宁夏固原市第一中学2015届高三最后冲刺模拟数学(理)试题

2015年高考数学(理科)模拟试卷四一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 复数i i++13等于 A.i 21+ B.i 21- C.i -2 D.i +22. 已知集合}20{<<∈=x R x M ，}1{>∈=x R x N ，则=)(N C M R A.)2,1[ B.)2,1( C.]1,0( D.)1,0[3. 已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为045，且满足)(121e e e-⊥λ，则实数λ的值是 A.1 B.2 C.332 D.2 4. 已知a 、R b ∈，则“1>>b a ”是“1log <b a ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5. 已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+00101x y x y x ，则y x z 2+=的最大值为A.2-B.1-C.1D.2 6. 下列函数中，可以是奇函数的为A.x a x x f )()(-=，R a ∈B.1)(2++=ax x x f ，R a ∈C.)1(log )(2-=ax x f ，R a ∈D.x ax x f cos )(+=，R a ∈7. 已知异面直线a 、b 均与平面α相交，下列命题：① 存在直线α⊂m ，使得a m ⊥或b m ⊥； ② 存在直线α⊂m ，使得a m ⊥且b m ⊥；③ 存在直线α⊂m ，使得m 与a 和b 所成的角相等，其中不正确的命题个数是 A.0 B.1 C.2 D.38. 有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为 A.45 B.55 C.!10 D.1010二、填空题：本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分. （一）必做题（第9题至13题为必做题，每道题都必须作答）9. 如果()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,sin 1,1x x x x f ，那么()=]2[f f .10. 不等式31≥-+-a x x 恒成立，则a 的取值范围是 .11. 已知点)0,2(-A 、)4,0(B 到直线l ：01=-+my x 的距离相等，则m 的值为 .12. 某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》，从该市中任取4个家庭，则这4个家庭中恰好有4个家庭订阅了《南方都市报》的概率为 .13. 如图，为了测量河对岸A 、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ；找到一点E ，从点E 可以观察到点B 、C ，并测量得到一些数据：2=CD ，32=CE ，045=∠D ，0105=∠ACD ，019.48=∠ACB ，075=∠BCE ，060=∠E ，则A 、B 两点之间的距离为 .（3219.48cos 0≈） （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14. （几何证明选讲选做题）如图，P 是圆O 外一点，PA 、PB 是圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，PA 的中点为M ，过M 作圆O 的一条割线交圆O 于C 、D 两点，若32=PB ，1=MC ，则=CD .15. （坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标中，曲线1C ：1)sin cos 2(=+θθρ与曲线2C ：a=ρ（0>a ）的一个交点在极轴上，则，=a .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答题须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数())4sin(πω-=x x f （0>ω，R x ∈）的最小正周期为π.（Ⅰ）求)6(πf ；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，画出函数()x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象，并根据图象写出其在)2,2(ππ-上的单调递减区间.17.（本小题满分12分）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型，空气质量也有所改善，现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份（30天）的空气质量指数（AQI）（单位：3gμ）资料如下：/m2013年11月份AQI数据频率分布直方图 2014年11月份AQI数据（1）请填好2014年11月份AQI数据的频率分布表并．．．．．完成频率分布直方图．．．．．．．；（Ⅱ）该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空<时，空气为优良），试问此人收集到的资料信息气质量的优良率提高了20多个百分点”（当AQI100是否支持该观点？18. （本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -，侧面PAD 是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD 是060=∠ABC 的菱形，M 是棱PC 上的动点，且λ=PCPM（]1,0[∈λ）. （Ⅰ）求证：PBC ∆为直角三角形； （Ⅱ）试确定λ的值，使得二面角M AD P --的平面角的余弦值为552.19. （本小题满分14分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知211=a ，)1(2--=n n a n S n n ，*N n ∈. （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设11+=n n n S Sb ，数列{}n b 前n 项和为n T ，证明：25<n T ，*N n ∈.20. （本小题满分14分）已知曲线E ：1122=-+m y m x ，（Ⅰ）曲线E 为双曲线，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）已知4=m ，)0,1(-A 和曲线C ：()16122=+-y x ，若P 是曲线C 上任意一点，线段PA 的垂直平分线为l ，试判断直线l 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论.21. （本小题满分14分）已知函数()xa x x f )ln(-=.（Ⅰ）若1-=a ，证明：函数()x f 是),0(+∞上的减函数； （Ⅱ）若曲线()x f y =在点())1,1(f 处的切线与直线0=-y x 平行，求a 的值； （Ⅲ）若0>x ，证明：1)1ln(->+xe xx x （其中e 为自然对数的底数）.8π3π2015年高考数学(理科)模拟试卷四参考答案和评分标准一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．[必做题] 9．1 10．(][),24,-∞-+∞ 11．112-或 12．96625(或0.1536) 13[选做题] 14．2 15．2三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.【解析】(Ⅰ)依题意得2ππω=,解得2ω=,所以()sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,………………2分所以sin sin cos cos sin 6343434f πππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭122224-⨯=………4分 (Ⅱ)因为2x ππ-≤≤,所以532x πππ-≤-≤,列表如下:……………………6分 画出函数()y f x =在区间,⎡⎤-上的图像如图所示! 由图象可知函数()y f x =在,22-⎪⎝⎭上的单调递减区间为,28-- ⎪⎝⎭,,82 ⎪⎝⎭.…………12分 17.【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分) (Ⅱ) 支持,理由如下:………8分2014年11月份AQI 数据频率分布直方图2014年11月份AQI 数据频率分布表 2013年11月的优良率为:119200.0050.0050.0150.010330⎛⎫⨯⨯+++= ⎪⎝⎭, …………8分 2014年11月的优良率为:3026, …………9分 因此2619723.3%20%303030-=≈> …………11分 所以数据信息可支持“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”.…………………12分18.【解析】(Ⅰ)取AD 中点O ,连结,,OP OC AC ,依题意可知△PAD,△ACD 均为正三角形, 所以OC AD ⊥,OP AD ⊥,又OCOP O =,OC ⊂平面POC ,OP ⊂平面POC ,所以AD ⊥平面POC ,又PC⊂平面POC ,所以AD PC ⊥,因为//BC AD ,所以BC PC ⊥,即90PCB ∠=︒,从而△PBC 为直角三角形.………………5分 说明:利用PC ⊥平面AMD 证明正确,同样满分!(Ⅱ)[向量法]由(Ⅰ)可知PO AD ⊥,又平面PAD ⊥平面平面PAD平面ABCD AD =,PO ⊂平面PAD ,所以PO ⊥平面ABCD .………………6 以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则 (P ,()0,1,0A -,()0,1,0D ,)C,(3,0,PC =………………7分由PM PC λλ==可得点M 的坐标为),………………9分所以()3AM =,()3,DM =-,设平面MAD 的法向量为(),,x y z =n ,则00AM DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即))00x y z x y z ++=-+= 解得10x z y λλ-⎧=⎪⎨⎪=⎩,令z λ=,得()1,0,λλ=-n ,………………11分显然平面PAD 的一个法向量为()3,0,0OC =,………………12分依题意cos ,OC OC OCλ⋅===n n n ,解得13λ=或1λ=-(舍去), 所以,当13λ=时,二面角P AD M --的余弦值为5.………………14分[传统法]由(Ⅰ)可知AD ⊥平面POC ,所以AD OM ⊥,AD OP ⊥, 所以POM ∠为二面角P AD M --的平面角,即cos 5POM ∠=,………………8分 在△POM 中,sin POM ∠=,PO =,4OPM π∠=,所以sin sin 4PMO POM π⎛⎫∠=∠+ ⎪⎝⎭sin coscos sin44POM POM ππ=∠+∠=,………10分由正弦定理可得sin sin PM PO POM PMO =∠∠,=,解得PM =………………12分 又PC ==,所以13PM PC λ==,所以,当13λ=时,二面角P AD M --的余弦值为5.………………14分19.【解析】(Ⅰ)当2n =时,2242S a =-,解得256a =； ……………………………………1分当3n =时,3396S a =-, 解得31112a =； …………………………………………2分(Ⅱ)方法一：当2n ≥时，()21(1)n n n S nS S n n -=---，整理得 ()2211(1)n n nS n S n n --=+-，即()1111n n n S nS n n -+-=- ……………………………………………5分 所以数列()1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1,公差为1的等差数列. ……………………………………………6分所以()1n n S n n +=，即21n n S n =+ ……………………………………………7分代入2(1)n n S n a n n =--中可得()111n a n n =-+. ……………………………………………8分方法二：由(Ⅰ)知:1231511,,2612a a a ===,猜想()111n a n n =-+,…………………………………4分 下面用数学归纳法证明: ①当1n =时，()1112111n a ==-⨯+，猜想成立； ……………………………………………5分 PABCDM O②假设()*n k k =∈N ,猜想也成立,即()111k a k k =-+,则当1n k =+时,有()()()22111111k k k k k a S S k a k k k a k k +++=-=+-+-+- 整理得()122k k k a ka ++=+，从而()()1112212211k k k a ka k k k k k +⎛⎫+=+=-+=+- ⎪ ⎪++⎝⎭，于是()()11112k a k k +=-++ 即1n k =+时猜想也成立.所以对于任意的正整数n ,均有()111n a n n =-+. ……………………………………………8分(Ⅲ) 由(Ⅱ)得21n n S n =+,()221n n b n n +=+, …………………………………………9分当2k ≥时，()2221121121(1)(1)(1)1k k k k k b k k k k k k k k k k k k +++⎛⎫==⋅≤⋅==- ⎪+++++⎝⎭………11分 当1=n 时,13522T =<成立； …………………………………………………12分 当2n ≥时,所以31111115252223341212n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 综上所述,命题得证. ………………………………………………………………………………14分 20.【解析】(Ⅰ) 因为曲线E 为双曲线,所以()10m m -<,解得01m <<, 所以实数m 的取值范围为()0,1.…………………………………………………4分 (Ⅱ)结论:l 与曲线E 相切.………………………5分证明:当4m =时,曲线E 为22143x y +=,即223412x y +=, 设()00,P x y ,其中()2200116x y -+=,……………………………………6分线段PA 的中点为001,22x y Q -⎛⎫⎪⎝⎭,直线AP 的斜率为001y k x =+,………………………………7分当00y =时，直线l 与曲线E 相切成立.当00y ≠时，直线l 的方程为00001122y x x y x y +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,即2200000112x x y y x y y ++-=-+,…9分 因为()2200116x y -+=,所以220001214x y x +-=+,所以000017x x y x y y ++=-+,………………10分 代入223412x y +=得220000173412x x x x y y ⎡⎤+++-=⎢⎥⎣⎦, 化简得()()()()2222200000041381747120x y x x x x x y ⎡⎤++-++++-=⎣⎦,…………12分即()()()()222000078171610x x x x x x +-++++=, 所以()()()()222200006417471610x x x x ∆=++-+⨯+=所以直线l 与曲线E 相切.……………………………………………………14分说明:利用参数方程求解正确同等给分!21.【解析】(Ⅰ)当1a =-时,函数()f x 的定义域是()()1,00,-+∞,………………1分对()f x 求导得()()2ln 11xx x f x x-++'=,………………………………………………2分令()()ln 11xg x x x =-++,只需证:0x >时,()0g x ≤.又()()()22110111xg x x x x '=-=-<+++,………………………………3分 故()g x 是()0,+∞上的减函数,所以()()0ln10g x g <=-=…………………………5分所以()0f x '<,函数()f x 是()0,+∞上的减函数. …………………………………………………6分 (Ⅱ)由题意知,()11x f x ='=,…………………………………………7分即()1ln 111a a --=-,()ln 101a a a--=-…………………………………8分 令()()ln 1,11a t a a a a =--<-,则()()211011t a a a '=+>--,…………………………………9分 故()t a 是(),1-∞上的增函数,又()00t =,因此0是()t a 的唯一零点,即方程()ln 101aa a--=-有唯一实根0,所以0a =,…………………………………10分 [说明]利用两函数1xy x=-与()ln 1y x =-图象求出0a =(必须画出大致图象),同样给至10分.(Ⅲ)因为()ln e 11ln e e 1e 1e 1x x x x x x -+==---,故原不等式等价于()()ln e 11ln 1e 1xxx x -++>-,………11分 由(Ⅰ)知,当1a =-时,()()ln 1x f x x+=是()0,+∞上的减函数,…………………………………12分故要证原不等式成立,只需证明:当0x >时,e 1x x <-,令()e 1x h x x =--,则()e 10xh x '=->,()h x 是()0,+∞上的增函数,…………………………13分所以()()00h x h >=,即e 1x x <-,故()()1e x f x f >-,即()()ln e 11ln 1e 1e 1xx x x x x -++>=--…………………………………………………………14分。

