北京工业大学、薛毅、数学模型作业八、作业8、实验八

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北工大数学建模作业5

实验五解：依据题意“总的停车距离=反应距离+刹车距离”，设L表示跟车距离，s表示刹车距离，v表示车速，t表示反应时间，即：L=vt+s用平方和最小方法估计系数s、t：min s,ts+v i t−L i2 ni=1将50组实验数据代入计算并取最优解，相应的LINGO程序如下图1-1所示：图1-1（详细如下）model:sets:quantity/1..50/:v,L;endsetsdata:v= 4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 13 14 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25;L= 2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 46 26 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 68 32 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85;enddatamin=@sum(quantity:(s+v*t-L)^2);@free(s);@free(t);endLINGO程序计算结果截取如下图1-2所示：图1-2由计算结果可知：平方和最小时，s=-17.57909，t=3.932409。

即,L=3.932409v−17.57909解：依据题意设第一个作业点为坐标原点，即（0, 0）点。

则第二个作业点的坐标为（75，330），第三个作业点的坐标为（-225, -40）。

设两个临时机场的位置坐标分别为A x a，y a、B x b，y b，A机场给三个作业点提供的油料分别为a1、a2、a3，B机场给三个作业点提供的油料分别为b1、b2、b3，要求每月从机场到作业点的吨公里数最少，建立数学模型：目标函数为：Min L=a1x a2+y a2+b1x b2+y b2+a2x a−752+y a−3302+b2x b−752+y b−3302+a3x a+2252+y a+402+b3x b+2252+y b+402约束条件为：a1+b1=25a2+b2=14a3+b3=34相应的LINGO程序如下图2-1所示：图2-1（不是很清晰，详细见下）min=a1*(xa^2+ya^2)^0.5+b1*(xb^2+yb^2)^0.5+a2*((xa-75)^2+(ya-330)^2)^0 .5+b2*((xb-75)^2+(yb-330)^2)^0.5+a3*((xa+225)^2+(ya+40)^2)^0.5+b3*((x b+225)^2+(yb+40)^2)^0.5;a1+b1=25;a2+b2=14;a3+b3=34;@free(xa);@free(xb);@free(ya);@free(yb);LINGO程序运行结果如下图2-2所示：图2-2由计算结果可知：临时机场A建立的位置坐标为（0, 0）处，机场B建立的位置坐标为（-225，-40）处时，并且A机场给第1个作业点提供油料25t，给第2个作业点提供14t，给第3个作业点提供0t；机场B给第1个作业点提供0t，给第2个作业点提供0t，给第三个作业点提供34t，这种方案下每月的吨公里数最少为4737.816。

2012年北京工业大学数学建模初赛试题

2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛参赛说明1.北京工业大学数学建模初赛试题共有三道（A、B、C），请选择你最熟悉的一道题目回答，不必做其他题目。

2.请按规定的时间内上交试卷，过期无效。

试卷要在用A4纸打印完成，手写无效。

3.由于竞赛题目有一定的难度，因此不必做完上一个问题，才能回答下一个问题，而是需要完整地把解题的思想表达出来。

由于有些题目中的问题较多或难度较大，很可能在一周的业余时间内做不完，你可以对某些问题不作回答，有兴趣的同学可以在竞赛后再作深入研究。

4.由于题目难度不可能完全相同，评审中将向难度较大的题目倾斜，请参赛选手在选题时加以考虑。

5.尽管本次竞赛研究生和本科生均能参加，但在评分上两者的要求是不同的，在阅卷时将对研究生有更高的要求。

2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛A 题：GPS 定位问题GPS 是英文 Global Positioning System 的缩写，即全球定位系统。

GPS 的空间部分是由24颗卫星组成（21颗工作卫星，3颗备用卫星），它位于距地表20200公里的上空均匀分布在6个轨道面上（每个轨道面4颗），轨道倾角为55°。

卫星的分布使得在全球任何地方、任何时间都可观测到4颗以上的卫星。

图A.1给出GPS 卫星的示意图。

图A.1：GPS 卫星的图片图A.2：车载型GPS 信号接收机 GPS 的用户设备部分是GPS 信号接收机，它的作用是接收GPS 卫星所发出的信号，利用这些信号进行导航定位等工作，图A.2为一款GPS 信号接收机。

