八年级数学上册勾股定理探索勾股定理时勾股定理的简单应用习题课件北师大版

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10. 【新考法·对称法】如图是长方体的玻璃鱼缸，假设其
长 AD ＝80 cm，高 AB ＝60 cm，水深 AE ＝40 cm.在水
面上紧贴内壁点 G 处有一鱼饵，点 G 在水面线 EF 上，
且 EG ＝60 cm，一小虫想从鱼缸外的点 A 沿壁爬进鱼缸
内点 G 处吃鱼饵，求小虫爬行的最短路程.(鱼缸厚度忽
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150 cm.
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7. 【新考向·数学文化】我国古代有这样一道数学问题：
“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕
而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图
所示，把枯木看作一个圆柱体，该圆柱的高为3丈(一丈等
于10尺)，底面周长为8尺，有葛藤自点 A 处缠绕而上，绕
－ AE )＝60＋(60－40)＝80 (cm)， EG ＝60 cm，
所以A'G2＝A'E2＋ EG2＝10 000.
所以A'G＝100 cm.即小虫爬行的最短路程为100 cm.
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11. 【社会热点情境·噪声影响】如图，公路 MN 和公路 PQ
在点 P 处交会，在公路 PQ 上的点 A 处有一所学校，点 A
到公路 MN 的距离 AB ＝80 m，现有一拖拉机在公路 MN
上以18 km/h的速度沿 PN 方向行驶，拖拉机行驶时周围

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再见
1．如图，在棱长为10 cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现 要向顶点B处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1 cm/s，且速度保持不 变，问蚂蚁能否在20 s内从A爬到B？ 解：如图，在Rt△ABC中： ∵500＞202 ． ∴不能在20 s内从A爬到B．
典型例题
2．如图，长方体的高为3 cm，底面是正方形，边长为2 cm.现有绳子从点D 出发，沿长方体表面到达点B′，问：绳子最短是多少厘米？
典型例题
5． 如图,长方形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，将△ABC沿AC折
叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于
5 3
.
随堂练习
1．有一个边长为1米的正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这
个洞口，则圆形盖的半径至少为
1 2
米．
2．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固
有 C 90 .
3．已知∣x-12∣+(y-13)2+z2-10z+25=0，试判断以 x、y 、z为三边的三角
形的形状.
直角三角形
探究新知
探究圆柱上两点之间最短距离
如图：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物
在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A
处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
第一章勾股定理
3.勾股定理的应用
学习目标
1．能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的 实际问题 2．能在实际问题中构造直角三角形，进一步深化对图形 的理解和辨析能力
复习回顾
1．在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若∠C=90°，则
有 a2 b2 c2.
2.在△ABC中，a、b、c分别为其三边，若a2+b2=c2，则

第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第1课时 勾股定理（1）
情景导入 我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理： 三角形的两边之和大于第三边。
对于一些特殊的三角形，是否还存在其 他特殊的关系？
思考探究，获取新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的 三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
2.观察与发现 观察图形，正方形A中有 9 个小方格，即A的面积为 9 个
面积单位。
正方形B中有 9 个小方格，即B的面积为 9 个面积单位。 正方形C中有 18 个小方格，即C的面积为 18 个面积单位。
你发现A、B、C的面积之间有什么关系？
归纳得出结论：A+B=C
观察下图，A、B、C之间是否还满足关系式： Aห้องสมุดไป่ตู้B=C.
随堂练习 1.求下图中字母所代表的正方形的面积。
A
（1）
（2）
解:A 所代表的正方形的面积是625； B 所代表的正方形的面积是144．
3.思考
如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长 度和2.4个单位长度，前面所猜想的数量关系式 还成立吗？
你发现了吗？
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的 平方，这就是著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边 为c，那么有a2+b2=c2.
c a
b
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾， 较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理 的由来。

探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1

2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .

