同济第3版-高数- 第三节 一阶线性微分方程_图文.ppt

Q( x) Qm ( x) , 即 y Q m ( x ) e x
情形2 若λ 是特征方程的单根, 即 2 p q 0 ,
而 2 p 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y x Qm (x)ex
23
Q ( 2 p )Q ( 2 p q )Q Pm ( x ) ( * ) 情形3 若λ是特征方程的重根,
r1,2 i ,
方程(1)有两个特解 y1 e( i ) x , y2 e( i )x , 由欧拉公式 ei cos i sin 知，
y1 y2
e( i ) x e( i ) x
=e =e
x (cos x (cos
x x
i i
sin sin
x) x)
由叠加原理,
y1 y2
10
1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法
y p y q y 0 (1)
方程特点：y, y, y 之间仅相差一个常数. 下面来寻找方程(1)的形如 y er x 的特解.
将 y er x 代入方程(1),得 (r 2 pr q)er x 0 ,
而er x 0 ,于是有
r 2 p r q 0 (2)
的通解.
6
2、二阶非齐次线性微分方程解的结构
y P ( x ) y Q ( x ) y f ( x ) (2) 定理3（非齐次方程通解定理）设 y* 是方程(2)的特解,
Y 是对应齐次方程(1)的通解,那么方程(2)的通解为
y Y y
证 由条件，y * P ( x ) y * Q ( x ) y * f ( x ) , Y P ( x )Y Q ( x )Y 0 ,
x0
x0
解 特征方程为 r2 3r 10 0

例3.有一质量为m的质点,从液面由静止状态开始垂直下 降,设在沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度v成正比, 比例系数为k(k>0),试求质点下沉速度v及位置x与沉降时 间t的关系.
解：由牛顿第二定律： m dv m g kv ， v(0) 0 dt
dv

k
v

g, 通解： v

mg
k t
方程通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
解 P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y


e

1 x
dx


sin x
x

e

1 x
dx
dx

C


e
ln
x


si
n x
x

eln
xdx

C


1 x

si
n
xdx

C
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx Q( x)e P( x)dxdx
对应齐次
非齐次方程特解
Ce m
dt m
k
由 v(0) 0 得 C m g ， k
特解为
v

mg
(1
k t
em)
k
续解：
dx

v

2
换回原变量 arc x y t1 2lan 1 n (x y2 2)ln xln c
或
arctyan
e xc
x2y2
19
第六章 常微分方程
第二节 一阶微分方程
利用变量代换求微分方程的解
例 9 求dy(xy)2的通解. dx
解
令xyu,
dy du1 dx dx
代入原方程
dy 1 u2 dx
解a得 rcutax nC,
(xycosy)dxxcosydy0.
x
x
解 令 u y ， 则 dyxduud， x
x
( x u cx u ) o d s x x cu ( o u s d x) x d 0 , u
(x u cx u o ) d s xcu u o d s x 2 c x u o d s 0 , u
xdxx2cousdu 0, dx
2
精品资料
第六章 常微分方程
第二节 一阶微分方程
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
4
第六章 常微分方程
第二节 一阶微分方程
一阶微分方程的一般形式为
y'F(x,y) 或 F(x,y,y)0
(1)
下面介绍几种常用的一阶微分方程的基本类型及其解
法．
一、 可分离变量的一阶微分方程
如果一阶微分方程 (1)式可以化为形如
g(y)dyf(x)dx (2)

(x
1) 2
2 3
(x
1)
3 2
C
注意：找正确P(x)和 Q(x).
例2. 求方程 (x2 1) y'2xy cos x 0, y(0) 1 特解。
解一: 整理方程得
y'
2x x2 1
y
cos x x2 1
对应的齐次方程
y'
x
2
2
x
1
y
0的通解为
y
C x2 1
(齐通)
(常数变易法) 令
dx
(2)
dy 3y 8 , dx
y |x0 2
(3)
( y2 6x) dy 2 y 0 dx
(4)
dy dx
2x
y
y3
,
y
x1
1
答案： (1) y (x 2)3 C(x 2)
(2)
y
2 3
(4
e3x )
(3) x Cy3 1 y2
2
(4) x y3
*二、伯努利 ( Bernoulli )方程
令 P(x) x, Q(x) 2x
方程的通解
y
e P( x)d x
Q(
x)
e
P
(
x
)
d
xd
x
C
e
x
d
x
2
x
e
x
d
x
d
x
C
1 x2
e2
2
x
e
1 2
x2
d
x
C
2
C
1 x2
e2
1 x2
由y(0) 2 得 C 4. 即 y 2 4 e2