GPS 信号接收机能收到GPS 卫星发来的信息，信息由GPS 卫星所在的空间位置和GPS 信号到达地面接收机的时间组成。

卫星所在的空间位置由卫星的轨道参数确定，为简化问题，这里假定它是准确值。

GPS 信号到达接收机的时间是由卫星上的时钟（铯原子钟）和地面接收机上的时钟（低成本钟）决定，所以有误差。

北京工业大学-工程数学-薛毅-作业5

数理统计实验
1.
已知某种灯泡寿命服从正态分布，在某星期所生产的灯泡中随机抽取10只，测得寿命（单位：小时）为：
1067 919 1196 785 1126 936 918 1156 920 948
（1）试问这批灯泡中大约95%的灯泡至少使用多少小时；
（2）求这批灯泡能够使用1000小时以上的概率。
解答:
根据运行结果分析：
可知p-value = 0.8227>>0.1，因此，可以认为每分钟顾客人数X服从Poisson分布。
7.
向120位女性和120位男性做调查，了解他们关于给谁买节日礼物最难的看法，调查结果如表5.2所示.试分析：女性和男性在关于给谁买节日礼物最难的看法上有没有显著差异。
解答：
录入数据，用chisq.test（）函数检验：
0.03624378 0.04402702
sample estimates:
probability of success
0.04
根据运行结果分析：
p-value p-value <2.2e-16<0.05，所以拒绝接受原假设，认为这些数据不能说明乳腺癌的患病率与家族史有关。
5.
Mendel用豌豆的两对相对性状进行杂交实验，黄色圆滑种子与绿色皱缩种子的豌豆杂交后，第二代根据自由组合规律，理论分离比为：
（1）由点估计与参数估计未知参数和 ,可以求出均值与方差，
，；
R程序运行结果：
> x<-c(1067,919,1196,785,1126,936,918,1156,920,948)
> n<-length(x)
> x.sd<-sd(x)
> x.mean<-mean(x); x.mean

北京工业大学-薛毅老师-工程数据建模-实验2-线性规划和整数规划

北京工业大学-薛毅老师-工程数据建模-实验2-线性规划和整数规划2. 线性规划和整数规划实验2.1 基本实验1. 生产计划安排某工厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表2.1所示。

表2.1 不同产品的消耗定额产品可用量资源A B C (单位)6 3 5 45 劳动力3 4 5 30 材料产品利润3 14 (元/件)(1)确定获利最大的生产方案;(2)产品A、B、C的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变; (3)如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜,(4)如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产,解答:(1)LINGO中程序:max = 3*x1 +x2+ 4*x3;6*x1 + 3*x2+5*x3 <= 45;3*x1 + 4*x2+5*x3 <= 30;end程序运行结果如下:Global optimal solution found.Objective value: 27.00000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 5.000000 0.000000X2 0.000000 2.000000X3 3.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 27.00000 1.0000002 0.000000 0.20000003 0.000000 0.6000000获利最大的生产方案为:生产A产品5件，B产品0件，C产品3件，获利为27。

(2)产品A利润在2.4-4.8元之间变动,最优生产计划不变。

(3)运行程序LINGO中程序:max=3*x1+x2+4*x3;6*x1+3*x2+5*x3<45;end程序运行结果如下:Global optimal solution found.Objective value: 36.00000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostX1 0.000000 1.800000X2 0.000000 1.400000X3 9.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 36.00000 1.0000002 0.000000 0.8000000从程序运行结果可得到:当A、B为0，而C 9件时利润最大,最大利润为36元,应该购入原材料扩大生产,购入15个单位。

