2015年上海市虹口区中考二模数学试题(扫描版)

数学试卷 共4页 第1页虹口区2015年初中毕业统一学业模拟考试数学试卷（时间100分钟，满分150分） 2015.4一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】1、下列运算中，正确的是………………………………………………………………………（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）336()x x =（C ）5510x x x +=（D ）5233()()ab ab a b -÷-=-2、下列根式中，与12为同类二次根式的是…………………………………………………（ ）（A ）4（B ）6（C ）3（D ）183、函数(1)y k x =-中，如果y 随着x 增大而增大，那么常数k 的取值范围是……………（ ）（A ）1k <（B ）1k ≤ （C ）1>k （D ）1k ≥ 4、下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是………………………………………（ ） （A ）等边三角形 （B ）线段（C ）等腰梯形（D ）正五边形5、下列命题中，真命题是………………………………………………………………………（ ） （A ）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （B ）对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 （C ）对角线互相平分且相等的四边形是菱形（D ）对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 6、已知半径分别是3和5的两个圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距d 的取值范围是（ ）（A ）8d >（B ）2d >（C ）02d <≤（D ）8d >或02d <≤二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7、计算：(2)a a b += ．8、不等式组2450x x >-⎧⎨-<⎩的解集是 ．9、因式分解：322a a a +-= ．10、如果一元二次方程2210kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是 ． 11、方程2x x +=-的根为 ．数学试卷 共4页 第2页12、函数1x y x =+的定义域是 ．13、将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是 ． 14、从1、2、3、4、5、6这六个数中任意取出一个数，取到的数能够被2整除的概率是 ． 15、如果一斜坡的坡度为1:3i =，某物体沿斜面向上推进了100米，那么物体升高了米．16、如图，点G 为ABC ∆的重心，MN 过点G 且MN BC ∥，设向量AB a =，AC b =，那么向量MN = ．（结果用a 、b 表示）．17、如图，O ⊙的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB CD =，已知2CE =，6ED =，那么O ⊙的半径长为 ．18、在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，1AC =，过点C 作直线l AB ∥，F 是l 上的一点，且AB AF =，那么点F 到直线BC 的距离为 ．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】 19、（本题满分10分）先化简，再求值：2239(1)x x x x---÷，其中31x =-A ·B C D O E （第17题图） AB C M N （第16题图） · G数学试卷 共4页 第3页20、（本题满分10分）解方程组：222421x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ ①②21、（本题满分10分，每小题5分）在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，90ABC ∠=︒，60DAB ∠=︒，2AB CD =，对角线AC 与BD 相交于点O ，线段OA ，OB 的中点分别为E ，F ．（1）求证：FOE DOC ∆∆≌； （2）求sin OEF ∠的值．22、（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）、（3）、（4）小题各2分）2011年4月，全县共有3500余名学生参加中考体育测试，为了了解九年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用A 、B 、C 、D 表示）四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表：请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：（1）m = ，n = ，x = ，y = ； （2）在扇形图中，C 等级所对应的圆心角是 度；（3）甲同学说：“我的立定跳远的成绩是此次抽样调查所得数据的中位数”．请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？ （填相应等级的字母）；（4）如果该校九年级共有500名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男生成绩等级达到优秀和良好的共有 人？等级 成绩（分） 频数（人数） 频率 A 90～100 19 0.38 B 75～89 m x C 60～74 n y D 60以下3 0.06 合计501.00O FED CBACAB 40% D（第21题图）数学试卷 共4页 第4页23、（本题满分12分，每小题6分）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ， 交AB 于E ，F 在DE 上，且AE AF =． （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当B ∠满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．24、（本题满分12分，每小题4分）如图，已知抛物线过点(0,6)A ，(2,0)B ，5(7,)2C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若D 是抛物线的顶点，E 是抛物线的对称轴与直线AC 的交点，F 与E 关于D 对称，求证：CFE AFE ∠=∠；（3）在y 轴上是否存在这样的点P ，使AFP ∆与FDC ∆相似，若有，请求出所有符合条件的点P 的坐标； 若没有，请说明理由．25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，5AB =．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB BC CP --于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒(0)t >．（1）在点P 从C 向A 运动的过程中，求APQ ∆的面积S 与t 之间的函数关系式（不必写出t 的取值范围）；（2）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，请求出t 的值；（第23题图）ABCD EF yxABODFCE（第24题图）数学试卷 共4页 第5页若不能，请说明理由；（3）当DE 经过点C 时，请你直接写出t 的值．试卷答案及评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．D ；2．C ；3．C ；4．B ；5．A ；6．D ． 二、填空题：（每题4分，满分48分）7. ab a 22+ 8. 52<<-x 9. )1)(2(-+a a a 10. 01≠<k k 且 11. 1- 12.1->x 13. 2)5(2+-=x y 或27102+-=x x y 14. 2115.50 16. )(32a b - 17. 52 18. 231+-或231+三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 解：原式=9)32(2-⨯--x xx x x x ……………………………………………2分 =)3)(3(3-+⨯-x x x x x ………………………………………………4分 =31+x ……………………………………………………………………1分 当13-=x 时，原式=231+=32-……………………………………3分20．（本题满分10分）解：由②得2()1x y -=…………………………………………………3分原方程组可化为 （Ⅰ）24,1;x y x y +=⎧⎨-=⎩24,1;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 或（Ⅱ）24,1;x y x y +=⎧⎨-=-⎩……………2分 由（Ⅰ）得⎩⎨⎧==12y x 24,1;x y x y +=⎧⎨-=⎩……………2分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3532y x （Ⅱ）得……………2分数学试卷 共4页 第6页所以原方程组为⎩⎨⎧==12y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3532y x ……………………………………………1分24,1;x y x y +=⎧⎨-=⎩21．（本题满分10分，每小题5分）证明：（1）∵EF 是OAB ∆的中位线1//,2EF AB EF AB ∴=……………………………………1分 1,//2CD AB CD AB =,//EF CD EF CD ∴=……………………………………1分∴∠OEF=∠OCD ……………………………………………1分 ∠OFE=∠ODC ……………………………………………1分 ∴△FOE ≌△DOC …………………………………………1分 （2）过点D 作DH 垂直AB ，垂足为H∵四边形ABCD 为直角梯形 ∴四边形DHBC 为矩形 ∵AB=2CD∴AH=CD ………………………………………………1分 在AHD Rt ∆中∵四边形ABCD 为直角梯形设=k AH =则60tan ⋅=AH DH∴k DH 3=………………………………………1分 ∴k BC 3= ∵EF//ABOEF CAB ∴∠=∠……………………………………1分 90ABC ∠=︒∵k BC AB AC 722=+=………………………1分∴721sin sin ==∠=∠AC BC CAB OEF ……………1分 22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）、（3）、（4）小题各2分）数学试卷 共4页 第7页（1）20， 8， 0.4， 0.16……………………………4分 （2）57.6…………………………………………………2分 （3）B ……………………………………………………2分 （4）390…………………………………………………2分 23．（本题满分12分，每小题6分） 证明：（1）由题意知∠FDC =∠DCA = 90°，∴EF ∥CA ………………………………………………1分 ∴∠AEF =∠EAC ………………………………………1分 ∵DE 垂直平分BC ∵AF = AE = CE∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA ………………………1分 又∵AE = EA ，∴△AEC ≌△EAF ………………………………………1分 ∴EF = CA ………………………………………………1分 ∴四边形ACEF 是平行四边形…………………………1分（2）当∠B=30°时，四边形ACEF 是菱形…………………………1分理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90° ∴AC=AB 21，……………1分 ∵DE 垂直平分BC ∴ BE=CE …………………………1分 又∵AE=CE ∴CE=AB 21………………………1分 ∴AC=CE ………………………………………………………1分 ∴四边形ACEF 是菱形………………………………………1分24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设经过A （0，6），B （2，0），C （7，52）三点的抛物线的解析式为 c bx ax y ++=2………………………………………1分则：642054972c a b c a b c ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩……………………………………………………1分数学试卷 共4页 第8页解得1,4, 6.2a b c ==-=………………………………………………1分 ∴ 此抛物线的解析式为 21462y x x =-+……………………………1分（2）过点A 作AM ∥x 轴，交FC 于点M ，交对称轴于点N.∵抛物线的解析式21462y x x =-+可变形为()21422y x =-- ∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D 的坐标为（4，－2），则AN=4. 设直线AC 的解析式为11y k x b =+,则有1116572b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得111,62k b =-=. ∴直线AC 的解析式为16.2y x =-+…………………………………1分 当x=4时，146 4.2y =-⨯+=∴点E 的坐标为（4，4）， ∵点F 与E 关于点D 对称，则点F 的坐标为（4，－8）……………1分 设直线FC 的解析式为22y k x b =+,则有222248572k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得227,222k b ==-. ∴直线FC 的解析式为722.2y x =- ∵AM 与x 轴平行，则点M 的纵坐标为6. 当y =6时，则有7226,2x -=解得x =8. ∴AM =8,MN=AM —MN=4 ∴AN =MN ∵FN ⊥AM ∴∠ANF=∠MNF 又NF=NF ∴△ANF ≌△MNF …………………………………………………1分 ∴∠CFE=∠AFE ……………………………………………………1分 （3）∵C 的坐标为（7，52），F 坐标为（4，－8）数学试卷 共4页 第9页∴()22535387422CF ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭∵A 的坐标为（0，6），∴()22684253FA =++=，又DF =6，∵EF ∥AO ，则有∠PAF=∠AFE 又由（2）可知∠DFC=∠AFE ∴∠PAF=∠DFC 若△AFP 1∽△FCD 则1P A AF DF CF =,即125363532P A =,解得P 1A=8…………………………1分 ∴O P 1=8－6=2 ∴P 1的坐标为（0，－2）……………………1分 若△AFP 2∽△FDC 则2P A AF CF DF =,即225363532P A =,解得P 2A=532……………………1分 ∴O P 2=532－6=412 ∴P 2的坐标为（0，－412）…………1分 所以符合条件的点P 的坐标有两个，分别是P 1（0，－2），P 2（0，－412）.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）如图，过点Q 作QF ⊥AC 于点F ∵ AQ = CP= t ，∴3AP t =-…………………1分 ∵QF//BC ∴QF AQBC AB=． ∴45QF t=．∴45QF t =………………………1分 ∴14(3)25S t t =-⋅……………………………1分 =22655t t -+………………………………1分（2）四边形QBED 能成为直角梯形．①如图，当DE ∥QB 时， ∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形…………1分ABCPQ DE数学试卷 共4页 第10页此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=. ∴335tt-=…………………………………………1分 解得98t =……………………………………………1分 ②如图，当PQ ∥BC 时， ∵DE ⊥PQ ， ∴DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．………………1分 此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得 .AQ APAB AC = 即353t t -=………………………………………………1分 解得158t =………………………………………………1分 （3）52t =或4514t =………………………………………4分试卷答案及评分参考一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．D ；2．C ；3．C ；4．B ；5．A ；6．D ． 