ）（a －b ）2ab ＞0.∴P >Q .9．已知a ，b ，c ，d ∈R ＋且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d ，则下列判断中正确的是( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4解析：选B 用放缩法，a a ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <a a ＋c ；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d <bd ＋b ；c a ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a <c c ＋a ；d a ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <dd ＋b .以上四个不等式相加，得1<S <2.10．若α∈⎝⎛⎭⎫π，54π，M ＝|sin α|，N ＝|cos α|，P ＝12|sin α＋cos α|，Q ＝12sin 2α，则它们之间的大小关系为( )A ．M >N >P >QB ．M >P >N >QC ．M >P >Q >ND ．N >P >Q >M解析：选D ∵α∈⎝⎛⎭⎫π，54π，∴0>sin α>cos α. ∴|sin α|＜|cos α|，∴P ＝12|sin α＋cos α|＝12(|sin α|＋|cos α|)>12(|sin α|＋|sin α|)＝|sin α|＝M . P ＝12|sin α|＋|cos α|<12(|cos α|＋|cos α|)＝|cos α|＝N .∴N >P >M .对于Q ＝12sin 2α＝sin αcos α＜|sin α|＋|cos α|2＝P . 而Q ＝sin αcos α>sin 2α＝|sin α|＝M ，∴N >P >Q >M .二、填空题(本大题有4小题，每小题5分，共20分)11．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b的大小关系是________． 解析：a b 2＋b a 2－⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a2 ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b 2－1a 2＝（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2. ∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴（a ＋b ）（a －b ）2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b12．设a >0且a ≠1，m ＝log a (1＋a )，n ＝log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ，则m ，n 的大小关系为________． 解析：当a >1时，1＋a >1＋1a， ∴log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ，即m >n ； 当0<a <1时，1＋a <1＋1a， ∴log a (1＋a )>log a ⎝⎛⎭⎫1＋1a ，即m >n . 答案：m >n13．设0<m <n <a <b ，函数y ＝f (x )在R 上是减函数，下列四个数f ⎝⎛⎭⎫b a ，f ⎝⎛⎭⎫a b ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －m a －m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋n b ＋n 的大小顺序依次是______________________________________________． 解析：∵a b <a ＋n b ＋n <1<b a <b －m a －m，根据函数的单调性， 知f ⎝⎛⎭⎫a b >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋n b ＋n >f ⎝⎛⎭⎫b a >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －m a －m . 答案：f ⎝⎛⎭⎫a b >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋n b ＋n >f ⎝⎛⎭⎫b a >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b －m a －m 14．若a >b >c >0，l 1＝ （c ＋a ）2＋b 2，l 2＝ （b ＋c ）2＋a 2，l 3＝ （a ＋b ）2＋c 2，则l 1l 2，l 2l 3，l 22，l 23中最小的一个是________．解析：利用赋值法比较，令a ＝3，b ＝2，c ＝1，可得l 1＝20，l 2＝18，l 3＝26，则l 1l 2＝360，l 2l 3＝468，l 22＝324，l 23＝676，可知l 22最小．答案：l 22三、解答题(本大题共有4小题，共50分)15．(本小题满分12分)比较3(1＋x 2＋x 4)和(1＋x ＋x 2)2的大小．解：∵3(1＋x 2＋x 4)－(1＋x ＋x 2)2＝3(1＋x 2＋x 4)－(1＋x 2＋x 4＋2x ＋2x 2＋2x 3)＝3＋3x 2＋3x 4－1－x 2－x 4－2x －2x 2－2x 3＝2x 4－2x 3＋2－2x ＝2x 3(x －1)＋2(1－x )＝2(x －1)(x 3－1)＝2(x －1)2(x 2＋x ＋1)＝2(x －1)2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥0. 故3(1＋x 2＋x 4)≥(1＋x ＋x 2)2.16．(本小题满分12分)设a ，b ，c ，d 均为正数，求证：a 2＋b 2＋c 2＋d 2≥ （a ＋c ）2＋（b ＋d ）2. 证明：欲证 a 2＋b 2＋ c 2＋d 2≥ （a ＋c ）2＋（b ＋d ）2，只需证(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)2≥(a ＋c )2＋(b ＋d )2， 即证 （a 2＋b 2）（c 2＋d 2）≥ac ＋bd ，就是证(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，就是证b 2c 2＋a 2d 2≥2abcd .也就是证(bc －ad )2≥0.此式显然成立，故所证不等式成立．17．(本小题满分12分)设实数x 、y 满足y ＋x 2＝0，0＜a <1，求证：log a (a x ＋a y )＜log a 2＋18. 证明：∵a x ＞0，a y ＞0，∴a x ＋a y ≥2a x ＋y ＝2ax －x 2. ∵x －x 2＝x (1－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋（1－x ）22＝14， 又0<a <1，∴ax －x 2≥a 14.当x ＝12时等号成立， 但当x ＝12时，a x ≠a －x 2.∴a x ＋a y ＞2a 18.又0＜a ＜1，∴log a (a x ＋a y )＜log a ()2a 18＝log a 2＋18. 18．(本小题满分14分)已知A n (n ，a n )为函数y 1＝x 2＋1的图象上的点，B n (n ，b n )为函数y 2＝x 的图象上的点，设C n ＝a n －b n ，其中n ∈N ＋.(1)求证：数列{C n }既不是等差数列，也不是等比数列．(2)试比较C n 与C n ＋1的大小．解：(1)证明：根据题意可知：a n ＝n 2＋1，b n ＝n ，C n ＝n 2＋1－n .假设数列{C n }为等差数列，则2C 2＝C 1＋C 3，即有2(5－2)＝2－1＋10－3，有25＝2＋10，这与事实相矛盾，因而不是等差数列，假设数列{C n }为等比数列，则应有C 22＝C 1C 3，即(5－2)2＝(2－1)·(10－3)，这与事实相矛盾，所以{C n }不是等比数列，由以上可知数列{C n }既不是等差数列，也不是等比数列．(2)∵C n ＝n 2＋1－n ＞0，C n ＋1＝（n ＋1）2＋1－(n ＋1)＞0，∴C n ＋1C n ＝（n ＋1）2＋1－（n ＋1）n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n （n ＋1）2＋1＋（n ＋1）. ∵0<n 2＋1<（n ＋1）2＋1，0<n <n ＋1，∴n 2＋1＋n <（n ＋1）2＋1＋n ＋1，∴0<n 2＋1＋n（n ＋1）2＋1＋（n ＋1）<1， 即C n ＋1C n ＜1，从而有C n ＋1<C n .。

(1)利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．(2)坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．舰A在舰B正东，距离6 km，舰C在舰B的北偏西30°，距离4 km，它们准备围捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4 s后，B、C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹．假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1 km/s.空气阻力不计，求A炮击的方位角．[解]如图，以BA 为x 轴，BA 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则B (－3，0)，A (3，0)，C (－5，23)．设动物所在位置P (x ，y )，P 在BC 中垂线上． ∵k BC ＝23－5＋3＝－3，BC 中点M (－4，3)，∴BC 的中垂线方程为y －3＝33(x ＋4)． 即y ＝33(x ＋7)．① ∵|PB |－|P A |＝4＜|AB |＝6，∴P 在双曲线x 24－y 25＝1 ②的右支上．由①②得P (8，53)， 设∠xAP ＝α，则tan α＝3， ∴α＝60°.∴炮弹发射的方位角为北偏东30°.设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应点P ′(x ′，y ′)称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C 变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程，并判断其形状．[解] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y ，代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1中，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1.化简，得⎝⎛⎭⎫x －522＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以⎝⎛⎭⎫52，－3为圆心，半径为12的圆. (1)在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F (ρ，θ)＝0，如果曲线C 是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F (ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．(2)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．(3)求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ、θ的关系．△ABC 底边BC ＝10，∠A ＝12∠B ，以B 为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹的极坐标方程．[解]如图：令A (ρ，θ)，△ABC 内，设∠B ＝θ，∠A ＝θ2，又|BC |＝10，|AB |＝ρ.于是由正弦定理，得ρsin ⎝⎛⎭⎫π－3θ2＝10sinθ2，化简，得A 点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.(1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．(2)互化公式为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ ρ2＝x 2＋y 2 tan θ＝yx（x ≠0）(3)直角坐标方程化极坐标方程可直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x ，y 代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线． (1)ρ＝2a cos θ(a ＞0)； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.[解] (1)ρ＝2a cos θ，两边同时乘以ρ得ρ2＝2a ρcos θ，即x 2＋y 2＝2ax . 整理得x 2＋y 2－2ax ＝0，即(x －a )2＋y 2＝a 2. 是以(a ，0)为圆心，以a 为半径的圆． (2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， 即x 2＋y 2＝9x ＋9y ，又可化为⎝⎛⎭⎫x －922＋⎝⎛⎭⎫y －922＝812， 是以⎝⎛⎭⎫92，92为圆心，以922为半径的圆． (3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x 2＋y 2＝16. 是以原点为圆心，以4为半径的圆．(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x －3y ＝5，是一条直线.(1)柱坐标定义：设P 是空间内任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ＜2π)来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标．这时点P 的位置可由有序数组(ρ，θ，z )表示，叫做点P 的柱坐标．(2)球坐标：建立空间直角坐标系O -xyz ，设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q .Ox 轴逆时针方向旋转到OQ 时，所转过的最小正角为θ，则P (r ，φ，θ)为P 点的球坐标．