北工大工程数学-数学建模实验03

1.曲线拟合有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系， y=β0+β1x ，其中x 为车速，y 为刹车距离，现测得50组数据（xi ，yi ）（i=1,2,3…，50）（见表3.1，用三种方法((1)平方和最小;(2)绝对偏差和最小; (3)最大偏差最小)估计系数β0和β1，并分析三种方法的计算效果(注:用LINGO 软件求解，用其他软件画出散点图和回归直线)，说明哪一种方法得到有结果更合理. 解：（1）平方和最小，根据最小二乘方法求解，相应的无约束问题为()2n1i i i 10y -x min 10∑=+=ββββ，，为了方便计算，将β0, β1换成A,B ，相应的LINGO程序如下： sets :quantity/1..50/: x,y; endsets data :y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25; enddatamin =@sum (quantity: (A+B*x-y)^2); @free (A); @free(B);计算结果如图所示用LINGO解得：A= -17.57909,B=3.932409，所以y= -17.57909+3.932409*x. β0= -17.57909,β1=3.932409（2）绝对偏差和最小，根据最小一乘方法求解，相应的无约束问题为∑=+=ni1ii1y-xmin1ββββ，，为了方便计算，将β0, β1换成A,B，相应的LINGO程序如下：sets:quantity/1..50/: x,y;endsetsdata:y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,4 0,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17, 17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25;enddatamin=@sum(quantity: @abs(A+B*x-y));@free(A); @free(B);计算结果如图所示用LINGO 解得：A= -11.6,B=3.4，所以y= -11.6+3.4*x. β0= -11.6,β1=3.4（3）最大偏差最小，根据最大偏差的最小的方法求解，相应的无约束问题为i i 101y -x max min 10ββββ+=≤≤ni ，，为了方便计算，将β0, β1换成A,B ，相应的LINGO程序如下： sets :quantity/1..50/: x,y; endsets data :y=2,10,4,22,16,10,18,26,34,17,28,14,20,24,28,26,34,34,46,26,36,60,80,20,26,54,32,40,32,40,50,42,56,76,84,36,46,68,32,48,52,56,64,66,54,70,92,93,120,85;x=4,4,7,7,8,9,10,10,10,11,11,12,12,12,12,13,13,13,13,14,14,14,14,15,15,15,16,16,17,17,17,18,18,18,18,19,19,19,20,20,20,20,20,22,23,24,24,24,24,25; enddatamin =@max (quantity: @abs (A+B*x-y)); @free (A); @free (B); 计算结果如图所示用LINGO解得：A= -12,B=4，所以y= -12+4*x. β0= -12,β1=4X轴为速度，Y轴为距离，蓝色点多已知数据点，y1,y2,y3分别为前三种方法求得的数据点，黑色线为通过蓝色数据点得到的线性回归方程y=1.445x+6.121,比较三种方法得到曲线，可以看到与红色曲线吻合度高于其他两种方法，所以第一种方法得到的结果更为合理。

高中数学第八章数学建模活动一课时分层作业含解析北师大版第一册

课时分层作业(四十七) 数学建模活动（一）(建议用时:40分钟)1．A、B两城相距100 km,在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km。

已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比,比例系数λ＝0。

25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．（1）求x的范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数;(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小．[解］（1）x的取值范围为［10，90］；(2）y＝0。

25×20x2＋0。

25×10(100－x）2＝5x2＋错误!（100－x)2(10≤x≤90)；(3）由y＝5x2＋错误!（100－x)2＝错误!x2－500x＋25 000＝错误!错误!错误!＋错误!.则当x＝1003km时，y最小．故当核电站建在距A城错误!km时，才能使供电费用最小．2．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t，130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(t）与月序数x之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c均为待定系数，x∈N＊）或函数y＝g(x）＝pq x ＋r（p，q，r均为待定系数，x∈N＊),现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？［解］根据题意可列方程组错误!解得错误!所以y＝f(x）＝－5x2＋35x＋70. ①同理y＝g（x）＝－80×0.5x＋140。

②再将x＝4分别代入①与②式得f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130（t），g(4）＝－80×0。

54＋140＝135(t）.与f（4）相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x）＝pq x＋r作为模拟函数较好．3．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天）的函数，且日销售量近似地满足g(t）＝－错误!t＋错误! (1≤t≤100,t∈N)。

北京工业大学-薛毅老师-工程数据建模-实验4-图论(组合优化)

数据建模作业4图论(组合优化)实验1、最短路问题的应用一设备更新问题某单位计划购买一台设备在今后4年内使用.可以在第一年初购买该设备，连续使用4年，也可以在任何一年末将设备卖掉，于下年初更换新设备.表 4.1给出各年初购置新设备的价格，表4.2给出设备的维护费，及卖掉旧设备的回收费。

