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第8章 方差分析

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医学统计学 -第08章 方差分析

医学统计学 -第08章 方差分析

第一节 方差分析的基本思想
看一个例子
例8-1 为研究钙离子对体重的影响作用，某研究者将36 只肥胖模型大白鼠随机分为三组，每组12只，分别给 予高脂正常剂量钙(0.5%)、高脂高剂量钙(1.0%)和高 脂高剂量钙(1.5%)三种不同的饲料，喂养9周，测其 喂养前后体重的差值。问三组不同喂养方式下大白鼠 体重改变是否不同？
• 三种喂养方式体重改变的平均值各不相同，这种变异 称为组间变异
•
是组内均值
X
与总均值
i
X
之差的平方和
360
340
组间变异反映了：
320
三种喂养方式的差异（影响）， 300
同时也包含了随机误差。
280
260
240
k ni
220
SS组间
(Xi X )2
200
i1 j
180
X甲
X
X乙
X丙
甲
乙
丙
3、组内变异(SS组内，variation within groups)
0.05
2、根据公式计算SS、MS及F值，列于方差分析表内(计 算过程省略)
变异来源 总变异 组间 组内（误差）
完全随机设计的方差分析表
平方和 SS 自由度
均方MS
47758.32
35
31291.67
2
15645.83
16466.65
33
498.99
F值
31.36
3、确定P值，作出判断
分子自由度=k-1=2，分母自由度=n-k=33，查F 界值表（方差分析用）
表 8-1 三种不同喂养方式下大白鼠体重喂养前后差值(g)
正常钙(0.5%) 高剂量钙(1.0%) 高剂量钙(1.5%)

第八章 方差分析与相关分析

第八章 方差分析与相关分析

第八章方差分析与相关分析一．方差分析1．基本概念方差分析的概念：比较组间方差是否可以用组内方差来进行解释，从而判断若干组样本是否来自同一总体。

方差分析，又称为ANOVA（Analysis Of Variance）分析。

方差分析可以一次检验多组样本，避免了t检验一次只能比较两组的缺陷。

方差分析只能反映出各组样本中存在着差异，但具体是哪一组样本存在差异，无法进行判定。

考察下列例子：某厂使用四种不同颜色对产品进行包装，经过在五个城市的试销，获得销售数据如下（单观察数据的列平均值，列平均值的差异反映出不同颜色包装的销售业绩差异。

此时，需要判断这种差异与同一颜色包装在不同城市间的差异相比，是否显著。

如果不显著，则这种2．方差分析原理计算观察值的组间方差和组内方差，并计算两者的比值，如果该比值比较小，说明组间方差与组内方差比较接近，组间方差可以用组内方差来解释，从而说明组间差异不存在。

●●建立原假设“H0：各组平均数相等”●●构造统计量“F＝组间方差／组内方差”●●在计算组间方差时，使用自由度为（r-1），计算组内方差时，使用自由度为（n-r）。

●●F满足第一自由度为（r-1），第二自由度为（n-r）的F分布。

●●查表，若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各组平均数存在差异。

根据方差计算的原理，生成方差分析表如下：其中：组间离差平方和 SSA (Sum of Squares for factor A) ＝39.084误差项离差平方和 SSE (Sum of Squares for Error) ＝76.8455总离差平方和 SST (Sum of Squares for Total)＝115.9295P-value值为0.000466，小于0.05，所以拒绝原假设。