二、填空题：（每题4分，满分48分）ABCPQ DEABC（第25题图）（备用图）ABCPQD E数学试卷 共4页 第11页7. ab a 22+ 8. 52<<-x 9. )1)(2(-+a a a 10. 01≠<k k 且 11. 1- 12.1->x 13. 2)5(2+-=x y 或27102+-=x x y 14. 2115.50 16. )(32a b - 17. 52 18. 231+-或231+三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分） 解：原式=9)32(2-⨯--x xx x x x ……………………………………………2分 =)3)(3(3-+⨯-x x x x x ………………………………………………4分 =31+x ……………………………………………………………………1分 当13-=x 时，原式=231+=32-……………………………………3分20．（本题满分10分）解：由②得2()1x y -=…………………………………………………3分原方程组可化为 （Ⅰ）24,1;x y x y +=⎧⎨-=⎩24,1;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 或（Ⅱ）24,1;x y x y +=⎧⎨-=-⎩……………2分 由（Ⅰ）得⎩⎨⎧==12y x 24,1;x y x y +=⎧⎨-=⎩……………2分 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3532y x （Ⅱ）得……………2分 所以原方程组为⎩⎨⎧==12y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3532y x ……………………………………………1分24,1;x y x y +=⎧⎨-=⎩21．（本题满分10分，每小题5分）数学试卷 共4页 第12页证明：（1）∵EF 是OAB ∆的中位线1//,2EF AB EF AB ∴=……………………………………1分 1,//2CD AB CD AB =,//EF CD EF CD ∴=……………………………………1分∴∠OEF=∠OCD ……………………………………………1分 ∠OFE=∠ODC ……………………………………………1分 ∴△FOE ≌△DOC …………………………………………1分 （2）过点D 作DH 垂直AB ，垂足为H∵四边形ABCD 为直角梯形 ∴四边形DHBC 为矩形 ∵AB=2CD∴AH=CD ………………………………………………1分 在AHD Rt ∆中∵四边形ABCD 为直角梯形设=k AH =则60tan ⋅=AH DH∴k DH 3=………………………………………1分 ∴k BC 3= ∵EF//ABOEF CAB ∴∠=∠……………………………………1分 90ABC ∠=︒∵k BC AB AC 722=+=………………………1分∴721sin sin ==∠=∠AC BC CAB OEF ……………1分 22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）、（3）、（4）小题各2分）（1）20， 8， 0.4， 0.16……………………………4分 （2）57.6…………………………………………………2分 （3）B ……………………………………………………2分 （4）390…………………………………………………2分 23．（本题满分12分，每小题6分）证明：（1）由题意知∠FDC =∠DCA = 90°，∴EF ∥CA ………………………………………………1分 ∴∠AEF =∠EAC ………………………………………1分数学试卷 共4页 第13页∵DE 垂直平分BC ∵AF = AE = CE∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA ………………………1分 又∵AE = EA ，∴△AEC ≌△EAF ………………………………………1分 ∴EF = CA ………………………………………………1分 ∴四边形ACEF 是平行四边形…………………………1分（2）当∠B=30°时，四边形ACEF 是菱形…………………………1分理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90° ∴AC=AB 21，……………1分 ∵DE 垂直平分BC ∴ BE=CE …………………………1分 又∵AE=CE ∴CE=AB 21………………………1分 ∴AC=CE ………………………………………………………1分 ∴四边形ACEF 是菱形………………………………………1分24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设经过A （0，6），B （2，0），C （7，52）三点的抛物线的解析式为 c bx ax y ++=2………………………………………1分则：642054972c a b c a b c ⎧⎪=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩……………………………………………………1分解得1,4, 6.2a b c ==-=………………………………………………1分 ∴ 此抛物线的解析式为 21462y x x =-+……………………………1分（2）过点A 作AM ∥x 轴，交FC 于点M ，交对称轴于点N.∵抛物线的解析式21462y x x =-+可变形为()21422y x =-- ∴抛物线对称轴是直线x =4，顶点D 的坐标为（4，－2），则AN=4. 设直线AC 的解析式为11y k x b =+,数学试卷 共4页 第14页则有1116572b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得111,62k b =-=.∴直线AC 的解析式为16.2y x =-+…………………………………1分 当x=4时，146 4.2y =-⨯+=∴点E 的坐标为（4，4）， ∵点F 与E 关于点D 对称，则点F 的坐标为（4，－8）……………1分 设直线FC 的解析式为22y k x b =+,则有222248572k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得227,222k b ==-. ∴直线FC 的解析式为722.2y x =- ∵AM 与x 轴平行，则点M 的纵坐标为6. 当y =6时，则有7226,2x -=解得x =8. ∴AM =8,MN=AM —MN=4 ∴AN =MN ∵FN ⊥AM ∴∠ANF=∠MNF 又NF=NF ∴△ANF ≌△MNF …………………………………………………1分 ∴∠CFE=∠AFE ……………………………………………………1分 （3）∵C 的坐标为（7，52），F 坐标为（4，－8） ∴()22535387422CF ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭∵A 的坐标为（0，6），∴()22684253FA =++=，又DF =6，∵EF ∥AO ，则有∠PAF=∠AFE 又由（2）可知∠DFC=∠AFE ∴∠PAF=∠DFC 若△AFP 1∽△FCD数学试卷 共4页 第15页则1P A AF DF CF =,即125363532P A =,解得P 1A=8…………………………1分 ∴O P 1=8－6=2 ∴P 1的坐标为（0，－2）……………………1分 若△AFP 2∽△FDC 则2P A AF CF DF =,即225363532P A =,解得P 2A=532……………………1分 ∴O P 2=532－6=412 ∴P 2的坐标为（0，－412）…………1分 所以符合条件的点P 的坐标有两个，分别是P 1（0，－2），P 2（0，－412）.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）如图，过点Q 作QF ⊥AC 于点F ∵ AQ = CP= t ，∴3AP t =-…………………1分 ∵QF//BC ∴QF AQBC AB=． ∴45QF t=．∴45QF t =………………………1分 ∴14(3)25S t t =-⋅……………………………1分 =22655t t -+………………………………1分（2）四边形QBED 能成为直角梯形．①如图，当DE ∥QB 时， ∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形…………1分 此时∠AQP=90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=. ∴335t t-=…………………………………………1分 解得98t =……………………………………………1分 ②如图，当PQ ∥BC 时， ∵DE ⊥PQ ， ∴DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．………………1分ABCPQ DEABCPQ D E数学试卷 共4页 第16页此时∠APQ =90°． 由△AQP ∽△ABC ，得 .AQ APAB AC= 即353t t -=………………………………………………1分 解得158t =………………………………………………1分 （3）52t =或4514t =………………………………………4分。

2015虹口二模Word版上海市虹口区2015届高三二模数学理试题 Word版含答案虹口区2015年数学学科（理科）高考练卷时间120分钟，满分150分。

2015年4月21日。

一、填空题（本大题满分56分）1.计算：$\frac{1+i}{1+i^2}$ = $\frac{1+i}{1-1}$ = $-i$2.已知函数$f(x)$ = $\begin{cases}2x。

(x\leq 1) \\ x。

(x>1)\end{cases}$，则$f(f(-3))$ = $f(2)$ = 43.函数$f(x)$ = $ln(\frac{1}{x}+1)$，则$f^{-1}(x)$ = $\frac{1}{1+e^{-x}}$4.已知正实数$x,y$满足$x+3y=1$，则$\frac{13x}{xy}$的最小值为$\frac{13}{9}$5.已知复数$z$ = $3sin\theta+icos\theta$，且$z$ = 5，且当$\theta$为钝角时，$tan\theta$ = $-\frac{4}{3}$6.在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，XXX同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么XXX同学的选科方案有20种。

7.设数列$\{a_n\}$前$n$项的和为$S_n$，若$a_1$ = 4，且$a_{n+1}$ = $3S_n$，则$S_n$ = $\frac{4(3^n-1)}{2}$8.在极坐标系中，过点$(2,\frac{\pi}{4})$且与圆$\rho$ = $2cos\theta$相切的直线的方程为$y=x\sqrt{2}$9.若二项式$(x-\frac{3}{2})^6$展开式中含$x^2$项的系数为20，则$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{2x(1+a+a^2+。

（第11题图）虹口区2015年高考练习题 数学(文科)试卷2015年4月一、填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．计算：201511i i+=+____________.（i 是虚数单位） 2. 已知函数132,(0)(),((3))_______.,(0)x x f x f f x x ⎧≤⎪=-=⎨⎪>⎩则 3．函数1()ln(1)(0)f x x x=+>的反函数1()f x -=___________. 4．已知正实数,x y 满足31,x y +=则xy 的最大值为___________.5．已知复数3sin cos z i θθ=+（i 是虚数单位），且z =则当θ为钝角时，tan _____.θ=6. 在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科、3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试. 小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种（结果用数值表示）.7.设数列{}n a 前n 项的和为,n S 若114,3(),n n a a S n N *+==∈且则_______.n S =8. 已知抛物线22(0)y px p =>的焦点在圆22(1)4x y -+=上，则p =________.9.6225(lim(1)2n n x x a a a →∞++++=若二项式展开式中含项的系数为，则________.10 .若行列式51in()0cos()24s x x ππ++的第1行第2列的元素1的代数余子式为1-，则实数x 的取值集合为_________. 11.如图所示，已知2212221(0,0)x y F F a b a b-=>>、为双曲线的两个焦点，且122,F F =若以坐标原点O 为圆心，12F F 为直径的圆与该双曲线的左支相交于A B 、两点，且2F AB ∆为正三角形，则双曲线的实轴长为_________.12. 设二元一次不等式组2190802140x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为,M 若函数x y a =(0,1)a a >≠且的图像经过区域,M 则实数a 的取值范围为_________.13. 已知直线1:125150l x y -+=和2:2,l x =-28P y x =点为抛物线上的动点，则1P l 点到直线2l 和直线的距离之和的最小值为_________.抛物线的准线即为x=-2,所以根据抛物线的定义，点P 到x=-2的距离即为点P 到焦点（2,0）的距离，所以1P l 点到直线2l 和直线的距离之的和为1P l 点到直线和到焦点的距离之和，这个距离的最小值是 3.d ==14.已知向量,a b 满足2,a b a b ==⋅=且()()0,a c b c -⋅-=则2b c -的最小值为________.根据2,a b a b ==⋅=c o s ,3a b π<⋅>=不防设(2,0),(1,3),(,),a b c xy ===所以22()()(2,)(1,320,a cbc x y x y x x y -⋅-=-⋅-=-++=即223()(1,2x y -+=则2b c-的最小值为点到点3(2距离减去1， 即1二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得 5分，否则一律零分.（第17题图）俯视图左视图主视图{}23,0,12,2x U R A x B x x x ⎧+⎫==>=-<⎨⎬-⎩⎭15.设全集已知()()U A B ⋂=则ð（A ）3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭（B ）(]1,2- （C ）(]2,3 （D ）[)2,3 16.设,a R ∈则1a =-“”是“函数()(2)(0,)f x ax x =-+∞在上单调递增”的 ( )（A ）充要条件 （B ）既不充分也不必要条件 （C ）充分不必要条件 （D 17. 一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体 （ ）（A ） 24 （B ）16 （C ） 12 （D ）818．设函数()()()(),()(2),f x x R f x f x f x f x ∈-==-满足 且当[]20,1().x f x x ∈=时，又函数()sin(),g x x π=则函数[]()()()1,3h x g x f x =--在区间上零点的个数为（ ）（A ） 6 （B ）7 （C ） 8 （D ）9由函数()()()(),()f x x R f x f x f x ∈-=满足则为偶函数，()(2)=(2),f x f x f x =--函数的周期为2，所以在同一坐标系下画出两个函数的图象，[]()()1,3y g x y f x ==-和在区间的交点有6个，[]()()()1,3h x g x f x =--在区间上零点的个数为6个三、解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分) 本题共2个小题，第1小题5分，第2小题7分. 已知函数()log (01)a f x b x a a =+>≠且的图像经过点（8，2）和(1,1).-(1) 求函数()f x 的解析式；（第21题图）θBCPNMA(第20题图）D 1C 1B 1BCD A 1A(2) 令()2(1)(),()g x f x f x g x =+-求的最小值及取最小值时x 的值.20．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 在如图所示的直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60,BAD ∠=︒1 4.AA =(1) 求直四棱柱1111ABCD A BC D -的体积； （2）求异面直线11AD BA 与所成角的大小．21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分.如图，经过村庄A 有两条夹角为60︒的公路AB AC 、，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M N 、（异于村庄A ），要求2PM PN MN ===（单位：千米）. 