问如何确定设备的更新策略，使4年内的总费用最少?表4.1年初设备购置价格(单位:万元)第一年第二年第三年第四年年初购置价 2.5 2.6 2.8 3.1表4.2设备维护费和设备折旧费(单位:万元)设备役龄0～1 1～2 2～3 3～4 年维护费0.3 0.5 0.8 1.2年末处理回收费 2.0 1.6 1.3 1.1解答：用图论知识来解此题。

分别用5个点[1，2，3，4，5]表示第i年开始，各点之间连线表示费用，用C ij表示第i年开始，到j-1年结束的费用。

根据题意，可画出下图1-1443 2 1 01 2 3 4 5 6图1-1LINGO 中程序：sets :nodes/1..5/;arcs(nodes,nodes)|&1 #lt# &2:c,x; end sets data :c = 0.8,1.7,2.8,4.2,0.9,1.8,2.9,1.1,2,1.4; enddatan = @size (nodes); min = @sum (arcs:c*x);@for (nodes(i)| i #ne# 1 #and# i #ne# n :@sum (arcs(i,j):x(i,j)) = @sum (arcs(j,i):x(j,i))); @sum (arcs(i,j)| i #eq# 1 : x(i,j)) = 1;程序运行结果如下：Global optimal solution found.Objective value: 3.700000 Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost N 5.000000 0.000000 C( 1, 2) 0.8000000 0.000000 C( 1, 3) 1.700000 0.000000 C( 1, 4) 2.800000 0.000000 C( 1, 5) 4.200000 0.000000 C( 2, 3) 0.9000000 0.0000001 1 1 12 2 23 3结束C( 2, 4) 1.800000 0.000000C( 2, 5) 2.900000 0.000000C( 3, 4) 1.100000 0.000000C( 3, 5) 2.000000 0.000000C( 4, 5) 1.400000 0.000000X( 1, 2) 1.000000 0.000000X( 1, 3) 0.000000 0.000000X( 1, 4) 0.000000 0.5000000X( 1, 5) 0.000000 0.5000000X( 2, 3) 0.000000 0.000000X( 2, 4) 0.000000 0.3000000X( 2, 5) 1.000000 0.000000X( 3, 4) 0.000000 0.5000000X( 3, 5) 0.000000 0.000000X( 4, 5) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.000000 0.0000002 3.700000 -1.0000003 0.000000 -3.7000004 0.000000 -2.9000005 0.000000 -2.0000006 0.000000 -1.400000结论：从程序运行结果可见，设备应该在第一年年末卖出，在第二年初买入，在第四年末卖出，总费用最小，为3.7万元。

数学建模作业北工大薛毅实验3.docx

第三次作业1.生产计划安排某公司使用三种操作装配三种玩具一玩具火车、玩具卡车和玩具汽车.对于二种操作可冃时间限制分别是每天430分钟、460分钟和420分钟，玩具火车、玩具代车和玩具汽车的单位收入分別是3美元、2美元和5美元•每辆玩具火车在三种操作的装配时间分別是1分钟、3分钟和1分钟•毎辆玩具K车和每辆玩具汽车相应的时间是(2,0,4)和(1,2,0)分钟(零时间表示不使用该项操作).(1)将间题建立成一个线性规划模型，确定最优的生产方案.(2)对于操作1,假定超过它当前每天43()分钟能力的任何附加时间必须依靠每小时50美元的加班获得•每小时成本包括劳动力和机器运行费两个方面. 对于操作1,使用加班在经济I：冇利吗？如果冇利，最多増加多少时间？(3)假定操作2的操作员已同意每天加班工作2小时，其加班费是45美元•小时.还有，操作自身的成本是•小时10美元.这项活动对于每天收入的实际结果是什么？(4)操作3需要加班时间吗？解：(1)设生产玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的数量分别为XI, X2, X3,则H 标函数为：max Z=3X 1+2X2+5X3约朿条件：XI +2X2 +X3V 二4303X1 +2X3<=460XI +4X2 <=420Xl>=0； X2>=0； X3>=0输到ling。

里面的结果为；Global optimal solution found.Objective value:1350.000Infeasibilities: 0.000000Total solver iterations: 2Model Class: LPTotal variables: 3Non linear variables: 0Total constraints: 4Nonlinear constraints:Total non zeros:10Non linear non zeros:VariableValue Reduced CostXI0.000000 4.000000X2100.0000 0.000000X3230.00000.000000RowSlack or SurplusDual Price11350.0001.000000 2 0.000000 1.0000003 0.000000 2.000000420.000000.000000所以玩具火车、玩具卡车和玩具汽车的生产数量分别为：0、100. 230；最大的收入为1350.(2)表明操作1每工作1分钟的利润是2美元，如果是要加50美元每小时的加工费的话，一定是赚的。

