华南理工大学高等数学统考试卷下2008

| | | | | | | |装| | | | |订| | | | | |线| | | | | | | | |********学院****~*****学年 第二学期检测考试试卷高等数学试卷（A ）班级 本科(理工)各专业 答题时间120分钟一填空题（本大题5小题，每4分，共20分）1、 设)1,0(1≠>=+x x x z y 其中则dz = 。

2、 设222z y x u++=，则)1,2,2(ugrad = 。

3、 设M （1，-1，2）是曲面),(y x f z =上的一点，若3)1,1(/=-x f ，在任一点处有),(),(),(//y x f y x yf y x xf y x =+，则曲面在点M 处的切平面方程是： 。

4、 交换积分次序：⎰⎰=11),(ydx y x f dy。

5、 D 是由x y =2及x y =围成的区域，写出二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的两个累次积分分别为： ； 。

二 单项选择题（本大题共5小题，每题4分，共20分）1、函数22y xy x z +-=在点)1,1(处沿)41,41(=l 的方向导数为（ ）。

A 、最大；B 、最小；C 、1；D 、02、设函数),(y x f z =在点（x 0，y 0）处可微，则f （x ，y ）在点（x 0，y 0）处下列结论不一定成立的是（ ）。

A 、连续；B 、偏导数存在；C 、偏导数连续；D 、切平面存在。

3、函数223333),(y x y x y x f --+=达到极值的点为（）。

A 、（0，0），（0，2）B 、（2，0），（2，2）C 、（0，0），（2，2）D 、（0，2），（2，0）4、设函数),(v u F 有连续的一阶偏导数，且1)1,3(,1)1,3(//-==v u F F ，则曲面0),(=-+z x y x F 通过点M 0（2，1，1）的法线方程是（ ）A 、111102-=-=-z y x B 、111112-=--=-z y x C 、111112--=--=-z y x D 、011112-=--=-z y x 5、设L 是 |y |=1－x 2表示的围线的正向，则=++⎰L y x yy x x 222d d 2（）A.0B.2πC.π2-D.2ln 4三（本大题共3小题，每题6分，共18分。

例 1.设:n n f R R →，且()1nf C R ∈，满足()()f x f yx y -≥-，对于任意,nx y R∈，都成立.试证明f 可逆，且其逆映射也是连续可导的. 证明 显然，对于任意,n x y R ∈，x y ≠，有()()f x f y ≠，f 是单射，所以1f -存在，由()()11f x f y x y ---≤-，知1f -连续，由()()f x f y x y -≥-，得对任意实数0,t ≠向量,n x h R ∈,有()()f x th f x t h +-≥，在()()f x th f x ht+-≥中令0t →，取极限，则有 得()Jf x h h ≥，任何,n x h R ∈,从而必有|()|0Jf x ≠，Jf 可逆，由隐函数组存在定理，所以1f-存在，且是连续可微的。

例2. 讨论序列()sin n ntf t n t=在()0,+∞上一致收敛性. 解 方法一 显然()11n f t n t≤⋅，对任意()0,t ∈+∞，有()lim 0n n f t →∞=，()sin n nt ntf t t n t n t=≤=， ()0lim 0n t f t +→=，关于n 是一致的；对任意0δ>，当[),t δ∈+∞时，()11n f t n δ≤⋅， 于是(){}n f t 在[),δ+∞上是一致收敛于0的， 综合以上结果，故(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的.方法二 由()sin sin 1n nt nt nt f t n tn tn t n=≤≤≤， 即得(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的 例3、 判断1nn nx ∞=∑在1x >上是否一致收敛. 例4. 设()f x 在(),-∞+∞上一致连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，证明()lim 0x f x →∞=.例5.求有曲面2221x y za b c⎛⎫++= ⎪⎝⎭所围成的立体的体积其中常数,,0a b c >.例6、 设D 为平面有界区域，(),f x y 在D 内可微，在D 上连续，在D 的边界上(),0f x y =，在D 内f 满足方程f f f x y∂∂+=∂∂. 试证：在D 上(),0f x y ≡.证明 因为(),f x y 在D 上连续， 设()(),max ,x y DM f x y ∈=，则0M =，假若0M >，则存在()00x y D ∈，使得()00f x y M =， 于是有()000f x y x ∂=∂，()000fx y y∂=∂， 这与()()00000f f x y f x y x y ⎛⎫∂∂+=> ⎪∂∂⎝⎭矛盾，假若0M <，亦可得矛盾.同理，对()(),min ,x y Dm f x y ∈=，亦有0m =，故(),0f x y =，(),x y D ∈.华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题 1、设0a ≠，数列{}n x 满足lim 0n n n x ax a→∞-=+，证明lim n n x a →∞=。