3．双因素方差分析观察下列销售数据，欲了解包装方式和销售地区是否对于销售业绩有影响，涉及到双因素的方差分析。

此时需分别计算SSA、SSB与SSE之间的比值是否超过临界值。

生物统计-8第八章单因素方差分析

生物统计-8第八章单因素方差分析

01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。

第8章 均值-方差分析

第8章 均值-方差分析
《现代金融经济学》
第8章 均值－方差分析
本章制作：陈召洪
本章大纲
偏好与分布 证券组合前沿 证券组合前沿的一些数学性质
8.1 偏好与分布
一般来说，仅仅用证券组合的预期回报率和预期回报率的 方差并不能包含经济行为主体投资行为所需的全部信息。
但是马可维茨通过效用函数和投资收益的分布作了相应假 设之后证明，经济行为主体的预期效用能够仅仅表示为证 券组合的预期回报率和预期回报率的方差的函数。
全刻画，我们必须假定经济行为主体的效用函数是一
个二次型效用函数，即经济行为主体的效用函数或以
表达为 u(z)z(b2)z2
。
此时 E[R3]0
于是经济行为主体的预期效用可以由时期1的财富变 量的两个中心矩来定义
E [ u ( w ~ ) ] E [ w ~ ] b (E [ ( w ~ ]2 )2 ( w ~ )) ( 8 .2 ) 2
h p g w [ ~ r p ] E ( 8 .8 )
其中 g 1D [B (V 1 1 )A (V 1 e)]
w 1D [C (V 1 e)A (V 1 1 )]
从以上（8.8）式人们可以看出， g 是预期收益率为0
的前沿证券组合的权重向量； gw是预期收益率为1
率严格大于最小方差证券组合收益率 A C 的证券组合称之为有
效证券组合；
无效证券组合：那些既不是有效证券组合，又不是最小方差组合 的证券组合称之为无效证券组合。
前沿证券的线性组合也落在证券前沿上。
任意一支有效证券组合的凸组合仍然是一支有效证券组合。因此 有效证券组合的集合是一个凸组合。
8.3 证券组合前沿的一些数学性质
关系式（8.20）、（8.21）、（8.23）是等价的关系式。

生物统计第8章两因素及多因素方差分析

生物统计第8章两因素及多因素方差分析
生物统计第8章两因素及多因素方 差分析
目录
• 引言 • 两因素方差分析 • 多因素方差分析 • 案例研究 • 总结与展望
01 引言
主题简介
两因素及多因素方差分析
在生物统计中，两因素及多因素方差分析是用来比较不同组之间的 平均值是否存在显著差异的统计方法。
适用场景
适用于研究两个或多个因子对响应变量的影响，例如药物剂量和治 疗效果、不同品种和产量等。
详细描述
例如，比较不同饲料类型和不同饲养环境下 猪的增重效果。将猪随机分为不同的组，每 组给予一种饲料并处于一种饲养环境，然后 比较各组的平均增重。
多因素方差分析案例
总结词
多因素方差分析用于比较多个分类变量对数值型变量的影响。
详细描述
例如，比较不同饲料类型、不同饲养环境以及不同品种的猪的增重效果。将猪随机分为 不同的组，每组给予一种饲料、处于一种饲养环境并属于一个品种，然后比较各组的平
基本思想
通过比较各组间的方差与误差方差，判断不同组间是否存在显著差 异。
课程目标和意义
掌握两因素及多因素方差分析的基本原理和步骤
通过学习，学生应能够理解两因素及多因素方差分析的基本概念、原理和实施步骤，为进一步应用和拓展打下基础。
培养解决实际问题的能力
学习两因素及多因素方差分析的目的是为了解决实际问题，如探究不同处理对实验结果的影响、比较不同组间的差异 等。通过学习和实践，学生应能够运用该方法解决实际问题。
03
研究方差分析在不同领域的应用，如医学、生物学、经济学和社会科 学等。
04
开发更高效的算法和软件，以方便用户进行方差分析和相关统计计算。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
均增重。

第8章 均值方差分析

第8章 均值方差分析
意一支证券组合 p ，都必然存在着唯一的一支前
沿证券组合 zc( p) （即零协方差证券组合），它
的收益率同证券组合 p 的协方差为0。
—最小方差证券组合与其它任意前沿证券组合之 间的协方差等于 1 C ，这也是严格正定的。从而
得到，最小方差证券组合与任意的前沿证券组合的
协方差都不为0。
—假定 p 是有效证券组合，zc( p) 就是一只无
元素完全刻画，而是应该包括泰勒展开式的高阶矩
部分。
（二）均值－方差分析方法的使用条件和范围
—考察未来收益分布为任意分布的情况
a）此时为了使经济行为主体的偏好能够为均值
和方差完全刻画，我们必须假定经济行为主体的效
用函数是一个二次型效用函数，即经济行为主体的
效用函数或以表达为u(z) z (b 2)z2 。 此时 E[R3 ] 0 b）于是经济行为主体的预期效用可以由时期1
向量，rf 表示无风险证券的收益率。
—构造一个拉格朗日函数，可求得
E[~rp ]rf

