第8章 方差分析

西裔
S3 0.158
非裔
y3 5.00
农场二 英裔
5.90
4.42 7.51 7.89 3.78
6.31
3.54 4.73 7.20 5.72
4.52
6.93 4.48 5.55 3.52
y 5.5
y1 5.90 S1 1.819
y2 5.50 S 2 1.416
S3 0.296
3.确定P值，判断结果
查F界值 (P216),
F0.05( 2, 27) 3.35 。本例 F＝6.52>3.35,
故P<0.05。按 0.05 的水准，拒绝H0，接受H1 ，可以认
为三种不同剂量人体的部分凝血活酶时间不同或不全相同。
农场一：组间变异MS组间 1.017，组内变异MS组内 0.00017 MS组间 1.017 F 5545 .5, MS组内 0.00017
组间 3 - 1 2
3. 组内变异
• 是指在同一处理组内，不同研究对象的部 分凝血活酶时间各不相同。组内变异仅反 映随机误差(含个体差异和测量误差)，故又 称误差变异。其大小可用MS组内表示。
SS组内 SSW SS E ( X ij X i ) (ni 1) S
5
42
40
38
36
34
32
30
0.5U
1U
2U
• 可否用两样本比较的t检验进行比较而得出结论呢？
6
来自于三个种族（英国裔美国人，西班 牙裔美国人,非州裔美国人）的农场工人 的每个小时工资，问表1和表2比较那个 表的数据更能说明存在种族差异？
农场一
英裔
5.90 5.92 5.91 5.89 5.88
西裔
5.51 5.50 5.50 5.49 5.50
非裔
5.01 5.00 4.99 4.98 5.02
y1 5.90 S1 0.158
y2 5.50 S 2 0.007
西裔 6.31 3.54 4.73 7.20 5.72
S3 0.158
非裔 4.52 6.93 4.48 5.55 3.52
三种剂量 差异具有统计学意义，可以认为阿森纳中不同
剂量48小时部分凝血活酶时间不全相同。
ANOVA
1928年由英国统计学家Fisher首先
提出,为纪念Fisher，方差分析检验统
计量用F表示，因此，方差分析又称 F 检验。
方差分析的前提条件
(1)各样本是相互独立的随机样本，均服从 正态分布； (2) 各样本的总体方差相等 ，即方差齐性 (homogeneity of variance)。
完全随机设计资料的方差分析 基本步骤
(1)建立检验假设，确定检验水准 H0：三个总体均数全相等，即μ1=μ2=μ3 H1：三个总体均数不全相等，亦即至少有两 个总体均数不等。 即μ1≠μ2≠μ3或μ1=μ2≠μ3或μ1=μ3≠μ2或 μ2=μ3≠μ1 α=0.05
• (2)计算检验统计量 可根据下表的公式来计算。也可用统 计软件包如SAS或SPSS等进行计算， 直接获得方差分析表。
2 i j i 2 i
42
40
X ij
38
组内 2 N k
S
2 组内
X乙
36
MS组内 SS组内 ( N k )
34
X甲
X丙
32
30
SS组内 (10 1) 2.26 2 (10 1) 2.212 (10 1) 3.312 188 .7614
1 S ＝ N总变异 1 i
2 总
SS总 SS总 ( X ij X ) ＝ 40 N 1 j 总
2
42
X ij
SS总＝SST ( X ij X )
i j
2
38
36
总 N 1
• 由eg8.1得所有数据的方差：
X
34 32
30
0.5U
1U
2U
S S 3.1072 9.65
所以方差分析前，要先进行正态性 检验和方差齐性检验。
方差分析的基本思想
• 根据资料设计的类型及研究目的，可 将总变异分解为两个或多个部分，每个 部分的变异可由某因素的作用来解释。 通过比较可能由某因素所至的变异与随 机误差，即可了解该因素对测定结果有 无影响。
方差分析的基本思想
• 根据资料设计的类型及研究目的，可 将总变异分解为两个或多个部分，每个 部分的变异可由某因素的作用来解释。 通过比较可能由某因素所至的变异与随 机误差，即可了解该因素对测定结果有 无影响。
S
2 组间
40
38
MS组间 MS B SS组间 ( k 1)
2
X乙 X丙
36
X
SS组间 10 （33.62 - 35 .52） 10 （37 .83 - 35 .52）
2
34
X甲
32