2008年华南理工数学分析考研试题及解答n例1.设f:Rn?Rn，且f?C1?R???，满足f?x??f?yx?y，对于任意n，都成立.试证明f可逆，且其逆映射也是连续可导的. x,y?R证明显然，对于任意x,y?Rn，x?y，有f?x??f?y?，f 是单射，所以f?1存在，f?1?x??f?1?y??x?y，知f?1连续，f?x??f?y??x?y，得对任意实数t?0,向量x,h?Rn,有f?x?th??f?x??th，f?x?th??f?x??h在中令t?0，取极限，则有t得Jf(x)h?h，任何x,h?Rn,从而必有|Jf(x)|?0，Jf可逆，隐函数组存在定理，所以f?1存在，且是连续可微的。

例2. 讨论序列fn?t??sinnt在?0,???上一致收敛性. nt11解方法一显然fn?t???，nt对任意t??0,???，有limfn?t??0，n??fn?t??sinntnt??t，ntntt?0?limfn?t??0，关于n是一致的；对任意??0，当t???,???时，fn?t??11?，n?于是?fn?t??在??,???上是一致收敛于0的，综合以上结果，故?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的.1 方法二fn?t??sinntnt?sinntnt?nt1?，ntn即得?fn?t??在?0,???上是一致收敛于0的例3、判断?n?1?n在x?1上是否一致收敛. xn????例4. 设f?x?在???,???上一致连续，且?2f?x?dx收敛，证明limf?x??0. x??2?xy?z例5.求有曲面????2?1所围成的立体的体积其中常数a,b,c?0. ?ab?c例6、设D为平面有界区域，f?x,y?在D内可微，在D上连续，在D的边界上f?x,y??0，在D 内f满足方程试证：在D上f?x,y??0. ?f?f??f. ?x?y证明因为f?x,y?在D上连续，设M?maxf?x,y?，?x,y??D则M?0，假若M?0，则存在?x0y0??D，使得f?x0y0??M，于是有?f?f?x0y0??0，?x0y0??0，?x?y??f?f?这与????x0y0??f?x0y0??0矛盾，??x?y?假若M?0，亦可得矛盾. 同理，对m?minf?x,y?，亦有m?0，?x,y??D故f?x,y??0，?x,y??D. 华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题1、设，数列{x}满足lima?0nn??xn?axn?a。