如图，在长方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，|OA |＝3，|OC |＝3，|OD ′|＝3，A ′C ′与B ′D ′相交于点P ，分别写出点C ，B ′，P 的柱坐标．[解] C 点的ρ、θ分别为|OC |及∠COA . B ′点的ρ为|OB |＝|OA |2＋|AB |2＝32＋32＝32；θ＝∠BOA ，而tan ∠BOA ＝|AB ||OA |＝1.所以∠BOA ＝π4.P 点的ρ、θ分别为OE 、∠AOE ，|OE |＝12|OB |＝322，∠AOE ＝∠AOB .所以C 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2，0；B ′点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π4，3；P 点的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫322，π4，3.如图，长方体OABC —D ′A ′B ′C ′中OA ＝OC ＝a ，BB ′＝2OA ，对角线OB ′与BD ′相交于点P ，顶点O 为坐标原点；OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．试写出点P 的球坐标．[解] r ＝|OP |，φ＝∠D ′OP ，θ＝∠AOB ， 而|OP |＝a ，∠D ′OP ＝∠OB ′B ， tan ∠OB ′B ＝|OB ||BB ′|＝1，∴∠OB ′B ＝π4，θ＝∠AOB ＝π4.∴点P 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π4，π4.一、选择题1．点M 的直角坐标是(－1, 3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3 B.⎝⎛⎭⎫2，－π3C.⎝⎛⎭⎫2，2π3D.⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3，(k ∈Z )解析：选D ρ2＝(－1)2＋(3)2＝4，∴ρ＝2. 又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴⎩⎨⎧cos θ＝－12，sin θ＝32，∴θ＝2π3＋2k π，k ∈Z .即点M 的极坐标为(2，2k π＋2π3)，(k ∈Z )．2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1 解析：选C ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝x ＝1.3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为( ) A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆解析：选C ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，(ρ2＝4ρsin θ)，则x ＝0，或x 2＋y 2＝4y .4．(安徽高考)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R ) 和ρcos θ＝1解析：选B 由ρ＝2cos θ，可得圆的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B.二、填空题5．点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，8，则它的直角坐标为________．解析：∵x ＝2cos π3＝1，y ＝2sin π3＝3，z ＝8.∴它的直角坐标为(1，3，8)． 答案：(1，3，8)6．点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫6，π2，π3，则它的直角坐标为________．解析：x ＝6·sin π2·cos π3＝3，y ＝6sin π2sin π3＝33，z ＝6cos π2＝0，∴它的直角坐标为(3，33，0)． 答案：(3，33，0)7．在极坐标系中，点(1，2)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________． 解析：直线的直角坐标方程为x ＋y －2＝0， d ＝|1＋2－2|2＝22.答案：228．在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________． 解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为 (－6，0)，故切线长为42－22＝12＝2 3.答案：2 3 三、解答题9．求由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1的伸缩变换．解：设变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，（λ>0），y ′＝μ·y ，（μ>0），将其代入方程x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1. 又∵4x 2＋9y 2＝36， 即x 29＋y 24＝1. ∴⎩⎨⎧λ2＝19，μ2＝14.又∵λ>0，μ>0， ∴λ＝13，μ＝12.∴将曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1的伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .10.如图，圆O 1和圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|＝4，过动点P 分别作圆O 1和圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点)使得|PM |＝2|PN |，试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程．解：如图，以直线O 1O 2为x 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O 1(－2，0)，O 2(2，0)．设P (x ，y )，则|PM |2＝|PO 1|2－|MO 1|2＝(x ＋2)2＋y 2－1.同理，|PN |2＝(x －2)2＋y 2－1. ∵|PM |＝2|PN |，即|PM |2＝2|PN |2.即(x ＋2)2＋y 2－1＝2[(x －2)2＋y 2－1]．即x 2－12x ＋y 2＋3＝0. 即动点P 的轨迹方程为(x －6)2＋y 2＝33.11．在极坐标系中，已知圆C 的圆心C ⎝⎛⎭⎫3，π6，半径为1.Q 点在圆周上运动，O 为极点．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 在直线OQ 上运动，且满足OQ QP ＝23，求动点P 的轨迹方程．解：(1)如图所示，设M (ρ，θ)为圆C 上任意一点，如图，在△OCM 中，|OC |＝3，|OM |＝ρ，|CM |＝1，∠COM ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π6，化简整理，得ρ2－6·ρcos (θ－π6)＋8＝0为圆C 的轨迹方程．(2)设Q (ρ1，θ1)，则有ρ21－6·ρ1cos (θ1－π6)＋8＝0.① 设P (ρ，θ)，则OQ ∶QP ＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝25ρ，又θ1＝θ，即⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝25ρ，θ1＝θ，代入①得425ρ2－6·25ρcos (θ－π6)＋8＝0，整理得ρ2－15ρcos (θ－π6)＋50＝0为P 点的轨迹方程．(时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，则它的直角坐标为( )A ．(3，1)B ．(－1，3)C ．(1，3)D ．(－3，－1)解析：选C x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π3＝ 3.∴它的直角坐标为(1，3)．2．原点与极点重合，x 轴正半轴与极轴重合，则点(－2，－23)的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫4，π3 B.⎝⎛⎭⎫4，4π3C.⎝⎛⎭⎫－4，－2π3D.⎝⎛⎭⎫4，2π3解析：选B 由直角坐标与极坐标互化公式：ρ2＝x 2＋y 2， tan θ＝yx (x ≠0)．把点(－2，－23)代入即可得ρ＝4，tan θ＝3，因为点(－2，－23)在第三象限， 所以θ＝4π3.3．可以将椭圆x 210＋y 28＝1变为圆x 2＋y 2＝4的伸缩变换为 ( )A.⎩⎨⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y B.⎩⎨⎧2x ′＝5x ，y ′＝2y C.⎩⎨⎧2x ′＝x ，5y ′＝2x D.⎩⎨⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y解析：选D 法一：将椭圆方程x 210＋y 28＝1化为2x 25＋y 22＝4，∴(2x 5)2＋(y2)2＝4.令⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25 x ，y ′＝y 2得x ′2＋y ′2＝4，即x 2＋y 2＝4.∴伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y 为所求．法二：将x 2＋y 2＝4改写为x ′2＋y ′2＝4，设满足题意的伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0），代入x ′2＋y ′2＝4得λ2x 2＋μ2y 2＝4，即λ2x 24＋μ2y 24＝1.与椭圆x 210＋y 28＝1比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧λ24＝110，μ24＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝25，μ＝12.∴伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝25 x ，y ′＝12y .即⎩⎪⎨⎪⎧5x ′＝2x ，2y ′＝y .4．曲线的极坐标方程为ρ＝4sin θ，化成直角坐标方程为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4 D ．(x ＋2)2＋y 2＝4解析：选B 由直角坐标和极坐标的互化公式y ＝ρsin θ， 即ρ2＝x 2＋y 2，可得x 2＋y 2＝4y ，整理得：x 2＋(y －2)2＝4. 5．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫1，π4 B.⎝⎛⎭⎫12，π4C.⎝⎛⎭⎫2，π4D.⎝⎛⎭⎫2，π4解析：选A 法一：∵圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝2sin (θ＋π4)，可以看作由圆ρ＝2sin θ顺时针旋转π4得到．而ρ＝2sin θ的圆心为(1，π2)，顺时针旋转π4得到(1，π4)，∴ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标为(1，π4)．法二：圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)直角坐标方程为 x 2＋y 2－2x －2y ＝0， ∴(x －22)2＋(y －22)2＝1， 圆心的直角坐标为(22，22)，化为极坐标为(1，π4)． 6．已知点P 的坐标为(1，π)，则过点P 且垂直极轴的直线方程是( ) A ．ρ＝1 B ．ρ＝cos θ C ．ρ＝－1cos θD ．ρ＝1cos θ解析：选C 由点P 的坐标可知，过点P 且垂直极轴的直线方程在直角坐标中为x ＝－1，即ρcos θ＝－1.7．曲线θ＝2π3与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为( )A ．1 B. 3 C ．3 3 D ．6 解析：选C极坐标方程θ＝2π3，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C (3，π2)，∠AOC ＝π6，∴|AO |＝2×3×cos π6＝6×32＝3 3.8．点M ⎝⎛⎭⎫1，7π6关于直线θ＝π4(ρ∈R )的对称点的极坐标为 ( )A.⎝⎛⎭⎫1，4π3B.⎝⎛⎭⎫1，2π3C.⎝⎛⎭⎫1，π3D.⎝⎛⎭⎫1，－7π6解析：选A 法一：点M (1，7π6)关于直线θ＝π4(ρ∈R )的对称点为(1，7π6＋π6)，即(1，4π3)． 法二：点M (1，7π6)的直角坐标为(cos 7π6，sin 7π6)＝(－32，－12)，直线θ＝π4(ρ∈R )，即直线y ＝x ，点(－32，－12)关于直线y ＝x 的对称点为(－12，－32)， 再化为极坐标即(1，4π3)．9．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为( ) A.22B. 2 C ．2 D ．2 2 解析：选B圆ρ＝4cos θ的圆心C (2，0)，如图，|OC |＝2， 在Rt △COD 中，∠ODC ＝π2，∠COD ＝π4，∴|CD |＝ 2.10．圆ρ＝r 与圆ρ＝－2r sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4(r >0)的公共弦所在直线的方程为( )A ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝rB ．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.2ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r解析：选D 圆ρ＝r 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝r 2① 圆ρ＝－2r sin (θ＋π4)＝－2r (sin θcos π4＋cos θsin π4)＝－2r (sin θ＋cos θ)．两边同乘以ρ得ρ2＝－2r (ρsin θ＋ρcos θ) ∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋y 2＋2rx ＋2ry ＝0.②①－②整理得2(x ＋y )＝－r ，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线2(x ＋y )＝－r 化为极坐标方程为2ρ(cos θ＋sin θ)＝－r .