10 （35 .10 - 35.52）
2
30
0.5U
1U
2U
91 .2247 MS组间 SS组间 / 组间 SS组间 / k 1 91 .2247 / 2 45 .6124
完全随机设计的方差分析表 变异来源 平方和 SS
SST ( X ij X ) 2
k ni
自由度
均方 MS
F值
总变异
i 1 j 1
T n 1
= (n 1) S 2 处理组间
SSTR ni ( X i X ) 2
i 1 k
TR k 1
MSTR SSTR TR
1 1 sc ( ) n1 n2
2
应用条件
•两样本来自正态总体
•要求两正态总体方差相等
回顾：假设检验中两类错误
假设检验的结果 客观实际 拒绝 H0 H0 成立 H0 不成立 即 H1 成立 I 型错误() 推断正确(1) “接受”H0 推断正确(1) II 型错误( )
I 型错误：假阳性错误,犯这种错误的概率是（其值等于检验水准） II型错误：假阴性错误,犯这种错误的概率是（其值未知）
总变异、组间变异和组内变异各用什么指标 衡量？
农场一
英裔
5.90 5.92 5.91 5.89 5.88
西裔
5.51 5.50 5.50 5.49 5.50
非裔
5.01 5.00 4.99 4.98 5.02
y 5.5
y1 5.90 S1 0.158
y2 5.50 S 2 0.007
F0.05 （2,12） 3.88，F F0.05 （2,12）P 0.05, 可以认为这个农场不同种族工人间的每小时工资有差异
农场二：组间变异MS组间 1.017，组内变异MS组内 0.732
MS组间 1.017 F 1.39， MS组内 0.732
F0.05 （2,12） 3.88，F F0.05 （2,12），P 0.05, 尚不能认为这个农场不同种族工人间的每小 时工资有差异
F MSTR MSe
SSE ( X ij X i ) 2
i 1 j 1
k
ni
组内（误差） ＝
(n
i 1
k
E nk
i
MSE SSE E
1) S i2
3.确定P值，做出推断结论 F0.05(2， ，F F0.05(2， ，拒绝H 0， 27) 3.53 27)，P 0.05
第八章
方差分析
µ1= µ2= µ3 ？
回顾：两独立样本t检验
H0： 1＝ 2
检验统计量的计算： H1： 1≠ 2
x1 x2 t , v n1 n2 2 s x1 x2
s1 (n1 1) s2 (n2 1) 2 sc n1 n2 2
2 2
s x1 x2
第二节 随机区组设计的方差分析
第二节 随机区组设计的方差分析
• 随机区组设计（randomized block design）:
i j 2
2
ni ( X i X ) ( X ij X i )
i i j
2
X X ij / N 其中SS表示离均差平方和。
i 1 j 1
SS组间 SS组内
g
ni
X i X ij / ni
j 1
ni
• 若各样本所代表的总体均数相等(H0： μ1=μ2=μ3=…=μk成立)，即各样本来自于同一 总体。在本例，也就是三组处理的效应相同， 组间变异和组内变异一样，只反映随机误差作 用大小。 如果组间变异显著地大于组内变异， 则H0可能不成立。 • 这种方法是比较方差大小来判定H0是否成立， 所以称为“方差分析”。
2 2 总 2
2.组间变异
• 是指不同处理组间凝血活酶时间值均 数之间的差异。它反映了三组处理不 同的影响（如处理确实起作用），同 时也包含了随机误差 （含个体误差和 测量误差）。其大小可用MS组间表示。
SS组间＝SS B＝ ni ( X i X )2
i

42
组间 SS 1 k 1 TR
方差分析的基本思想
• 根据资料设计的类型及研究目的，可 将总变异分解为两个或多个部分，每个 部分的变异可由某因素的作用来解释。 通过比较可能由某因素所至的变异与随 机误差，即可了解该因素对测定结果有 无影响。
假日旅行的次数
• 一项研究问“一年中你共有几次持续时间在4天或 以上的假日旅行？” • 其中丹麦人平均有1.06次，法国人均有1.11次， 爱尔兰人平均有0.81次，而葡萄牙人均有0.41次。 用方差分析来检验这些均值的差异是否显著，得 到F=85.77,自由度是3和4019，P<0.0001。 • 可以得出什么结论？ • 从这些信息中你能得出调查的人数有多少吗？