2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1•答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上•用 2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上•将 条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案•答案不能答在试卷上.3 •非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准 使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答的答案无效.4•作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点， 再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5 •考生必须保持答题卡的整洁•考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件 A B 互斥，那么P(A B) =P(A) • P(B).已知 n 是正整数，则 a n -b n =(a-b)(a n ，• a n 'b V ab n _ b n ‘).一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.1 •已知0 ca v2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是( )A . (1,5)B . (1,3)C . (1,岛D . (1,73)3 .某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表 1.已 知在全校学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( ) A . 24B . 18C . 16D . 122x + y W 40, x + 2 v W 504.若变量x , y 满足'则z = 3x • 2y 的最大值是()x > 0,y >0,2 .记等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 1-,S 4 =20，则 S 6 =( 2A . 16B . 24C . 36D . 48一年级二年级 三年级:女生 373xy男生377370zA . 90B . 80C . 70D . 40、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~12题）9.阅读图3的程序框图，若输入 m=4 , n=6,则输出 a , \ = ___________ . （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“-”或“：二”）i =110.已知（1 kx2）6（ k 是正整数）的展开式中， x 8的系数小于 120」k = ____________1a = i2 211 .经过圆x 2x y =0的圆心C ，且与直线x • y = 0垂直 的直线方程是 _____________________-输出a, i12 .已知函数 f （x ）=（sinx-cosx ）sinx , x ，R ，贝y f （x ）的 最小正周期是 __________结束5. 将正三棱柱截去三个角 （如图1所示A , B , C 分别是A GHI 三边的中点）得到几何体如图 2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ ）&在平行四边 J?BCD 中,AC 与BD 交于点O , E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F .若 AC 二 a , BD 二 b ，则 AF 二（）1 12 11 11 2A. -a x —b B . —a ； —bC . -a ；—bD. -a -b 4 23 3 24 3 36 •已知命题p:所有有理数都是实数，命题是（ ）q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的A . (—p) qB . p qC . (—p) (—q)D • (—p) (—q)7 •设 a R ，若函数 y =e ax • 3x , A .B . a ：：： -3x R 有大于零的极值点，则（）C .1 a ：：：…开始、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13 .（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C, C 2的极坐标方程分别为TCOSV -3 , 一 （ n ） 『=4cosv 》0,0 W ，则曲线C ,与C 2交点的极坐标为I 2丿2114.（不等式选讲选做题） 已知a R ,若关于x 的方程x 2+x + a — — + a= 0有实根，则a 的 4取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题） 已知PA 是圆O 的切线，切点为 A , PA=2 .AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B , PB =1，则圆O 的半径R.三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）已知函数 f （x ） = Asin （ x J （ A • 0,0 ：：：「：：： u ）,（1 ）求 f （x ）的解析式;17. （本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品 200件，经质检，其中有一等品 126件、二等品50件、三等品20件、 次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为 6万元、2万元、1万元，而1件次 品亏损2万元.设1件产品的利润（单位：万元）为 . （1 ）求的分布列；（2 ）求1件产品的平均利润（即 的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%, 一等品率提高为 70%.如果此 时要求1件产品的平均利润不小于 4.73万元，则三等品率最多是多少？x • R 的最大值是1 ,其图像经过点(2)已知:,叫0日，且3 = |12f (:) ，求 f (:• - ：)的值.13418. (本小题满分14分)图4所示，过点F(0, b ・2)作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的 交点为G ，已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F ,.(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2) 设A, B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否 存在点P ,使得△ ABP 为直角三角形？若存在， 请指出共有几个这样 的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)19. (本小题满分14分)［丄,X<1设 k € R ，函数 f(x)=<1—x, F(x) = f(x)—kx , R ，试讨论函数 F(x)的单-x/^1, x > 1调性.20. (本小题满分14分)如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的 直径，.ABD =60； , . BDC =45； , PD 垂直底面 ABCD , PD =2、,2R , E , F 分别是PE DFPB , CD 上的点，且，过点E 作BC 的平行线交PC 于G .EB FC(1 )求BD 与平面ABP 所成角二的正弦值； (2)证明：△ EFG 是直角三角形；PE 1(3)当 时，求△ EFG 的面积.EB 221. (本小题满分12分)设p, q 为实数，〉，：是方程x 2-px ，q =0的两个实根，数列｛x n ｝满足x^ - p ,2x2= P -q , X n 二 pX n4-qX n, ( n = 3,4,…).(1)证明：「•- - p ，「- - q ； (2)求数列｛x n ｝的通项公式；设b 0，椭圆方程为2 22b 2 b 22=1，抛物线方程为x =8(y-b).如图4GADF1(3)若p =1 , q ，求｛X n｝的前n项和S n .4绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案一、 选择题：C D C C A D B B 1.C 【解析】z 二 a 21，而 0 ：：： a ：：： 2，即 1 ：：： a 2 T ：：： 5 ,-/52. D 【解析】S 4 =2 6d =20 , d =3，故 S^3 15^ 48 3 . C 【解析】 依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2000 - 373 - 377 - 380 - 370 = 500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽2样中应在三年级抽取的学生人数为 64 2 =1684. C5. A6. D 【解析】不难判断命题 p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有（一p ） （一q ）为真命题 7.B 【解析】f '（x ） =3 ae ax ,若函数在 x R 上有大于零的极值点，即f '（x ） =3 ae ax =0有13正根。

华南理工大学高等数学（试卷号：2002-A 时间：150分钟 总分100）院（系）： 专业班：姓名： 成绩报告表序号：目要求，把所选项前的字母填写在题后的括号内。