北京工业大学-数学建模5-最优化与存储模型实验201311

最优化与存储模型实验作业一、基本实验1.拟合问题有关部门希望研究车速与刹车距离之间的关系，01y x ββ=+，其中x 为车速，y 为刹车距离，现测得50组数据(,)(1,2,,50)i i x y i =（见表5.1），用三种方法（（1）平方和最小；（2）绝对偏差和最小；（3）最大偏差最小）估计系数0β，1β，并分析三种方法的计算效果（注：用Lingo 软件求解，用其他软件画出散点图和回归直线），说明那一种方法得到的结果更合理。

解：x 为车速，y 为刹车距离，（1）平方和最小；（2）绝对偏差和最小；（3）最大偏差最小。

三种情况下相应的无约束问题为：01010150210,15010,110,150min (),min ,min max ,i i i i i i i i i z x y z x y z x y ββββββββββββ==≤≤=+-=+-=+-∑∑编写相应的Lingo 程序分别为（由于β和α在程序中不好体现，我们仍然用a表示α，b表示β）：（1）平方和最小：sets:Quantity/1..50/: x, y;endsetsdata:x=4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14,15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22,23, 24, 24, 24, 24, 25;y=2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36 ,60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddataMin=@sum(quantity: (a*x+b-y)^2);@free(a);@free(b);运行结果见xueyunqiang-chapter5-1所以拟合结果是：=-y x3.93240917.57909（2）绝对偏差和最小：编写Lingo程序：sets:Quantity/1..50/: x, y;endsetsdata:x=4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22, 23, 24, 24, 24, 24, 25;y=2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36 ,60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddataMin=@sum (quantity: @abs(a*x+b-y));@free(a); @free(b);运行结果见xueyunqiang-chapter5-1(2)所以拟合结果为;y x=-3.411.6,（3）最大偏差最小：编写Lingo程序：sets:Quantity/1..50/: x, y;endsetsdata:x=4, 4, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14,15, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 18, 18, 19, 19, 19, 20, 20, 20, 20, 20, 22,23, 24, 24, 24, 24, 25;y=2, 10, 4, 22, 16, 10, 18, 26, 34, 17, 28, 14, 20, 24, 28, 26, 34, 34, 46, 26, 36 ,60, 80, 20, 26, 54, 32, 40, 32, 40, 50, 42, 56, 76, 84, 36, 46, 68, 32, 48, 52, 56, 64, 66, 54, 70, 92, 93, 120, 85;enddataMin=@max (quantity: @abs(a*x+b-y));@free(a); @free(b);运算结果见xueyunqiang-chapter5-1(3)所以拟合结果为：=-412,y x三种拟合结果为：（1） 3.93240917.57909=-y x（2） 3.411.6,=-y x（3）412,=-y x在Matlab中绘制散点图和拟合直线图如下：>>x=[4 4 7 7 8 9 10 10 10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 1314 14 14 14 15 15 15 16 16 17 17 17 18 18 18 18 19 19 1920 20 20 20 20 22 23 24 24 24 24 25];>>y=[2 10 4 22 16 10 18 26 34 17 28 14 20 24 28 26 34 34 4626 36 60 80 20 26 54 32 40 32 40 50 42 56 76 84 36 46 6832 48 52 56 64 66 54 70 92 93 120 85];>> plot(x,y,'s')>> hold on>> x=0:0.05:25;y=3.932409*x-17.57909;plot(x,y,'b');>> hold on;>> x=0:0.05:25;y=3.4*x-11.6;plot(x,y,'r-');>> hold on;>> x=0:0.05:25;y=4*x-12;plot(x,y,'m- -');由散点图可知最上角的点明显异于其他点，最大偏差最小回归直线受最大偏差影响明显，最小二乘统计性质较好，但是受异常点的影响，也有向上偏移的趋势，而最小一乘受异常点影响的程度较小，基本上在主流数据之间。