(~rp
)

{

E[
H ~rp ]rf
H
如果 E[~rp ]rf
(8.29)
如果 E[~rp ]rf
也即是，在 (~rp ) E[~rp ] 坐标平面上，包括无
风险证券在内的所有证券的证券组合前沿是以(0, rf ) 为顶点，斜率分别为 H 和 H 的两条射线。

2 (~rp )

1 D
(C(E[~rp ])2

2AE[~rp ]
B)
(8.11b)
—最小方差证券组合的收益率和其他任意证券组 合（不单是前沿证券组合）的收益率的协方差，总 是同最小方差证券组合收益率的方差相等。

概率与数理统计第8章--假设检验与方差分析

概率与数理统计第8章--假设检验与方差分析

第8章假设检验与方差分析【引例】重庆啤酒股份有限公司（以下简称重庆啤酒）于1990年代初斥巨资开始乙肝新药的研发，其股票被视作“生物医药”概念股受到市场热捧。

尤其是2010~2011年的两年间，在上证指数大跌1/3的背景下，重庆啤酒股价却从23元左右飙升最高至元，但公司所研制新药的主要疗效指标的初步统计结果于2011年12月8日披露后，股价连续跌停，12月22日以元报收后停牌。

2012年1月10日重庆啤酒公告详细披露了有关研究结论，复牌后股价又遭遇连续数日下跌，1月19日跌至元。

此公告明确告知：“主要疗效指标方面，意向性治疗人群的安慰剂组与 600μg组，及安慰剂组与εPA-44 900μg组之间，HBeAg/抗HBe 血清转换在统计意义上均无差异”。

通俗地说，用药与不用药（安慰剂组）以及用药多与少（900μg组与600μg 组），都没有明显差异，这意味着该公司研制的乙肝新疫苗无效。

有关数据如表所示：表乙肝新疫苗的应答率注：εP A-44为治疗用（合成肽）乙型肝炎疫苗简称。

上表数据显示，两个用药组的应答率都高于安慰剂组的应答率，但为什么说“在统计意义上均无差异”为什么说这个结论表示乙肝新疫苗无效什么叫“在统计意义上无差异”如何根据样本数据作出统计意义上有无差异的判断解答这些问题就需要本章所要介绍的假设检验。

现实中，人们经常需要利用样本信息来判断有关总体特征的某个命题是真还是伪，或对某个（些）因素的影响效应是否显著作出推断，所以假设检验和方差分析有着广泛的应用。

例如，在生物医学领域，判断某种新药是否比旧药更有效；在工业生产中，根据某批零件抽样检查的信息来判断整批零件的质量是否符合规格要求；在流通领域，鉴别产品颜色是否对销售量有显著影响等等。

这些分析研究都离不开假设检验或方差分析。

假设检验与方差分析的具体方法很多，研究目的和背景条件不同，就需采用不同的方法。

本教材介绍假设检验与方差分析的基本原理和一些基本方法。

最新11-第8章 单因素方差分析汇总

最新11-第8章 单因素方差分析汇总

11-第8章单因素方差分析仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢140+第八章 单因素方差分析第一节 方差分析的基本问题一、方差分析要解决的问题t 检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验；而多个平均数间的差异显著性检验，必须用方差分析法。

1、检验过程繁琐一试验包含5个处理，采用t 检验法要进行25C 10＝次两两平均数的差异显著性检验；若有k 个处理，则要作k (k-1)/2次类似的检验。

2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低 12X -X s如表8-1，试验有5个处理，每个处理重复6次，共有30个观测值。

进行t 检验时，每次只能利用两个处理共12个观测值估计试验误差，误差自由度为2(6-1)=10；若利用整个试验的30个观测值估计试验误差，显然估计的精确性高，且误差自由度为5(6-1)=25。

可见在用t检法进行检验时，由于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。

3、推断的可靠性低，检验的I型错误率大用t检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题，因而会增大犯I型错误的概率，降低推断的可靠性。

假设每一对检验接受零假设的概率都是1-α＝0.95，而且这些检验都是相互独立的，那么10对检验都接受概率是(0.95)10＝0.60，犯错误的概率α׳=1-0.60=0.40犯I型错误的概率明显增加。

由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用t检验，须采用方差分析法。

二、方差分析的几个概念方差分析(analysis of variance)是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。