1、极限)31ln()21ln(lim 220x x x -+→的值为（ ） (A) 0 (B) 1(C) 32- (D) 不存在 2、设⎩⎨⎧≥+<=0,120,2cos )(2x x x x x f ，则)0(f '值为（ ） (A) 0 (B) 1(C) 2 (D) 不存在3、若积分⎰+∞-0dx e kx 收敛，则 （ ） (A) 0>k (B) 0<k(C) 0≥k (D) 0≤k4、设⎰=431ln xdx I ，⎰=4322ln xdx I 则（ ） (A) 21I I > (B) 21I I =(C) 21I I < (D) 不能确定它们的大小5、设f ''在]1,0[上连续，0)1(='f ，3)1(=f ，1)0(-=f ，则⎰''10)(dx x f x 的值为（ ） (A) 4 (B) 3(C) 4- (D) 以上都不对二、填空题（本题18分，每小题3分）1．设)(x f y =，f 可微，则=')(x y2．设e x x x x y cos tan ln sin 3+-⋅=，则=dy3．=+⎰1x x e dx e 4． ⎰=202sin πxdx5．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0),(1)(sin 2sin x a x e e x x f x x 在0=x 连续，则=a三、（本题6分）设210x y =，求y ''四、（本题10分）求函数233xx y -=的单调增、单调减区间和极值。

五、（本题6分）设⎪⎩⎪⎨⎧=+=t e y t t x t cos sin 2，求dx dy 六、（本题6分）求定积分⎰--6322x x dx 七、（本题6分）求不定积分⎰-221x dx x 八、（本题6分）已知11lim 2040=+⎰→x x t a tdt x ，求a 的值。

高等数学下册试卷2013．6一、填空题（每题4分，共20分） 1. 2(,)e ,2_____.xy u u u x y x y x y∂∂=+=∂∂则2. (1,0,1)(,)d |____.z x y xyz z -==已知由方程确定，则3. (,,)ln((1,0,1)(3,2,2)____.u x y z x A A B =-在处沿从指向的方向导数为4. 22222=()d d ____.D x y a x y x y ++=⎰⎰D 已知为围成的区域，则5. 2=(0,0)(1,1)____.L L y x =已知为从到的一段，则二、（本题7分）已知242,(,)(0,0)(,),0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪≠⎩证明函数(,)f x y 在(0,0)处不连续，但偏导数存在.三、（本题7分）2ln 0,,,.x z z z z z y x y x y∂∂∂-=∂∂∂∂已知求 四、（本题7分）22max{,}e d ,{(,)|01,01}.x y D D x y x y σ=≤≤≤≤⎰⎰计算二重积分其中五、（本题7分） 22222222d 2.z v x y z Rz x y z R ΩΩ++=++=⎰⎰⎰计算二重积分,其中为球面和围成的封闭区域 六、（本题8分）32sin (3e )d (sin )d (0,0)(,2).1cos 3xL x t t x x y x x y y y L y t π=-⎧++-⎨=-⎩⎰计算,其中为摆线从到的部分 七、（本题8分）323232(2)d d +(2y )d d (2)d d ,0)x xy y z yz z x z zx x y z a ∑--+-∑=>⎰⎰计算其中为的上侧. 八（本题7分）求定解问题2d cos tan [2]0,|1d x y x xe y y x π=-+==-的解. 九（本题7分）求微分方程44x y y e '''-=的通解.十（本题7分）()(,)f x -∞+∞函数在内有连续的导数，且满足22222224()()()d d ,x y t f t x y f x y x y t +≤=+++⎰⎰().f x 求十一（非化工类，每小题5分，共15分）（1）判断级数1201d 1n n x x ∞=+∑⎰的敛散性； （2）求幂级数113(2)nn n n x n ∞=+-∑的收敛区间，并讨论区间端点的处的收敛性； （3）将函数2()ln(1)f x x x =--展开成关于x 的幂级数，并指出其收敛区间.十一（化工类，每小题5分，共15分）（1）求曲面e e 4x y z z +=在点(ln 2,ln 2,1)处的切平面和法线方程；（2）在曲面z =(1,的距离最短，并求最短距离;（3）求曲面22z x y =+包含在圆柱面222x y x +=内那部分（记作∑）的面积.。