2016年北京工业大学数学建模初赛试题

2016年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛初赛参赛说明1.北京工业大学数学建模初赛试题共有三道（A、B、C），请选择你最熟悉的一道题目回答，不必做其他题目。

2.请按规定的时间内上交试卷，过期无效。

试卷要在用A4纸打印完成，手写无效。

3.由于题目难度不可能完全相同，评审中将向难度较大的题目倾斜，请参赛选手在选题时加以考虑。

4.尽管本次竞赛研究生和本科生均能参加，但在评分上两者的要求是不同的，在阅卷时将对研究生有更高的要求。

A 题：二维STEWART 平台的运动图A1给出的是平面型Stewart 平台示意图，它模拟一个操作装置，其中包括一个三角形（ABC ∆）平台，平台位于一个由3个支柱（21,p p 和3p ）控制的固定平面中。

图中的三角形（ABC ∆）表示平面型Stewart 平台，它的尺寸由3个长度321,,L L L 确定。

平台的位置由3个支柱的可变长度的3个参数321,,p p p 所控制。

图A1 平面型Stewart 平台示意图需要解决的问题是，在给定一组参数321,,p p p 的值后，计算出A 点的坐标()y x ,和角度θ的值。

请你完成：1. 数学建模。

参数321,,L L L ，221,,y x x 是固定常数，在给定一组参数321,,p p p 的值后，判断能否得到Stewart 平台的一个位置，即能否得到A 点坐标()y x ,和角度θ的值。

如果能，则称它为Stewart 平台的一个位姿。

但位姿并不一定是唯一的，如何让你的模型能够计算出一组固定参数下的全部位姿。

2. 模型检验。

假设有如下参数：()()60,,5221，==y x x ，233231===L L L ，，3,5321===p p p ，请根据你的模型，计算出Stewart 平台的全部位姿，即计算出每个Stewart 平台中的A 点坐标()y x ,和角度θ的值。