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学(宁夏固原一中第一次模拟考试)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合{}lg(1)A x y x ==-，集合{}B yy ==，则A∩(C U B)= A ．B ．D ．(1,2)2．已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的必要非充分条件是 A ．m 、n 与α成等角 B. m ⊥α且n ⊥α C. m ∥α且n α⊂ D ．m ∥α且n ∥α 3．若等比数列}{n a 的前n 项和32n n S a =⋅-，则2a = A ．4B ．12C ．24D ．364．已知复数i bi a i 42))(1(+=++),(R b a ∈，函数()2sin()6f x ax b π=++图象的一个对称中心是理科数学试卷 第1页(共6页)A. （1,6π-） B. （,018π-） C.（,36π-）5．如图给出的是计算11124100++⋅⋅⋅+判断框内（1）处和执行框中的（2A. i ＞100,n=n+1B. i ＞100,n=n+2C. i ＞50,n=n+2D. i≤50,n=n+26．设()0cos sin a x x dx π=-⎰，则二项式62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的3x 项的系数为A. 160-B. 20C. 20-D. 160 7．给出下列四个结论：（1）如图Rt ABC ∆中， 2,90,30.AC B C =∠=︒∠=︒D 是斜边AC 上的点，|CD|=|CB|. 以B 为起点 任作一条射线BE 交AC 于E 点，则E 点落在 线段CD ； （2）设某大学的女生体重y (kg)与身高x (cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的线性回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg ；（3）为调查中学生近视情况,测得某校男生150名中有80名近视,在140名女生中有70名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时,应该用独立性检验最有说服力; （4）已知随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.79,N P σξ≤=则()20.21;P ξ≤-=其中正确结论的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 48．一个四面体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯 视图都是右图.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正 方形.则这个四面体的外接球的表面积是 A.πB. 3πC. 4πD. 6π9．已知y x z +=2，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x xy 2，且z 的最大值(第8题图)AB CDE是最小值的4倍，则a 的值是 A.112 B. 41C. 4D. 21110．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{}n x 满足： 11x =，且对于任意*n N ∈，点1(,)n n x x +都在函数()y f x =的图像上，则201420134321x x x x x x ++++++ 的值为 A. 7549B. 7545C. 7539D. 755311．已知F 2、F 1是双曲线22221y x a b-=(a>0，b>0)的上、下焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为 A ．3 B ． 3 C ．2 D ． 2 12．已知函数f (x )=1a x x ⎛⎫-⎪⎝⎭-2lnx (a ∈R )，g (x )=a x -，若至少存在一个x 0∈，使得f (x 0)>g (x 0)成立，则实数a 的范围为A ．[1，+∞)B ．(1，+∞)C ．[0，+∞)D ．(0，+∞)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．等差数列{}n a 中，48126a a a ++=，则91113a a -= . 14．若(0,)απ∈，且3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为 .15．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为 . 16．在直角坐标平面xoy 中，F 是抛物线C: 22x py =（p>0）的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O 三点的圆的圆心为Q,点Q 到抛物线C 的准线的距离为34，则抛物线C 的方程为__________________．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2B m B n B =-=-2(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)2Bm B n B =-=-且//m n（1）求锐角B 的大小；（2）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值．18．（本小题满分12分）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A 、B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面， DC ∥EB ，DC EB =，4=AB ，41tan =∠EAB ． ⑴证明：平面⊥ADE 平面ACD ； ⑵当三棱锥ADE C -体积最大时， 求二面角D AE B --的余弦值．19．(本题满分12分)某权威机构发布了2013年度“城市居民幸福排行榜”，某市成为本年度城市最“幸福城”.随后，该市某校学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．20．(本小题满分12分)己知A、B、C是椭圆m：22221x ya b+=（0a b>>）上的三点，其中点A的坐标为，BC过椭圆的中心，且0AC BC⋅=，||2||BC AC=。