二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．直线x cos α＋y sin α＝0的极坐标方程为________． 解析：ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝0，cos (θ－α)＝0， 取θ－α＝π2.答案：θ＝π2＋α12．在极坐标系中，若过点A (4，0)的直线l 与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．解析：将ρ2＝4ρcos θ－3化为直角坐标方程得(x －2)2＋y 2＝1， 如右图易得－33≤k ≤33. 答案：[－33，33] 13．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝3π3，z ＝2π3， 由⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr ，得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，cos φ＝22.即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4. ∴点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)，球坐标为(22π3，π4，2π3)．答案：(－π3，3π3，2π3) (22π3，π4，2π3)14．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________．解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为(22，0)，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 答案：22三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(12分)极坐标系中，求点⎝⎛⎭⎫m ，π3(m ＞0)到直线ρcos(θ－π3)＝2的距离．解：将直线极坐标方程化为ρ(cos θcos π3＋sin θsin π3)＝2，化为直角坐标方程为x ＋3y －4＝0，点(m ，π3)的直角坐标为(12m ，32m )，∴点(12m ，32m )到直线x ＋3y －4＝0的距离为|12m ＋3·32m －4|1＋3＝2|m －2|2＝|m －2|.16．(12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1表示的两个图形的位置关系是什么？解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为 x 2＋y 2＝－x ，即(x ＋12)2＋y 2＝14它表示圆心为(－12，0)，半径为12的圆．将ρcos (θ＋π3)＝1化为普通方程为x －3y －2＝0，∵圆心(－12，0)到直线的距离为|－12－2|1＋3＝54＞1，∴直线与圆相离．17．(12分)(江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin(θ－π3)＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1，0)． 因为圆C 经过点P (2，π4)，所以圆C 的半径PC ＝（2）2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.18．(14分)已知线段BB ′＝4，直线l 垂直平分BB ′，交BB ′于点O ，在属于l 并且以O 为起点的同一射线上取两点P 、P ′，使OP ·OP ′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP 与直线B ′P ′的交点M 的轨迹方程．解：以O 为原点，BB ′为y 轴，l 为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，则B (0，2)，B ′(0，－2)，设P (a ，0)(a ≠0)，则由OP ·OP ′＝9，得P ′(9a ，0)，直线BP 的方程为x a ＋y2＝1，直线B ′P ′的方程为x 9a＋y－2＝1，即l BP ：2x ＋ay －2a ＝0，l B ′P ′：2ax －9y －18＝0.设M (x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ay －2a ＝0，2ax －9y －18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝（2－y ）a ，9y ＋18＝2ax(a 为参数)．消去a ，可得4x 2＋9y 2＝36(x ≠0)，所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B ，B ′)．。

第1课时 参数方程的概念[核心必知]1．参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①叫做这条曲线的参数方程．联系变量x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 2．普通方程相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．[问题思考]1．参数方程中的参数t 是否一定有实际意义？提示：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．曲线的参数方程一定是唯一的吗？提示：同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样．如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1，y ＝2t （t ∈R ）和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ＋1，y ＝m (m ∈R ) 都表示直线x ＝2y ＋1.已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1(t 为参数)． (1)判断点M 1(0，－1)和M 2(4，10)与曲线C 的位置关系； (2)已知点M (2，a )在曲线C 上，求a 的值．[精讲详析] 本题考查曲线的参数方程及点与曲线的位置关系．解答此题需要将已知点代入参数方程，判断参数是否存在．(1)把点M 1的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1， 得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2t ，－1＝3t 2－1，∴t ＝0.即点M 1在曲线C 上．把点M 2的坐标代入参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝3t 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2t ，10＝3t 2－1，方程组无解．即点M 2不在曲线C 上． (2)∵点M (2，a )在曲线C 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝2t ，a ＝3t 2－1.∴t ＝1，a ＝3×12－1＝2.即a 的值为2.已知曲线的参数方程，判断某点是否在曲线上，就是将点的坐标代入曲线的参数方程，然后建立关于参数的方程组，如果方程组有解，则点在曲线上；否则，点不在曲线上．1．已知曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ＋1，y ＝sin θ＋3(θ为参数，0≤θ<π)，则下列各点A (1，3)，B (2，2)，C (－3，5)在曲线上的点是________．解析：将A (1，3)点代入方程得θ＝0；将B 、C 点坐标代入方程，方程无解，故B 、C 点不在曲线上．答案：A (1，3)如图，△ABP 是等腰直角三角形，∠B 是直角，腰长为a ，顶点B 、A 分别在x 轴、y 轴上滑动，求点P 在第一象限的轨迹的参数方程．[精讲详析] 本题考查曲线参数方程的求法，解答本题需要先确定参数，然后分别用同一个参数表示x 和y .法一：设P 点的坐标为(x ，y )，过P 点作x 轴的垂线交x 轴于Q . 如图所示，则Rt △OAB ≌Rt △QBP .取OB ＝t ，t 为参数(0＜t ＜a )． ∵|OA |＝a 2－t 2，∴|BQ |＝a 2－t 2.∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋a 2－t 2，y ＝t ，(0＜t ＜a ) 法二：设点P 的坐标为(x ，y )，过点P 作x 轴的垂线交x 轴于点Q ，如图所示．取∠QBP ＝θ，θ为参数(0＜θ＜π2)，则∠ABO ＝π2－θ.在Rt △OAB 中，|OB |＝a cos (π2－θ)＝a sin θ.在Rt △QBP 中，|BQ |＝a cos θ，|PQ |＝a sin θ. ∴点P 在第一象限的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a （sin θ＋cos θ），y ＝a sin θ.(θ为参数，0＜θ＜π2)．(1)求曲线参数方程的主要步骤：第一步，建立直角坐标系，设(x ，y )是轨迹上任意一点的坐标．画出草图(画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系)．第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式．(2)求曲线的参数方程时，要根据题设条件或图形特性求出参数的取值范围并标注出来．2.如图所示，OA 是圆C 的直径，且OA ＝2a ，射线OB 与圆交于Q 点，和经过A 点的切线交于B 点，作PQ ⊥OA 交OA 于D ，PB ∥OA ，试求点P 的轨迹的参数方程．解：设P (x ，y )是轨迹上任意一点，取∠DOQ ＝θ，由PQ ⊥OA ，PB ∥OA ，得x ＝OD ＝OQ cos θ＝OA ·cos 2θ＝2a cos 2θ，y ＝AB ＝OA tan θ＝2a tan θ.所以P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a cos 2θ，y ＝2a tan θ，θ∈(－π2，π2)．曲线参数方程的应用，是高考模拟的热点内容．本考题以实际问题为背景考查了曲线参数方程的实际应用，是高考模拟命题的一个新亮点．[考题印证]已知弹道曲线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2t cos π6，y ＝2t sin π6－12gt 2.(t 为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度．[命题立意] 本题主要考查曲线参数方程中参数的实际意义及其应用． [解] (1)令y ＝0，则2t sin π6－12gt 2＝0，解之得t ＝2g.∴炮弹从发射到落地所需要的时间为2g .(2)y ＝2t sin π6－12gt 2＝－12gt 2＋t＝－12g (t 2－2g t )＝－12g [(t －1g )2－1g 2]＝－12g (t －1g )2＋12g ，∴当t ＝1g 时，y 取最大值12g.即炮弹在运动中达到的最大高度为12g .一、选择题1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin 2θ(θ是参数)所表示曲线经过下列点中的( )A ．(1，1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32，－12 解析：选C 将点的坐标代入方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ，y ＝sin 2θ，解θ的值．若有解，则该点在曲线上．2．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋t ，y ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )A ．|t 1|B ．2|t 1| C.2|t 1| D.22|t 1| 解析：选C ∵P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )， ∴|P 1P |＝（a ＋t 1－a ）2＋（b ＋t 1－b ）2＝t 21＋t 21＝2|t 1|.3．已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋4cos θ，y ＝5tan θ－3(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M (14，a )在曲线C 上，则a ＝( )A ．－3－5 3B ．－3＋5 3C ．－3＋53 3D ．－3－53 3解析：选A ∵(14，a )在曲线C 上，∴⎩⎨⎧14＝6＋4cos θ， ①a ＝5tan θ－3. ②由①得：cos θ＝12，又π≤θ＜2π.∴sin θ＝－1－（12）2＝－32，∴tan θ＝－ 3.∴a ＝5·(－3)－3＝－3－5 3.4．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝－2(t 为参数)所表示的曲线是( )A ．一条射线B ．两条射线C ．一条直线D ．两条直线解析：选B 因为x ＝t ＋1t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，即x ≤－2或x ≥2，故是两条射线． 二、填空题5．由方程x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0(t 为参数)所表示的一族圆的圆心的轨迹的参数方程为________．解析：由x 2＋y 2－4tx －2ty ＋3t 2－4＝0得： (x －2t )2＋(y －t )2＝4＋2t 2.设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)6．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )．点M (5，4)在该曲线上，则常数a ＝________．解析：∵点M (5，4)在曲线C 上∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1.∴a 的值为1.答案：17．曲线(x －1)2＋y 2＝4上点的坐标可以表示为________(填序号)． ①(－1＋cos θ，sin θ)，②(1＋sin θ，cos θ)， ③(－1＋2cos θ，2sin θ)，④(1＋2cos θ，2sin θ)解析：分别将①、②、③、④代入曲线(x －1)2＋y 2＝4验证可知，只有④使方程成立． 答案：④8．