△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做

6米
10米
已知两边求第三边
复习旧知 “勾股定理”的应用： 已知直角三角形两边，求第三边。
复习旧知
我们是怎样发现“勾股定理”的？
用“数格子法”发现： “两直角边的平方和等于 斜边的平方”。
数格子法
探究新知
一、用“内嵌法”拼图：
将直角三角形按图拼在大正方形内部
c2 (ba)21ab4 2
b22a Байду номын сангаасa22ab
运用正方形面积表达式进行验证。
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
20 3x
4x
巩固练习
2、如图是某沿江地区交通图，为了加快经济发 展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的 沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元 /千米，该沿江高速的造价预计是多少？
合作交流
观察下图，用数格子的方法判断图中三角形 的三边长是否满足a2+b2=c2 。
非直角三角形， 不满足a2+b2=c2 。
巩固练习 3、如图，受台风“圆规”影响，一棵高18米的 大 树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵 树折断后有多高？
18-x x
6米
问题解决
例2、如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的
半 圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能通过隧
道吗？
A
解：过点A作AB⊥OC于点B，
∵∠ABO=90°
∴AB2+OB2=OA2 且OA=3.6，OB=1.5
1.1 探索勾股定理(2)
诊断练习
1、如图，Rt△ABC的边AC=5cm，BC=6cm， 求以AB为边的正方形面积。
A

【答案】B
*8.(中考·绍兴)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠 在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7 m，顶端距离地 面2.4 m．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙 时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( )
A．0.7 m B．1.5 m C．2.2 m D．2.4 m
【点拨】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，BC＝0.7 m，AC＝2.4 m， 所以AB2＝0.72＋2.42＝6.25. 在Rt△A′BD中，∠A′DB＝90°，A′D＝2 m， 所以BD2＋22＝6.25，即BD2＝2.25. 所以BD＝1.5 m. 所以CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)． 【答案】C
3．(2019·咸宁)勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之 一”，我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周 髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为 “赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会选它作 为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是( B )
4．在Rt△ABC中，a，b是两直角边，c为斜边，如果已知a， b，那么c2＝__a_2＋__b_2____；如果已知a，c，那么b2＝ __c_2_－__a_2___；如果已知b，c，那么a2＝__c_2_－__b_2 ___．当 不能直接运用勾股定理求线段长度时，则设所求线段的 长度为x，并选择一个合适的直角三角形，根据勾股定理， 列出含___x_____的方程．
6．(中考·荆州)《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：
今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？
意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将
竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，
问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度

9．一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，
但他把这三个数据与其他的数据弄混了，请你帮助他找出来为( C )
A．13，12，12
B．12，12，8
C．13，10，12
D．5，8，4
10．如图，王大伯家屋后有一块长12 m，宽8 m的矩形空地，他在以
长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，
思路探究:除了截短法和延长法外,在等腰三角形中,我们通常作底边的中线或高或顶角平分 线,以便使用等腰三角形的性质(三线合一).
第一章 三角形的证明 复习
回顾 思考1
“原名〞 知多少
公理:公认的真命题称为公理(axiom). 证明:除了公理外,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实.
推理的过程称为证明. 定理:经过证明的真命题称为定理(theorem). 推论:由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或定理的推论(corollary).推 论可以当作定理使用.
第8题图
第9题图
15．(8分)在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树 20 m的池塘，而另一只爬向树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距 离相等，问这棵树有多高？ 解：如图，点B为树顶，D处有两只猴子，那么AD＝10 m，C为池塘， 那么AC＝20 m．设BD的长为x m，那么树的高度为(10＋x) m．因为 AC＋AD＝BD＋BC，所以BC＝20＋10－x＝(30－x)m.在△ACB中， ∠A＝90°，所以AC2＋AB2＝BC2.即202＋(10＋x)2＝(30－x)2，解得 x＝5，所以x＋10＝5＋10＝15，即这棵树高为15 m
结论4: 等腰三角形腰上的高线与底边的夹角等于顶 角的一半.
结论5:等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离 之和等于一腰上的高.

“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
C
4
B
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
常用数据： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361
15 cm 17 cm
64.cm²
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2 b2 c2
B
几何语言：
c
a
∵在Rt △ABC,∠C=90°
C
b
A
∴a2+b2=c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画 直角三角形三边平方的关系.
趣味小常识
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ，
在中国古代，
斜边称为 弦 .
人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分 勾
弦
称为“勾”，下半
部分称为“股”.
（在西方称为毕达
股
勾2 + 股2 = 弦2
哥拉斯定理）
a2 b2 c2
四、探究活动
观察图片，分别求出正方形A，B，C的面积。
2. 思考：任意一个的直角三角形都满足你 所猜测的规律吗？用网格纸中画的直角三角 形尝试证明一下吧？
语言表述： 几何表示：
勾股定理 P3
A c
b
C
a
B
赵爽弦图
2002年国际数学家大会会标
1. 从这个会标中你能证明你的猜想吗？如何证明？ 你的思路是什么？ 2. 给四个完全一样的直角三角线，你能否把它们 拼成正方形？能同样推导出勾股定理吗？