2015年宁夏固原一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，在复平面内，已知复数z1、z2、z3，对应的向量分别是，，，（i 是虚数单位），已知z＝则|+i|＝（）A．3B．C．D．2．（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y＝2B．x+y＞2C．x2+y2＞2D．xy＞13．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时恒有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝e x﹣1，则f（2014）+f（﹣2015）＝（）A．1﹣e B．e﹣1C．﹣1﹣e D．e+14．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．35．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y＝0，它的一个焦点在抛物线y2＝﹣4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．4x2﹣12y2＝1B．4x2﹣y2＝1C．12x2﹣4y2＝1D．x2﹣4y2＝1 6．（5分）定义：|＝a1a4﹣a2a3，若函数f（x）＝，将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．πC．D．π7．（5分）若实数x，y满足不等式组则z＝2|x|+y的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，11]C．[1，3]D．[﹣1，11] 8．（5分）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（）A．40种B．70种C．80种D．100种9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2+bc，A＝，则内角C＝（）A．B．C．D．或10．（5分）一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，则＝（）A．B．2C．D．11．（5分）如图，已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1] 12．（5分）若函数y1＝sin2x1﹣（x1∈[0，π]），函数y2＝x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．πB．C．D．一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则（x2﹣2x）dx＝．14．（5分）如图所示的程序框图，若输入n＝2015，则输出的s值为．15．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且＝λ，＝λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则•＝．16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）＝16，当x∈（﹣1，4]时，f（x）＝x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是．二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n﹣b1＝S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b n•log3a n，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，P A＝PD＝2，BC ＝AD＝1，CD＝．（1）求证：平面PQB⊥平面P AD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM＝tMC，试确定t的值．19．（12分）国务院总理李克强在2015年4月14日的经济形势座谈会上就“手机流量资费和网速”问题做出重要指示，工信部回应，将加大今年宽带专项行动中“加快4G建设”、“大幅提升网速”等重点工作的推进力度，为此某移动部门对部分4G手机用户每日使用流量（单位：M）进行统计，得到如下记录：将手机日使用流量统计到各组的频率视为概率，并假设每天手机日使用流量相互独立．（Ⅰ）求某人在未来连续4天里，有连续3天的手机日使用流量都不低于15M，且另1天的手机日使用流量低于5M的概率；（Ⅱ）用X表示某人在未来3天时间里手机日使用流量不低于15M的天数，求X的分布列和期望．20．（12分）如图，已知圆E：＝16，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l与（Ⅰ）中轨迹Γ相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0）．△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2．若k1，k，k2恰好构成等比数列，求的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）＝x+alnx在x＝1处的切线l与直线x+2y＝0垂直，函数g（x）＝f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＞x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最大值．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．（1）求证：△DEF∽△EF A；（2）如果FG＝1，求EF的长．【选修4-4：极坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a cosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．（选做题）已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2015年宁夏固原一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）如图，在复平面内，已知复数z1、z2、z3，对应的向量分别是，，，（i 是虚数单位），已知z＝则|+i|＝（）A．3B．C．D．【解答】解：由题意可知复数z1＝3+i，z2＝1﹣2i，z3＝﹣2+2i，∴＝＝＝，＝＝＝3．故选：A．2．（5分）设x、y是两个实数，命题“x、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是（）A．x+y＝2B．x+y＞2C．x2+y2＞2D．xy＞1【解答】解：若时有x+y≤2但反之不成立，例如当x＝3，y＝﹣10满足x+y≤2但不满足所以是x+y≤2的充分不必要条件．所以x+y＞2是x、y中至少有一个数大于1成立的充分不必要条件．故选：B．3．（5分）设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时恒有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝e x﹣1，则f（2014）+f（﹣2015）＝（）A．1﹣e B．e﹣1C．﹣1﹣e D．e+1【解答】解：∵当x∈[0，2]时，f（x）＝e x﹣1，又∵f（x+2）＝f（x），∴函数的周期是2，又函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣2 015）＝﹣f（2015）＝﹣f（1）＝1﹣e，∴f（0）＝0，∴f（2014）＝f（0）＝0，∴f（2014）+f（﹣2015）＝1﹣e，故选：A．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．3【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V＝＝3⇒x＝3．故选：D．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y＝0，它的一个焦点在抛物线y2＝﹣4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．4x2﹣12y2＝1B．4x2﹣y2＝1C．12x2﹣4y2＝1D．x2﹣4y2＝1【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是x﹣y＝0，∴a：b＝：1，∵双曲线的一个焦点在抛物线y2＝﹣4x的准线x＝1上，∴c＝1．c2＝a2+b2，解得：b2＝，a2＝∴此双曲线的方程为：x2﹣4y2＝1．故选：D．6．（5分）定义：|＝a1a4﹣a2a3，若函数f（x）＝，将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．πC．D．π【解答】解：由题意可得：f（x）＝sin x﹣cos x＝2sin（x﹣），将其图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象解析式为：y＝2sin（x+m﹣），由于所得到的图象关于y轴对称，则有：m﹣＝kπ+，k∈Z，故解得：m（m＞0）的最小值是．故选：B．7．（5分）若实数x，y满足不等式组则z＝2|x|+y的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，11]C．[1，3]D．[﹣1，11]【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，显然x≤0时，直线方程为：y＝2x+z，过（0，﹣1）时，z最小，Z最小值＝﹣1，x≥0时，直线方程为：y＝﹣2x+z，过（6，﹣1）时，z最大，Z最大值＝11，故选：D．8．（5分）在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有（）A．40种B．70种C．80种D．100种【解答】解：Grace不参与该项任务，则有＝30种；Grace参与该项任务，则有＝10种，故共有30+10＝40种故选：A．9．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＝a2+bc，A＝，则内角C＝（）A．B．C．D．或【解答】解：由余弦定理可得＝，∵b2＝a2+bc，∴＝0，解得c＝b，a2＝b2﹣bc＝b2，∴cos C＝＝＝，∵c＜b，∴C为锐角，．故选：B．10．（5分）一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，则＝（）A．B．2C．D．【解答】解：如图，根据已知条件设该平行六面体的边长为1，则：＝＝＝；∴．故选：D．11．（5分）如图，已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF＝α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1]【解答】解：设左焦点为F'，令|AF|＝r1，|AF'|＝r2，则|BF|＝|F'A|＝r2，∴r2﹣r1＝2a，∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，∴|OA|＝|OB|＝|OF|＝c，∴r22+r12═4c2，∴r1r2＝2（c2﹣a2）∵S△ABF＝2S△AOF，∴r1r2═2•c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α＝c2﹣a2∴e2＝，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2＝∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故选：B．12．（5分）若函数y1＝sin2x1﹣（x1∈[0，π]），函数y2＝x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）A．πB．C．D．【解答】解：设z＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，求函数y＝sin2x﹣（x∈[0，π]）的导数，f′（x）＝2cos2x，直线y＝x+3的斜率k＝1，由f′（x）＝2cos2x＝1，即cos2x＝，即2x＝，解得x＝，此时y＝six2x﹣＝﹣＝0，即函数在（，0）处的切线和直线y＝x+3平行，则最短距离d＝，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2＝（）2＝，故选：B．一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若二项式（x2+）6的展开式中的常数项为m，则（x2﹣2x）dx＝．【解答】解：由＝．令12﹣3r＝0，得r＝4．∴m＝＝3．则（x2﹣2x）dx＝＝＝．故答案为：．14．（5分）如图所示的程序框图，若输入n＝2015，则输出的s值为．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是求s＝sin+sin+…+sin的值，∵因为sin取值以6为周期，且sin+sin+…sin＝0，∴2014＝335*6+4，所以s＝sin+sin+…+sin＝sin+sin+sinπ+sin＝．故答案为：．15．（5分）已知正三角形ABC的边长为2，点D，E分别在边AB，AC上，且＝λ，＝λ．若点F为线段BE的中点，点O为△ADE的重心，则•＝0．【解答】解：连AO并延长交DE于G，如图，∵O是△ADE的重心，∴DG＝GE，∴，∴＝＝，又＝λ，＝λ，∴＝（），显然，，又＝＝（1﹣）﹣，＝＝﹣（+）＝﹣（+﹣）＝（）＝﹣+，∴2＝（1﹣）+，∵＝﹣，＝﹣＝（λ﹣1），∴＝[+（λ﹣2）]，又正三角形ABC的边长为2，∴||2＝||2＝4，∴，∴2＝[（1﹣）+]•[+（λ﹣2）]＝{（1﹣）2+[+（1﹣）（λ﹣2）+（λ﹣2）}＝＝＝＝0．（本题还可以用特殊值法或建立坐标系的方法来解决）16．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）＝16，当x∈（﹣1，4]时，f（x）＝x2﹣2x，则函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604．【解答】解：y＝x2与y＝2x的函数曲线在区间（0，4]有两个交点，在区间（﹣1，0]区间有一个交点，但当x∈（﹣1，4]时，f（x）＝x2﹣2x＝16无根即当x∈（﹣1，4]时，f（x）＝x2﹣2x有3个零点由f（x）+f（x+5）＝16，即当x∈（﹣6，﹣1]时，f（x）＝x2﹣2x无零点又∵f（x+5）+f（x+10）＝f（x）+f（x+5）＝16，∴f（x+10）＝f（x），即f（x）是周期为10的周期函数，在x∈[0，2013]，分为三段x∈[0，4]，x∈（4，2004]，x∈（2004，2013]在x∈[0，4]函数有两个零点，在x∈（4，2004]有200个完整周期，即有600个零点，在x∈（2004，2013]共有两个零点，综上函数f（x）在[0，2013]上的零点个数是604故答案为：604二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝3a n，n∈N*．设S n为数列{b n}的前n项和，已知b1≠0，2b n﹣b1＝S1•S n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b n•log3a n，求数列{c n}的前n项和T n；（Ⅲ）证明：对任意n∈N*且n≥2，有++…+＜．【解答】解：（Ⅰ）∵a n+1＝3a n，∴{a n}是公比为3，首项a1＝1的等比数列，∴通项公式为a n＝3n﹣1．…（2分）∵2b n﹣b1＝S1•S n，∴当n＝1时，2b1﹣b1＝S1•S1，∵S1＝b1，b1≠0，∴b1＝1．…（3分）∴当n＞1时，b n＝S n﹣S n﹣1＝2b n﹣2b n﹣1，∴b n＝2b n﹣1，∴{b n}是公比为2，首项a1＝1的等比数列，∴通项公式为b n＝2n﹣1．…（5分）（Ⅱ）c n＝b n•log3a n＝2n﹣1log33n﹣1＝（n﹣1）2n﹣1，…（6分）T n＝0•20+1•21+2•22+…+（n﹣2）2n﹣2+（n﹣1）2n﹣1…①2T n＝0•21+1•22+2•23+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n…②①﹣②得：﹣T n＝0•20+21+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）2n＝2n﹣2﹣（n﹣1）2n＝﹣2﹣（n﹣2）2n∴T n＝（n﹣2）2n+2．…（10分）（Ⅲ）＝＝＝≤+ ++…+＜++…+＝＝（1﹣）＜．…（14分）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，P A＝PD＝2，BC ＝AD＝1，CD＝．（1）求证：平面PQB⊥平面P AD；（2）若二面角M﹣BQ﹣C为30°，设PM＝tMC，试确定t的值．【解答】解：（Ⅰ）证法一：∵AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC＝90°∴∠AQB＝90°，即QB⊥AD．又∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴BQ⊥平面P AD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面P AD．…（9分）证法二：AD∥BC，BC＝AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD∥BQ．∵∠ADC＝90°∴∠AQB＝90°．∵P A＝PD，∴PQ⊥AD．∵PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PBQ．∵AD⊂平面P AD，∴平面PQB⊥平面P AD．…（9分）（Ⅱ）∵P A＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面P AD⊥平面ABCD，且平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PQ⊥平面ABCD．如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．则平面BQC的法向量为；Q（0，0，0），，，．设M（x，y，z），则，，∵，∴，∴…（12分）在平面MBQ中，，，∴平面MBQ法向量为．…（13分）∵二面角M﹣BQ﹣C为30°，∴，∴t＝3．…（15分）19．（12分）国务院总理李克强在2015年4月14日的经济形势座谈会上就“手机流量资费和网速”问题做出重要指示，工信部回应，将加大今年宽带专项行动中“加快4G建设”、“大幅提升网速”等重点工作的推进力度，为此某移动部门对部分4G手机用户每日使用流量（单位：M）进行统计，得到如下记录：将手机日使用流量统计到各组的频率视为概率，并假设每天手机日使用流量相互独立．（Ⅰ）求某人在未来连续4天里，有连续3天的手机日使用流量都不低于15M，且另1天的手机日使用流量低于5M的概率；（Ⅱ）用X表示某人在未来3天时间里手机日使用流量不低于15M的天数，求X的分布列和期望．【解答】解：（1）设事件A1：“日销售量不低于15M”，事件A2：“日销售量低于5M”，事件B：“在未来连续4天里，有连续3天的手机日使用流量都不低于15M，且另1天的手机日使用流量低于5M”，则P（A1）＝0.25+0.15＝0.4，P（A2）＝0.05，P（B）＝0.4×0.4×0.4×0.05×2＝0.0064．