动点M 作匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，运动开始时，点M 位于A (1，1)，则点M 的参数方程为________．解析：设M (x ，y )，则在x 轴上的位移为：x ＝1＋9t ，在y 轴上的位移为y ＝1＋12t .∴参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数)三、解答题9．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s ，运动开始时质点位于A (2，0)，试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程．解：如图，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ又θ＝π60·t ，故参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos π60t ，y ＝2sin π60t (t 为参数)．10．过M (0，1)作椭圆x 2＋y 24＝1的弦，试求弦中点的轨迹的参数方程．解：设过M (0，1)的弦所在的直线方程为y ＝kx ＋1，其与椭圆的交点为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，设中点P (x ，y )则有：x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＋y 24＝1得：(k 2＋4)y 2－8y ＋4－4k 2＝0 ∴y 1＋y 2＝8k 2＋4，x 1＋x 2＝－2k k 2＋4.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k k 2＋4，y ＝4k 2＋4. (k 为参数)这就是以动弦斜率k 为参数的动弦中点的轨迹的参数方程．11．舰A 在舰B 的正东，距离6千米；舰C 在舰B 的北偏西30°，距离4千米．它们准备围捕海中某动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 于是发射麻醉炮弹，假设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹初速度为 203g3千米/秒，其中g 为重力加速度，空气阻力不计，求舰A 炮击的方位角与仰角．解：以BA 为x 轴，BA 中垂线为y 轴建立直角坐标系(如图)，则B (－3，0)，A (3，0)，C (－5，23)．设海中动物为P (x ，y )．因为|BP |＝|CP |，所以P 在线段BC 的中垂线上，易知中垂线方程是y ＝33(x ＋7)．又|PB |－|P A |＝4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上，双曲线方程是x 24－y 25＝1.从而得P (8，53)．设∠xAP ＝α，则tan α＝k AP ＝3，∴α＝60°，这样炮弹发射的方位角为北偏东30°.再以A 为原点，AP 为x ′轴建立坐标系x ′Ay ′，(如图)．|P A |＝10，设弹道曲线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝v 0t cos θ，y ′＝v 0t sin θ－12gt 2，(其中θ为仰角)将P (10，0)代入，消去t 便得sin 2θ＝32，θ＝30°或60°这样舰A 发射炮弹的仰角为30°或60°.。

第1课时 圆的极坐标方程[核心必知]1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程．2．圆的极坐标方程圆心为C (a ，0)(a >0)半径为a 的圆的极坐标方程为ρ＝2a cos_θ．[问题思考]1．在直角坐标系中，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程．那么，在极坐标系中，曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程？提示：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ＝θ，设点P 的一极坐标为(π4，π4)，那么点P 适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标(π4，9π4)就不适合方程ρ＝θ了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．2．圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是什么？圆心在点⎝⎛⎭⎫a ，π2处且过极点的圆的方程又是什么？提示：圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r ；圆心在点(a ，π2)处且过极点的圆的方程为ρ＝2a sin_θ(0≤θ≤π)．设一个直角三角形的斜边长一定，求直角顶点轨迹的极坐标方程．[精讲详析]本题考查极坐标方程的求法，解答此题需要根据题目特点建立恰当的极坐标系，然后再求直角顶点的轨迹方程．设直角三角形的斜边为OD，它的长度是2r，以O为极点，OD所在射线为极轴，建立极坐标系，如图所示：设P(ρ，θ)为轨迹上的一点，则OP＝ρ，∠xOP＝θ.在直角三角形ODP中，OP＝OD·cos θ，∵OP＝ρ，OD＝2r，∴ρ＝2r cos θ(ρ≠0，ρ≠2r)．这就是所求轨迹的方程．(1)求曲线的极坐标方程的步骤如下：①建立适当的极坐标系．②设P(ρ，θ)是曲线上任一点．③列出ρ，θ的关系式．④化简整理．(2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的，因此，建立极坐标方程常常可以在一个三角形中实现，找出这样的三角形便形成了解题的关键．1．设M 是定圆O 内一定点，任作半径OA ，连接MA ，过M 作MP ⊥MA 交OA 于P ，求P 点的轨迹方程．解：以O 为极点，射线OM 为极轴，建立极坐标系，如图． 设定圆O 的半径为r ，OM ＝a ，P (ρ，θ)是轨迹上任意一点． ∵MP ⊥MA ，∴|MA |2＋|MP |2＝|P A |2.由余弦定理，可知|MA |2＝a 2＋r 2－2ar cos θ，|MP |2＝a 2＋ρ2－2aρcos θ.而|P A |＝r －ρ，由此可得a 2＋r 2－2ar cos θ＋a 2＋ρ2－2aρcos θ＝(r －ρ)2.整理化简，得ρ＝a （a －r cos θ）a cos θ－r.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程． [精讲详析]在圆周上任取一点P (如图) 设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知：CP 2＝OP 2＋OC 2－2OP ·OC cos ∠COP ，∴r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．故其极坐标方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos (θ－θ0)．(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况，其求解过程同曲线的极坐标方程的求法．(2)特别地，当圆心在极轴上即θ0＝0时，方程为r 2＝ρ20＋ρ2－2ρρ0cos θ；若再有ρ0＝r ，则其方程为ρ＝2ρ0cos θ＝2r cos θ；若ρ0＝r ，θ0≠0，则方程为ρ＝2r cos(θ－θ0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置．2．在极坐标系中，已知圆C 的圆心为⎝⎛⎭⎫3，π3，半径为3，Q 点在圆周上运动．(1)求圆C 的极坐标方程； (2)若P 是OQ 中点，求P 的轨迹． 解：(1)如图，设Q (ρ，θ)为圆上任意一点，连接DQ 、OQ ， 则|OD |＝6， ∠DOQ ＝π3－θ，或∠DOQ ＝θ－π3，∠DQO ＝π2.在Rt △ODQ 中，|OQ |＝|OD |cos (θ－π3)， 即ρ＝6cos (θ－π3)．(2)若P 的极坐标为(ρ，θ)，则Q 点的极坐标为(2ρ，θ)． ∴2ρ＝6cos (θ－π3)，∴ρ＝3cos (θ－π3)．∴P 的轨迹是圆.进行直角坐标方程与极坐标方程的互化 (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0；(3)ρcos 2θ2＝1；(4)ρ2cos 2θ＝4；(5)ρ＝12－cos θ.[精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式． (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ， 得(ρsin θ)2＝4ρcos θ. 化简，得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0， 得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0， 化简，得ρ2－2ρcos θ－1＝0. (3)∵ρcos 2θ2＝1，∴ρ·1＋cos θ2＝1，即ρ＋ρcos θ＝2.∴x 2＋y 2＋x ＝2.化简，得y 2＝－4(x －1)． (4)∵ρ2cos 2θ＝4，∴ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (5)∵ρ＝12－cos θ，∴2ρ－ρcos θ＝1. ∴2x 2＋y 2－x ＝1.化简，得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．3．把极坐标方程ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝1化为直角坐标方程．解：由ρcos (θ－π6)＝1得32ρcos θ＋12ρsin θ＝1，将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得32x ＋y2＝1，即3x ＋y －2＝0.利用圆的极坐标方程求圆心、半径，再利用圆心、半径解决问题，是高考命题的重点题型之一．湖南高考以填空题的形式考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考命题的一个新亮点．[考题印证](湖南高考)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________．[命题立意] 本题考查将圆的极坐标方程化为直角坐标方程的方法． [解析] ∵ρ＝2sin θ， ∴ρ2＝2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2y ，即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2y ＝0一、选择题1．(北京高考)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫1，π2B.⎝⎛⎭⎫1，－π2C ．(1，0)D ．(1，π)解析：选B 因为该圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心的直角坐标方程为(0，－1)，化为极坐标是(1，－π2)．2．极坐标方程ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选D ∵ρ＝cos (π4－θ)＝22cos θ＋22sin θ，ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，∴x 2＋y 2＝22x ＋22y ，这个方程表示一个圆． 3．在极坐标方程中，曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点⎝⎛⎭⎫4，π6作曲线C 的切线，则切线长为( )A ．4 B.7 C ．22 D ．2 3解析：选C ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，点(4，π6)化为直角坐标为(23，2)，切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形，由勾股定理：切线长为（23）2＋（2－2）2－22＝2 2.4．(安徽高考)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π3到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )A ．2 B. 4＋π29C.1＋π29D. 3解析：选D 由⎩⎨⎧x ＝ρcos θ＝2cos π3＝1y ＝ρsin θ＝2sin π3＝3可知，点(2，π3)的直角坐标为(1，3)，圆ρ＝2cos θ的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，则圆心到点(1，3)的距离为 3.二、填空题5．(江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ⇒x 2＋y 2＝2y ＋4x ⇒x 2＋y 2－4x －2y ＝0.答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝06．在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C ⎝⎛⎭⎫2，π3，半径R ＝5，则圆C 的极坐标方程为________．解析：将圆心C (2，π3)化成直角坐标为(1，3)，半径R ＝5，故圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝5. 再将C 化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－3)2＝5.化简，得ρ2－4ρcos (θ－π3)－1＝0，此即为所求的圆C 的极坐标方程．答案：ρ2－4ρcos (θ－π3)－1＝07．(天津高考)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 圆心为C, 点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，则|CP |＝________．解析：圆ρ＝4cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，圆心C (2，0)．点P 的直角坐标为(2，23)，所以|CP |＝2 3.答案：2 38．已知曲线C 与曲线ρ＝53cos θ－5sin θ关于极轴对称，则曲线C 的极坐标方程是________．解析：曲线ρ＝53cos θ－5sin θ＝10cos (θ＋π6)，它关于极轴对称的曲线为ρ＝10cos (－θ＋π6)＝10cos (θ－π6)．答案：ρ＝10cos (θ－π6)三、解答题 9.如图，在圆心极坐标为A (4，0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．解：设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点，连接OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0， 所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ，故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ. 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，即x 2＋y 2－4x ＝0为轨迹的直角坐标方程．10．指出极坐标方程ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3，ρ＝2cos θ代表的曲线，并指出它们之间的关系．解：ρ＝2cos (θ＋π3)是以点(1，－π3)为圆心，半径为1的圆．ρ＝2cos (θ－π3)是以点(1，π3)为圆心，半径为1的圆． ρ＝2cos θ是以点(1，0)为圆心，半径为1的圆．因此曲线ρ＝2cos (θ＋π3)，可看成曲线ρ＝2cos θ绕极点顺时针旋转π3得到的曲线．ρ＝2cos (θ－π3)是由曲线ρ＝2cos θ绕极点逆时针旋转π3得到的曲线．11．已知半径为R 的定圆O ′外有一定点O ，|OO ′|＝a (a >R )，P 为定圆O ′上的动点，以OP 为边作正三角形OPQ (O 、P 、Q 按逆时针方向排列)，求Q 点的轨迹的极坐标方程．解：如图所示，以定点O 为极点，射线OO ′为极轴正向建立极坐标系， 则⊙O ′的极坐标方程是ρ2－(2a cos θ)ρ＋a 2－R 2＝0. 设Q (ρ，θ)，则有P (ρ，θ－π3)，又P 在⊙O ′上，∴ρ2－[2a cos (θ－π3)]ρ＋a 2－R 2＝0.即所求Q 点的轨迹方程是：ρ2－2aρcos (θ－π3)＋a 2－R 2＝0.。

