高等数学（上）定义、定理及一些重要结论归纳（按照同济第六版上册第一章到第六章，不含第七章微分方程，定理证明从略）第一章函数与极限（1）（数列极限的定义）{}{}{}lim ,()n n n n n n n x a N n N x a a x x a x a x a n εε→∞>−<=→→∞设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或（2）（数列极限的唯一性）{}n x 如果数列收敛，那么它的极限唯一.（3）（收敛数列的有界性）{}{}n n x x 如果数列收敛，那么数列一定有界。
（4）（收敛数列的保号性）n lim ,0(0),0,,0(0).n n n x a a a N n N x x →∞=><>>><如果且或那么存在正整数当时都有或（5）（收敛数列保号性的推论）{}00lim ,0(0).n n n n n x x x x a a a →∞≥≤=≥≤如果数列从某项起有（或）,且那么或（6）（收敛数列与其子数列间的关系）{},.n x a a 如果数列收敛于那么它的任一子数列也收敛，且极限也是（7）（自变量趋于有限值时函数极限的定义）0000(),0,0()(),()lim ()()()x x f x x A x x x f x f x A A f x x x f x A f x Ax x εδδε→><−<−<→=→→设函数在点的某一去心邻域内有定义.如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（8）（函数极限存在的条件）000()()().f x x x f x f x −+→=函数当时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即（9）（自变量趋于无穷大时函数极限的定义）().,,()(),()lim ()()().x f x x A X x x X f x f x A A f x x f x A f x Ax εε→∞>−<→∞=→→∞设函数当大于某一正数时有定义如果存在常数对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数使得当满足不等式时，对应的函数值都满足不等式那么常数就叫做函数当时的极限，记作或当（10）（函数极限的唯一性）lim ().x x f x →如果存在，那么这极限唯一（11）（函数极限的局部有界性）0lim (),00,0().x x f x A M x x f x M δδ→=>><−<<如果那么存在常数和使得当时，有（12）（函数极限的局部保号性1）0lim (),0(0)00()0(()0).x x f x A A A x x f x f x δδ→=><><−<><如果且或，那么存在常数，使得当时，有或（13）（函数极限局部的保号性2）000lim ()(0),().2x x f x A A x U x x U x Af x →=≠∈>��如果那么就存在着的某一去心邻域()，当()时，就有（14）（函数极限局部保号性的推论）0()0(()0),lim (),0(0).x x x f x f x f x A A A →≥≤=≥≤如果在的某一去心邻域内或而且那么或（15）（函数极限与数列极限的关系）{}{}000lim (),(),(),()lim ()lim ().n n x x n n n x x f x x f x x x x n N f x f x f x →+→∞→≠∈=如果极限存在为函数的定义域内任一收敛于的数列且满足：那么相应的函数值数列必收敛，且（16*）（Heine 归并定理）{}000lim (),()(),lim ().n n n x x n n f x x x x n x x n N f x →+→∞→→∞≠∈极限存在的充分必要条件是：对任何数列满足且有存在（17）（无穷小的定义）0()()lim ()0,()().x x x f x f x f x x x x →→∞=→→∞如果函数的极限那么称函数为当或时的无穷小（18）（无穷小与函数极限的关系）0()()lim ()(),.x x x x x x f x A f x A αα→→∞→→∞==+在自变量的同一变化过程或中，函数的充分必要条件是其中是无穷小（19）（无穷大的定义）000()0(),0(0),0()(),()().f x x x M X x x x X f x M f x x x x δδ∀>∃>∃><−<>>→→∞设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）.如果对于不论它有多大或使得当或时，总有成立则称函数为当或是的无穷大（20）（无穷大与无穷小之间的关系）1,(),;()()1()0,.()f x f x f x f x f x ≠在自变量的同一变化过程中如果为无穷大则为无穷小反之，如果为无穷小，且则为无穷大�以下为一些极限运算法则的相关定理（21）.有限个无穷小的和也是无穷小（22）.有界函数与无穷小的乘积是无穷小（23）.常数与无穷小的乘积是无穷小（24）.有限个无穷小的乘积也是无穷小（25）（函数极限运算法则）[]lim (),lim (),(1)lim ()()lim ()lim ();(2)lim[()()]lim ()lim ();lim ()()(3)0,lim .