这种方法是将a个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。

管理运筹学 第8章 方差分析

管理运筹学 第8章 方差分析
615如果进行一个的多因素试验不考虑交互作用完全水平组合试验总数为次若采用正交试验设计最小的试验次数为25611现有三台机器生产同规定的铝合金薄板其厚度分别服从同方差的正态分布从三台机器上各取五块斑测量其厚度对其进行方差分析求得f3292查f分a三台机器生产的薄板厚度在显著性水平095上有显著差异b三台机器生产的薄板厚度在显著性水平095上无显著差异c三台机器生产的薄板厚度在显著性水平005上有显著差异d三台机器生产的薄板厚度在显著性水平005上无显著差异个总体若符合单因子方差分析方法分析数据的假定时所检验的原假设是各总体的变异系数相等方差分析单因子方差分析是在相同方差的假定下检验多个正态总体的均值是否相等的一种统计方法即检验的原假设是三种饲料喂猪得一个月后每猪所增体重单位
• H1： 1 , 2 , , r 不全等。
【案例1】哪种促销方式效果最好？
• 某大型连锁超市为研究各种促 销方式的效果，选择下属 4 个 门店，分别采用丌同促销方式， 对包装食品各迚行了4 个月的 试验。试验结果如下：
超市管理部门希望了解： ⑴丌同促销方式对销售量是否 有显著影响？ ⑵哪种促销方式的效果最好？
X
.j
SS B a X
j 1 a b
b

.j
X

2
SS E
X
i 1 j 1
ij
X
i.
X

2
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
4. 检验用的统计量
同样可以证明：当 H01 为真时，统计量
FA S A /( a 1 ) S e /( a 1 )( b 1 )
• 问： • （1）不同品种的平均每公顷产 量是否存在显著差异？ （2）任意两个品种的平均每 公顷产量是否都存在显著差异？ 并确定适合该地区的高产小麦 品种。

i第八章单因素方差分析

i第八章单因素方差分析

第二节 固定效应模型
一、线性统计模型
yij i ij
要检验a个处理效应的相等性，就要判断各αi是否为0。
H0：α1= α2 =……= αa =0
HA：αi ≠ 0
（至少有1个
i）
若接受H0，则不存在处理效应，每个观测值是由总
平均数加上随机误差构成；
若拒绝H0，则存在处理效应，每个观测值是由总平
34.7 33.3 26.2 31.6 125.8 31.450
33.2 26.0 28.6 32.3 120.1 30.025
27.1 23.3 27.8 26.7 104.9 26.225
32.9 31.4 25.7 28.0 118.0 29.500
2、单因素方差分析的数据格式：
Y1
Y2
Y3
均数、处理效应及误差三部分构成。
总变异
处理间 (组间)变异
误差或处理内 (组内)变异
1. 总变异是测量值yij与总的均数间的差异。
2. 处理间变异是由处理效应引起的变异。 3. 处理内变异是由随机误差引起的变异。
用离均差平方和的平均（均方、方差）反映变异的大小
二、平方和与自由度的分解
1. 总平方和(total sum of squares, SST): 每
著性t 检验的延伸。
ANOVA 由 英 国 统 计 学 家 R.A.Fisher 首 创 ， 用 于 推 断多个总体均数有无差异。
单因素方差分析（一种方式分组的方差分析）： 研究对象只包含一个因素(factor)的方差分析 。单因素实验：实验只涉及一个因素，该因素
有a个水平(处理)，每个水平有n次实验重复
na 4 4
SST
a i1