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝C30（1﹣0.4）3＝0.216，P（X＝1）＝C31•0.4•（1﹣0.4）2＝0.432，P（X＝2）＝C31•0.42•（1﹣0.4）＝0.288，P（X＝3）＝C33•0.43＝0.064，∴X的分布列为：∵X～B（3，0.4），∴EX＝3×0.4＝1.2．20．（12分）如图，已知圆E：＝16，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）设直线l与（Ⅰ）中轨迹Γ相交于A，B两点，直线OA，l，OB的斜率分别为k1，k，k2（其中k＞0）．△OAB的面积为S，以OA，OB为直径的圆的面积分别为S1，S2．若k1，k，k2恰好构成等比数列，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）连接QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|+|QF|＝|QE|+|QP|＝4，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a＝2，，则b＝1，∴点Q的轨迹Γ的方程为为．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，∴△＝16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2＝﹣，x1x2＝．∵k1，k，k2构成等比数列，∴k2＝k1k2＝，化为：km（x1+x2）+m2＝0，∴+m2＝0，解得k2＝．∵k＞0，∴k＝．此时△＝16（2﹣m2）＞0，解得．又由A、O、B三点不共线得m≠0，从而．故S＝＝|x1﹣x2|，＝|m|＝，又，则S1+S2＝＝＝+＝为定值．∴＝×，当m＝±1时，OA或OB的斜率不存在，舍去．综上：∈．21．（12分）已知函数f（x）＝x+alnx在x＝1处的切线l与直线x+2y＝0垂直，函数g（x）＝f（x）+x2﹣bx．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）存在单调递减区间，求实数b的取值范围；（3）设x1，x2（x1＞x2）是函数g（x）的两个极值点，若b≥，求g（x1）﹣g（x2）的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）＝x+alnx，∴，∵f（x）在x＝1处的切线l与直线x+2y＝0垂直，∴k＝f′（x）|x＝1＝1+a＝2，解得a＝1．（2）∵g（x）＝lnx+﹣（b﹣1）x，∴＝，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x++1﹣b＜0有解，∵定义域x＞0，∴x+≥2，x+＜b﹣1有解，只需要x+的最小值小于b﹣1，∴2＜b﹣1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．（3）∵g（x）＝lnx+﹣（b﹣1）x，∴＝，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，∵x＞0，设μ（x）＝x2﹣（b﹣1）x+1，则μ（0）＝[ln（x1+﹣（b﹣1）x1]﹣[lnx2+﹣（b﹣1）x2]＝ln+＝＝＝，∵x1＞x2＞0，∴设t＝，t＞1，令h（t）＝lnt﹣（t﹣），t＞1，则，∴h（t）在（1，+∞）上单调递减，又∵b≥，∴（b﹣1）2，∴（x1+x2）2＝＝t++2，∴4t2﹣17t+4≥0，∵t＞1，∴由4t2﹣17t+4＝（4t﹣1）（t﹣4）≥0得t≥4，∴h（t）≤h（4）＝ln4﹣（4﹣）＝2ln2﹣，故g（x1）﹣g（x2）的最大值为2ln2﹣．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．（1）求证：△DEF∽△EF A；（2）如果FG＝1，求EF的长．【解答】（1）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE＝∠FED，又∠BAD＝∠BCD，所以∠BAD ＝∠FED，又∠EFD＝∠EFD，所以△DEF∽△EF A．…（6分）（2）由（1）得，，EF2＝F A•FD．因为FG是切线，所以FG2＝FD•F A，所以EF＝FG＝1．…（10分）【选修4-4：极坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a cosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由得，，则，∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5＝0，…（2分）由ρ＝2a cosθ得，ρ2＝2aρcosθ又∵ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2＝a2，…（5分）（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，…（7分）两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0∴a的取值范围是．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．（选做题）已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）＝2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M＝（﹣2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2＝4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）＝（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）固原一中2014-2015第二学期高三第3次月考数学（理）试题命题人：邱鹏飞 审题人：钱慧萍 2015.5.2一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．1.设全集,R U =}22{>-<=x x x M 或，}31{≥<=x x x N 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A .}12{<≤-x x B ． }22{≤≤-x x C .}21{≤<x x D ．}2{<x x2.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()2100,,0σσ>，若ξ在()80,120内的概率为0.8， 则落在()0,80内的概率为 （ ） A . 0.05 B . 0.1 C . 0.15 D .0.2 3.将函数)2cos()2sin(ϕϕ++=x x y 的图象沿x 轴向右平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的取值不可能是 （ ） A ．45π-B ．4π-C ．4π D ．43π 4.根据下列算法语句, 当输入x 为60时, 输出y 的值为 （ ） A ．25B ．30C ．31D ．61INPUT x ； IF x≤50 T HEN y ＝0.5*x ELSEY =25+ 0.6*( x -50) END IF PRINT Y ENDIf x ≤50 Then3275538712455698210乙甲第4题图 第5题图5.甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示， 1x ,2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ,2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有 （ ） A ．2121,s s x x <> B ．2121,s s x x == C ．2121,s s x x <= D ．2121,s s x x ><6.若复数iai213+-（i 为虚数单位，R a ∈）在复平面内对应点在第四象限，则a 的取值范围为 （ ） A . {}|6a a <- B ． 3|62a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ C ．3|2a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭D ． 3|62a a a ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 7.已知O 是坐标原点，点)1,1(-A ，若点),(y x M 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-<≤-≥+110012y x y x 上的一个动点，则AO OM ⋅的取值范围是 ( ) A ．]0,2[-B ．)0,2[-C ．]2,0[D ．]2,0(8.把直线:l 03=+y x 绕原点按顺时针方向旋转030，得到直线m ，则直线m 与圆01422=+-+x y x 的位置关系是 （ ） A .直线与圆相切 B .直线与圆相交但不过圆心C . 直线与圆相离 D .直线过圆心9.设向量b a ,的夹角为θ，且),3,3(=a )1,1(2-=-a b ，则θcos = （ ） A ．10103 B . 1010 C . 10103- D .1010-10.设12,F F 分别为双曲线 221x y -=的左右焦点，P 是双曲线上在x 轴上方的点，若21PF F ∠为直角,则 12sin PF F ∠的所有可能取值之和为 ( )A ．83B ．2C ． 6D ．6211.如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为()()()0,1,1(,10,1)A B C D ππ--，，，，正弦曲线()f x sinx =和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是 ( ) A ．π1 B ．π21 C ． π21+ D ． π221+C BxyOAE DF f (x )=sin xg (x )=cos x第10题图 第11题图12.如图，取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与一个半径为R 的半球放在同一水平面α上.用一平行于平面α的平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面（图中阴影部分）设截面面积分别为圆S 和圆环S ，那么（ ） A ．圆S >圆环S B ．圆S =圆环S C ．圆S <圆环S D ．不确定 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）13.各项均为正数的等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若14,23==n n S S ，则=n S 4 ． 14.已知ααααcos sin cos sin +-=21+，则α2tan = ．15.观察下列不等式：,211>,131211>++,237131211>+⋅⋅⋅+++,215131211>+⋅⋅⋅+++ ,2531131211>+⋅⋅⋅+++,⋅⋅⋅由此猜测第)(∙∈N n n 个不等式为 ． 16.曲线x x x f 3)(-=上任一点P 处的切线与直线0=x 和直线x y =所围成的三角形面积为 ．三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．)17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，,31=a 93=a ，若)1(l og 2-=n n a b ，数列}{n b 为等差数列． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)证明111112312<-+⋅⋅⋅+-+-+nn a a a a a a ．18．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面是边长为1的正方形，⊥PA 底面ABCD ,F E ,分别为AB 、PC 的中点．(Ⅰ)求证：EF ‖平面PAD ；(Ⅱ)若2=PA ，试问在线段EF 上是否存在点Q ，使得二面角 D AP Q --的 余弦值为55？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由． 第18题图19.（本小题满分12分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0～50，各类人群可正常活动．固原市环保局在2015年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间第19题图ABCDPF E为[)0,10，[)10,20，[)20,30，[)30,40，[]40,50，由此 得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图． (Ⅰ)求a 的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气 质量指数的平均值；(Ⅱ)用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为 概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优 等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数． 20．（本大题满分12分）曲线82+-=y x 与x 轴交于A 、B 两点，动点P 与A 、B 连线的斜率之积为-21． (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)MN 是动点P 的轨迹C 的一条弦，且直线OM 、ON 的斜率之积为-21． ①求ON OM ⋅的最大值； ②求OMN ∆的面积．21．（本小题满分12分）已知函数1)(--=ax e x f x (a 为常数)，曲线)(x f y =在与y 轴的交点A 处的切线斜率为－1．(Ⅰ)求a 的值及函数)(x f 的单调区间； (Ⅱ)证明：当0>x 时，1e 2+>x x；(Ⅲ)证明：当*∈N n 时，()nn n e)3(1ln1312113+>++++ ． 请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按第一题记分 22.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲.如图，直线PQ 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连结CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点，(Ⅰ)求证:22QA QC BC QC -=⋅; (Ⅱ)若6=AQ ,5=AC .求弦AB 的长. （第22题图） 23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223 (t 为参数). 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为25sin ρθ=.OP AQB C(Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P 坐标()3,5，圆C 与直线l 交于A ,B 两点，求|PA |+|PB |的值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲(Ⅰ)已知函数()|1||3|f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (Ⅱ)若222,,,1,x y z R x y z ∈++=求225m x y z =++的最大值.固原一中2014-2015第二学期高三第3次月考数学（理）试题5.2一、选择题1.ABCCC, BBAAD,DB7. 答案B 解答：解：不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=•，∵A （﹣1，1），M （x ，y ），∴z=•=x ﹣y ，即y=x ﹣z ，平移直线y=x ﹣z ，由图象可知当y=x ﹣z ，经过点D （0，2）时，直线截距最大，此时z 最小为z=0﹣2=﹣2．当直线y=x ﹣z ，经过点B （1，1）时，直线截距最小，此时z 最大为z=1﹣1=0．故﹣2≤z ＜0，10. 【答案】D 解析：设P 是第一象限点，且12,PF m PF n ==，则22231831m n m m n n ⎧-==+⎧⎪⇒⎨⎨+==-⎩⎪⎩，所以所求= 2362222m n c +==，故选 D.11.【答案】D解析：根据题意，可得曲线y sinx =与y cosx =围成的区域，其面积为44|2211222sinx cosx dx cosx sinx ππππ-=--=---=+⎰（）（）（）；又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是：122π+.所以选D.12. 【答案】B解析：根据题意：∵①半球的截面圆：2222r R d S R d π=-=-截面圆，（），②∵取一个底面半径和高都为R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥， ∴22r d S R d π==-圆环，（），根据①②得出：S S =圆环截面圆.所以选B.二、填空题 13. 答案3014. 【答案】1【解析】ααααcos sin cos sin +-=1+2，即有sin cos ∂∂=-2-1，即为tanα=-2-1．则tan2α=22tan 1tan ∂-∂=22(21)1(21)⨯-----=1．15. 答案,212131211n n >-+⋅⋅⋅+++16. 答案6三、解答题17.（1）nn a 21+=（2）n n n a a 2111=-+，1211212121111212312<-=⋅⋅⋅++=-+⋅⋅⋅+-+-+n n n n a a a a a a18.证明：（1）取PD 中点M ，连接MF ，MA 在ΔCPD 中，F 为PC 的中点，∴MF 平行且等于12DC ，正方形ABCD 中E 为AB 中点， AE 平行且等于12DC ，∴AE 平行且等于MF ，故：EFMA 为平行四边形，∴EF ∥AM ……2分又∵EF ⊄平面P AD ，AM ⊂平面P AD∴EF ∥平面P AD ……4分（2）如图：以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系：(0,0,2)P ，(0,1,0)B ，(1,1,0)C ，1(0,,0)2E ，11(,,1)22F由题易知平面P AD 的法向量为(0,1,0)n =， ……6分假设存在Q 满足条件：设EQ EF λ=，1(,0,1)2EF =，1(,,)22Q λλ=，[0,1]λ∈，(0,0,2)AP =，1(,,)22AQ λλ=设平面P AQ 的法向量为(,,)m x y z =，10(1,,0)220x y z m z λλλ⎧++=⎪⇒=-⎨⎪=⎩ ……10分 ∴2cos ,1m n m n m nλλ⋅-<>==+，由已知：2551λλ=+ 解得：12λ=，所以：满足条件的Q 存在，是EF 中点。