记.AMN θ∠=（1）将AN AM 、θ用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN AM 、为多长时），使得工厂产生 的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP 最大）？22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 已知圆1F ：22(1)8x y ++=，点2F (1, 0)，点Q 分线交1QF 于点P .(1) 求动点P 的轨迹C 的方程；(2) 设M N 、分别是曲线C 上的两个不同点，且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若122OM ON OF +=, O 为坐标原点，求直线MN 的斜率；(3)过点1(0,)3S -的动直线l 交曲线C 于A B 、两点， 求证：以AB 为直径的圆恒过定点(0,1).T23. (本题满分18分) 本题共3个小题，每小题6分.设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足：211,(1)().n n a S a n N *==+∈4（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1121(),lim(2n n n n n n n a ab n N b b b n a a *+→∞+=+∈+++-试求)的值；（3）是否存在大于2的正整数,m k 、使得12300?m m m m k a a a a +++++++=若存(第20题图）D 1C 1B 1BCDA 1A在，求出所有符合条件的m k 、；若不存在，请说明理由.虹口区2015年高考练习题数学(文科)参考答案与评分标准2015年4月一、填空题（本大题共14题,每题4分,满分56分）1．i - 2．12 3．1(0)1x x e >- 4． 1125． 1- 6. 10 7.4n8． 69. 2310．(21),()k k Z π+∈ 111 12. []2,913． 3 14．1二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）15. B 16. C 17. D 18. A 三、解答题（本大题共5题，满分74分）19．(本题满分12分) 本题共2个小题，第1小题5分，第2小题7分. 解：（1）由已知，得log 82,log 11a ab b +=⎧⎨+=-⎩解得2.1a b =⎧⎨=-⎩ ……3分 故2()log 1.f x x =-……5分（2）由于[]22()2(1)()2log (1)1(log 1)g x f x f x x x =+-=+---222(1)1log 1log (2)1(0)x x x x x+=-=++-> ……8分 故221()log (2)1log (22)1 1.g x x x=++-≥+-= ……10分 于是，当1x =时，()g x 取得最小值1. ……12分20．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 解：(1) 因菱形ABCD的面积为2sin60AB ⋅︒=……2分故直四棱柱1111ABCD A BC D -的体积为：（第21题图）θBCPNMA14ABCD S AA ⋅==底面……6分(2) 连接111BC AC 、，易知11//BC AD ，故11A BC ∠等于 异面直线11AD BA 与所成角. ……8分由已知，可得1111A B BC AC ===……10分则在11A BC ∆中，由余弦定理，得 222111111117cos .210A B BC AC A BC A B BC +-∠==⋅……12分 故异面直线11AD BA 与所成角的大小为7cos .10arc……14分21．(本题满分14分) 本题共2个小题，第1小题6分， 第2小题8分. 解：（1）在AMN ∆中，由正弦定理，得sin sin(120)sin 60AN AM MN θθ==︒-︒ ……2分于是4,60)(0120).3AN AM θθθ==+︒︒<<︒……6分（2）在ANP ∆中，由余弦定理，得2222222cos 4222cos(180)31616820sin 4cos 2cos 2)33331620sin(230)(0120).1133AP AN NP AN NP ANPθθθθθθθθθθ=+-⋅∠⎛⎫=+-⋅⋅︒- ⎪⎝⎭=++⋅=-+=-︒+︒<<︒⋯⋯分故当2max 2309060()12.AP θθ-︒=︒=︒=，即时， 此时 2.AN AM ==于是，设计2()AN AM ==千米时，工厂与村庄的距离AP最大，为；工厂产生的噪声对居民的影响最小. ……14分22. (本题满分16分) 本题共3个小题，第1小题5分，第2小题5分，第3小题6分. 解：(1) 因为2QF 的垂直平分线交1QF 于点P . 所以2PF PQ =，从而1211122,PF PF PF PQ FQ F F +=+=== 所以，动点P 的轨迹C 是以点12F F 、为焦点的椭圆. ……3分设椭圆的方程为12222=+by a x ，则22,222==c a ，1222=-=c a b ，故动点P 的轨迹C 的方程为 2212x y += ……5分(2) 设1122(,),(,)M a b N a b 1122(0,0,0,0)a b a b >><<，则2222112222,22a b a b +=+= ①因为122OM ON OF +=，则121222,20a a b b +=-+= ② 由①、② 解得112215,,24a b a b ===-= ……8分 所以直线MN 的斜率MNk 212114b b a a -==- . ……10分(3)设直线l 的方程为1,3y kx =-则由221312y kx x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得229(21)12160,k x kx +--= 由题意知，点1(0,)3S -在椭圆C 的内部，所以直线l 与椭圆C 必有两个交点，设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则121222416,.3(21)9(21)k x x x x k k +==-++ ……12分 假设在y 轴上存在定点(0,)T m 满足题设，则1122(,),(,),TA x y m TB x y m =-=- 因为以AB 为直径的圆恒过点T , 所以1122(,)(,)0,TA TB x y m x y m ⋅=-⋅-=即1212()()0()x x y m y m +--=* ……14分因为112211,,33y kx y kx =-=-故()*可化为 2121212221212()121(1)()()339x x y y m y y m k x x k m x x m m +-++=+-+++++2222222216(1)1421()9(21)33(21)3918(1)3(325)9(21)k k k m m m k k m k m m k +=--+⋅+++++-++-=+ 由于对于任意的R k ∈,0,TA TB ⋅=恒成立，故2210,3250m m m ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩ 解得 1m =.因此，在y 轴上存在满足条件的定点T ，点T 的坐标为(0,1). …… 16分23. (本题满分18分) 本题共3个小题，每小题6分.解：（1）由2(1),n n S a =+4及211(1),n n S a ++=+4 两式相减，得222211111(1)(1)22,n n n n n n n n n a S S a a a a a a +++++=-=+-+=-+-44411()(2)0.n n n n a a a a ++⇒+--= ……3分由于{}n a 各项均为正数，故由上式，可得 12().n n a a n N *+-=∈于是数列{}n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为：21().n a n n N *=-∈ ……6分（2）因为1121211122(),21212121n n nnn a a n n b a a n n n n +++-=+=+=+--+-+ ……8分 故121111111122(1)()()()22(1)33557212121n b b b n n n n n ⎡⎤+++=+-+-+-++-=+-⎢⎥-++⎣⎦……10分 于是121lim(2lim 2(1) 2.21n n n b b b n n →∞→∞⎡⎤+++--=⎢⎥+⎣⎦)= ……12分 （3）假设存在大于2的正整数,m k 、使得12300.m m m m k a a a a +++++++=由（1），可得12(21)(1),m m m m k a a a a m k k +++++++=+-+从而 (21)(1)300.m k k +-+= ……14分 由于正整数m k 、均大于2，知2114,211m k k m k k +->+≥+-+且与的奇偶性相同. ……16分 故由22300235,=⨯⨯得212312559,21235=23=112125k k k k m k m m m k +=⨯+=⨯==⎧⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨⎨+-=⨯⨯+-=⨯⎩⎩⎩⎩或，或. 因此，存在大于2的正整数:m k 、59,=23=11k k m m ==⎧⎧⎨⎨⎩⎩或使得12300.m m m m k a a a a +++++++=……18分。

2014学年度第一学期期终教学质量监控测试初三数学 试卷（满分150分，考试时间100分钟） 2015.1一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．在Rt △ABC 中，，AC=5，BC=13，那么的值是 A ． ； B ．； C ．； D ．． 2．二次函数（a 为常数）的图像如图所示，则的取值范围为 A ． ； B ．； C ．； D ．． 3．已知点，均在抛物线上，下列说法中，正确的是 A ．若，则； B ．若，则； C ．若，则； D ．若，则．4．如图，如果∠BAD =∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC ∽△ADE 的是 A ．∠B =∠D ； B ．∠C =∠AED ； C ．； D ．．5．A ．与是相等向量；B ．与是平行向量；C ．与方向相同，长度不同；D ．与方向相反，长度相同． 6．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、BC 上的点，且DE ∥AC ，若， 则的值为 A ．； B ．； C ．； D ．．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．若，则 ▲ .8．抛物线与y 轴交点的坐标为 ▲ ．9．抛物线向左平移2个单位得到的抛物线表达式为 ▲ ． 10．若抛物线的对称轴是直线，则 ▲ . 11．请你写出一个．．b 的值，使得函数，在时，y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是 ▲ .12．在以O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点A （2，4），如果AO 与x 轴正半轴的夹角为，那么= ▲ ．13．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线、于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD =6，DF =3，BC =5，那么BE = ▲ ．A B C E D 第4题图 AB C E D 第6题图O A D EGCED14．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ， BD=2AD ，设，，用向量、表示向量DE = ▲ ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点G 是△ABC 的重心，如果AC=， AG =2，那么AB= ▲ ．16．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，sin B =，BC =13，AD =12，则tan C 的值 ▲ ． 17．如图，如果△ABC 与△DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么的值为 ▲ ．18．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，联结DE ，F 为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B ．若AB ＝5，AD ＝8，AE ＝4，则AF 的长为 ▲ ．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：． 20．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）（1（2）用配方法求出该二次函数图像的顶点坐标和对称轴． 21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，点D 在边AC 上，AE 分别交线段BD 、边BC 于点F 、G ，∠1=∠2，． 求证：．C 第16题图 DB AC 第18题图A B FE C A B 第17题图 E DFG C A EF B 第23题图 22．（本题满分10分）如图，高压电线杆AB 垂直地面，测得电线杆AB 的底部A 到斜坡底C 的水平距离AC 长为15.2米，落在斜坡上的电线杆的影长CD 为5.2米，在D 点处测得电线杆顶B 的仰角为37°．已知斜坡CD 的坡比，求该电线杆AB 的高．（参考数据：sin37°=0.6）23．（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分）如图，在Rt △CAB 与Rt △CEF 中，∠ACB=∠FCE=90°，∠CAB=∠CFE ，AC 与EF 相交于点G ，BC =15，AC=20． （1）求证：∠CEF =∠CAF ； （2）若AE =7，求AF 的长．24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（1）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（2，0）、（3，），二次函数的图像为．（1）向上平移抛物线，使平移后的抛物线经过点A ，求抛物线的表达式；（2）平移抛物线，使平移后的抛物线经过A 、B 两点，抛物线与y 轴交于点D ，求抛物线的表达式以及点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，记OD 中点为E ，点P 为抛物线对称轴上一点，当△ABP 与 △ADE 相似时，求点P 的坐标．第22题图25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD //BC ，AB=CD ，AD =6，BC=24，，点P 在边BC 上，BP =8，点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，且∠EPF =∠B ．过点F 作FG ⊥PE 交线段PE 于点G ，设BE ＝x ，FG ＝y ． （1）求AB 的长；（2）当EP ⊥BC 时，求y 的值；（3）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围.参考答案：1——6：A B D C B D 7：－128：(0，3) 9：y ＝（x ＋2）2＋2 10：m=8 11： 1（答案不唯一） 1213、7.5 14、13（b －a ） 1516：3 17：2 18、1920：（1）y ＝－x 2－4x －1；（2），顶点坐标：（－2,3）；对称轴：x=－2 21：F P E C A B G第25题图D 备用图3证明：∵AF EF =DFBF∴AD ∥EB ，∠1=∠3又∵∠1=∠2∴∠2=∠3在△FBG 和△FEB 中∠2=∠3∠BFG=∠EFB △FBG ∽△FEB BF 2=FG∙EF第21题图21GFDABCE22：解：作DH ⊥AB ，CM ⊥HD ，垂足分别为H 、M 在Rt △CDM 中，CM:MD=1：2.4=10：24=5:12MD=5.2×1213=5210×1213=245=4.8CM=5.2×513=5210×513=2HM=AC=15.2HD=15.2+4.8=20在Rt △BHD 中设BH=0.6x ，BD=x ，HD=x 2－0.36x 2=0.8x=20x=25，BH=0.6×25=15AB=BH+HA=15+2=17答：电线杆AB 的高约为17米。