()lim ()x x x x x x x x x x x f x A g x B f x g x f x g x A B f x g x f x g x A B f x f x A B g x g x B→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==±=±=±⋅=⋅=⋅≠==如果那么若有则（26）（数列极限运算法则）{}{}n .lim ,lim ,1lim();(2)lim ;(3)0(),0,lim.n n n n n n n n n n n n n x y A B x y A B x y A B x Ay n N B y B→∞→∞→∞→∞+→∞==±=±⋅=⋅≠∈≠=设有数列和如果那么（）当且时（27）[]lim (),,lim ()lim ().x x x f x c cf x c f x →∞→∞→∞=如果存在而为常数则（28）[]lim (),lim ()lim ().nnx x x f x n N f x f x +→∞→∞→∞⎡⎤∈=⎣⎦如果存在,而则（29）()(),lim (),lim (),.x x x x x a x b a b ϕψϕψ→∞→∞≥==≥如果而那么（30）（复合函数的极限运算法则）000000[()]()()[()]lim (),lim (),0,(,),(),lim [()]lim ().x x u u x x u u y f g x u g x y f u f g x x g x u f u A x U x g x u f g x f u A δδ→→→→=====∃>∈≠==�设函数是由函数与函数复合而成,在点的某一去心邻域内有定义，若且当时有则（31）（数列极限的夹逼准则极限存在准则I ）{}{}{}{}001,,2lim ,lim ,lim .n n n n n n n n n n n n n x y z n N n n y x z y a z a x x a →∞→∞→∞∃∈>≤≤===如果数列、及满足下列条件：（）当时，有（）那么数列的极限存在，且（32）（函数极限的夹逼准则极限存在准则I ’）0()()()()1(,)()()()()(2)lim (),lim ,lim ()lim ().x x x x x x x x x x U x r x M g x f x h x g x A A f x f x A →→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞∈>≤≤===�如果（）当或时，那么存在，且（33）（数列极限存在准则极限存在准则II ）.单调有界数列必有极限（34）（函数极限存在准则极限存在准则II II’’）00000()()().(,,,)f x x f x x f x x x x x x x −−+→→→−∞→+∞设函数在点的某个左邻域内单调且有界，则在的左极限必定存在类似（35）（柯西极限存在准则）{}00,,.n n m x N N N m N n N x x εε+∀>∃∈>>>−<数列收敛的充分必要条件是：对于,且使得当时，就有（36）（两个无穷小之间的比较）0:lim 0,lim ,lim 0,;(4)lim 0,0,.(5)lim 1,x x x k x x c c k k αβαββαβοααββααββααββααββααβα→∞→∞→∞→∞→∞≠==∞=≠=≠>=∼已知和是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，且(1)如果就说是比高阶的无穷小，记作=();(2)如果就说是比低阶的无穷小.(3)如果就说与是同阶无穷小如果就说是关于的阶无穷小如果就说与是等价无穷小,记作.（37）().βαβαοα=+与是等价无穷小的充分必要条件是（38）（等价无穷小替换定理）''',',limlim lim .''x x x βββααββααα→∞→∞→∞=∼∼设且存在，则（39）（函数连续性的定义1）[]00000()lim lim ()()0,().x x y f x x y f x x f x y f x x ∆→∆→=∆=+∆−==设函数在点的某一邻域内有定义，如果那么就称函数在点连续（40）（函数连续性的定义2）000()lim ()(),().x x y f x x f x f x f x x →==设函数在点的某一邻域内有定义,如果那么就称函数在点连续（41）（连续函数的和、差、积、商的连续性）000()(),(()0).ff xg x x f g f g g x gx ±⋅≠设函数和在点连续则它们的和(差)、积及商当时都在点连续（42）（反函数的连续性）{}1()()(),().x y x y f x I x f y I y y f x x I −====∈如果函数在区间上单调增加(或单调减少)且连续,那么它的反函数也在对应的区间上单调增加或单调减少且连续（43）（复合函数的连续性1）[][]00000()()(),().lim (),(),lim ()lim ()().f g x x x x u u y f g x u g x y f u U x D g x u y f u u u f g x f u f u →→→===⊂=====��设函数由函数与函数复合而成若而函数在连续则（44）（复合函数的连续性2）[][][][]000000000()()(),().