[核心必知]1．渐开线的概念及产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)．[问题思考]1．渐开线方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r 是指基圆的半径，参数φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角．2．摆线的参数方程中，字母r 和参数φ的几何意义是什么？提示：字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．[精讲详析] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法，解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式，然后将相关字母的取值代入即可．以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧AM 0︵的长和线段AM x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0︵＝4θ作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB (4cos θ，4sinθ)，由几何知识知∠MAB ＝θ＝(4θsin θ，－4θcos θ)，＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4（cos θ＋θsin θ），y ＝4（sin θ－θcos θ），这就是所求圆的渐开线的参数方程．解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上．用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y )． (2)取定运动中产生的某一角度为参数．(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式．(4)1．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角． ∵直径为10，∴半径r ＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5（cos φ＋φsin φ），y ＝5（sin φ－φcos φ），这就是所求的圆的渐开线的参数方程．求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M 在原点O 处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)[精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法．解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式，然后将相关数据代入即可．当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 的长和圆弧AM ︵的长相等，它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)．(2α，2)，(2sin α，2cos α)(－2sin α，－2cos α)，(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．动点M 的坐标为(x ，y )(x ，y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（α－sin α），y ＝2（1－cos α）.这就是所求摆线的参数方程．2．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：x M ＝r ·θ－r ·cos [(φ＋θ)－π2]＝r [θ－sin (φ＋θ)]，y M ＝r ＋r ·sin (φ＋θ－π2)＝r [1－cos (φ＋θ)]． ∴点M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r [θ－sin （φ＋θ）]，y ＝r [1－cos （φ＋θ）].(θ为参数)设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上点的纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴．[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用．解答本题需要先分析题意，搞清M 点的轨迹的形状，然后借助图象求得最值．轨迹曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ），(0≤t ≤2π)即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 曲线的对称轴为x ＝8π.—————————————摆线的参数方程是三角函数的形式，可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方．3．当φ＝π2、π时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上对应的点A 、B ，并求出A 、B 间的距离．解：将φ＝π2代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π2＋π2·sin π2＝0＋π2＝π2，y ＝sin π2－π2·cos π2＝1.∴A (π2，1)．将φ＝π，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ，得x ＝cos π＋π·sin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π. ∴B (－1，π)．∴|AB |＝（π2＋1）2＋（1－π）2 ＝54π2－π＋2.本课时考点是圆的渐开线或摆线的参数方程的应用，近几年的高考题中还未出现过．本考题以填空题的形式对圆的摆线的参数方程的应用进行了考查，属低档题．[考题印证]摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝1－cos t (0≤t ≤2π)与直线y ＝1的交点的直角坐标为________．[命题立意] 本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义． [解析] 由题设得1＝1－cos t ，解得t 1＝π2，t 2＝32π.对应交点的坐标为⎩⎨⎧x 1＝π2－1，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝32π＋1，y 2＝1，交点为(π2－1，1)，(32π＋1，1)．答案：(π2－1，1)，(32π＋1，1)一、选择题1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( )A ．只有圆才有渐开线B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C ．正方形也可以有渐开线D ．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 解析：选C 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同．对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同．2.⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5（φ－sin φ），y ＝5（1－cos φ）(φ为参数)表示的是( ) A ．半径为5的圆的渐开线的参数方程 B ．半径为5的圆的摆线的参数方程 C ．直径为5的圆的渐开线的参数方程 D ．直径为5的圆的摆线的参数方程解析：选B 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B 正确．3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫3π2，2之间的距离为( ) A.π2－1 B. 2 C.10 D.3π2－1 解析：选C 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)， 把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎨⎧x ＝3（π2－1），y ＝3，即A (3(π2－1)，3)．∴|AB |＝[3（π2－1）－3π2]2＋（3－2）2＝10.4．已知一个圆的摆线过点(1，0)，则摆线的参数方程为( ) A.⎩⎨⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1－cos φ）B.⎩⎨⎧x ＝1k π（φ－sin φ），y ＝1k π（1－cos φ）C.⎩⎨⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1＋cos φ）D.⎩⎨⎧x ＝1k π（φ－sin φ），y ＝1k π（1－cos φ）解析：选A 圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ），令r (1－cos φ)＝0，得：φ＝2k π，代入x ＝r (φ－sin φ)， 得：x ＝r (2k π－sin 2k π)，又过(1，0)， ∴r (2k π－sin 2k π)＝1，∴r ＝12k π， 又r ＞0，∴k ∈N ＋. 二、填空题5．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y＝22－2π8，由此可得对应的坐标为(22＋2π8，22－2π8)． 答案：2 (22＋2π8，22－2π8) 6．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________． 解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ）(φ为参数)7．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________．解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为(12x )2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆．c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．答案：(63，0)和(－63，0)8．圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝2（cos t ＋t sin t ），y ＝2（sin t －t cos t ）上与t ＝π4对应的点的直角坐标为________．解析：对应点的直角坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos π4＋π4sin π4）＝2（22＋π4·22）＝1＋π4y ＝2（sin π4－π4·cos π4）＝2（22－π4·22）＝1－π4∴t ＝π4对应的点的直角坐标为(1＋π4，1－π4)．答案：(1＋π4，1－π4)三、解答题9．半径为r 的圆沿直轨道滚动，M 在起始处和原点重合，当M 转过53π和72π时，求点M 的坐标．解：由摆线方程可知：φ＝53π时，x M ＝10π＋336r ，y M ＝12r ；φ＝72π时，x M ＝12r (7π＋2)，y M ＝r .∴点M 的坐标分别是(10π＋336，12r )、(12r (7π＋2)，r )．10.如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，求曲线AEFGH 的长．解：根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.11．已知圆C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α(α为参数)，直线l 的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程． (3)求摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的．(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是23 ⎩⎪⎨⎪⎧x＝6φ－6sin φ，y＝6－6cos φ，(φ为参数)．(3)令y＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)．代入x＝6φ－6sin φ，得x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z)．。