2015届高三级最后一摸理科数学试题说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将答案擦干净后，再涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求． （1）设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =->，则A B ⋂=（ ）A ．{}3B ．{}2,3C ．{}1,3-D ．{}0,1,2（2）若复数iia 213++（i R a ,∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. 6- B. 2- C. 4 D. 6（3）已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (X ≤2)＝0.72，则P (X ≤0)＝ （A ）0.22 （B ）0.28 （C ）0.36 （D ）0.64 （4）执行右面的程序框图，若输出的k ＝2，则输入x 的取值范围是（A ）(21，41) （B ）[21，41] （C ）(21，41] （D ）[21，41) （5）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ， a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝ 5 4，则S n a n＝（A ）4n －1 （B ）4n －1（C ）2n －1 （D ）2n －1（6）过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 （A ） 2 （B ）2 （C ） 5 （D ） 3开始 是x ≤81？否 输入x x ＝2x －1结束k ＝0输出k k ＝k ＋1（7）已知函数f (x )＝cos (2x ＋π 3)，g (x )＝sin (2x ＋2π3)，将f (x )的图象经过下列哪种变换可以与g (x )的图象重合（A ）向左平移 π12（B ）向右平移 π12（C ）向左平移 π6（D ）向右平移 π6（8）若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）A ．30B ．12C ．24D ．4（9）已知向量a=（1, 2），b=（2,3）若（c +a ）∥b ，c ⊥（b +a ），则c=（A ）（ 79 ， 73 ） （B ）（ 73 ， 79 ）（C ）（73 ， 79 ） （D ）（－ 79 ，－ 73）（10）已知半圆的直径10AB = ，O 为圆心，C 为半圆上不同于B A ,的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PC PB PA ⋅+的最小值是（ ） Ａ．225Ｂ.25- Ｃ．25 Ｄ.225-（11）函数，其图像的对称中心是（A ）（－1，1） （B ）（1，－1） （C ）（0，1）（D ）（0，－1）（12）关于曲线C ：x 12 ＋y 12 ＝1，给出下列四个命题：①曲线C 有且仅有一条对称轴； ②曲线C 的长度l 满足l ＞2；③曲线C 上的点到原点距离的最小值为24 ；④曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是 1643 233正视图侧视图俯视图3 243上述命题中，真命题的个数是 （A ）4 （B ）3（C ）2（D ）1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上． 11.复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是12.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2x y +的最大值是 5/313．2+2x （）521()mx x-展开式中2x 项的系数490,则实数m 的值为 . 答案：7±14.已知正项{}n n a S 数列的前n 项和为，奇数项成公差为1的等差数列，当n 为偶数时点2122(,)321,2,{}2n n n n a a y x a a a n S +=+==在直线上,又知则数列的前项和等于答案：21332n n n +--+（16）△ABC 的顶点A 在y 2＝4x 上，B ，C 两点在直线x －2y+5=0上，若|AB －AC |＝2 5 ，则△ABC 面积的最小值为_____．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ≥b ，sin A ＋3cos A ＝2sin B ． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求a ＋bc的最大值．（18）（本小题满分12分）4月10日，2015《中国汉字听写大会》全国巡回赛正式启动，并拉开第三届“汉听大会”全国海选的帷幕。