3. 将问题2中的支柱长度52=p 改为72=p ，其他条件不变，请计算出Stewart 平台的全部位姿。

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22 0.076977 -0.06856 0.07939 1.118 3.21e-03 0.0728 *
23 -0.020794 0.00320 -0.06391 1.050 2.07e-03 0.0186
24 -0.207717 0.26679 0.31908 1.043 5.04e-02 0.0615
49 -0.139760 0.10502 -0.17504 1.029 1.53e-02 0.0289
50 0.012644 -0.02708 -0.05528 1.060 1.55e-03 0.0244
51 0.224064 -0.28417 -0.33444 1.048 5.53e-02 0.0666
+ 63 , 76 , 70,
+ 75 , 79 ,90,
+ 71 ,73, 85,
+ 70, 80 , 76,
+ 65 , 68 ,71,
+ 70 , 75, 99,
+ 79 ,89 , 86,
+ 72, 101 , 79,
+ 68 , 70 ,92,
+ 67 , 72, 85,
+ 79 ,80 , 71,
40 0.090694 -0.03047 0.22339 0.959 2.42e-02 0.0189
41 -0.000719 0.00154 0.00314 1.066 5.04e-06 0.0244
42 0.009147 -0.01147 -0.01331 1.120 9.03e-05 0.0720 *
dfb.1_ dfb.X1 dfb.X2 dfb.X3dffitcov.rcook.dhat
1 -0.01011 -0.229978 0.227795 -0.026603 -0.265129 1.369 1.81e-02 0.1704
2 -0.18606 0.111515 -0.116101 0.200001 0.285155 1.298 2.09e-02 0.1470
5 0.061536 -0.02067 0.15157 1.012 1.14e-02 0.0189
6 0.040347 -0.06466 -0.10164 1.060 5.23e-03 0.0311
7 -0.184151 0.16135 -0.19250 1.085 1.87e-02 0.0623
8 0.009884 -0.00685 0.01374 1.066 9.62e-05 0.0246
12 0.044116 0.00680 0.18260 0.990 1.64e-02 0.0185
13 0.008942 -0.00759 0.00964 1.093 4.74e-05 0.0486
14 -0.010312 0.00798 -0.01243 1.073 7.88e-05 0.0315
28 0.053294 -0.04577 0.05678 1.095 1.64e-03 0.0529
29 -0.150454 0.24110 0.37902 0.907 6.73e-02 0.0311
30 0.117387 -0.16206 -0.21286 1.047 2.27e-02 0.0441
15 0.005591 0.01609 0.07753 1.048 3.05e-03 0.0194
16 0.014728 -0.01278 0.01553 1.103 1.23e-04 0.0574
17 0.100191 -0.07528 0.12548 1.049 7.95e-03 0.0289
18 0.219347 -0.29053 -0.36164 1.002 6.37e-02 0.0522
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
Residual standard error: 8.146 on 52 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.4077, Adjusted R-squared: 0.3963
+ 91, 83 ,90,
+ 76 , 75, 91,
+ 69 , 71 , 100,
+ 66 ,80 ,80,
+ 73 ,96, 109)
>lm.sol<-lm(y ~ 1+x)
> summary(lm.sol)
Call:
lm(formula = y ~ 1 + x)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
9 0.02304 0.013969 -0.006324 -0.024218 0.044365 1.343 5.16e-04 0.0984
9 0.105757 -0.18107 -0.30521 0.949 4.47e-02 0.0286
10 0.136895 -0.11756 0.14584 1.081 1.08e-02 0.0529
11 0.028475 -0.01721 0.04634 1.058 1.09e-03 0.0215
6 0.04372 0.006790 0.002269 -0.045017 0.058121 1.384 8.86e-04 0.1258
7 0.07955 0.116438 -0.096514 -0.083547 -0.169070 1.392 7.44e-03 0.1536
8 -0.02218 0.025875 -0.029593 0.024407 -0.048721 1.331 6.22e-04 0.0908
52 -0.036395 0.02379 -0.05428 1.059 1.50e-03 0.0229
53 -0.075865 0.14224 0.26115 0.969 3.31e-02 0.0263
54 -0.441352 0.56686 0.67798 0.856 2.06e-01 0.0615 *
plot(lm.sol, 1:4)
par(op)
savePlot("diagnoses1", type="eps"
求解
>influence.measures(lm.sol)
Influence measures of
lm(formula = y ~ 1 + x) :
dfb.1_dfb.xdffitcov.rcook.dhatinf
-16.4786 -5.7877 -0.0784 5.6117 19.7813
Coefficients:
Estimate Std. Error t valuePr(>|t|)
(Intercept) 56.15693 3.99367 14.061 < 2e-16 ***
x 0.58003 0.09695 5.983 2.05e-07 ***
31 -0.069500 0.05898 -0.07496 1.088 2.86e-03 0.0486
32 -0.038643 -0.00595 -0.15994 1.005 1.27e-02 0.0185
33 -0.065121 0.08485 0.10338 1.094 5.43e-03 0.0567
> op <- par(mfrow=c(2,2), mar=0.4+c(4,4,1,1),oma= c(0,0,2,0))
> plot(lm.sol, 1:4)
> par(op)
>savePlot("diagnoses1", type="eps")
由结果可以看出残差分布不满足齐性要求，但满足正态性要求。
25 0.120973 -0.09595 0.14131 1.053 1.01e-02 0.0344
26 -0.027571 0.05906 0.12054 1.042 7.32e-03 0.0244
27 0.004210 -0.00597 -0.00811 1.083 3.35e-05 0.0404
43 0.019922 -0.01444 0.02615 1.067 3.48e-04 0.0266
44 0.001067 -0.03103 -0.10809 1.038 5.89e-03 0.0202
45 -0.060180 0.09169 0.13608 1.054 9.34e-03 0.0339
46 -0.089190 0.06179 -0.12396 1.041 7.74e-03 0.0246
47 0.017322 -0.07109 -0.19692 0.992 1.91e-02 0.0213
48 -0.186149 0.26392 0.35865 0.964 6.19e-02 0.0404
F-statistic: 35.79 on 1 and 52 DF, p-value: 2.05e-07
回归方程为
残差分析
调用程序influence.measures(lm.sol)
op <- par(mfrow=c(2,2), mar=0.4+c(4,4,1,1),oma= c(0,0,2,0))
3 1.35169 0.385890 -1.006688 -0.708960 -3.607345 0.348 2.09e+00 0.5075
4 0.05858 -0.146496 0.124351 -0.037965 0.255995 1.152 1.66e-02 0.0835
5 0.01317 0.051085 -0.017883 -0.042885 -0.166624 1.361 7.22e-03 0.1372