【人教A 版】2017-2018学年高中数学选修4-1创新应用教学案[对应学生用书P16]近两年高考中，由于各地的要求不同，所以试题的呈现形式也不同．但都主要考查相似三角形的判定与性质，射影定理，平行线分线段成比例定理；一般试题难度不大，解题中要注意观察图形特点，巧添辅助线对解题可起到事半功倍的效果．在使用平行线分线段成比例定理及其推论时，一定要搞清有关线段或边的对应关系，切忌搞错比例关系．1.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，CD ＝2，E ，F 分别为AD ，BC 上的点，且EF ＝3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．解析：由CD ＝2，AB ＝4，EF ＝3， 得EF ＝12(CD ＋AB )，∴EF 是梯形ABCD 的中位线，则梯形ABFE 与梯形EFCD 有相同的高，设为h ， 于是两梯形的面积比为 12(3＋4)h ∶12(2＋3)h ＝7∶5. 答案：7∶52.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E .若AB＝3AD ，则CEEO的值为________．解析：连接AC ，BC ，则∠ACB ＝90°. 设AD ＝2，则AB ＝6，于是BD ＝4，OD ＝1.如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ＝8，则CD ＝2 2. 在Rt △OCD 中，DE ＝OD ·CD OC ＝1×223＝223.则CE ＝DC 2－DE 2＝ 8－89＝83， EO ＝OC －CE ＝3－83＝13.因此CE EO ＝8313＝8.答案：8[对应学生用书P16]平行线分线段相关定理线段所呈现的规律，主要用来证明比例式成立、证明直线平行、计算线段的长度，也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法，其中，平行线等分线段定理是线段的比为1的特例．[例1] 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DH ∥GC . 求证：EG ∥BH . [证明] ∵DE ∥BC ， ∴AE AC ＝AD AB. ∵DH ∥GC ，∴AH AC ＝ADAG .∴AE ·AB ＝AC ·AD ＝AH ·AG . ∴AE AH ＝AGAB.∴EG ∥BH . [例2] 如图，直线l 分别交△ABC 的边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，且AF ＝13AB ，BD ＝52BC ，试求ECAE.[解] 作CN ∥AB 交DF 于点N ，并作EG ∥AB 交BC 于点G ，由平行截割定理，知BF CN ＝DB DC ，CN AF ＝ECAE， 两式相乘，得BF CN ·CN AF ＝DB DC ·ECAE ，即EC AE ＝BF AF ·DC DB. 又由AF ＝13AB ，得BFAF ＝2，由BD ＝52BC ，得DC DB ＝35，所以EC AE ＝2×35＝65.相似三角形的判定与性质常广泛，涉及到多种题型，可用来计算线段、角的大小，也可用来证明线段、角之间的关系，还可以证明直线之间的位置关系．其中，三角形全等是三角形相似的特殊情况．[例3] 如图所示，AD 、CF 是△ABC 的两条高线，在AB 上取一点P ，使AP ＝AD ，再从P 点引BC 的平行线与AC 交于点Q .求证：PQ ＝CF .[证明] ∵AD 、CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB ＝∠BFC ＝90°. 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBF . ∴AD CF ＝ABCB. 又∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC . ∴PQ BC ＝AP AB .∴AP PQ ＝AB BC .∴AD CF ＝AP PQ. 又∵AP ＝AD ，∴CF ＝PQ .[例4] 四边形ABCD 中，AB ∥CD ，CE 平分∠B CD ，CE ⊥AD 于点E ，DE ＝2AE ，若△CED 的面积为1，求四边形ABCE 的面积．[解] 如图，延长CB 、DA 交于点F ，又CE 平分∠BCD ，CE ⊥AD .∴△FCD 为等腰三角形，E 为FD 的中点． ∴S △FCD ＝12FD ·CE＝12×2ED ·CE ＝2S △CED ＝2， EF ＝ED ＝2AE . ∴F A ＝AE ＝14FD .又∵AB ∥CD ， ∴△FBA ∽△FCD . ∴S △FBA S △FCD ＝(F A FD)2＝(14)2＝116.∴S △FBA ＝116×S △FCD ＝18. ∴S 四边形ABCE ＝S △FCD －S △CED －S △FBA ＝2－1－18＝78.射影定理为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．[例5] 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥AB于F .求证：CE 2＝BD ·DF .[证明] ∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC .∴BD CE ＝AB AC .同理：CD ∥EF ，∴CE DF ＝ACAD .∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ， ∴AC 2＝AD ·AB . ∴AC AD ＝ABAC . ∴CE DF ＝BD CE. ∴CE 2＝BD ·DF .[对应学生用书P41] (时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，已知AA ′∥BB ′∥CC ′，AB ∶BC ＝1∶3，那么下列等式成立的是( )A ．AB ＝2A ′B ′ B ．3A ′B ′＝B ′C ′ C ．BC ＝B ′C ′D ．AB ＝A ′B ′解析：∵AA ′∥BB ′∥CC ′，∴AB BC ＝A ′B ′B ′C ′＝13.∴3A ′B ′＝B ′C ′. 答案：B2.如图，∠ACB ＝90°.CD ⊥AB 于D ，AD ＝3、CD ＝2，则AC ∶BC 的值是( )A ．3∶2B ．9∶4C.3∶ 2D.2∶ 3解析：Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴AC BC ＝AD CD ＝32.答案：A3．在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，若BD ＝3 cm ，AC ＝ 2 cm ，则CD 和BC的长分别为( )A. 3 cm 和3 2 cm B ．1 cm 和 3 cm C ．1 cm 和3 2 cm D. 3 cm 和2 3 cm 解析：设AD ＝x ，则由射影定理得x (x ＋3)＝4， 即x ＝1(负值舍去)， 则CD ＝AD ·BD ＝3(cm)， BC ＝BD ·AB ＝3(3＋1)＝23(cm)． 答案：D4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，DE 是△ACD 的高，且AC＝5，CD ＝2，则DE 的值为( )A.2215B.215C.3215D.2125解析：AC 2＝CD ·BC ， 即52＝2×BC ， ∴BC ＝252.∴AB ＝BC 2－AC 2＝ 2524－52＝5212. ∵DE AB ＝DC BC ，∴DE ＝2215. 答案：A5．如图所示，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC ；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①由∠B ＝∠ACD ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；②由∠ADC ＝∠ACB ，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似；③AC CD ＝ABBC ，而夹角不一定相等，所以两个三角形不一定相似；④AC 2＝AD ·AB 可得AC AD ＝ABAC，再加上公共角∠A ＝∠A ，可得两个三角形相似．答案：C6.如图，DE ∥BC ，S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8，则AD ∶DB 的值为( )A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶5解析：由S △ADE ∶S 四边形DBCE ＝1∶8 得S △ADE ∶S △ABC ＝1∶9. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC . ∴(ADAB )2＝S △ADE S △ABC ＝19. ∴AD AB ＝13，AD DB ＝12. 答案：C7．△ABC 和△DEF 满足下列条件，其中不一定使△ABC 与△DEF 相似的是( ) A ．∠A ＝∠D ＝45°38′，∠C ＝26°22′，∠E ＝108° B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16 C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝c D ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40° 解析：A 中∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ＝108°， ∴△ABC ∽△DEF ；B 中AB ∶AC ∶BC ＝EF ∶DE ∶DF ＝2∶3∶4； ∴△ABC ∽△EFD ； D 中AB AC ＝DEDF，∠A ＝∠D ， ∴△ABC ∽△DEF ；而C 中不能保证三边对应成比例． 答案：C8．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°.CD ⊥AB 于D .若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( ) A.14B.13C.12D ．2解析：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶4. 令BD ＝x ，则AD ＝4x (x >0)， ∴CD 2＝4x 2，∴CD ＝2x ，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 答案：C9.在▱ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ∶CE ＝2∶3，连接AE 、BE 、BD 且AE 、BD 交于点F ，则S △DEF ∶S △EBF ∶S △ABF ＝( )A ．4∶10∶25B ．4∶9∶25C ．2∶3∶5D ．2∶5∶25解析：∵AB ∥CD ， ∴△ABF ∽△EDF . ∴DE AB ＝DF FB ＝25. ∴S △DEF S △ABF ＝(25)2＝425.又△DEF 和△BEF 等高． ∴S △DEF S △EBF ＝DF FB ＝25＝410. 答案：A10．如图，已知a ∥b ，AF BF ＝35，BCCD ＝3.则AE ∶EC ＝( )A.125 B.512 C.75D.57解析：∵a ∥b ，∴AE EC ＝AG CD ，AF BF ＝AGBD .∵BCCD ＝3，∴BC ＝3CD ，∴BD ＝4CD . 又AF BF ＝35， ∴AG BD ＝AF BF ＝35.∴AG 4CD ＝35.∴AG CD ＝125. ∴AE EC ＝AG CD ＝125. 答案：A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．如图，D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长∶△ABC 的周长等于________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵BD ＝2AD ，∴AB ＝3AD .∴AD AB ＝13. ∴△ADE 的周长△ABC 的周长＝AD AB ＝13.答案：1312．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ∶AC ＝3∶5，DE ＝6，则BF ＝________.解析：∵DE ∥BC ， ∴DE BC ＝AE AC ，∴BC ＝DE ·AC AE ＝6×53＝10， 又DF ∥AC ，∴DE ＝FC ＝6. ∴BF ＝BC －FC ＝4. 答案：413．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，BE 与CD 相交于点O ，直线AO 与DE 、BC 分别交于N 、M ，若DN ∶MC ＝1∶4，则NE ∶BM ＝________，AE ∶EC ＝________.解析：OD OC ＝DN MC ＝14，∴OE OB ＝OD OC ＝14. ∴NE BM ＝OE OB ＝14. 又DE BC ＝OD OC ＝14， ∴AE AC ＝DE BC ＝14. ∴AE ∶EC ＝1∶3. 答案：1∶4 1∶314．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7 m 宽的亮区(如图所示)，已知亮区一边到窗下的墙角距离CE ＝8.7 m ，窗口高AB ＝1.8 m ，那么窗口底边离地面的高BC 等于________m.解析：∵BD ∥AE ，∴BCAB ＝CDDE .∴BC ＝AB ·CDDE.∵AB ＝1.8 m ，DE ＝2.7 m ，CE ＝8.7 m ， ∴CD ＝CE －DE ＝8.7－2.7＝6(m)． ∴BC ＝1.8×62.7＝4(m)．答案：4三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，BC 的中点为D ，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点M 、N .求证：MN ∥BC .证明：∵MD 平分∠ADB ， ∴AD BD ＝AM MB. ∵ND 平分∠ADC ，∴AD DC ＝ANNC .∵BD ＝DC ， ∴AM MB ＝AD BD ＝AD DC ＝AN NC. ∴MN ∥BC .16．(本小题满分12分)如图，已知：△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：BP 2＝PE ·PF .