(),(),(),(),lim ()lim ()()().f g x x u u y f g x u g x y f u U x D u g x x x g x u y f u u u y f g x x x f g x f u f u f g x →→===⊂==========�设函数是由函数与函数复合而成若函数在连续且而函数在连续则复合函数在也连续即（45）（初等函数的连续性）..基本初等函数在它们的定义域内都是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的（46）（有界性与最大值最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上有界，且一定能取得它的最大值和最小值.（47）（零点定理）[]()(),,()()0,,()0.f x a b f a f b a b f ξξ⋅<=设函数在闭区间上连续且那么在开区间内至少有一点，使得（48）（介值定理）()[,],()(),(,),(,)().f x a b f a A f b B C A B a b f C ξξ==∀∈∃∈=设函数在闭区间上连续且在这区间的端点取不同的函数值及那么对于使得（49）（介值定理的推论）.M m 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值（50）（一致连续性的定义）121212().0,0,,,,()().().f x I x I x I x x f x f x f x I εδδε∀>∃>∀∈∀∈−<−<设函数在区间上有定义如果对于使得对于和当时就有那么就称函数在区间上是一致连续的（51）（一致连续性定理）()[,],.f x a b 如果函数在闭区间上连续那么它在该区间上一致连续第二章导数与微分（1）（导数的定义）000000000000000()(),()();lim(),(),(),()()()lim lim lim x x x x x y f x x x x x x x yy f x x f x xy f x x y f x x f x f x x f x f yf x x x ∆→∆→∆→→=∆+∆∆∆=+∆−∆′==+∆−∆′===∆∆设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量点仍在该邻域内时相应的函数取得增量如果存在，则称函数在点处可导并称这个极限为函数在点处的导数记为即0000()(),,().x x x x x x x f x dyy x x dxdf x dx===−′−也可记作或（2）（函数可导的充分必要条件）000000()()()()()().f x x f x f x f x f x f x −+−+′′′′′==函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等，即（3）（可导与连续的关系）(),.y f x x =如果函数在点处可导则函数在该点必连续（4）（函数的和、差、积、商的求导法则）[]2()(),(1)()()()()(2)[()()]()()()()()()()()()(3)(()0).()()u u x v v x x x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x u x v x u x v x v x v x v x ==′′′±=±′′′=+′′′⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦如果函数及都在点具有导数,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点具有导数且（5）（反函数的求导法则）{}11()()0,()11(),,().()y x y x f y I f y y f x dy I x x f y y I f x dx f y dxdy−−′=≠=′⎡⎤==∈==⎣⎦′如果函数在区间内单调、可导且则它的反函数在区间内也可导且或（6）（复合函数的求导法则）[](),()(),(),()().u g x x y f u u g x y f g x x dy dy dy du f u g x dx dx du dx====′′=⋅=⋅如果在点可导而在点可导则复合函数在点可导且其导数为或（7）（微分的定义）000000(),,()()(),,()(),,.y f x x x x y f x x f x y A x x A x y f x x A x y f x x x dy dy A x ο=+∆∆=+∆−∆=∆+∆∆=∆=∆=∆设函数在某区间内有定义及在这区间内如果增量可表示为其中是不依赖于的常数那么称函数在点是可微的,而叫做函数在点相应于自变量增量的微分记作即（8）（可微与可导的关系）0000()(),(),(),().f x x f x x f x x dy f x dx dy f x dx ′′==函数在点可微的充分必要条件是函数在点可导且当在点可微时其微分一定是即函数微分的表达式（9）（函数和、差、积、商的微分法则）()()2()(),(1)(2)(3)(0).u