《2015年上海各区中考数学二模压轴题图文解析》目录2015年上海各区中考数学二模第24、25题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第24、25题图文解析/2例2 2015年奉贤区中考数学二模第24、25题图文解析/6例3 2015年虹口区中考数学二模第24、25题图文解析/10例4 2015年黄浦区中考数学二模第24、25题图文解析14例5 2015年金山区中考数学二模第24、25题图文解析/18例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第24、25题图文解析/22例7 2015年闵行区中考数学二模第24、25题图文解析/26例8 2015年浦东新区中考数学二模第24、25题图文解析/30例9 2015年普陀区中考数学二模第24、25题图文解析34例10 2015年松江区中考数学二模第24、25题图文解析38例11 2015年徐汇区中考数学二模第24、25题图文解析42例12 2015年杨浦区中考数学二模第24、25题图文解析/46例13 2015年长宁区中考数学二模第24、25题图文解析/50例14 2015年崇明县中考数学二模第24、25题图文解析/54例15 2015年闸北区中考数学二模第24、25题图文解析/592015年上海各区中考数学二模第18题例1 2015年宝山区嘉定区中考数学二模第18题图文解析/63例2 2015年奉贤区中考数学二模第18题图文解析/64例3 2015年虹口区中考数学二模第18题图文解析/615例4 2015年黄浦区中考数学二模第18题图文解析/66例5 2015年金山区中考数学二模第18题图文解析/67例6 2015年静安区青浦区中考数学二模第18题图文解析/68例7 2015年闵行区中考数学二模第18题图文解析/69例8 2015年浦东新区中考数学二模第18题图文解析/70例9 2015年普陀区中考数学二模第18题图文解析/71例10 2015年松江区中考数学二模第18题图文解析/72例11 2015年徐汇区中考数学二模第18题图文解析/73例12 2015年杨浦区中考数学二模第18题图文解析/74例13 2015年长宁区中考数学二模第18题图文解析/75例14 2015年崇明县中考数学二模第18题图文解析/76例15 2015年闸北区中考数学二模第18题图文解析/77例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线kyx=（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2, m)．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，△ACE与△ACD相似，存在两种情况．思路点拨1．直线AD//BC，与坐标轴的夹角为45°．2．求△ABC的面积，一般用割补法．3．讨论△ACE与△ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程．满分解答（1）将点A(2, m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．将点A(2, 4)代入kyx=，得k＝8．（2）将点B(n, 2)，代入8yx=，得n＝4．所以点B的坐标为(4, 2)．设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．所以点C的坐标为(0,－2)．由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．所以AB＝22，BC＝42，∠ABC＝90°．图22所以S△ABC＝12BA BC⋅＝122422⨯⨯＝8．（3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,－2)，得AD＝22，AC＝210．由于∠DAC＋∠ACD＝45°，∠ACE＋∠ACD＝45°，所以∠DAC＝∠ACE．所以△ACE与△ACD相似，分两种情况：①如图3，当CE ADCA AC=时，CE＝AD＝22．此时△ACD≌△CAE，相似比为1．②如图4，当CE ACCA AD=时，21021022CE=．解得CE＝102．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算△ABC的面积时，恰好△ABC是直角三角形．一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．如图5，作△ABC的外接矩形HCNM，MN//y轴．由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．图54例 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第25题在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，Rt △ABC 绕着点B 按顺时针方向旋转，使点C 落在斜边AB 上的点D ，设点A 旋转后与点E 重合，联结AE ．过点E 作直线EM 与射线CB 垂直，交点为M ．（1）若点M 与点B 重合（如图1），求cot ∠BAE 的值；（2）若点M 在边BC 上（如图2），设边长AC ＝x ，BM ＝y ，点M 与点B 不重合，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）若∠BAE ＝∠EBM ，求斜边AB 的长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定25”，拖动点A 上下运动，可以体验到，△ABE 保持等腰三角形，∠BAE ＝∠EBM 按照点M 与点B 的位置关系存在两种情况． 思路点拨1．第（1）题的特殊性是∠DEB ＝∠CAB ＝∠EBD ，△EDB 是等腰直角三角形．2．第（1）题暗示了第（2）题中蕴含着三个等角，因此寻找相似三角形．3．第（3）题∠BAE ＝∠EBM 要分两种情况考虑，各有各的特殊性．满分解答（1）如图3，当点M 与点B 重合时，EB //AC ．所以∠CAB ＝∠EBD ．又因为旋转前后∠CAB ＝∠DEB ，所以∠EBD ＝∠DEB ．所以△EDB 和△ACB 是等腰直角三角形．已知BC ＝2，所以AC ＝2，AB ＝22． 在Rt △AED 中，ED ＝2，AD ＝222-，所以cot ∠BAE ＝AD ED＝2222-＝21-．图3 图4（2）在Rt △ABC 中，BC ＝2，AC ＝x ，所以AB ＝24x +． 如图4，设EM 与AB 交于点F ．由FM //AC ，得BM BF BC BA =，即224y BFx =+．所以BF ＝242y x +． 由于BD ＝BC ＝2，所以DF ＝2422y x +-． 由∠DEB ＝∠CAB ＝∠DFE ，∠EDB 是公共角，得△DEB ∽△DFE ．所以DE 2＝DF ·DB ，即2242(2)2y x x +=-．整理，得2244x y x -=+． 定义域是0＜x ＜2．（3）已知BA ＝BE ，所以∠BAE ＝∠BEA ．当∠BAE ＝∠EBM 时，∠BAE ＝∠BEA ＝∠EBM ．按照M 、B 的位置分两种情况： ①如图5，当M 在B 右侧时，由∠BEA ＝∠EBM ，得AE //CM ．此时∠BAE ＝∠ABC ．又已知∠ABC ＝∠EBD ，所以∠ABC ＝∠EBD ＝∠EBM ＝60°．在Rt △ABC 中，AB ＝2BC ＝4．②如图6，当M 在B 左侧时，在△BAE 中，∠BAE ＝∠BEA ＝2∠ABE ．所以∠ABE ＝36°，∠BAE ＝∠BEA ＝72°．延长EA 交BC 的延长线于G ，那么∠G ＝36°，AG ＝AB ，GE ＝GB ＝2CB ＝4． 由于点A 是GE 的黄金分割点，所以512AG GE -=．所以AB ＝AG ＝252-．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，我们直接应用了黄金分割数，也可以用相似比来解． 由∠BAE ＝∠BEA ＝∠MBE ，容易得到GB ＝GE ＝4，AG ＝AB ＝BE ．由△GBE ∽△BAE ，得到EB 2＝EA ·EG ．设AB ＝BE ＝m ．于是得到24(4)m m =-．整理，得m 2＋4m －16＝0．解得252m =．6例 2015年上海市奉贤区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋x 的对称轴为直线x ＝2，顶点为A ．（1）求抛物线的表达式及顶点A 的坐标；（2）点P 为抛物线对称轴上一点，联结OA 、OP ．①当OA ⊥OP 时，求OP 的长；②过点P 作OP 的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B ，联结OB ，当∠OAP ＝∠OBP 时，求点B 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤24”，拖动点P 在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，△BNP ∽△PMO 保持不变，当∠OAP ＝∠OBP 时，△BOP ∽△AOH ． 思路点拨1．根据等角的余角相等，通过已知的等角寻找未知的等角．2．过直角顶点P 向坐标轴画垂线，可以构造相似的直角三角形，于是通过对应边成比例，可以列方程．满分解答（1）由抛物线的对称轴为122x a =-=，可得14a =-． 所以抛物线的表达式为2211(2)144y x x x =-+=--+． 顶点A 的坐标为(2, 1)．（2）①如图2，设AP 与x 轴交于点H ．由A (2, 1)，可得tan ∠OAH ＝2．当OA ⊥OP 时，∠POH ＝∠OAH ．所以tan ∠POH ＝PH OH＝2． 因此PH ＝2OH ＝4．所以OP ＝25． 图2②如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，tan ∠AOH ＝tan ∠BOP ．所以2PO HO PB HA==．如图4，过点P 作PM ⊥y 轴于M ，过点B 作x 轴的垂线交直线PM 于N ．由△OMP ∽△PNB ，得2OM MP PO PN NB BP===．所以OM ＝2PN ，MP ＝2NB ． 设21(,)4B x x x -+，P (2, n )，那么2(2)n x -=-，2122()4x x n =-+-． 将n ＝4－2x 代入2114x x n -+-=，整理，得x 2－12x ＋20＝0． 解得x ＝10，或x ＝2（B 与A 重合，舍去）．所以点B 的坐标为(10, －15)．图3 图4考点伸展如果应用四点共圆的知识，结合勾股定理，那么第（2）②题可以这样做：如图3，当∠OAP ＝∠OBP 时，A 、B 、P 、O 四点共圆．此时∠OAB ＝∠OPB ＝90°．所以OB 2＝OA 2＋AB 2．设21(,)4B x x x -+，那么22222211()5(2)(1)44x x x x x x ⎡⎤+-+=+-+-+-⎢⎥⎣⎦． 整理，得x 2－12x ＋20＝0．解得x ＝10，或x ＝2．所以B (10, －15)．例 2015年上海市奉贤区中考模拟第25题如图1，已知线段AB＝8，以A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A上，过点C作CD//AB 交⊙A于点D（点D在点C右侧），联结BC、AD．（1）若CD＝6，求四边形ABCD的面积；（2）设CD＝x，BC＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取何值时，CE//AD．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15奉贤25”，拖动点C在圆上运动，可以体验到，当CE//AD 时，四边形CEND是平行四边形，四边形CEAN是平行四边形，四边形CF AG是矩形．思路点拨1．已知△ABC的三边长分别为5，8，y，构造AB边上的高CK，那么CK为两个直角三角形的公共直角边，根据勾股定理列方程，可以得到y关于x的关系式．2．当CE//AD时，注意到CE与AN、DN的关系都是平行且相等．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥CD，垂足为H．在△ACD中，AC＝AD＝5，CD＝6，所以CH＝DH＝3．所以AH＝4．所以S梯形ABCD＝1()2CD AB AH+⨯＝1(68)42+⨯＝28．图2 图3（2）如图3，作CK⊥AB，垂足为K，那么四边形CKAH为矩形．在△ACD中，AC＝AD＝5，CH＝DH＝12 x．8在△ABC 中，BC ＝y ，AC ＝5，AK ＝12x ，BK ＝182x -． 由CK 2＝BC 2－BK 2＝AC 2－AK 2，得222211(8)5()22y x x --=-． 整理，得898y x =-．自变量x 的取值范围是0＜x ＜10．（3）如图4，已知MN 是梯形ABCD 的中位线，MN //CD ，当CE //AD 时，四边形CEND 是平行四边形，此时CE ＝DN ＝12AD ＝52． 由CE //NA ，CE ＝NA ，得四边形CEAN 是平行四边形．所以CN ＝EA ＝CA ＝5．作CG ⊥AN 于G ，那么AG ＝12AN ＝14AD ＝54．所以DG ＝515544-=． 在Rt △CAG 中，AG ＝54，CA ＝5，由勾股定理，得CG ＝5154． 在Rt △CDG 中，CG ＝5154，DG ＝154，由勾股定理，得CD ＝562．图4 图5考点伸展第（3）题还可以用相似比来解：如图5，设直线AE 与DC 的延长线交于点P ，与⊙A 交于点Q ，那么CE 是△P AD 的中位线，因此PC ＝CD ＝x ，PE ＝EA ＝AQ ＝5．由CE //DA ，得∠1＝∠3，∠2＝∠4．又因为∠1＝∠2，所以∠3＝∠4．于是可得∠Q ＝∠5＝∠6．由△PCE ∽△PQD ，得PC PQ PE PD =．所以1552x x =．解得562x = 由△PDA ∽△PQD ，得PD PQ PA PD =．所以215102x x =．解得562x =例 2015年上海市虹口区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A(－1,0)、B(3,0)、C(2, 3)三点，与y轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC、CB，直线y＝4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口24”，拖动点P运动，可以体验到，经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．拖动点F在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，以A、B、C、F为顶点的梯形有3个．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，设两点式比较简便．2．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．3．过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3,0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)．将点C(2, 3)代入，得3＝－3a．解得a＝－1．所以抛物线的解析式为y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3.对称轴是直线x＝1．（2）如图2，由C(2, 3)、D(0, 3)，得CD//x轴．所以四边形ABCD是梯形．经过梯形中位线的中点，并且与两底相交的直线平分梯形的面积．梯形ABCD的中位线的中点为3(1,)2，将点3(1,)2代入y＝4x＋m，得m＝52．（3）符合条件的点F有3个，坐标分别为(1, 3)，(1,－2)，(1,－6)．10图2 图3考点伸展第（3）题这样解：过△ABC的3个顶点分别画对边的平行线，三条直线与抛物线的对称轴的3个交点，就是符合条件的点F．①如图3，当CF//AB时，点F的坐标是(1, 3)．②如图4，当BF//AC时，由tan∠CAM＝tan∠FBH，得CM FHAM BH=．所以332FH=．解得FH＝2．此时点F的坐标为(1,－2)．③如图5，当AF//CB时，由tan∠CBM＝tan∠F AH，得CM FHBM AH=．所以312FH=．解得FH＝6．此时点F的坐标为(1,－6)．图4 图512例 2015年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13，CD //AB ，点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE 交边BC 于F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当CE ＝3时，求S △CEF ∶S △CAF 的值；（2）设CE ＝x ，AE ＝y ，当CG ＝2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC ＝5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15虹口25”，拖动直角顶点C 运动，可以体验到，CG ＝2GB 保持不变，△ABC 的形状在改变，EA ＝EM 保持不变．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动E 在射线CD 上运动，可以体验到，△AEG 可以两次成为直角三角形． 思路点拨1．第（1）题中的△CEF 和△CAF 是同高三角形，面积比等于底边的比．2．第（2）题中的△ABC 是斜边为定值的形状不确定的直角三角形．3．第（3）题中的直角三角形AEG 分两种情况讨论．满分解答（1）如图2，由CE //AB ，得313EF CE AF BA ==． 由于△CEF 与△CAF 是同高三角形，所以S △CEF ∶S △CAF ＝3∶13．