固原一中2014-2015学年第二学期数学（理）模拟试题6.3一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的)1．设为虚数单位，则复数201520151i z i =-在复平面中对应的点在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列说法中正确的是 （ ） A ．命题“若0>>b a ，则ba 11<”的逆命题是真命题 B ．命题:p x R ∀∈，20x >,则0:p x R ⌝∃∈，020x<C ．“11>>b a ，”是“1>ab ”成立的充分条件D ．“b a >”是“22b a >”成立的充分不必要条件 3．已知错误!未找到引用源。

、错误!未找到引用源。

为平面向量，若错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的夹角为错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

的夹角为错误!未找到引用源。

，则错误!未找到引用源。

（ ）A ．错误!未找到引用源。

B ．错误!未找到引用源。

C ．错误!未找到引用源。

D ．错误!未找到引用源。

4.设3log 3=a ，2ln =b ，215-=c ，则 ( )A.a b c >>B.c a b >>C.b c a >>D.c b a >>5.已知{}n a 为等差数列且公差0≠d ，其首项201=a ，且973,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和*N n ∈，则10S 的值为( )A.110-B. 90-C. 90D. 1106.已知三个正态分布密度函数222)(21)(i i x iiex σμσπϕ--=(3,2,1,=∈i R x )的图象如图所示,则 ( )A.321321,σσσμμμ>==<B.321321,σσσμμμ<==>C.321321,σσσμμμ=<<=D.321321,σσσμμμ<==<第6题图7. 某班有34位同学，座位号记为01,02,…34，用下面的随机数表选 取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 7704 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号是 （ ） A ．23 B ．09C ．02D ．168．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 （ ） A ．210r r << B ．210r r <<C ． 210r r <<D ．21r r =9. 若实数x 、y 满足不等式组034120(1).x x y y a x ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，若使得目标函数11y z x +=+有最小值的最优解为有无穷多个，则实数a 的值为 （ ） A ．13B ．12C ．2D ．3 10. 光线从点)3,2(-A 照射到x 轴的点B 后，被x 轴反射，这时反射光线恰好经过点)32,1(C ,则光线BC 所在直线的倾斜角是 （ ） A.6π B.3π C.32π D.65π11. 方程2)1(11--=-x y 表示的曲线是 （ ） A. 两个半圆 B. 两个圆 C. 抛物线 D. 一个圆 12．我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。

绝密★启用前2015届宁夏固原市第一中学高三最后冲刺模拟语文试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：111分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、下列各句中，没有语病、句意明确的一句是（ ）（3分）A ．美国东部时间2015年4月12日下午近三时左右，前美国国务卿希拉里竞选总干事向支持者发布邮件，公布希拉里将角逐民主党总统候选人的消息。

B ．湖南隆平种业有限公司生产销售“两优0293”水稻品种，去年在安徽致使至少万亩农田减产绝收，农民损失巨大。

专家鉴定为天气原因引发的稻瘟病所致。

C ．去年5月，广东省国家安全机关破获的一起境外间谍网络策反中国人的案件显示，计算机网络泄密事件已占泄密总数的70％以上，计算机网络泄密已经严重危及国家安全。

D ．细数当下的热门投资移民国家，英国投资移民在美国、加拿大、德国等国家中，成为了最受中国富人家庭的中小学生欢迎的海外留学目的地。

2、依次填入下列各句横线上的成语，与句意最贴切的一组是（ ）（3分） ①无锡的梅园，面临太湖，以梅饰山，以山饰梅， 。

试卷第2页，共13页②苏轼也擅长书法，他取法颜真卿，但能 ，与蔡襄、黄庭坚、米芾并称宋代四大家。

③这本侦破小说，构思新颖， ，值得一看。

④电影中有几处看来是闲笔，实际上却是 之处。

A ．别具一格不落窠臼匠心独运独树一帜 B ．独树一帜别具一格匠心独运不落窠臼 C ．匠心独运不落窠臼独树一帜别具一格 D ．别具一格独树一帜不落窠臼匠心独运第II卷（非选择题）二、作文（题型注释）3、阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。