u x v v x x x d u v du dv d uv vdu udv u vdu udvd v v v ==±=±=+−⎛⎞=≠⎜⎟⎝⎠如果函数及都在点可微,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点可微且（10）（复合函数的微分法则）[]()()()()(),().x u y f u u g x x f g x dy y dx f u g x dx dy f u du dy y du ==′′′′′====设函数及都在点处可导,则复合函数的微分为也可以写成或第三章微分中值定理与导数的应用（1）（费马引理）0000000()(),,(),()()(()()),()0.f x x U x x x U x f x f x f x f x f x ∀∈′≤≥=设函数在点的某邻域内有定义并在处可导如果对有或那么（2）（罗尔定理）[]()()(),(2),;(3),()().,()()0.f x a b a b f a f b a b a b f ξξξ=′<<=如果函数满足：(1)在闭区间上连续;在开区间上可导在区间端点处的函数值相等即那么在内至少有一点，使得（3）（拉格朗日中值定理）[]()()()(1),;(2),;,(),()()()().f x a b a b a b a b f b f a f b a ξξξ′<<−=−如果函数满足：在闭区间上连续在开区间上可导那么在内至少有一点使等式成立（4）()0,().f x I f x I 如果函数在区间上的导数恒为那么在区间上是一个常数（5）（柯西中值定理）[]()()()()()(1),;(2),;(3),,()0;()()(),,.()()()f x F x a b a b x a b F x f b f a f a b F b F a F ξξξ′∀∈≠′−=′−如果函数及满足：在闭区间上连续在开区间上可导对那么在内至少有一点使等式成立（6）（洛必达法则）000000()()()()()0()()()(1)lim ()0lim ()0,lim ()lim ()lim()0;0(2)(),()(),()0;()(3)lim ,()limx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x g x f x g x g x f x g x U x x X g x f x g x f →→→→→→∞→∞→∞→∞→∞→→∞→→∞===∞=∞∞∞′>≠′∞′�且或者且，即极限为未定式或在某去心邻域或时可导且存在或为则0()()()lim .()()x x x x f x g x g x →→∞′=′（7）（泰勒中值定理泰勒公式）()()()()0()20000000(1)10(1)0(),(1),,,()()()()()()()()(),2!!()()()().(1)!,,(),()n n n n n n n n f x x a b n a b f x f x f x f x f x x x x x x x R x n f R x x x a b n x a b f x M R x x x ξξο++++∀∈′′′=+−+−++−+=−<<+∈≤=−⋯如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数则对x 恒有其中称为拉格朗日型余项.如果当时则有.n⎡⎤⎣⎦，称为佩亚诺型余项（8）（麦克劳林公式）()20(0)(0)0,()(0)(0)(),2!!n nn f f x f x f f x x x R x n ′′′==+++++⋯在泰勒公式中，当时称为麦克劳林公式.（9）（函数单调性的判定定理）[]()()[]()[](),,,.(1),()0,(),.(2),()0,(),.y f x a b a b a b f x y f x a b a b f x y f x a b =′>=′<=设函数在上连续在内可导如果在内那么函数在上单调增加如果在内那么函数在上单调减少将闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间）,结论也同样成立.（10）（曲线凹凸性的定义）1212121212(),,()(),()()();22()()(2),()()().22f x I I x x x x f x f x f f x I x x f x f x f f x I ++⎛⎞<⎜⎟⎝⎠++⎛⎞>⎜⎟⎝⎠设在区间上连续对上任意两点(1)如果恒有那么称在上的图形是向上凹的或凹弧如果恒有那么称在上的图形是向上凸的或凸弧（11）（曲线凹凸性的判定定理）[]()()[]()[](),,,,(1),()0,(),;(2),()0,(),f x a b a b a b f x f x a b a b f x f x a b ′′>′′<设在上连续在内具有一阶和二阶导数那么若在内则在上的图形是凹的若在内则在上的图形是凸的.（12）（函数极值的定义）000000()(),(),()()(()()),()()f x x U x U x x f x f x f x f x f x f x <>�设函数在点的某邻域内有定义如果对于去心邻域内的任意一点有或那么就称是函数的一个极大值（或极小值）.