（2）如图3，延长AG 交射线CD 于M ． 图2由CM //AB ，得2CM CG AB BG==．所以CM ＝2AB ＝26． 由CM //AB ，得∠EMA ＝∠BAM ．又因为AM 平分∠BAE ，所以∠BAM ＝∠EAM ．所以∠EMA ＝∠EAM ．所以y ＝EA ＝EM ＝26－x ．图3 图4（3）在Rt△ABC中，AB＝13，AC＝5，所以BC＝12．①如图4，当∠AGE＝90°时，延长EG交AB于N，那么△AGE≌△AGN．所以G是EN的中点．所以G是BC的中点，BG＝6．②如图5，当∠AEG＝90°时，由△CAF∽△EGF，得FC FA FE FG=．由CE//AB，得FC FB FE FA=．所以FA FBFG FA=．又因为∠AFG＝∠BF A，所以△AFG∽△BF A．所以∠F AG＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．作GH⊥AH，那么BH＝AH＝132．在Rt△GBH中，由cos∠B＝BHBG，得BG＝132÷1213＝16924．图5 图6考点伸展第（3）题的第②种情况，当∠AEG＝90°时的核心问题是说理GA＝GB．如果用四点共圆，那么很容易．如图6，由A、C、E、G四点共圆，直接得到∠2＝∠4．上海版教材不学习四点共圆，比较麻烦一点的思路还有：如图7，当∠AEG＝90°时，设AG的中点为P，那么PC和PE分别是Rt△ACG和Rt △AEG斜边上的中线，所以PC＝PE＝P A＝PG．所以∠1＝2∠2，∠3＝2∠5．如图8，在等腰△PCE中，∠CPE＝180°－2(∠4＋∠5)，又因为∠CPE＝180°－(∠1＋∠3)，所以∠1＋∠3＝2(∠4＋∠5)．所以∠1＝2∠4．所以∠2＝∠4＝∠B．所以∠GAB＝∠B．所以GA＝GB．图7 图814例 2015年上海市黄浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a , 3)（其中a ＞4），射线OA 与反比例函数12y x =的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且AB //x 轴，AC //y 轴．（1）当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；（2）联结BO ，当AB ＝BO 时，求点A 的坐标；（3）联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABPACPS S △△的值；如果变化，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦24”，拖动点A 在点B 右侧运动，观察度量值，可以体验到，△ABP 与△ACP 的面积保持相等．事实上，四边形ABDC 是矩形，△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形．思路点拨1．点B 是确定的，点C 、P 随点A 的改变而改变．2．已知a ＞4隐含了点A 在点B 的右侧这个条件．满分解答（1）如图1，当x ＝6时，12y x=＝2．所以点P 的坐标为(6, 2)． 由O (0, 0)、P (6, 2)，得直线AO 的解析式为13y x =． （2）如图2，因为AB //x 轴，A (a , 3)，所以点B 的纵坐标为3．又因为点B 在反比例函数12y x=的图像上，所以B (4, 3)．因此OB ＝5． 所以当AB ＝BO ＝5时，点A 的坐标为(9, 3)．（3）如图3，过点B 向x 轴作垂线交OA 于点D ，联结CD ．由于直线OA 的解析式为3y x a =，所以点D 的坐标为12(4)a，．由于AC //y 轴，所以点C 的坐标为12()a a ，． 所以CD //x 轴．因此四边形ABDC 是矩形． 所以点B 、C 到对角线AP 的距离相等．因此△ABP 与△ACP 是同底等高的两个三角形，它们的面积相等．所以ABP ACPS S △△＝1．图2 图3考点伸展第（3）题也可以这样说理：如图3，ABP ABD S S △△＝AP AD ，ACP ACD S S △△＝AP AD，而S △ABD ＝S △ACD ，所以ABP ACP S S △△＝1． 第（3）题还可以计算说理：如图4，作PM ⊥AB 于M ，作PN ⊥AC 于N ．设点P 的坐标为12()m m ，．将点P 12()m m，代入直线OA 的解析式3y x a=，可以得到24m a =． 于是，由A (a , 3)、B (4, 3)、C 12()a a ，、P 12()m m，，可得 S △ABP ＝12AB PM ⋅＝112(4)(3)2a m --＝3416(4)2a a m m--+＝2316(4)24m m m --+， S △ACP ＝12AC PN ⋅＝112(3)()2a m a --＝34(4)2m a m a--+＝2316(4)24m m m --+． 所以S △ABP ＝S △ACP ．而事实上，如图5，由于S 1＝S 2，所以S △ABO ＝S △ACO ．所以B 、C 到AO 的距离相等．于是△ABP 与△ACP 就是同底等高的三角形．图4 图5例 2015年上海市黄浦区中考模拟第25题如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），联结DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE 分别交于点F、G．（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE＝x，DF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结EF，当△EFG与△CDG相似时，求线段CE的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15黄浦25”，拖动点E在AC边上运动，可以体验到，△EFG 与△CDG相似存在两种情况．一种情况是FC垂直平分DE，另一种情况是EF⊥AB．思路点拨1．图形中的垂直关系较多，因此互余的角较多，相等的角较多．把相等的角都标注出来，便于分析题意．2．求y关于x的函数关系式，设法构造相似三角形．3．△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似．按照对应的锐角相等，可以推出相似时的特殊的位置关系．满分解答（1）在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝2，所以AB＝4，AC＝23．在Rt△ACD中，∠A ＝30°，AC＝23，所以CD＝3，AD＝3．（2）如图2，∠CDE与∠BFC都是∠EDF的余角，所以∠CDE＝∠BFC．又因为∠DCE＝∠B＝60°，所以△CDE∽△BFD．所以CD BFCE BC=，即312yx+=．整理，得23xyx-=．定义域是32≤x＜23．图2（3）△EFG与△CDG都是直角三角形，分两种情况讨论相似：①如图3，当∠FEG＝∠DCG时，由于∠FDG＝∠DCG，所以∠FEG＝∠FDG．因此FE＝FD．所以FC垂直平分DE．此时CE＝CD＝3．16②如图4，当∠FEG＝∠CDG时，EF//CD．此时EF⊥AB．作EH⊥CD于H，那么四边形EFDH是矩形，DF＝HE．所以y＝32x．解2332xxx-=，得3393x-±=．此时3933CE-=．图3 图4考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图5，过点E作EH⊥CD，垂足为H．在Rt△CEH中，∠CEH＝30°，CE＝x，所以CH＝12x，EH＝32x．如图6，由tan∠DEH＝tan∠DCF，得13(3)::322x x y-=．整理，得23xyx-=．图5 图6 图7 第（2）题还可以如图6这样，过点C作AB的平行线交DE的延长线于M．由tan∠M＝tan∠DCF，得CD DFCM DC=．所以CM＝23CDDF y=．由MC//AD，得CM CEAD AE=．所以323xCMx=-．由3323xy x=-，得23xyx-=．定义域的两个临界值，如图8，CE＝12CD＝32；如图9，CE＝CA＝23．图8 图9例 2015年上海市金山区中考模拟第24题已知抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）经过A(－2,0)、B(4, 0)两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2＋bx－8（a≠0）的解析式，并求出顶点P的坐标；（2）求∠APB的正弦值；（3）直线y＝kx＋2 与y轴交于点N，与直线AC的交点为M，当△MNC与△AOC相似时，求点M的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山24”，拖动点M在AC上运动，可以体验到，△MNC 与△AOC相似存在两种情况．思路点拨1．用面积法求等腰三角形P AB的腰上的高，进而可以求顶角的正弦值．2．探求△MNC与△AOC相似，可以转化为探求直角三角形MNC．满分解答（1）因为抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A(－2,0)、B(4, 0)两点，设y＝a(x＋2)(x－4)＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－8．解得a＝1．所以y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9．所以顶点P的坐标为(1,－9)．（2）如图2，由A(－2,0)、B(4, 0)、P(1,－9)，得AB＝6，PB＝P A＝310．作PG⊥AB，AH⊥PB，垂足分别为G、H．由S△P AB＝1122AB PG PB AH⋅=⋅，得699105310AB PGAHPB⋅⨯===．在Rt△APH中，sin∠APB＝910331055AHPA=÷=．图2 （3）由y＝kx＋2，得点N的坐标为(0, 2)．由A(－2,0)、C(0, －8)，得直线AC的解析式为y＝－4x－8．因为△MNC与△AOC有公共的锐角∠ACO，所以分两种情况讨论相似：18①如图3，当∠MNC＝90°时，14NM OANC OC==．所以1105442NM NC===．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图4，当∠NMC＝90°时，过点M作x轴的垂线，过点N、C分别作y轴的垂线，构造直角三角形NEM和直角三角形MFC，那么△NEM∽△MFC．所以EN FM EM FC=．设点M的坐标为(x, －4x－8)，那么(48)(8)2(48)x xx x-----=----．解得4017x=-．此时点M的坐标为4024(,)1717-．图3 图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样解：①如图3，当∠MNC＝90°时，MN//x轴，所以y M＝2．解方程－4x－8＝2，得52x=-．此时点M的坐标为5(,2)2-．②如图5，当∠NMC＝90°时，设直线NM交x轴于K，那么△NOK≌△AOC．所以OK＝OC＝8．所以直线NM的解析式为124y x=+．联立y＝－4x－8和124y x=+，解得4017x=-，2417y=．此时M4024(,)1717-．例 2015年上海市金山区中考模拟第25题如图1，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，tan∠B＝43．（1）求BC的长；（2）点D、E 分别是AB、AC的中点，不重合的两动点M、N在边BC上（点M、N不与点B、C重合），且点N始终在点M的右边，联结DN、EM交于点O．设MN＝x，四边形ADOE的面积为y．①求y与x的函数关系式，并写出定义域；②当△OMN是等腰三角形且BM＝1时，求MN的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“15金山25”，拖动点N在MC上运动，可以体验到，等腰三角形OMN存在两种情况．思路点拨1．把四边形ADOE分割为△ADE和△DOE，△DOE与△NOM是相似的．2．分三种情况讨论等腰三角形OMN，其中NM＝NO是不存在的．满分解答（1）如图2，作AF⊥BC，垂足为F．在Rt△ABF中，AB＝10，tan∠B＝43，设BF＝3m，AF＝4m，那么AB＝5m．所以5m＝10．解得m＝2．所以BF＝6，AF＝8．因为AB＝AC，AF⊥BC，所以BC＝2BF＝12．图2（2）①如图3，S△ABC＝1112848 22BC AF⋅=⨯⨯=．因为DE是△ABC的中位线，所以DE＝12BC＝6，S△ADE＝14S△ABC＝12．过点O作BC的垂线，垂足为H，交DE于G，那么GH＝12AF＝4．由DE//BC，得DE GONM HO=，即64GOx GO=-．所以246GOx=+．因此S△DOE＝11247262266 DE GOx x⋅=⨯⨯=++．所以y＝S四边形ADOE＝S△ADE＋S△DOE＝7212144 1266xx x++=++．定义域是0＜x＜12．②如图4，作EQ⊥BC，垂足为Q．在Rt△ECQ中，EC＝5，所以EQ＝4，CQ＝3．20在Rt△EMQ中，MQ＝11－3＝8，EQ＝4，所以EM＝45．如图5，在Rt△DMP中，DP＝4，MP＝3－1＝2，所以DM＝25．图3 图4 图5 因为△OMN∽△OED，所以讨论等腰△OMN可以转化为讨论等腰△OED．（I）如图6，当OM＝ON时，OE＝OD．此时点O在ED的垂直平分线上．所以BN＝CM＝11．此时MN＝22－12＝10．．（II）如图7，当MO＝MN时，EO＝ED＝6．此时MN＝MO＝45x（III）如果NM＝NO，那么DO＝DE＝6．如图8，因为DM＝25＜6，所以以D为圆心，DE为半径的⊙D与线段ME只有一个交点E，因此不存在NM＝NO的情况．图6 图7 图8考点伸展我们把图8局部放大，如图9，⊙D与直线ME的两个交点为E、O，此时点O在EM的延长线上，点N与点B重合，在点M的左侧，NO＝NM．图922例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且∠OBC ＝∠OAB ，AC ＝3．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦24”，拖动点D 在抛物线上运动，观察度量值，可以体验到，DG 与GF 的比值可以等于1.5，此时点D 的横坐标为3．思路点拨1．抛物线的解析式中待定两个系数，需要代入A 、B 两点的坐标列方程组．2．△ADG 与△AFG 是同高三角形，面积比等于对应的底边的比．3．把DG ∶GF ＝3∶2转化为GF ∶DF ＝2∶5，运算就简便一些．满分解答（1）由y ＝ax 2－2ax ＋c ，得抛物线的对称轴是直线x ＝1．因为AC ＝3，所以点A 的坐标为(4,0)．如图2，由∠OBC ＝∠OAB ，∠BOC ＝∠AOB ，得△BOC ∽△AOB ．于是可得OB 2＝OC ·OA ＝4．所以OB ＝2，B (0, 2)．将A (4,0)、B (0, 2)分别代入y ＝ax 2－2ax ＋c ，得1680,2.a a c c -+=⎧⎨=⎩ 解得14a =-，c ＝2．所以抛物线的表达式是211242y x x =-++．图2 图3（2）如图3，因为△ADG 与△AFG 是同高三角形，所以32ADG AFG S DG S GF ==△△． 所以25GF DF =． 由A (4,0)、B (0, 2)，得直线AB 的解析式为122y x =-+． 设D 211(,2)42x x x -++，G 1(,2)2x x -+，那么21222115242x x x -+=-++ 解得x ＝3，或x ＝4（与A 重合，舍去）．所以点D 的坐标是5(3,)4． 考点伸展第（2）题凭直觉，△ADG 的面积总要比△AFG 的面积小，但是32ADG AFG S S =△△确实是有解的． 我们分析一下方程21222115242x x x -+=-++，等号左边是可以化简、约分的． 因为1(4)222125(2)(4)4x x x x --==+-+-，所以原分式方程总有一个增根x ＝4，另一个就是一元一次方程的根．24例 2015年上海市静安区青浦区中考模拟第25题 在⊙O 中，OC ⊥弦AB ，垂足为C ，点D 在⊙O 上．（1）如图1，已知OA ＝5，AB ＝6，如果OD //AB ，CD 与半径OB 相交于点E ，求DE 的长；（2）已知OA ＝5，AB ＝6（如图2），如果射线OD 与AB 的延长线相交于点F ，且 △OCD 是等腰三角形，求AF 的长；（3）如果OD //AB ，CD ⊥OB ，垂足为E ，求sin ∠ODC 的值．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“15静安青浦25”，拖动点C 运动，观察度量值，可以体验到，当CD ⊥OB 时，sin ∠ODC 的值就是黄金分割数啊．思路点拨1．反反复复的勾股定理和三角比的运算，要仔细哦．2．第（2）题等腰三角形OCD 只存在两种情况，因为OC ＜OD ．3．第（3）题中的所有直角三角形都是相似的．怎样简化错综复杂的线段间的关系呢？设⊙的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ，然后把其他线段用x 表示出来．这个设法不多见哦． 满分解答（1）如图2，因为弦心距OC ⊥弦AB ，所以OC 平分AB ．在Rt △OAC 中，OA ＝5，AC ＝3，所以OC ＝4．在Rt △OCD 中，OC ＝4，OD ＝5，所以DC ＝224541+=．由OD//CB ，得53DE OD CE BC ==．所以554188DE DC ==．