证明：连接PC ，∵AB ＝AC ，AD 是中线， ∴AD 是△ABC 的对称轴， 故PC ＝PB ， ∠PCE ＝∠ABP . ∵CF ∥AB ， ∴∠PFC ＝∠ABP ， 故∠PCE ＝∠PFC ，∵∠CPE ＝∠FPC ， ∴△EPC ∽△CPF ， 故PC PF ＝PE PC， 即PC 2＝PE ·PF ， ∴BP 2＝PE ·PF .17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是BD 上任意一点，过P 点的直线分别交AB 、DC 于E 、F ，交DA 、BC 的延长线于G 、H .(1)求证：PE ·PG ＝PF ·PH ；(2)当过P 点的直线绕点P 旋转到F 、H 、C 重合时，请判断PE 、PC 、PG 的关系，并给出证明．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴PE PF ＝PB PD .∵AD ∥BC ，∴PH PG ＝PBPD ，∴PE PF ＝PHPG.∴PE ·PG ＝PH ·PF . (2)关系式为PC 2＝PE ·PG .证明：由题意可得到右图， ∵AB ∥CD ， ∴PE PC ＝PBPD. ∵AD ∥BC ，∴PC PG ＝PBPD .∴PE PC ＝PCPG，即PC 2＝PE ·PG . 18．(本小题满分14分)某生活小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块上、下两底分别为10 m 、20 m 的梯形空地上种植花木(如图)．(1)他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单位为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后(图中阴影部分)共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用；(2)若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？解：(1)∵四边形ABCD 为梯形，∴AD ∥BC . ∴△AMD ∽△CMB ，∴S △AMD S △CMB ＝(AD BC )2＝14.∵种植△AMD 地带花费160元， ∴S △AMD ＝1608＝20(m 2)．∴S △CMB ＝80(m 2)．∴△CMB地带的花费为80×8＝640元．(2)S△ABMS△AMD ＝BMDM＝BCAD＝2，∴S△ABM＝2S△AMD＝40(m2)．同理：S△DMC＝40(m2)．所剩资金为：1600－160－640＝800元，而800÷(S△ABM＋S△DMC)＝10(元/m2)．故种植茉莉花刚好用完所筹集的资金．11。

1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是 已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y的最大值与最小值．将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题． 椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)．代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ0＝85.所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1．已知椭圆x 225＋y 216＝1，点A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．设P (5cos θ，4sin θ)，则 |PA |＝θ－2＋θ2＝9cos 2θ－30cos θ＋25＝θ－2＝|3cos θ－5|≤8，当cos θ＝－1时，|PA |最大．此时，sin θ＝0，点P 的坐标为(－5,0)．2．椭圆x 29＋y 24＝1上一动点P (x ，y )与定点A (a,0)(0＜a ＜3)之间的距离的最小值为1，求a 的值．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设动点P (3cos θ，2sin θ)，则 |PA |2＝(3cos θ－a )2＋4sin 2θ ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－35a 2－45a 2＋4. ∵0＜a ＜3，∴0＜35a ＜95.于是若0＜35a ≤1，则当cos θ＝35a 时，|PA |min ＝－45a 2＋4＝1，得a ＝152(舍去)； 若1＜35a ＜95，则当cos θ＝1时，由|PA |min ＝a 2－6a ＋9＝1，得|a －3|＝1，∴a ＝2，故满足要求的a 值为2.已知A ，B 分别是椭圆36＋9＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC的重心G 的轨迹方程．由条件可知，A ，B 两点坐标已知，点C 在椭圆上，故可设出点C 坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．由题意知A (6,0)，B (0,3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.消去参数θ得到x －24＋(y －1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．3．已知椭圆方程是x 216＋y 29＝1，点A (6,6)，P 是椭圆上一动点，求线段PA 中点Q 的轨迹方程．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．设P (4cos θ，3sin θ)，Q (x ，y )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋62，y ＝3sin θ＋62，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋3，y ＝32sin θ＋3(θ为参数)．∴9(x －3)2＋16(y －3)2＝36， 即为所求轨迹方程．4．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； (2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程． 解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4， 得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， 因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1.即为线段F 1P 中点的轨迹方程.已知椭圆4＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．利用参数方程，设出点M 的坐标，并由此得到直线MB 1，MB 2的方程，从而得到P ，Q 两点坐标，求出|OP |，|OQ |，再求|OP |·|OQ |的值．设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．5．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________．解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b ，得4sin θ＝2cos θ＋b . ∵恒有公共点，∴以上方程有解． 令f (θ)＝4sin θ－2cos θ ＝25sin(θ－φ)． ∴－25≤f (θ)≤2 5. ∴－25≤b ≤2 5. 答案：6．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a ＞b ＞0)上一点M 与两焦点F 1，F 2所成角为∠F 1MF 2＝α.求证：△F 1MF 2的面积为b 2tan α2.证明：∵M 在椭圆上，∴由椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 两边平方，得|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1||MF 2|＝4a 2. 在△F 1MF 2中，由余弦定理，得|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|cos α＝|F 1F 2|2＝4c 2. 由两式，得|MF 1|·|MF 2|＝b 2cos2α2.故S △F 1MF 2＝12|MF 1|·|MF 2|sin α＝b 2tan α2.课时跟踪检测(十) 一、选择题1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( )A ．π B.π2 C ．2π D.3π2解析：选A ∵点(－a,0)中x ＝－a ， ∴－a ＝a cos θ， ∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 2．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )A. 3 B ．－33C ．2 3D ．－2 3 解析：选C 点M 的坐标为(1,23)， ∴k OM ＝2 3.3．直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△PAB 的面积等于4，这样的点P 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选B 设椭圆上一点P 1的坐标为(4cos θ，3sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，如图所示，则S四边形P 1AOB ＝S △OAP 1＋S △OBP 1＝12×4×3sin θ＋12×3×4cos θ ＝6(sin θ＋cos θ)＝62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.当θ＝π4时，S 四边形P 1AOB 有最大值为6 2.所以S △ABP 1≤62－S △AOB ＝62－6＜4.故在直线AB 的右上方不存在点P 使得△PAB 的面积等于4，又S △AOB ＝6＞4，所以在直线AB 的左下方，存在两个点满足到直线AB 的距离为85，使得S △PAB ＝4.故椭圆上有两个点使得△PAB 的面积等于4.4．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2 解析：选B由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ，得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0,1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个． 二、填空题5．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为________．解析：椭圆的普通方程为x ＋24＋y －225＝1.∴c 2＝21，∴2c ＝221. 答案：2216．实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________． 解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12， 所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则 2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)， 其中sin φ＝45，cos φ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5. 答案：57．在直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆 O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为____________．解析：l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线l 与圆O 相切，得m ＝±2b .从而椭圆的一个焦点为(2b,0)，即c ＝2b ， 所以a ＝3b ，则离心率e ＝c a ＝63. 答案：63三、解答题8．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R)，求它们的交点坐标．解：将⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程，得x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入，得516t 4＋t 2－1＝0， 解得t 2＝45，∴t ＝255(∵y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54·45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.9．对于椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的1a，再把纵坐标缩短为原来的1b 即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．解：设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)，如果将该圆看成椭圆，那么在椭圆中对应的数值分别为a ＝b ＝r ， 所以c ＝a 2－b 2＝0， 则离心率e ＝ca＝0.即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标， 得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。