（13）（可导函数取得极值的必要条件）000(),,()0.f x x x f x ′=设函数在处可导且在处取得极值那么（14）（判定极值的第一充分条件）()()()()()()000000000000000(),,.(1),,()0,,,()0,();(2),,()0,,,()0,();(3),,(),().f x x x U x x x x f x x x x f x f x x x x x f x x x x f x f x x x U x f x f x x δδδδδδ′′∈−>∈+<′′∈−<∈+>′∈��设函数在处连续且在的某去心邻域内可导若时而时则在处取得极大值若时而时则在处取得极小值若时的符号保持不变则在处没有极值（15）（判定极值的第二充分条件）0000000()()0,()0,(1)()0,();(2)()0,()f x x f x f x f x f x x f x f x x ′′′=≠′′<′′>设函数在处具有二阶导数且那么当时函数在处取得极大值当时函数在处取得极小值.（16）（区间内单一极值时最值的判定）000000()(,),()(),()();(2)()()().f x x x f x f x f x f x f x f x f x 函数在一个区间有限或无限开或闭内可导且只有一个驻点并且这个驻点是函数的极值点,那么(1)当是极大值时就是在该区间上的最大值当是极小值时,就是在该区间上的最小值第四章~第六章一元函数积分学（1）（原函数的定义）,()(),,()()()(),()()(()).I F x f x x I F x f x dF x f x dx F x f x f x dx I ′∀∈==如果在区间上可导函数的导函数为即对都有或那么函数就称为或在区间上的原函数（2）（原函数存在定理）(),(),()()..f x I I F x x I F x f x ∀∈′=如果函数在区间上连续那么在区间上存在可导函数使对都有即连续函数一定有原函数（3）（原函数之间的关系）{}()().()()(),()()(),(),().f x I f x F x x f x x F x C C f x F x C C ΦΦ−=+−∞<<+∞如果在区间上有一个原函数,那么就有无限多个原函数假设和均为的原函数则为某个常数且的全体原函数所组成的集合就是函数族（4）（不定积分的定义）,()()(()),().,(),(),.I f x f x f x dx I f x dx f x f x dx x ∫∫在区间上函数的带有任意常数项的原函数称为或在区间上的不定积分记作其中记号称为积分号称为被积函数称为被积表达式称为积分变量（5）（不定积分的性质1）[]()(),()()()().f xg x f x g x dx f x dx g x dx ±=±∫∫∫设函数及的原函数存在则（6）（不定积分的性质2）(),()().f x k kf x dx k f x dx =∫∫设函数的原函数存在为非零常数,则（7）（不定积分的凑微分法第一类换元法）[]()(),(),()()()u x f u u x f x x dx f u du ϕϕϕϕ==⎡⎤′=⎣⎦∫∫设具有原函数可导则有换元公式（8）（不定积分的代入法第二类换元法）[]11()(),()0.[()](),()()(),()().t x x t x f x x f x dx f t t dt x x t ψψψψψψψψψ−−=′′=≠⎡⎤′==⎣⎦∫∫设是单调的、可导的函数并且又设具有原函数则有换元公式其中是的反函数（9）（不定积分的分部积分法）()(),.u u x v v x udv uv vdu ===−∫∫设函数及具有连续导数那么（10）（定积分的定义）[][][][][][]{}[][][]012101121112111(),,,,,,,,,,,max ,,,,,,()0,n n n n i i i n i i i ni i i i i i f x a b a b a x x x x x b a b n x x x x x x x x x x x x x x a b f x x x λξξλξ−−−−−==<<<<<=∆=−=∆∆∆∈∆→∈∑⋯⋯⋯设函数在有界闭区间上有定义，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间各个小区间的长度依次为记,令若无论区间怎么分划,在时总存在与选取无关的确定的[][][]01(),(),(),()lim (),(),(),,,,,nbi i ai I f x a b I f x a b f x dx I f x f x f x dx x a b a b λξ→===∆∑∫极限,则称函数在上是可积的,这个极限称为函数在区间上的定积分简称积分记作其中叫做被积函数叫做被积表达式叫做积分变量叫做积分下限叫做积分上限叫做积分区间.