图2 图3 图4（2）因为OC ＜OD ，所以等腰三角形OCD 存在两种情况：①如图3，当DO ＝DC 时，作DH ⊥OC ，那么DH 是△OCF 的中位线．在Rt △ODH 中，OD ＝5，OH ＝2，所以DH ＝225221-=． 所以FC ＝2DH ＝221．此时AF ＝AC ＋FC ＝3221+．②如图4，当CO ＝CD 时，作CM ⊥OD ，那么CM 平分OD ．在Rt △OCM 中，OC ＝4，OM ＝12OD ＝52，所以CM ＝22539422⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 由tan ∠COF ＝CM FC OM OC=，得3954394225CM OC FC OM ⋅==⨯÷=． 此时AF ＝AC ＋FC ＝43935+． （3）设⊙O 的半径为1，设sin ∠ODC ＝x ．如果OD //AB ，CD ⊥OB ，那么∠COD ＝90°，∠ODC ＝∠BOC ．如图5，在Rt △ODE 中，由sin ∠ODC ＝OE OD＝x ，得OE ＝x ． 如图6，在Rt △OBC 中，由sin ∠BOC ＝BC OB＝x ，得BC ＝x ． 如图7，由OD //CB ，得OD OE BC BE =．所以11x x x =-． 整理，得x 2＋x －1＝0．解得152x -±=．所以sin ∠ODC ＝512-．图5 图6 图7考点伸展看到第（3）题的结果，不由得想起了黄金分割数，那么图形中的黄金分割点在哪里？ 如图7，因为51DE OE OE DC OB OD -===，所以点E 是线段OB 的黄金分割点，点E 也是线段CD 的黄金分割点．26例 2015年上海市闵行区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为(－3,0)，点D 在线段AB 上，AD ＝AC ．（1）求这条抛物线的解析式，并求出抛物线的对称轴；（2）如果以DB 为半径的⊙D 与⊙C 外切，求⊙C 的半径；（3）设点M 在线段AB 上，点N 在线段BC 上，如果线段MN 被直线CD 垂直平分，求BN CN的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“15闵行24”，拖动点N 在BC 上运动，可以体验到，当DC 垂直平分MN 时，∠NDC ＝∠ADC ＝∠ACD ，此时DN //AC ．思路点拨1．准确描绘A 、B 、C 、D 的位置，把相等的角标注出来，利于寻找等量关系．2．第（3）题在图形中模拟比划MN 的位置，近似DC 垂直平分MN 时，把新产生的等角与前面存在的等角对比，思路就有了．满分解答（1）将点A (－3,0)代入y ＝ax 2－2ax －4，得15a －4＝0．解得415a =．所以抛物线的解析式为24841515y x x =--． 抛物线的对称轴为直线x ＝1． （2）由24844(3)(5)151515y x x x x =--=+-，得B (5, 0)，C (0,－4)． 由A (－3,0)、B (5, 0)、C (0,－4)，得 AB ＝8，AC ＝5．当AD ＝AC ＝5时，⊙D 的半径DB ＝3．由D (2, 0)、C (0,－4)，得DC ＝25因此当⊙D 与⊙C 外切时，⊙C 的半径为253（如图2所示）．（3）如图3，因为AD ＝AC ，所以∠ACD ＝∠ADC ．如果线段MN 被直线CD 垂直平分，那么∠ADC ＝∠NDC ．这时∠ACD＝∠NDC．所以DN//AC．于是35BN BDCN AD==．图2 图3考点伸展解第（3）题画示意图的时候，容易误入歧途，以为M就是点O．这是为什么呢？我们反过来计算：当DN//AC，35BNCN=时，38DNAC=，因此DM＝DN＝31588AC=．而DO＝2，你看M、O相距是多么的近啊．放大还原事实的真相，如图4所示．图4例 2015年上海市闵行区中考模拟第25题如图1，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝5，AD＝4．M、N分别是边AD、BC 上的任意一点，联结AN、DN．点E、F分别在线段AN、DN上，且ME//DN，MF//AN，联结EF．（1）如图2，如果EF//BC，求EF的长；（2）如果四边形MENF的面积是△AND 面积的38，求AM的长；（3）如果BC＝10，试探求△ABN、△AND、△DNC能否两两相似？如果能，求AN的长；如果不能，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“15闵行25”，拖动点M在AD上运动，可以体验到，当EF//BC 时，EF是△AND的中位线．还可以体验到，当N是BC的中点时，△ABN、△AND和△DNC 是三个底角相等的等腰三角形．思路点拨1．由平行四边形MENF和平行四边形AEFM，可以得到E是AN的中点．2．第（2）题把四边形MENF与△AND的面积比，转化为△AEM与△MFD的和与△AND的面积比．再根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方列方程．3．第（3）题先探求两个三角形相似，再验证是否与第三个三角形相似．满分解答（1）如图3，由ME//DN，MF//AN，得四边形MENF是平行四边形．所以MF＝EN．如果EF//BC，那么四边形AEFM是平行四边形．所以MF＝AE．所以E是AN的中点．同理F是DN的中点．所以EF是△AND的中位线，此时EF＝12AD＝2．图3 图4 （2）如图4，设AM的长为x．28由ME //DF ，得224AEM AND S AM x S AD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 由MF //AN ，得2244MFD AND S DM x S AD -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△． 所以22(4)16AEM MFD AND S S x x S ++-=△△△． 如果四边形MENF 的面积是△AND 面积的38，那么22(4)5=168x x +-． 整理，得x 2－4x ＋3＝0．解得x ＝1，或x ＝3．（3）如图5，在等腰梯形ABCD 中，保持AB ＝DC ，∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 在△ABN 、△AND 、△DNC 中，保持不变的是∠B ＝∠C ．因此△ABN 与△DCN 相似时，存在两种可能：①如果=BA CD BN CN，那么BN ＝CN ．所以N 是BC 的中点． ②如果=BA CN BN CD ，那么510=5BN BN -．解得BN ＝5．所以N 也是BC 的中点． 当点N 是BC 的中点时，△ABN 与△DCN 是两个全等的等腰三角形．此时△AND 也是等腰三角形，∠1＝∠2＝∠4＝∠3．因此△ABN 、△AND 、△DNC 两两相似．由=AB AN AN AD ，得5=4AN AN ．所以=25AN ．图5考点伸展有一种传说叫做数学典型题．这道题目里的3个题目，都是典型图，都有典型结论． 如图3，联结三角形三边中点得到的三角形与原三角形相似，而且与其它三个小三角形全等．第（3）题可以推广为：如果等腰梯形ABCD 的下底BC 等于腰长的2倍，N 是下底BC 的中点，那么△ABN ∽△NCD ∽AND ．。

虹口区数学学科中考练习题（满分150分，考试时间100分钟）.4考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．]1. 在下列各数中，属于无理数的是A . 53； B . π； C .4； D .3272. 在下列一元二次方程中，没有实数根的是A . 20x x -=； B . 210x -=； C . 2230x x --=； D . 2230x x -+=. 3. 在平面直角坐标系xoy 中，直线2y x =-+经过A ．第一、二、三象限 ；B ．第一、二、四象限；C ．第一、三、四象限 ；D ．第二、三、四象限． 4. 某小区20户家庭某月的用电量如下表所示：用电量（度） 120 140 160 180 200 户数 2 3 672则这20 A ．180，160；B ．160，180；C ．160，160；D ．180，180.5．已知两圆内切，圆心距为5，其中一个圆的半径长为8 ，那么另一个圆的半径长是 A ．3； B ．13； C ．3或13； D ．以上都不对. 6. 在下列命题中，属于假命题．．．的是 A ．对角线相等的梯形是等腰梯形；B ．两腰相等的梯形是等腰梯形；C ．底角相等的梯形是等腰梯形；D ．等腰三角形被平行于底边的直线截成两部分，所截得的四边形是等腰梯形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．计算：22-= ▲ .8．不等式组240,50.x x +>⎧⎨-<⎩的解集是 ▲ .9．用换元法解分式方程13201x x x x +-+=+时，如果设1x y x+=，那么原方程化为关于y 的整式方程可以是 ▲ .1023x x +=的解是 ▲ ． 11． 对于双曲线1k y x-=，若在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是 ▲ ．12．将抛物线23y x =向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为 ▲ ．13. 在一个不透明的盒子中装有8个白球和若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出1个球，它恰好是白球的概率是23，则该盒中黄球的个数为 ▲ ．14．为了解某校九年级学生体能情况，随机抽查了其中的25名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成频数分布直方图（如图所示），那么仰卧起坐的次数在20～25的频率是 ▲ ．15．若正六边形的边长是1，则它的半径是 ▲ ．16．在□ABCD 中，已知AC a =，DB b =，则用向量a 、b 表示向量AB 为 ▲ ． 17．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍得△AB′ C′ ，即如图①，∠BAB′ ＝θ，AB B C AC n AB BC AC ''''===，我们将这种变换记为[θ，n ] ．如图②，在△DEF 中，∠DFE =90°，将△DEF 绕点D 旋转，作变换[60°,n ]得△DE ′F ′，如果点E 、F 、F ′恰好在同一直线上，那么n = ▲ ．18．如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°， ∠C =30°，点F 是CD 边上一点，将纸片沿BF 折叠，点C 落在E 点，使直线BE 经过点D ，若BF=CF=8，则AD 的 长为 ▲ .三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）先化简，再求值：22244(4)2x x x x x-+÷-+，其中5x =20．（本题满分10分）① AB CD 第18题图 3 第14题图 5 12 人数/人 次数/次 （每组含最小值，不含最大值）15 20 25 30 35 A B C B′ 第17题图 C ′ DE E ′F ′ F 图① 图②解方程组： 2223,2 1.x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩21．（本题满分10分）如图，在△ABC 中，AB=AC=10，3sin 5ABC ∠=，圆O 经过点B 、C ，圆心O 在△ABC 的内部，且到点A 的距离为2，求圆O 的半径．22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）某超市进了一批成本为6元/个的文具．调查后发现：这种文具每周的销售量y （个）与销售价x （元/个） 89.51114销售量y （个）220 205 190 160（1）求与之间的函数解析式（不必写出定义域）；（2）已知该超市这种文具每周的销售量不少于60个，若该超市某周销售这种文具（不考虑其它因素）的利润为800元，求该周每个文具的销售价．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，∠BAE =∠DAF ． （1）求证：BE = DF ；（2）联结AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，联结EM 、FM ．求证：四边形AEMF 是菱形．A B C O 第21题图 A DB E F O CM 第23题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：直线24y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 为x 轴上一点，AC =1， 且OC ＜OA ．抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠经过点A 、B 、C ． （1）求该抛物线的表达式；（2）点D 的坐标为（-3，0），点P 为线段AB 上一点，当锐角∠PDO 的正切值为12时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，该抛物线上的一点E 在x 轴下方，当△ADE 的面积等于四边形APCE 的面积时，求点E 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB=6，AC=8，点D 为边BC 的中点，DE ⊥BC 交边AC 于点E ，点P 为射线AB 上一动点，点Q 为边AC 上一动点，且∠PDQ =90°．（1）求ED 、EC 的长；（2）若BP=2，求CQ 的长；（3）记线段PQ 与线段DE 的交点为点F ，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长．ABEC D ABCED第25题图（备用图）-1 O 1 2 -1 12-3 -2 yx -3 3-2 3 4 -4 -4 4虹口区中考数学模拟练习卷答案要点与评分标准.4说明：1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分；3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数；4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以1分为基本单位．一、选择题：（本大题共6题，满分24分）1．B ； 2．D ； 3．B ； 4．A ； 5．C ； 6．C ．二、填空题：（本大题共12题，满分48分）7．14； 8． 25x -<<； 9．2230y y +-=； 10．3x =； 11．k ＜1； 12．23(2)y x =+； 13．4； 14．0.2；15．1； 16．1122a b +； 17．2； 18．3三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．解：原式=2(2)(2)44(2)x x x x x x x+--+÷+………………………………………………（3分）2(2)(2)(2)(2)x x xx x x +-=⋅+- …………………………………………………（2分）12x =- ………………………………………………………………………（2分）当5x ==52…………………………………………………（3分）20．解：由②得：2()1x y -=，∴ 1x y -=或1x y -=- ……………………………………………………（2分）把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，23,1x y x y +=⎧⎨-=-⎩ …………………………………………………（4分）解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．……………………………………………（4分）注：用代入消元法解，请参照给分.21．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为点D …………………………………………………（1分）∵3sin 5ABC ∠=∴4cos 5ABC ∠=………………………………………………（1分） 在Rt △ABD 中，4cos 1085BD AB ABC =⋅∠=⨯=………………………………（1分）3sin 1065AD AB ABC =⋅∠=⨯=…………………………………（1分）∵AB=AC=10 AD ⊥BC ∴BC=2BD=16…………………………………………（1分） ∵AD 垂直平分BC ∴圆心O 在直线AD 上………………………………………（2分） ∴OD=6-2=4 ……………………………………………………………………………（1分）联结BO ，在Rt △OBD 中，2245BO OD BD =+=…………………………（2分）∴圆O 的半径为4522．解：（1）设所求函数解析式为y ＝kx ＋b （0k ≠）…………………………………（1分）由题意得：220819011k b k b =+⎧⎨=+⎩解之得：10300k b =-⎧⎨=⎩………………………（2分）∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝-10x ＋300． ………………………………（1分）（2）由题意得(x －6)(-10x ＋300)=800 ……………………………………………（2分）整理得，x 2－36x ＋260=01210,26x x ==…………………………………………………………………（2分）当x =10时，y =200当x =26时，y =40<60 ∴x =26舍去 ……………………………………………（1分）答：该周每个文具销售价为10元． ………………………………………………（1分）23．