（60分）在阿根廷的沙漠地区，飞翔着一种凶猛的兀鹰。

它们矫健、敏捷、锐利。

宁夏固原一中2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( ) A．（0，3）B．（0，1）∪（1，3）C．（0，1）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则( )A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（¬q）是假命题D．命题p∨（¬q）是真命题3．函数y=log（sin2xcos﹣cos2xsin）的单调递减区间是( )A．（kπ+，kπ+），k∈Z B．（kπ+，kπ+），k∈ZC．（kπ﹣，kπ+），k∈Z D．（kπ+，kπ+），k∈Z4．数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有( )A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定5．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是( )A．5 B．6 C．7 D．86．||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于( )A．B．3 C．D．7．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度8．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( )A．B．1 C．D．29．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为( )A．B．C．D．610．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）11．已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为( )A．B．5C．D．412．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A． B．∪上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，≈2.45）18．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．19．某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（2）学校从成绩在的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在，且+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．宁夏固原一中2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是( ) A．（0，3）B．（0，1）∪（1，3）C．（0，1）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B交集有4个子集，得到A与B交集有2个元素，确定出a的范围即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣3）＜0，解得：0＜x＜3，即A=（0，3），∵B={1，a}，且A∩B有4个子集，即A∩B有两个元素，∴a的范围为（0，1）∪（1，3）．故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知命题p：∃x∈R，x﹣2＞lgx，命题q：∀x∈R，e x＞1，则( ) A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧（¬q）是假命题D．命题p∨（¬q）是真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：利用函数的性质先判定命题p，q的真假，再利用复合命题真假的判定方法即可得出．解答：解：对于命题p：例如当x=10时，8＞1成立，故命题p是真命题；对于命题q：∀x∈R，e x＞1，当x=0时命题不成立，故命题q是假命题；∴命题p∨￢q是真命题．故选：D．点评：本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质，属于基础题．3．函数y=log（sin2xcos﹣cos2xsin）的单调递减区间是( ) A．（kπ+，kπ+），k∈Z B．（kπ+，kπ+），k∈ZC．（kπ﹣，kπ+），k∈Z D．（kπ+，kπ+），k∈Z考点：两角和与差的正弦函数；复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：先确定定义域可得2x﹣≥2kπ，按“同增异减”的原则，确定2kπ≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，从而可得解．解答：解：∵sin2xcos﹣cos2xsin=sin（2x﹣）＞0，∴2kπ+π＞2x﹣＞2kπ，又∵函数y=log（sin2xcos﹣cos2xsin）单调递减，∴由2kπ＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z可解得函数y=log（sin2xcos﹣cos2xsin）的单调递减区间是：（kπ+，kπ+），k∈Z故选：B．点评：求复合函数y=f（g（x））的单调区间的步骤一般为：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．本题属于中档题．4．数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有( )A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．解答：解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．故选：B．点评：本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．5．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：循环结构．专题：图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦不满足条件就退出循环，执行语句输出k，从而到结论．解答：解：当输入的值为n=5时，n不满足第一判断框中的条件，n=16，k=1，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=8，k=2，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=4，k=3，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=2，k=4，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n=1，k=5，n满足第二判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k=5，故选A．点评：本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，属于基础题．6．||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于( )A．B．3 C．D．考点：向量的共线定理；向量的模．专题：计算题；压轴题．分析：将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案．此题如果没有点C 在∠AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30°角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错．解答：解：法一：如图所示：=+，设=x，则=．=∴==3．法二：如图所示，建立直角坐标系．则=（1，0），=（0，），∴=m+n=（m，n），∴tan30°==，∴=3．故选B点评：对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．7．函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点( )A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据周期求出ω，再由五点法作图求出∅，从而得到函数f（x）=sin2（x+），故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，从而得出结论．解答：解：由题意可得×=﹣=，∴ω=2．再由五点法作图可得2×+∅=π，∴∅=，故函数f（x）=sin（ωx+ϕ）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把y=f（x）的图象向右平移个单位长度可得y=sinωx的图象，故选A．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．8．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( )A．B．1 C．D．2考点：简单线性规划的应用．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再分析当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的形状，然后代入相应的公式，求出区域的面积．解答：解析：作出可行域，如图，则直线扫过的面积为故选C．点评：平面区域的面积问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，然后结合有关面积公式求解．9．多面体MN﹣ABCD的底面ABCD矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则该多面体的体积为( )A．B．C．D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：利用三视图的数据，把几何体分割为2个三棱锥1个三棱柱，求解体积即可．解答：解：用割补法可把几何体分割成三部分，如图：棱锥的高为2，底面边长为4，2的矩形，棱柱的高为2．可得，故选：C．点评：本题考查三视图复原几何体的体积的求法，考查计算能力．10．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是( )A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）考点：基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：将不等式有解，转化为求∴（x+）min＜m2﹣3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．解答：解：∵不等式有解，∴（x+）min＜m2﹣3m，∵x＞0，y＞0，且，∴x+=（x+）（）=+2=4，当且仅当，即x=2，y=8时取“=”，∴（x+）min=4，故m2﹣3m＞4，即（x+1）（x﹣4）＞0，解得x＜﹣1或x＞4，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）．故选：B．点评：本题考查了基本不等式在最值中的应用，不等式的有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．11．已知曲线C：﹣y2=1的左右焦点分别为F1F2，过点F2的直线与双曲线C的右支相交于P，Q两点，且点P的横坐标为2，则PF1Q的周长为( )A．B．5C．D．4考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的a，b，c，求得焦点，判断三角形PF1Q为等腰三角形，PQ⊥x轴，令x=2，求得|PQ|，再由勾股定理，求得|PF1|，即可求得周长．解答：解：双曲线C：﹣y2=1的a=，b=1，c==2，则F1（﹣2，0），F2（2，0），由于点P的横坐标为2，则PQ⊥x轴，令x=2则有y2=﹣1=，即y=．即|PF2|=，|PF1|===．则三角形PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=++=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与双曲线的关系，考查运算能力，属于基础题．12．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A． B．∪上存在x0（a＜x0＜b），满足，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x2是上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是﹣3＜m≤．考点：函数与方程的综合运用；函数的值．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根，求出方程的根，让其在（﹣1，1）内，即可求出实数m的取值范围．解答：解：函数f（x）=x3+mx是区间上的平均值函数，故有x3+mx=在（﹣1，1）内有实数根．由x3+mx=⇒x3+mx﹣m﹣1=0，解得x2+m+1+x=0或x=1．又1∉（﹣1，1）∴x2+m+1+x=0的解为：，必为均值点，即⇒﹣3＜m≤．⇒＜m≤∴所求实数m的取值范围是﹣3＜m≤．故答案为：﹣3＜m≤．点评：本题主要是在新定义下考查方程根的问题．在做关于新定义的题目时，一定要先认真的研究定义理解定义，再按定义解答．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．如图，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的距离赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，≈2.45）考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，则△ACD是等腰直角三角形，根据AC=10海里可求出AD即CD的长，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出BD的长进而可得出BC的长，再根据中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度即可得出两军舰到达C点所用的时间，进而得出结论．解答：解：如图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D．因为∠CAD=45°，AC=10海里，所以△ACD是等腰直角三角形．所以AD=CD=AC=×10=5（海里）．在Rt△ABD中，因为∠DAB=60°，所以BD=AD×tan 60°=5×=5（海里）．所以BC=BD﹣CD=（5﹣5）海里．因为中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，所以中国海监船到达C点所用的时间t1===（小时），某国军舰到达C点所用的时间t2==≈=0.4（小时）．因为＜0.4，所以中国海监船能及时赶到．点评：本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．18．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；向量语言表述线面的垂直、平行关系．专题：综合题；空间角．分析：（Ⅰ）取AB中点O，连接EO，DO．利用等腰三角形的性质，可得EO⊥AB，证明边形OBCD 为正方形，可得AB⊥OD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面EOD，从而可得AB⊥ED；（Ⅱ）由平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，可得EO⊥平面ABCD，从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系，确定平面ABE的一个法向量为，，利用向量的夹角公式，可求直线EC与平面ABE所成的角；（Ⅲ）存在点F，且时，有EC∥平面FBD．确定平面FBD的法向量，证明=0即可．解答：（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．…因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．…因为EO∩OD=O所以AB⊥平面EOD．…因为ED⊂平面EOD所以AB⊥ED．…（Ⅱ）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB所以EO⊥平面ABCD，因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．所以，平面ABE的一个法向量为．…设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．…（Ⅲ）解：存在点F，且时，有EC∥平面FBD．…证明如下：由，，所以．设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有所以取a=1，得=（1，1，2）．…因为=（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足时，有EC∥平面FBD．…点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，考查线面角，考查利用向量解决线面角问题，确定平面的法向量是关键．19．某校对参加高校自主招生测试的学生进行模拟训练，从中抽出N名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．（1）求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（2）学校从成绩在的三组学生中用分层抽样的方法抽取12名学生进行复试，若成绩在内的频率为0.005×10=0.05，即可求N的值并估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（2）确定从这一小组中抽出的人数，依题意知，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和数学期望．解答：解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在区间内的频率为0.005×10=0.05，所以，利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．所以，估计这次考试的平均分是7．由频率分布直方图可知，成绩分布在间的频率最大，所以众数的估计值为区间的中点值7…（注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（2）由（1）知，成绩在内的学生共有40×（0.3+0.25+0.05）=24人，成绩在考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程．解答：解：（Ⅰ）设点Q的坐标为（x0，4），把点Q的坐标代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得x0=，∵点P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得 p=2，或 p=﹣2（舍去）．故C的方程为 y2=4x．（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2=4x的焦点F（1，0），设l的方程为 x=my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4=0，显然判别式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1•y2=﹣4．∴AB的中点坐标为D（2m2+1，2m），弦长|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，∴直线l′的方程为 x=﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，把线l′的方程代入抛物线方程可得 y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3•y4=﹣4（2m2+3）．故线段MN的中点E的坐标为（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2 ++=×，化简可得 m2﹣1=0，∴m=±1，∴直线l的方程为 x﹣y﹣1=0，或 x+y﹣1=0．点评：本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题．21．己知f（x）=e x﹣alnx﹣a，其中常数a＞0．（1）当a=e时，求函数f（x）的极值；（2）若函数y=f（x）有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：＜a；（3）求证：e2x﹣2﹣e x﹣1lnx﹣x≥0．考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出a=e的函数的导数，求出单调区间，即可求得极值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有 0＜a≤e成立．若，则f（x）=e x﹣a（lnx+1）≥0显然成立；若，运用参数分离，构造函数通过求导数，运用单调性，结合函数零点存在定理，即可得证；（3）讨论当a=e时，显然成立，设，求出导数，求出单调区间可得最大值，运用不等式的性质，即可得证．解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1）当a=e时，f（x）=e x﹣elnx﹣e，，而在（0，+∞）上单调递增，又f′（1）=0，当0＜x＜1时，f′（x）＜f'（1）=0，则f（x）在（0，1）上单调递减；当x＞1时，f′（x）＞f'（1）=0，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，则f（x）有极小值f（1）=0，没有极大值；（2）先证明：当f（x）≥0恒成立时，有 0＜a≤e成立．若，则f（x）=e x﹣a（lnx+1）≥0显然成立；若，由f（x）≥0得，令，则，令，由得g（x）在上单调递增，又g（1）=0，所以φ′（x）在上为负，在（1，+∞）上为正，因此φ（x）在上递减，在（1，+∞）上递增，即有φ（x）min=φ（1）=e，从而0＜a≤e．因而函数y=f（x）若有两个零点，则a＞e，即有f（1）=e﹣a＜0，由f（a）=e a﹣alna﹣a（a＞e）得f'（a）=e a﹣lna﹣2，则，则f′（a）=e a﹣lna﹣2在（e，+∞）上单调递增，即有f′（a）＞f'（e）=e e﹣3＞e2﹣3＞0，则有f（a）=e a﹣alna﹣a在（e，+∞）上单调递增，则f（a）＞f（e）=e e﹣2e＞e2﹣2e＞0，则f（1）f（a）＜0，则有1＜x2＜a；由a＞e得，则，所以，综上得．（3）证明：由（2）知当a=e时，f（x）≥0恒成立，所以f（x）=e x﹣elnx﹣e≥0，即f（x）=e x﹣elnx≥e，设，则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）上单调递增；当x＞1时，h′（x）＜0，所以h（x）在（1，+∞）上单调递减，所以的最大值为，即，因而，所以，即f（x）=e2x﹣2﹣e x﹣1lnx﹣x≥0．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题和易错题．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）求证：FG∥AC；（2）若CG=1，CD=4．求的值．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：直线与圆；推理和证明．分析：（1）由切割线定理得AB2=AD•AE，从而AD•AE=AC2，进而△ADC∽△ACE，由此能证明FG∥AC．（2）由题意可得：G，E，D，F四点共圆，从而△CGF∽△CDE，由此能求出．解答：（1）证明：∵AB为切线，AC为割线，∴AB2=AD•AE，又∵AC=AB，∴AD•AE=AC2．∴，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，又∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE，∴FG∥AC．（2）解：由题意可得：G，E，D，F四点共圆，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．∴△CGF∽△CDE，∴=．又∵CG=1，CD=4，∴=4．点评：本题考查两直线平行的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知椭圆C：=1，直线l：（t为参数）．（Ⅰ）写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；（Ⅱ）设 A（1，0），若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P 的坐标．考点：椭圆的参数方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）直接利用三角代换写出椭圆C的参数方程，消去此时t可得直线l的普通方程；（Ⅱ）利用两点间距离公式以及点到直线的距离公式，通过椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，列出方程，即可求点P的坐标．解答：解：（Ⅰ）椭圆C：（θ为为参数），l：x﹣y+9=0．…（Ⅱ）设P（2cosθ，sinθ），则|AP|==2﹣cosθ，P到直线l的距离d==．由|AP|=d得3sinθ﹣4cosθ=5，又sin2θ+cos2θ=1，得sinθ=，cosθ=﹣．故P（﹣，）．…点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，参数方程的应用，点到直线的距离以及两点间距离公式的应用，考查计算能力．【选修4-5：不等式证明】24．设函数f（x）=|x﹣a|（1）若f（x）≥5﹣|x﹣1|的解集为R，求实数a的取值范围；（2）若f（x）≤1的解集为，且+=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）利用绝对值的几何意义直接求出表达式的最值，通过绝对值不等式求解即可．（2）求出a=1，推出，通过，利用基本不等式求出最值即可．解答：解：（1）由已知可得|x﹣a|+|x﹣1|≥5的解集为R，因为|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）﹣（x﹣1）|=|a﹣1|，所以|a﹣1|≥5，解得a≥6或a≤﹣4.5分（2）证明：依题f（x）≤1可知|x﹣a|≤1⇒a﹣1≤x≤a+1，所以a=1，即，∴，当且仅当，，即m=2，n=1时取等号．10分点评：本题考查基本不等式和绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力．。