[核心必知]1．综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，又叫顺推证法或由因导果法．2．分析法证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．[问题思考]1．如何理解分析法寻找的是充分条件？提示：用分析法证题时，语气总是假定的，常用“欲证A只需证B”表示，说明只要B 成立，就一定有A成立，所以B必须是A的充分条件才行，当然B是A的充要条件也可．2．用综合法和分析法证明不等式有怎样的逻辑关系？提示：综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(逐步推演不等式成立的必要条件)，即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(步步寻求不等式成立的充分条件)，总之，综合法与分析法是对立统一的两种方法．已知a ，b ，c ∈R ＋，且互不相等，又abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.[精讲详析] 本题考查用综合法证明不等式，解答本题可从左到右证明，也可从右到左证明．由左端到右端，应注意左、右两端的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根号，脱去根号可通过a ＝1bc <1b ＋1c 2实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即可．法一：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， ∴a ＋b ＋c ＝1bc＋1ac＋1ab＜1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c.法二：∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2＞ abc 2＋a 2bc ＋ab 2c＝a ＋b ＋c ——————————————————(1)用综合法证明不等式时，主要利用基本不等式，函数的单调性以及不等式的性质等知识，在严密的演绎推理下推导出结论．(2)综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：①a 2≥0(a ∈R ②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有：a 2＋b 2≥2ab ，⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab .a 2＋b 2≥12(a ＋b )2.③若a ，b 为正实数，a ＋b 2≥ab .特别b a ＋ab ≥2.④a 2＋b 2＋c 2≥ab＋bc ＋ca .1．已知x ，y ，z 均为正数．求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .证明：因为x ，y ，z 均为正数． 所以x yz ＋y zx ＝1z (x y ＋y x )≥2z ，同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y ，当且仅当x ＝y ＝z 时， 以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .a ，b ∈R ＋，且2c >a ＋b .求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .[精讲详析] 本题考查分析法在证明不等式中的应用．解答本题需要对原不等式变形为－c 2－ab <a －c <c 2－ab ，然后再证明．要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab ，只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ，即证|a －c |＜c 2－ab ，两边平方得a 2－2ac ＋c 2＜c 2－ab ， 也即证a 2＋ab ＜2ac ，即a (a ＋b )＜2ac .∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＜2c ，∴a (a ＋b )＜2ac 显然成立． ∴原不等式成立． ——————————————————(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或很难发现条件与结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径．(2)对于无理不等式的证明，常采用分析法通过乘方将 其有理化，但在乘方的过程中，要注意其变形的等价性．(3)分析法证题的本质是从被证的不等式出发寻求使结论成立的充分条件，证明的关键是推理的每一步都必须可逆．2．已知x >0，y >0，求证：(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.证明：要证明(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13， 只需证(x 2＋y 2)3>(x 3＋y 3)2，即证x 6＋3x 4y 2＋3x 2y 4＋y 6>x 6＋2x 3y 3＋y 6， 即证3x 4y 2＋3x 2y 4>2x 3y 3. ∵x >0，y >0，∴x 2y 2>0， 即证3x 2＋3y 2>2xy . ∵3x 2＋3y 2>x 2＋y 2≥2xy ，∴3x 2＋3y 2>2xy 成立，∴(x 2＋y 2)12>(x 3＋y 3)13.已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，且b 2＝ac .求证：a 4＋b 4＋c 4＞(a 2－b 2＋c 2)2. [精讲详析] 本题考查综合法与分析法的综合应用．解答本题可先采用分析法将所要证明的不等式转化为较易证明的不等式，然后再用综合法证明．欲证原不等式成立，只需证a 4＋b 4＋c 4＞a 4＋b 4＋c 4－2a 2b 2＋2a 2c 2－2b 2c 2， 即证a 2b 2＋b 2c 2－a 2c 2＞0，∵b 2＝ac ，故只需证(a 2＋c 2)ac －a 2c 2＞0. ∵a 、c ＞0，故只需证a 2＋c 2－ac >0， 又∵a 2＋c 2>2ac ， ∴a 2＋c 2－ac >0显然成立． ∴原不等式成立． ——————————————————(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析与综合之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．3．若a ，b ，c 是不全相等的正数，求证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2＞lg a ＋lg b ＋lg c .证明：要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )， 即证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>a ·b ·c .又∵a ，b ，c 是不全相等的正数，∴由基本不等式得：a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ac >0，以上三式中由于a ，b ，c 不全相等， 故等号不同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>a ·b ·c . ∴lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a 2＞lg a ＋lg b ＋lg c .数学证明是数学高考的核心问题，有时单独考查，有时以解答题的一问出现，综合法是解决数学证明问题的基本方法，而分析法又为综合法的使用提供了思路，因此，综合法与分析法是解决数学证明问题的重要工具．[考题印证]设a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．[命题立意] 本题考查综合法的应用，考查学生分类讨论的思想和转化化归思想的应用．[证明] 由a ，b 是非负实数，作差得 a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )((a )5－(b )5)． 当a ≥b 时，a ≥b ， 从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·((a )5－(b )5)≥0； 当a <b 时，a <b ， 从而(a )5<(b )5，得(a －b )·((a )5－(b )5)>0. 所以a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．一、选择题1．设a ，b ∈R ＋，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A 、B 的大小关系是( ) A ．A ≥B B ．A ≤B C ．A ＞B D ．A ＜B解析：选C 用综合法(a ＋b )2＝a ＋2ab ＋b ， 所以A 2－B 2＞0. 又A ＞0，B ＞0， ∴A ＞B .2．已知a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．b 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0解析：选A ⎩⎨⎧ac <0，c <a ⇒⎩⎨⎧a >0，c <0.又b >c ，∴ab >ac ，故A 正确． ∵b －a <0，c <0，∴c (b －a )>0， 故B 错误．由b 2＝0，可验证C 不正确， 而ac <0，a －c >0， ∴ac (a －c )<0，故D 错误．3．设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞c ＞b B ．a ＞b ＞c C ．c ＞a ＞b D ．b ＞c ＞a解析：选A 构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )，由该函数在定义域内单调递减可得b ＜c ；又y ＝⎝⎛⎭⎫25x(x ∈R )与y ＝⎝⎛⎭⎫35x(x ∈R )之间有如下结论：当x ＞0时，有⎝⎛⎭⎫35x＞⎝⎛⎭⎫25x，故⎝⎛⎭⎫3525＞⎝⎛⎭⎫2525，所以a ＞c ，故a ＞c ＞b .4．已知a 、b 、c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( ) A ．S ≥2P B ．P <S <2P C ．S >P D ．P ≤S ＜2P解析：选D ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ， 即S ≥P .又三角形中|a －b |＜c ，∴a 2＋b 2－2ab ＜c 2， 同理b 2－2bc ＋c 2＜a 2，c 2－2ac ＋a 2＜b 2， ∴a 2＋b 2＋c 2<2(ab ＋bc ＋ca )，即S <2P . 二、填空题5．设a >2，x ∈R ，M ＝a ＋1a －2，N ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2，则M ，N 的大小关系是________．解析：∵a ＞2，∴M ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥2＋2＝4.∵x 2－2≥－2，∴N ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4，∴M ≥N . 答案：M ≥N6．设a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝⎝⎛⎭⎫1a －1·⎝⎛⎭⎫1b －1·⎝⎛⎭⎫1c －1，则M 的取值范围是________．解析：∵a ＋b ＋c ＝1， ∴M ＝⎝⎛⎭⎫1a －1·⎝⎛⎭⎫1b －1·⎝⎛⎭⎫1c －1 ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c a －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c b －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c c －1＝⎝⎛⎭⎫b a ＋c a ·⎝⎛⎭⎫a b ＋c b ·⎝⎛⎭⎫a c ＋b c ≥2bca 2·2ac b 2·2ab c 2＝8.即M 的取值范围是[8，＋∞)． 答案：[8，＋∞)7．已知a ＞0，b ＞0，若P 是a ，b 的等差中项，Q 是a ，b 的正的等比中项，1R 是1a ，1b 的等差中项，则P 、Q 、R 按从大到小的排列顺序为________．解析：由已知P ＝a ＋b2，Q ＝ab ，1R ＝1a ＋1b 2＝a ＋b 2ab，即R ＝2aba ＋b ，显然P ≥Q ，又2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ， ∴Q ≥R .∴P ≥Q ≥R . 答案：P ≥Q ≥R8．若不等式1a －b ＋1b －c ＋λc －a>0在条件a >b >c 时恒成立，则λ的取值范围是________．解析：不等式可化为1a －b ＋1b －c >λa －c .∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0， ∴λ<a －ca －b ＋a －cb －c恒成立．∵a －c a －b ＋a －c b －c ＝（a －b ）＋（b －c ）a －b ＋（a －b ）＋（b －c ）b －c ＝2＋b －c a －b ＋a －b b －c ≥2＋2＝4.∴λ<4.答案：(－∞，4) 三、解答题9．(新课标全国卷Ⅱ)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1， 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 10．已知a >b >0，求证：（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b. 证明：要证（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b， 只要证（a －b ）24a <a ＋b －2ab <（a －b ）24b， 即证⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2<(a －b )2<⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2， 即证0＜a －b 2a ＜a －b ＜a －b 2b ，即证a ＋b a <2<a ＋b b， 即证1＋b a <2<1＋a b ，即证 b a <1< a b成立． 因为a >b >0，所以a b >1，b a<1， 故 b a ＜1, a b ＞1成立， 所以有（a －b ）28a <a ＋b 2－ab <（a －b ）28b成立． 11．已知实数a 、b 、c 满足c ＜b ＜a ，a ＋b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1.求证：1＜a ＋b ＜43. 证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴欲证结论等价于1＜1－c ＜43，即－13＜c ＜0. 又a 2＋b 2＋c 2＝1，则有ab ＝（a ＋b ）2－（a 2＋b 2）2＝（1－c ）2－（1－c 2）2＝c 2－c .① 又a ＋b ＝1－c .②由①②得a 、b 是方程x 2－(1－c )x ＋c 2－c ＝0的两个不等实根，从而Δ＝(1－c )2－4(c 2－c )＞0，解得－13＜c ＜1.∵c＜b＜a，∴(c－a)(c－b)＝c2－c(a＋b)＋ab＝c2－c(1－c)＋c2－c＞0，解得c＜0或c＞23(舍)．∴－13＜c＜0，即1＜a＋b＜43.。