证明：（1）∵正方形ABCD ，∴AB=AD ，∠B =∠D =90°…………………………（2分）∵∠BAE = ∠DAF∴△ABE ≌△ADF ……………………………………………………………（1分）∴BE = DF ……………………………………………………………………（2分）（2）∵正方形ABCD ，∴∠BAC =∠DAC ………………………………………（1分）∵∠BAE =∠DAF ∴∠EAO =∠FAO ……………………………………（1分）∵△ABE ≌△ADF ∴AE = AF …………………………………………（1分） ∴EO=FO ，AO ⊥EF …………………………………………………………（2分）∵OM = OA ∴ 四边形AEMF 是平行四边形……………………………（1分） ∵AO ⊥EF ∴四边形AEMF 是菱形……………………………………（1分）24．解:（1）易得：A （2，0），B （0，4）∵AC =1且OC ＜OA ∴点C 在线段OA 上∴C （1，0） …………………………………………………………………（1分）∵A （2，0），B （0，4），C （1，0）在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上，∴42040a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪++=⎩ 解得： 264a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴所求抛物线的表达式为2264y x x =-+………………………………（3分）（2）∵锐角∠PDO 的正切值为12， 1tan 2ABO ∠= （ABO ∠为锐角）∴ABO PDA ∠=∠，∵点P 为线段AB 上一点，∴BAO DAP ∠=∠∴△ABO ∽△ADP ……………………………………………………………（1分）∴AP ADAO =， 又AO =2 ， AB =5，AD =5 ∴5AP =1分）过点P 作PF AO ⊥于点F ，可证PF ∥BO ，∴AP PFAB BO= 可得：P F=2，即点P 的纵坐标是2.∴可得P （1，2）………………………………………………………………（2分） （3）设点E 的纵坐标为m （m ＜0）， ∴1522ADE S AD m m =⋅=-△∵P （1，2），∴11()(2)22p APCE S AC y m m =⋅+=-四 由ADEAPCE S S =△四得：15(2)22m m -=- ……………………………………（2分）解得：12m =-∴点E 31(,)22-…………………………………………………………………（2分）25．解：（1）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB=6，AC=8 ∴BC=10……………………（1分）点D 为BC 的中点 ∴CD =5 可证△ABC ∽△DEC∴DE EC CD AB BC AC ==， 即56108DE EC ==………………………………（1分）∴154DE =，254CE =……………………………………………………（2分）（2）①当点P 在AB 边上时，在Rt △ABC 中，∠B +∠C =90°，在Rt △EDC 中，∠DEC +∠C =90°， ∴∠DEC=∠B ∵DE ⊥BC ，∠PDQ =90° ∴∠PDQ =∠BDE =90° ∴∠BDP =∠EDQ∴△BPD ∽△EQD ……………………………………………………………（1分）∴EQ DE BP BD =， 即15425EQ =， ∴32EQ = ………………………………………………………………………（2分）∴CQ=EC -EQ 194=……………………………………………………………（1分）②当点P 在AB 的延长线上时，同理可得：32EQ =， ∴CQ=EC +EQ 314=…………………………………………………………（1分）（3）∵线段PQ 与线段DE 的交点为点F ，∴点P 在边AB 上∵△BPD ∽△EQD ∴43BP BD PD EQ ED QD === 若设BP =x ，则34EQ x =，25344CQ x =- …………………………………（1分）可得4cot cot3QPD C∠==∴∠QPD=∠C又可证∠PDE=∠CDQ ∴△PDF∽△CDQ∵△PDF为等腰三角形∴△CDQ为等腰三角形………………………（1分）①当CQ=CD时，可得：253544x-=解得：53x=………………………（1分）②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M，∴1522CM CD==，5525248CQ=⨯=∴25325448x-=，解得256x=……………………………………………（1分）③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，∴4545CN=⨯=，28CQ CN==∴253844x-=，解得73x=-(不合题意，舍去)…………………………（1分）∴综上所述，53BP=或256.。

2015年上海市虹口区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）计算（a2）3的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．3a22．（4分）下列代数式中，+1的一个有理化因式是（）A．B．C．+1D．﹣13．（4分）不等式组的解集是（）A．x≥﹣B．x＜1C．﹣≤x＜1D．﹣＜x＜14．（4分）下列事件中，是确定事件的是（）A．上海明天会下雨B．将要过马路时恰好遇到红灯C．有人把石头孵成了小鸭D．冬天，盆里的水结成了冰5．（4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形6．（4分）下列命题中，真命题是（）A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）据报道，截止2015年3月，某市网民规模达5180000人．请将数据5180000用科学记数法表示为．8．（4分）分解因式：2x2﹣8x=．9．（4分）如果关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根，那么a=．10．（4分）方程的根是．11．（4分）函数y=的定义域是．12．（4分）在反比例函数y=的图象所在的每个象限中，如果函数值y随自变量的x 值增大而增大，那么常数k的取值范围是．13．（4分）为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”．由此，估计该校全体学生中约有名学生“步行上学”．14．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是Rt△ABC的重心，如果CG=6，那么斜边AB的长等于．15．（4分）如图，在△ABC中，点E、F分别在边AC、BC上，EF∥AB，CE=AE，若=，=，则=．16．（4分）如图，⊙A、⊙B的半径分别为1cm、2cm，圆心距AB为5cm．将⊙A由图示位置沿直线AB向右平移，当该圆与⊙B内切时，⊙A平移的距离是cm．17．（4分）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2+3x﹣2的“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y=﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向下平移3个单位，得到一个新函数图象，那么这个新函数的解析式是．18．（4分）在RtABC中，∠C=90°，AC=BC=（如图），若将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，联结C′B，则C′B的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值（﹣）÷，其中x=﹣3．20．（10分）解方程组：．21．（12分）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB=AC，tan∠ABC=．求BC的长．22．（12分）某商店试销一种成本为10元的文具．经试销发现，每天销售件数y（件）是每件销售价格x（元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．（1）试求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）23．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC，CB，直线y=4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD 的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．25．（16分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．AB=13，CD ∥AB ．点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE ，交边BC 于点F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当时CE=3，求S △CEF ：S △CAF 的值；（2）设CE=x ，AE=y ，当CG=2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC=5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．2015年上海市虹口区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）计算（a2）3的结果是（）A．a5B．a6C．a8D．3a2【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．【解答】解：（a2）3=a6．故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．2．（4分）下列代数式中，+1的一个有理化因式是（）A．B．C．+1D．﹣1【考点】分母有理化．【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．【解答】解：∵由平方差公式，（）（）=x﹣1，∴的有理化因式是，故选D．【点评】本题主要考查了对有理化因式的理解，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．3．（4分）不等式组的解集是（）A．x≥﹣B．x＜1C．﹣≤x＜1D．﹣＜x＜1【考点】解一元一次不等式组．【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的方法得出解集．【解答】解：解不等式①的x≥﹣，解不等式②得x＜1，所以不等式的解集是﹣≤x＜1．故选：C．【点评】此题考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．4．（4分）下列事件中，是确定事件的是（）A．上海明天会下雨B．将要过马路时恰好遇到红灯C．有人把石头孵成了小鸭D．冬天，盆里的水结成了冰【考点】随机事件．【分析】利用确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，进而判断得出即可．【解答】解：A，B，D都不一定发生，属于不确定事件．有人把石头孵成了小鸭，是不可能事件．故选：C．【点评】本题考查了随机事件，理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是（）A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形【考点】正多边形和圆．【分析】设正边形的边数是n，根据内角根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值【解答】解：设正边形的边数是n．根据题意得：180﹣=，解得：n=4．故选B．【点评】本题考查了正多边形和圆，考查正多边形的中心角和内角和的知识，正确利用n表示出正多边形的中心角和内角是关键．6．（4分）下列命题中，真命题是（）A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等【考点】命题与定理；全等三角形的判定．【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同可对B、C进行判断．【解答】解：A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误；B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐三角形全等，所以B选项错误；C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐三角形全等，所以C选项错误；D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确．故选D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）据报道，截止2015年3月，某市网民规模达5180000人．请将数据5180000用科学记数法表示为 5.18×106．【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将5180000用科学记数法表示为5.18×106．故答案为：5.18×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．（4分）分解因式：2x2﹣8x=2x（x﹣4）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式2x，进而得出答案．【解答】解：原式=2x（x﹣4）．故答案为：2x（x﹣4）．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．9．（4分）如果关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根，那么a=﹣．【考点】根的判别式．【分析】根据方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根可得△=32﹣4（﹣a）=9+4a=0，求出a 的值即可．【解答】解：∵关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴32﹣4（﹣a）=9+4a=0，∴a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△=0⇔方程有两个相等的实数根，此题难度不大．10．（4分）方程的根是x=1．【考点】无理方程．【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后进行检验即可．【解答】解：两边平方得：2﹣x=x2，整理得：x2+x﹣2=0，解得：x=1或﹣2．经检验：x=1是方程的解，x=﹣2不是方程的解．故答案是：x=1．【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．11．（4分）函数y=的定义域是x≥﹣1．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为：x≥﹣1．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．（4分）在反比例函数y=的图象所在的每个象限中，如果函数值y随自变量的x值增大而增大，那么常数k的取值范围是k＜．【考点】反比例函数的性质．【分析】先根据函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵函数y=的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴2k﹣3＜0，解得k＜．故答案为：k＜．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．13．（4分）为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”．由此，估计该校全体学生中约有225名学生“步行上学”．【考点】用样本估计总体．【分析】先通过样本计算“步行上学”的学生所占百分比，然后估计整体中“步行上学”的学生人数．【解答】解：∵从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”，∴“步行上学”的学生所占百分比为×100%=25%，∴估计该校全体学生中“步行上学”的人数为900×25%=225．故答案为225．【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．14．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是Rt△ABC的重心，如果CG=6，那么斜边AB的长等于18．