（11）（函数可积的条件1）[][](),,(),.f x a b f x a b 设在区间上连续则在上可积（12）（函数可积的条件2）[][](),,,(),.f x a b f x a b 设在区间上有界且只有有限个间断点则在上可积（13）（定积分的性质1）[]()()()()bbbaaaf xg x dx f x dx g x dx±=±∫∫∫（14）（定积分的性质2）()()()bbaa kf x dx k f x dx k =∫∫是常数（15）（定积分的性质3）,()()()bcbaaca cb f x dx f x dx f x dx<<=+∫∫∫设则（16）（定积分的性质4）[],()1,1.b baaa b f x dx dx b a ≡==−∫∫如果在区间上则（17）（定积分的性质5）[],,()0(()0),()0(()0).b baaa b f x f x f x dx f x dx a b ≥≤≥≤<∫∫如果在区间上或则或 ()（18）（定积分性质5的推论1）[],,()(),()()().b baaa b f x g x f x dx g x dx a b ≤≤<∫∫如果在区间上则 （19）（定积分性质5的推论2）()()bbaaf x dx f x dx a b ≤<∫∫ ().（20）（定积分的性质6）[](),,()()())baM m f x a b m b a f x dx M b a a b −≤≤−<∫设及分别是函数在区间上的最大值和最小值则(（21）（定积分中值定理积分中值公式）[][](),,,()()().baf x a b a b f x dx f b a ξξ=−∫如果函数在积分区间上连续则在上至少存在一个点,使得成立（22）（积分上限函数的可导性）[][](),,()(),,()()()xaxa f x ab x f t dt a b d x f t dt f x a x b dxΦ=′Φ==≤≤∫∫如果函数在区间上连续则积分上限的函数在上可导并且它的导数 ().（23）[][](),,()()(),.xaf x a b x f t dt f x a b Φ=∫如果函数在区间上连续则函数就是在上的一个原函数（24）（牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式微积分基本公式）()()[,],()()().baF x f x a b f x dx F b F a =−∫如果函数是连续函数在区间上的一个原函数则（25）（定积分的换元法）[][][]()()()(1)(),();(2)(),(,)()()().bay f x x t t x t a b t f x dx f t t dt βαϕαβϕϕαϕβϕαββαϕϕ==≤≤===′=∫∫假设函数在函数的值域上连续(),函数满足条件：在或上具有连续导数，则有（26）[][]0(1)(),,()2().(2)(),,()0.aaaaaf x a a f x dx f x dx f x a a f x dx −−−=−=∫∫∫若在上连续且为偶函数则若在上连续且为奇函数则（27）[]2200()0,1,(1)(sin )(cos );(2)(sin )(sin ).2f x f x dx f x dx xf x dx f x dx πππππ==∫∫∫∫若在上连续则（28）(),,(1)()();(2)()()().a T Taa nTTaf x T f x dx f x dx f x dx n f x dx n N ++==∈∫∫∫∫设是连续的周期函数周期为则（29）（定积分的分部积分法）[][],()(),.bbba aaa b u x v x udv uv vdu =−∫∫设在区间上函数和可导则（30）（无穷限的反常积分的定义）[)[)[)(),,,lim (),(),,(),()lim ().();,(),(),()tat taaat aaf x a t a f x dx f x a f x dx f x dx f x dx f x dx f x a f x dx f x →+∞+∞+∞→+∞+∞+∞+∞>+∞=+∞∫∫∫∫∫∫(1)设函数在区间上连续取如果极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则函数在无穷区间上的反常积分没有意义习惯上称为反常积分(](],().(2)(),,,lim (),(),,(),()lim ().();,().(aabtt bbbtt b bdx f x dxf x b t b f x dx f x b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +∞+∞→−∞−∞−∞→−∞−∞−∞−∞<−∞=∫∫∫∫∫∫∫∫发散这时记号不再表示数值设函数在区间上连续取如果极限存在则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则称反常积分发散()()03)(),,()(),(),(),()()()lim ()lim (),();t tt t f x f x dx f x dx f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx +∞−∞+∞−∞+∞+∞−∞−∞→+∞→−∞+∞−∞−∞+∞−∞+∞=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫设函数在区间上连续如果反常积分和都收敛则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分，记作即这时也称反常积分收敛否则就称反常积分().f x dx +∞−∞∫发散（31）（瑕点的定义）()()().f x a a f x 如果函数在点的任一邻域内都无界,那么点称为函数的瑕点也称为无界间断点（32）（无界函数的反常积分的定义）(](][)(),,(),lim (),(),,(),()lim ().