2015年宁夏高校期末考试卷暨第一次模拟考试数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22—24题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3 45涂黑．1等于（A ． 2A ．3A ．410A ．8C ．12万元 D ．15万元5、甲：函数是R 上的单调递增函数；乙：，则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则的取值范围AB {2}0,1,2,3-()f x 1212,()()x x f x f x ∃<<t为（ ） A ． B ． C ． D ． 7、为得到函数的图象，可将函数的图象向左平移个单位长度，或向右平移个单位长度均为正数），则的最小值是（ ）A8为垂足，若则A B．C ．D ．9、已知为区域内的任意一点，当该区域的面积为的A10A B C D 11、已知为原点，双曲线上有一点，过作两条渐近线的平行线，14t ≥18t ≥14t ≤18t ≤sin()3y x π=+sin y x =m n (,m n m n -(0)OC a λλ=≠λa b⋅2a2ba b a b⋅⋅(,)P x y 22y x ⎧-≤⎨y 3333O 2221(0)x y a a-=>P P且与两渐近线的交点分别为，平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为（）ABD12、已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（）第13直线1415．已知正项等比数列{}na，a1=3, a3=,b n=log3a n ,S n是数列{ }的前n项和，则S10= .11135，17、（本小题满分12分）在中，的对边分别为，且。

2015届高考模拟试卷数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足i i z -=+1)1(（i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z = A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 22．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为( )A.32π B ．π＋ 3 C.32π＋ 3 D.52π＋ 33.在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.ρθ=B.ρθ=C.sin ρθ=D.cos ρθ=4．图(1)是某高三学生进入高中三年来 的数学考试成绩茎叶图，第1次到第 14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…， A 14.图(2)是统计茎叶图中成绩在一定 范围内考试次数的一个算法流程图． 那么算法流程图输出的结果是( )A ．7B ．8C ．9D ．105．已知“命题p ：∃x ∈R ，使得ax 2＋2x ＋1<0成立”为真命题，则实数a 满足( ) A ．[0,1) B ．(－∞，1) C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]6．若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x (a ＞0且a ≠1) 在R 上既是奇函数，又是减函数， 则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )7.等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和记为S,由原数列各项的倒数组成一个新数列1{}n a ，则1{}na 的前n 项之和'S 是（ ）A.1SB.1n q SC.n q SD. 1n S q -8. 若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值是（ ）A ．9. 若二项式*(2)()n x n N -∈的展开式中所有项的系数的绝对值之和是a ，所有项的二项式系数之和是b ，则b aa b+的最小值是（ ） A.2 B.136 C.73 D.15610.有7张卡片分别写有数字1，1,1,2,2,3,4，从中任取4张，可排出的四位数有（ ）个A.78B. 102C.114D.120第Ⅱ卷(非选择题共100分)请用0 5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。