高等数学下册试卷 2009．07．01姓名： 学院与专业： 学号：一、填空题[共24分]1、[4分]函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点偏导数z x ∂∂与zy∂∂连续的 必要 条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的 充分 条件（填必要、充分或充要）2、[4分]向量场()2cos xy A e i xy j xz k =++ 的散度为()sin 2xy ye x xy xy -+.向量场()()()2332B z y i x z j y x k =-+-+-的旋度为{}2,4,6.3、[4分] ]设()(),,,z f x xy f u v =有连续偏导数，则dz =()122f yf dx xf dy ++ 4、[4分] 交换二次积分的积分次序()2220,y y dy f x y dx =⎰⎰()402,x f x y dy ⎰5、[4分]设曲面∑为柱面221x y +=介于平面0z =与1z =部分的外侧，则曲面积分()22x y dxdy ∑+=⎰⎰ 0 ，()22x y dS ∑+=⎰⎰2π6、设()3322,339,0f x y x y x y x x =-++->，则它有极小值()1,05f =-二、[8分] 设ze xyz =，求22zx∂∂解：两边取微分，得z e dz xydz xzdy yzdx =++,z z xzdy yzdx yzdx xzdye dz xydz xzdy yzdx dz e xy xyz xy++-=+==--从而z z x xz x ∂=∂-，()()222211z z xz x z z x z z z x x x x x x xz x x z ∂∂⎛⎫--+- ⎪∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭-()()()()()()()22222322332222211221111z z z z x z z x z z z z x z z z z z x x x z x z x z x z ∂--------∂--∂====∂---- 三、[7分] 设长方形的长x 、宽y 、高z 满足1111x y z++=，求体积最小的长方体。

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《高等数学（下）》试卷A15分，每小题3分）若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是 （） ）(),z f x y =在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在；曲面(),z f x y =在点()()0000,,,x y f x y 处有切平面二重极限22400lim x y xy x y →→+值为（ ））0； (B) 1； (C)12； (D)不存在 已知曲面()22:10z x yz ∑=--≥，则222∑=（））2π； (B) π； (C) 1； (D) 12π 已知直线34:273x y zL ++==--和平面:4223x y z ∏--=，则（ ） ）L 在∏内； (B) L 与∏平行，但L 不在∏内；L 与∏垂直； (D) L 与∏不垂直，L 与∏不平行（斜交）、 用待定系数法求微分方程232y y y x '''++=的一个特解时，应设特解的形式y = （ ）(A) 2ax ；（B ）2ax bx c ++；（C ）2()x ax bx c ++；（D ）22()x ax bx c ++（本大题共15分，每小题3本分）. arctanxz y=，则dz = . 曲线L 为从原点到点(1,1)的直线段，则曲线积分L⎰的值等于３. 交换积分次序后，ln 10(,)e x dx f x y dy =⎰⎰４. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)-沿方向{}2,1l =的方向导数为 5. 曲面23zz e xy -+=在点(1,2,0)处的法线方程是三、（本题7分）计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区域四、（本题7分）计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面221x y +=及平面0,1z z ==所围成的闭区域五、（本题7分）计算x d y d zy d z d x z d ∑++⎰⎰，其中∑为旋转抛物面()221z x y z =+≤的上侧六、（本题7分）计算()()3133xy xy Lye x y dx xe x y dy +-+++-+⎰，其中L 为从点(),0a -沿椭圆y =-(),0a 的一段曲线七、（本题6分）设函数()22220,0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，证明：1、(),f x y 在点()0,0处偏导数存在，2、(),f x y 在点()0,0处不可微八、（本题7分）设,,y z xf xy f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭具有连续二阶偏导数，求2,z z y y x ∂∂∂∂∂九、（本题7分）设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通解十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标十一、（非化工类做，本题7分）求幂级数()321111321nn x x x n +-++-++的收敛域及其和函数解：收敛域[1,1]-上()()321111321nn S x x x x n +=-++-++()()()21,00,arctan 1S x S S x x x '===+ 十二、（非化工类做，本题7分）设函数()f x 以2π为周期，它在[,]ππ-上的表达式为()1,00,0,,1,0x f x x x πππ<<⎧⎪=±⎨⎪--<<⎩求()f x 的Fourier 级数及其和函数在x π=-处的值解：()021120,sin n n n a b nxdx n πππ⎡⎤--⎣⎦===⎰ ()f x 的Fourier 级数为411sin sin 3sin 535x x x π⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦和函数在x π=-处的值为0十一、（化工类做，本题7分）已知直线1210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩和212:123y z L x +--==证明：12//L L ，并求由1L 和2L 所确定的平面方程十二、（化工类做，本题7分）设曲线积分()2Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ连续可导，且()00ϕ=，计算()()()1,120,0xy dx y x dy ϕ+⎰一1B 2D3B 4B5B二122ydx xdyx y-+ 21e - 310(,)ye e dyf x y dx ⎰4 512,021x y z --== 三解：2221458y y I dy xydx +-==⎰⎰四、解：11201,.22DI z dz or d zdz πππσ===⎰⎰⎰⎰五、解：32xyD I dv dxdy πΩ=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰六、解：4(31)22aaDI dxdy x dx ab a π-=++=+⎰⎰⎰七、解：()()(),00,00,0lim0x x f x f f x→-==,()()()00,0,00,0lim0y y f y f f y →-==,0,00,0limx y f x y f x f y∆→∆→∆∆-∆-∆22200lim()x y x yx y ∆→∆→∆∆=∆+∆极限不存在故不可微八解：22212111222,2z z y x f f xf x yf f y y x x∂∂'''''''=+=+-∂∂∂ 九、解：()()1x xx e p x e -=，求10xx e y y e-'+=得x x e y ce -+=从而通解为xx e x y ce e -+=+十解：设切点()000,,x y z ，切平面方程为0002221xx yy zz a b c++=，四面体体积为2220006a b c V x y z =令2222221x y z F xyz a b c λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭2200x y z x F yz a F F F λλ⎧=+=⎪⎨⎪===⎩()000,,x y z =⎝⎭ 十一、证：{}{}121,2,3,1,2,3s s =--=-，故12//L L由这两条直线所确定的平面方程为210x y +-=十二解：()()22,,xy y x x x ϕϕ'==()()()1,120,012xy dx y x dy ϕ+=⎰。