【考点】三角形的重心．【专题】计算题．【分析】CD为斜边上的中线，如图，根据重心的性质得到DG=CG=3，则CD=9，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到AB的长．【解答】解：CD为斜边上的中线，如图，∵点G是Rt△ABC的重心，∴CG：GD=2：1，∴DG=CG=×6=3，∴CD=3+6=9，∴AB=2CD=18．故答案为18．【点评】本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．15．（4分）如图，在△ABC中，点E、F分别在边AC、BC上，EF∥AB，CE=AE，若=，=，则=﹣．【考点】*平面向量．【分析】由=，=，利用三角形法则，即可求得，然后由EF∥AB，可证得△CEF∽△CAB，再利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．【解答】解：∵=，=，∴=﹣=﹣，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∵CE=AE，∴==﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三角形法则的应用．16．（4分）如图，⊙A、⊙B的半径分别为1cm、2cm，圆心距AB为5cm．将⊙A由图示位置沿直线AB向右平移，当该圆与⊙B内切时，⊙A平移的距离是4或6cm．【考点】圆与圆的位置关系；平移的性质．【分析】可根据圆心距与半径之间的数量关系判断⊙A与⊙B的位置关系．【解答】解：当内切时，圆心距为2﹣1=1，当点A在点B的左侧时，移动的距离为5﹣1=4cm；当点A在点B的右侧时，移动的距离为5+1=6cm；所以向右移动4或6cm时两圆内切，故答案为：4或6．【点评】考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P；外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．17．（4分）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2+3x﹣2的“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y=﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向下平移3个单位，得到一个新函数图象，那么这个新函数的解析式是y=2x2+1．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】新定义．【分析】根据“特征数”的定义得到：“特征数”是[2，0，4]的函数的解析式为：y=2x2+4，则该抛物线的顶点坐标是（0，4），根据平移规律得到新函数解析式．【解答】解：依题意得：“特征数”是[2，0，4]的函数解析式为：y=2x2+4，其顶点坐标是（0，4），向下平移3个单位后得到的顶点坐标是（0，1），所以新函数的解析式为：y=2x2+1．故答案是：y=2x2+1．【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．18．（4分）在RtABC中，∠C=90°，AC=BC=（如图），若将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，联结C′B，则C′B的长为﹣1．【考点】旋转的性质．【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD﹣C′D计算即可得解．【解答】解：如图，连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′，∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，，∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，∵∠C=90°，AC=BC=，∴AB=2，∴BD=2×=，C′D=×2=1，∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）先化简，再求值（﹣）÷，其中x=﹣3．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=[﹣]•（x﹣3）=•（x﹣3）=，当x=﹣3时，原式===2﹣．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（10分）解方程组：．【考点】高次方程．【分析】把①化为x+3y=1和x+3y=﹣1，再把x+3y=1和x+3y=﹣1分别与x﹣y﹣3=0组成方程组，解出方程组得到答案．【解答】解：，由①得，（x+3y）2=1即x+3y=1，x+3y=﹣1，得到方程组，，分别解这两个方程组，得原方程组的解：，．【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程通过因式分解化为两个二元一次方程，再把这两个二元一次方程分别与另一个方程组成二元一次方程组，解方程组即可．21．（12分）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB=AC，tan∠ABC=．求BC的长．【考点】垂径定理；解直角三角形．【分析】连接AO，交BC于点E，连接BO，求出=，根据垂径定理得出OA⊥BC，BC=2BE，设AE=x，则BE=3x，OE=5﹣x，根据勾股定理得出方程（3x）2+（5﹣x）2=52，求出方程的解即可．【解答】解：连接AO，交BC于点E，连接BO，∵AB=AC，∴=，又∵OA是半径，∴OA⊥BC，BC=2BE，在Rt△ABE中，∵tan∠ABC=，∴=，设AE=x，则BE=3x，OE=5﹣x，在Rt△EO中，BE2+OE2=OB2，∴（3x）2+（5﹣x）2=52，解得：x1=0（舍去），x2=1，∴BE=3x=3，∴BC=2BE=6．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，解直角三角形，勾股定理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，用了方程思想，难度适中．22．（12分）某商店试销一种成本为10元的文具．经试销发现，每天销售件数y（件）是每件销售价格x（元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．（1）试求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列一次函数关系式．【分析】（1）设出一次函数解析式y=kx+b，用待定系数法建立关于k和b的方程组，解之即可求出所求；（2）按照等量关系“每月获得的利润=（销售价格﹣进价）×销售件数”列出二次函数，并求得最值．【解答】解：（1）由题意，知：当x=15时，y=50；当x=20时，y=40，设所求一次函数解析式为y=kx+b，由题意得：，解得：∴所求的y关于x的函数解析式为y=﹣2x+80．（2）由题意，可得：（x﹣10）（﹣2x+80）=450解得：x=25答：该种文具每件的销售价格应该定为25元．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．23．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形得到∠ABC=∠D，AB∥CD，∠BAF=∠DEA，推出△ABF∽△EDA，于是即可得到结论；（2）根据∠DAE=90°，得到∠AED+∠D=90°，∠EAC+∠DAC=90°，根据CD=CA，推出四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB∥CD且AB=CD，证出四边形ABEC是平行四边形．由于CE=CA，推出四边形ABEC是菱形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠D，AB∥CD，∴∠BAF=∠DEA，∴△ABF∽△EDA，∴=，∴AB•AD=BF•ED；（2）∵∠DAE=90°，∴∠AED+∠D=90°，∠EAC+∠DAC=90°，∵CD=CA，∴∠DAC=∠D，∴∠AED=EAC，∴CE=CA，∴CE=CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，∴AB∥EC且AB=EC，∴四边形ABEC是平行四边形．∵CE=CA，∴四边形ABEC是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定，熟记定理是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结AD、DC，CB，直线y=4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形ABCD 的面积平分时，求m的值；（3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，列方程组可求得．（2）由梯形的面积公式列方程即可求得m的值．（3）由以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形，分类讨论当CF∥AB时，点F在线段CD 上，求得F（1，3），当AF∥BC时，直线BC的解析式为；y=﹣3x+9，直线AF的解析式为y=﹣3x﹣3，求得F（1，﹣6），当CA∥BF时，直线AC的解析式为；y=x+1，直线BF 的解析式为；y=x﹣3，求得F（1，﹣2）．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（2，3）三点，∴解得：，∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，其对称轴是直线x=1，（2）由题意，得：D（0，3），∵DC ∥AB ，AB=4，CD=3，∵直线y=4x+m 与线段DC 交于点E ，且将四边形ABCD 的面积平分，∴直线y=4x+m 与边AB 相交，设交点为点G ，∴点E 的纵坐标是3，点G 的纵坐标是0，∴可求得E （，3），G （﹣，0），由题意，得：S 四边形ABCD =2S 四边形AGED ，∴AB+CD=2（AG+DE ）∴4+2=2（﹣+1+），解得：m=﹣．（3）当CF ∥AB 时，点F 在线段CD 上，∴F （1，3），当AF ∥BC 时，直线BC 的解析式为；y=﹣3x+9，∴直线AF 的解析式为y=﹣3x ﹣3，当x=1时，y=﹣6，∴F （1，﹣6），当CA ∥BF 时，直线AC 的解析式为；y=x+1，∴直线BF 的解析式为；y=x ﹣3，∴当x=1时，y=﹣2，∴F （1，﹣2）；综上所述；点F 的坐标：（1，3），（1，﹣2），（1，﹣6）．【点评】此题考查了抛物线解析式的确定、梯形的判定、梯形的面积的求法重要知识点，（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．25．（16分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．AB=13，CD ∥AB ．点E 为射线CD 上一动点（不与点C 重合），联结AE ，交边BC 于点F ，∠BAE 的平分线交BC 于点G ．（1）当时CE=3，求S △CEF ：S △CAF 的值；（2）设CE=x ，AE=y ，当CG=2GB 时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）当AC=5时，联结EG ，若△AEG 为直角三角形，求BG 的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）过点C 作CH ⊥AE 于H ，根据等高的两个三角形面积之比等于底的比，求出EF ：AF 即可；（2）延长AG交射线CD于点K，根据相似三角形对应边成比例求出y与x之间的函数关系式；（3）分∠AGE=90°、∠AEG=90°两种情况进行解答，求出BG的长．【解答】解：（1）过点C作CH⊥AE于H，∴==，∵CD∥AB，∴，∵CE=3，AB=13，∴=，∴=．（2）延长AG交射线CD于点K，∵CD∥AB，∴∠EKA=∠KAB，∵AG平分∠BAE，∴∠EAK=∠KAB，∴∠EKA=∠EAK，∴AE=EK，∵CE=x，AE=y，∴CK=CE+EK=CE+AE=x+y，∵CD∥AB，∴=，∵CG=2GB，∴=2，∴，∴y=26﹣x．（3）由题意，得：BC=12，①当∠AGE=90°时，则AG=GK，∵CD∥AB，∴BG=BC=6．②当∠AEG=90°时，则△ACF∽△GEF，∴=，∠CFE=∠AFG，∴△ECF∽△GAF，∴∠ECF=∠FAG，又∵∠FAG=∠GAB，∠ECF=∠B，∴∠B=∠GAB，∴GA=GB，过点G作GN⊥AB于N，∴BN=AB=，∴BG=BN=．【点评】本题考查的是相似三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，本题可以提高学生综合运用知识的能力、逻辑思维能力．虹口区2015年语文学科中考练习题(满分150分，考试时间100分钟)考生注意：1、本试卷共28题。

第5题图虹口区2015学年度第二学期初三质量调研数学试卷一．选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．计算3)2(-的结果是（ ）A ．6；B ．6-；C ．8；D ．8-； 2．下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．6； B ．12； C ．23； D ．18； 3．不等式042≤+x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ． ；B ． ；C ． ；D ． ；4．李老师对某班学生“你最喜欢的体育项目是什么？”的问题进行了调查，每位同学都选择了其中的一项，现把所得的数据绘制成频数分布直方图（如图）．如图中的信息可知，该班学生最喜欢足球的频率是（ ）A ．12；B ．3.0；C ．4.0；D ．40；5．如图所示的尺规作图的痕迹表示的是（ ）A ．尺规作线段的垂直平分线；B ．尺规作一条线段等于已知线段；C ．尺规作一个角等于已知角；D ．尺规作角的平分线； 6．下列命题中，真命题是（ ）A ．四条边相等的四边形是正方形；B ．四个角相等的四边形是正方形；C ．对角线相等的平行四边形是正方形；D ．对角线相等的菱形是正方形； 二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．当1=a 时，3-a 的值为 ；某班学生最喜欢的体育项目的频数分布直方图第4题图第15题图 第18题图 8．方程x x =+32的根是 ；9．若关于x 的方程022=+-m x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ； 10．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是⎩⎨⎧=-=21y x ，你写的这个方程是（写出一个符合条件的即可）；11．函数121-=x y 的定义域是 ； 12．若),23(1y A -．),52(2y B 是二次函数3)1(2+--=x y 图像上的两点，则1y2y （填“>”或“<”或“=”）；13．一个不透明纸箱中装有形状．大小．质地等完全相同的7个小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任意摸出一个小球，这个小球上的数字是奇数的概率是 ； 14．已知某班学生理化实验操作测试成绩的统计结果如下表：则这些学生成绩的众数是 分；15．如图，在梯形ABCD ∆中，E ．F 分别为腰AD ．BC 的中点，若3=DC m ，5=EF m ，则向量=AB （结果用m 表示）；16．若两圆的半径分别为cm 1和cm 5，圆心距为cm 4，则这两圆的位置关系是 ； 17．设正n 边形的半径为R ，边心距为r ，如果我们将rR的值称为正n 边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是 （结果保留根号）； 18．已知ABC ∆中，5==AC AB ，6=BC （如图所示），将ABC ∆沿射线BC 方向平移m 个单位得到DEF ∆，顶点A ．B ．C 分别与D ．E ．F 对应，若以点A ．D ．E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是 ；三．解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求值：4216442+÷-+-x x x x ，其中8=x ；成绩（分）4 5 6 7 8 9 10 人数12269119第21题图20．（本题满分10分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分4分）已知一个二次函数的图像经过)10(-，A ．)51(，B ．)31(--，C 三点． （1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法．．．把这个函数的解析式化为k m x a y ++=2)(的形式；21．（本题满分10分）如图，在∆ABC 中，CD 是边AB 上的中线，B ∠是锐角，且22sin =B ，21tan =A ，22=BC ，求边AB 的长和CDB ∠cos 的值；22．（本题满分10分）社区敬老院需要600个环保包装盒，原计划由初三（1）班全体同学制作完成。