同济高数第4章课件第三节
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$

应用
描述了许多自然现象，如生态模型、化学反应等。
二阶常系数线性微分方程
定义
形如 $y'' + py' + qy = 0$ 的微分方程称为二阶常系数 线性微分方程。
解法
通过求解特征方程，得到通 解。
应用
在物理学、工程学等领域有 广泛应用，如弹簧振动、电 磁波等。
04
高阶微分方程
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
参数法
总结词
通过引入参数，将微分方程转化为更易于求 解的形式。
详细描述
参数法是通过引入参数，将微分方程转化为 更易于求解的形式。这种方法适用于具有特 定形式的高阶微分方程。
积分因子法
总结词
通过寻找积分因子，将微分方程转化为积分 方程，简化求解过程。
详细描述
积分因子法是通过寻找积分因子，将微分方 程转化为积分方程，从而简化求解过程。这 种方法适用于具有特定形式的一阶线性微分
高阶微分方程
包含多个导数的微分方程。
微分方程的应用
物理问题
描述物理现象的变化规律，如 振动、波动、流体动力学等。
经济问题
描述经济现象的变化规律， 如供求关系、市场均衡等。
工程问题
在机械、航空、化工等领域中 ，微分方程被用来描述各种动 态过程。
生物问题
描述生物种群的增长规律、 生理变化等。
02
一阶微分方程
经济增长模型
在经济学中，微分方程可以用来描述一个国家或地区的经济增长率 与人口、技术、资本等因素之间的关系。
生物问题中的应用
1 2 3
种群动态
微分方程可以用来描述种群数量的变化规律，如 Logistic增长模型、捕食者-猎物模型等。

;
例1.求微分方程′ + ∙ = − 的通解
解法1： ∵ = ,
Q = −
代入非齐次的通解公式得
= − ‫ ׬ ׬‬− ‫ ׬‬+
= − ‫ ׬‬− +

∙
只写一个原函数
例1. 求微分方程 ′ + 2 = 0的通解
解：这是一阶线性齐次微分方程
() = sec 2
代入通解公式得, =
通解
= −
− ‫ ׬‬2
齐次方程 ′ + =
的解 = − ‫ ׬‬
《高等数学》
第三节 一阶线性微分方程
基础课教学部
第三节 一阶线性微分方程
一、引入
二、基本概念
三、齐次方程的解法
四、经典实例
五、非齐次方程的解法
一、引入
实际问题中，事物总是不断的运动变化.
空气流动
气温变化
植物生长
？直接得出函数结构非常困难.
! 建立函数、导数、微分之间的等式（微分方程）
二.基本概念
设 = ()− ‫ ׬‬
是非齐次的通解

把C换成
C(x)！
怎么求解
呢?
常数变易法
令 = () − ‫ ׬‬
′ = ′ − ‫ ׬‬


,
则
− () − ‫ ׬‬

,
代入方程 y′ + = ()中整理
′ − ‫ ׬‬
= − ‫ ׬‬

(න ‫ ׬‬

+ )
其中为任意常数，3个积分均只写一个原函数

17
一阶微分方程
u
y du dy
1 1 eu
(u 1)
分离变量
1 u
eu eu
du
1 y
dy
两边积分 ln(u eu ) ln y ln C
即 得通解
y(u eu ) C
x
x ye y C
18
一阶微分方程
第四节 一阶线性微分方程
一阶 线性微分方程的标准形式 dy P( x) y Q( x) dx
其中C为任意常数. 由上式确定的函数 y y( x,C) 就是方程的通解(隐式通解).
这种解方程的方法称为分离变量法.
3
一阶微分方程
例 求方程 x(1 y2 )dx y(1 x2 )dy 0 的通解.
解 分离变量
1
y y
2
dy
1
x x
2
dx
两端积分
1
y y2
dy
1
x x
2
dx
1 ln(1 y2 ) 1 ln(1 x2 ) 1 ln C
y
e
1 dx x
sin x
x
e
1 dx
x dx
C
1 x
sin xdx C
1 cos x C
x
26
一阶微分方程
例 如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x)
与y x3 ( x 0) 截下的线段PQ之长数值上等于
阴影部分的面积, 求曲线 y = f (x).
解
C
Ce x0 3x02 6x0 6
y |x0 0 得 C 6 所求曲线为 y 3(2ex x2 2x 2)
28
一阶微分方程

齐次方程通解
高等数学（ZYH）
非齐次方程特解
例1. 解方程
d y 2d x d y 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 积分得 即 y C ( x 1) 2 2 则 用常数变易法求特解. 令 y u ( x) ( x 1) ,
y u ( x 1) 2 2 u ( x 1)
ln y P( x)d x ln C
故通解为
高等数学（ZYH）
y C e P ( x )d x
dy P( x) y Q( x) 2. 解非齐次方程 dx
P( x) d x 则 用常数变易法: 作变换 y ( x) u ( x) e ,
u e
即
P( x) d x
代入非齐次方程得 解得 故原方程通解为
高等数学（ZYH）
3 2 u ( x 1) 2 C 3
d y 0 的通解 . dx 解: 注意 x, y 同号, 当 x 0 时, 2 d x , 故方程可 x 变形为 这是以 x 为因变量, y为
由一阶线性方程通解公式 , 得
§12.4 一阶线性微分方程
一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程
一、一阶线性微分方程 dy P( x) y Q( x) 一阶线性微分方程标准形式: dx 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ; 0, 称为非齐次方程 . dy P( x) y 0 1. 解齐次方程 dx 分离变量 两边积分得 若 Q(x)
P( x) u e
P( x) d x
P( x) u e
P( x) d x
Q( x)
P ( x )d x 对应齐次方程通解 y C e P( x) d x 两端积分得 u Q( x) e dx C