例 1.设:n n f R R →，且()1nf C R ∈，满足()()f x f y x y -≥-，对于任意,n x y R ∈，都成立.试证明f 可逆，且其逆映射也是连续可导的.证明 显然，对于任意,n x y R ∈，x y ≠，有()()f x f y ≠，f 是单射，所以1f -存在，由()()11f x f y x y ---≤-，知1f -连续，由()()f x f y x y -≥-，得对任意实数0,t ≠向量,n x h R ∈,有()()f x th f x t h +-≥，在()()f x th f x ht+-≥中令0t →，取极限，则有 得()Jf x h h ≥，任何,n x h R ∈,从而必有|()|0Jf x ≠，Jf 可逆，由隐函数组存在定理，所以1f-存在，且是连续可微的。

例2. 讨论序列()sin n ntf t n t=在()0,+∞上一致收敛性. 解 方法一 显然()11n f t n t≤⋅， 对任意()0,t ∈+∞，有()lim 0n n f t →∞=，()sin n nt ntf t t n t n t=≤=， ()0lim 0n t f t +→=，关于n 是一致的；对任意0δ>，当[),t δ∈+∞时，()11n f t n δ≤⋅， 于是(){}n f t 在[),δ+∞上是一致收敛于0的， 综合以上结果，故(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的.方法二 由()sin sin 1n nt nt nt f t n tn tn t n=≤≤≤， 即得(){}n f t 在()0,+∞上是一致收敛于0的 例3、 判断1nn nx ∞=∑在1x >上是否一致收敛. 例4. 设()f x 在(),-∞+∞上一致连续，且()f x dx +∞-∞⎰收敛，证明()lim 0x f x →∞=.例5.求有曲面2221x y za b c⎛⎫++= ⎪⎝⎭所围成的立体的体积其中常数,,0a b c >.例6、 设D 为平面有界区域，(),f x y 在D 内可微，在D 上连续，在D 的边界上(),0f x y =，在D 内f 满足方程f f f x y∂∂+=∂∂. 试证：在D 上(),0f x y ≡.证明 因为(),f x y 在D 上连续， 设()(),max ,x y DM f x y ∈=，则0M =，假若0M >，则存在()00x y D ∈，使得()00f x y M =， 于是有()000fx y x∂=∂，()000f x y y ∂=∂，这与()()00000f f x y f x y x y ⎛⎫∂∂+=> ⎪∂∂⎝⎭矛盾，假若0M <，亦可得矛盾.同理，对()(),min ,x y Dm f x y ∈=，亦有0m =，故(),0f x y =，(),x y D ∈.华南理工大学2008年数学分析考研试题及解答一．求解下列各题 1、设0a ≠，数列{}n x 满足lim0n n n x ax a→∞-=+，证明lim n n x a →∞=。