().,().(2)(),,()btt ab b baatt ab baaf x a b a f x t a f x dx f x a b f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x a b b f x ++→→>=∫∫∫∫∫∫(1)设函数在上连续点为的瑕点.取如果极限存在则称此极限为函数在上的反常积分仍然记作即这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在则称反常积分发散设函数在上连续点为的瑕点.取[],lim (),()lim ().().(3)(),(),().()()()()()lim ()l tat bbt baaat bc abbcbtcaacat ct b f x dx f x dx f x dx f x dx f x a b c a c b c f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx −−−→→→<=<<=+=+∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫如果极限存在则定义否则,就称反常积分发散设函数在上除点外连续点为的瑕点如果两个反常积分与都收敛，则定义im ().().btt cbaf x dx f x dx +→∫∫否则,就称反常积分发散（33）（无穷限反常积分的审敛法1）[)[)(),,()0.()(),()xaaf x a f x F x f t dt a f x dx +∞+∞≥=+∞∫∫设函数在区间上连续且若函数在上有上界,则反常积分都收敛.（34）（无穷限反常积分的审敛法2比较审敛原理）[)()(),.0()()(),(),()0()()(),(),().aaaaf xg x a f x g x a x g x dxf x dxg x f x a x g x dx f x dx +∞+∞+∞+∞+∞≤≤≤<+∞≤≤≤<+∞∫∫∫∫(1)设函数和在区间上连续如果并且收敛则也收敛;(2)如果并且发散则也发散（35）（无穷限反常积分的审敛法3比较审敛法1）[)(),(0),()0.(1)01,()(),();0,()(),().p a a f x a a f x MM p f x a x f x dx xNN f x a x f x dx x+∞+∞+∞>≥>>≤≤<+∞>≥≤<+∞∫∫设函数在区间上连续且如果存在常数及使得则反常积分收敛(2)如果存在常数使得则反常积分发散（36）（无穷限反常积分的审敛法4极限审敛法1）[)(),,()0.1,lim (),()(2)lim ()0(lim ()),().p a x ax x f x a f x p x f x f x dx xf x d xf x f x dx +∞→+∞+∞→+∞→+∞+∞≥>=>=+∞∫∫设函数在区间上连续且(1)如果存在常数使得存在则反常积分收敛;如果或则反常积分发散（37）（无穷限反常积分的审敛法5）[)(),.(),().().aaaf x a f x dx f x dx f x dx +∞+∞+∞+∞∫∫∫设函数在区间上连续如果反常积分收敛则反常积分也收敛即绝对收敛的反常积分必定收敛（38）（无界函数的反常积分的审敛法1比较审敛法2）(](),,()0().(1)01,()(),();()(2)0()(),().b q a b a f x a b f x x a f x MM q f x a x b f x dx x a NN f x a x b f x dx x a≥=>>≤<≤−>≥<≤−∫∫设函数在区间上连续且，为的瑕点如果存在常数及使得则反常积分收敛如果存在常数，使得则反常积分发散（39）（无界函数的反常积分的审敛法2极限审敛法2）(](),,()0,().(1)01,lim ()()();(2)lim ()()0(lim ()()),().bq a x abax ax af x a b f x x a f x q x a f x f x dx x a f x d x a f x f x dx +++→→→≥=<<−−=>−=+∞∫∫设函数在区间上连续且为的瑕点如果存在常数使得存在,则反常积分收敛如果或则反常积分发散（40）（Γ函数的相关性质）21101220(1):()(0).0.(2)(1)()(0).,(1)!(3)0,().(4)()(1)(01).sin (5)(),,()2x s x s xs u s e x dx s e x dx s s s s s n N n n s s s s s ss e x dx x u s eu ππ+∞+∞−−−−+++∞−−−ΓΓ=>>Γ+=Γ>∈Γ+=→Γ→+∞ΓΓ−=<<Γ==Γ=∫∫∫函数定义 反常积分对任意都收敛递推公式: 当时当时余元公式：在中作代换有2100.11121,()(1).222s u tdu t t s t s e u du t +∞−+∞−++−===Γ>−∫∫再令或即有 （41）.光滑曲线弧是可求长的。