概率论与数理统计教程 第8章

概率论与数理统计教程 第8章
fe=nr
MSe= Se/fe
总和
ST
fT=n1
对给定的，可作如下判断：
若F F1 (fA ,fe) ，则说明因子A不显著。 该检验的p值也可利用统计软件求出，若 以Y记服从F(fA ,fe)的随机变量，则检验的 p 值为 p=P(YF)。
如果 F >F1 (fA ,fe)，则认为因子A显著；
由定理8.1.2，若H0成立，则检验统计量F服从自由度为fA和fe的F分布，因此拒绝域为W={FF1 (fA ,fe)}，通常将上述计算过程列成一张表格，称为方差分析表。
表8.1.3 单因子方差分析表
来源
平方和
自由度
均方和
F比
因子
SA
fA=r1
MSA= SA/fA
F＝ MSA/ MSe
误差
Se
第八章 方差分析与回归分析
§8.1 方差分析 §8.2 多重比较 §8.3 方差齐性分析 §8.4 一元线性回归 §8.5 一元非线性回归
§8.1 方差分析
8.1.1 问题的提出 实际工作中我们经常碰到多个正态总体均值的比较问题，处理这类问题通常采用所谓的方差分析方法。
例8.1.1 在饲料养鸡增肥的研究中，某研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示：
模型（8.1.3）可以改写为 (8.1.8) 假设（8.1.1）可改写为 H0 ：a1 =a2 =…=ar =0 （8.1.9）
8.1.5 参数估计
在检验结果为显著时，我们可进一步求出总均值 、各主效应ai和误差方差 2的估计。

统计学第八章 单因素方差分析(1)

统计学第八章 单因素方差分析(1)

称为处理平方 处理平方 和，记为 SSA
总平方和SST＝处理平方和SSA＋误差平方和SSe
即， ( y ij − y •• ) = n∑ ( y i • − y •• ) + ∑∑ ( y ij − y i• ) 2 ∑∑
2 i =1 j =1 i =1 i =1 j =1 a n 2 a a n
i =1 j =1
a
n
= n∑ ( y i• − y •• ) + 2∑ [( y i• − y •• )∑ ( y ij − y i• )] + ∑∑ ( y ij − y i • )
2 i =1 i =1 j =1 i =1 j =1
a
a
n
a
n
j =1
∑ ( y ij − y i • ) = 0
换句话说，采用两两t检验法，要进行45次t检验，程序太繁琐。
原因（2）：检验的I 型错误增大，从而检验的 可靠性低
a = 2 时， H 0 只有一个，即
µ 1＝ µ 2
a = 3 时， H 0 有 3 个，即 µ 1＝ µ 2， µ 2＝ µ 3， µ 1＝ µ 3
a = 5时，H 0 有10个，即µ1＝µ 2，µ 2＝µ3， , µ 4＝µ5 L
二、方差分析的几个概念
1、方差分析（analysis of variance）：将试验数据的总变异分 解成不同来源的变异，从而评定不同来源的变异相对重要性 的一种统计方法。 2、试验指标（experiment index）：为衡量试验结果的好坏或 处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。 3、试验因素（experiment factor）：试验中所研究的影响试验 指标的因素：单因素、双因素或多因素试验。 4、因素水平（level of factor）：因素的具体表现或数量等级。
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– 在例8-1中，要求每个位置超市的销售额必须服从正态分布； – 检验总体是否服从正态分布的方法有很多，包括对样本数据作
直方图、茎叶图、箱线图、正态概率图等 ；
2. 方差齐性(homogeneity variance)。各个总体的方差必须相 同，对于分类变量的每个水平，有12=22=…=k2；
3. 就例8-1而言，在只考虑超市位置一个因素的情况 下，方差分析也就是要检验下面的假设：
▪ H0 ：1 2 3 ▪ H1 ：1 , 2 , 3 不全相等
2020-1-14
方差分析的基本原理
(方差比较)
1. 若不同位置对销售额没有影响，则组间方差中只包含随机
误差，没有系统误差。这时，组间方差与组内方差经过平 均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1；
：
– 由于不同处理造成的误差，它反映了处理(超市位置)对观测数
据(销售额)的影响，也叫做系统误差；
3. 组内误差(within-group error) —随机误差(random error)
：
– 由于随机因素造成的误差，也简称为误差(error) ；
2020-1-14
方差分析的基本原理
(误差分解)
2. 若不同位置对销售额有影响，在组间方差中除了包含随机
误差外，还会包含有系统误差，这时组间方差平均后的数 值就会大于组内方差平均后的数值，它们之间的比值就会 大于1；
– 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间
存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响；
方差分析的基本假定
1. 正态性(normality)。每个总体都应服从正态分布，即对于 因素的每一个水平，其观测值是来自正态分布总体的简单 随机样本；
2020-1-14
8.1 方差分析的基本原理
8.1.2 误差分解
方差分析的基本原理
(误差分解)
1. 总误差(total error)：
▪ 反映全部观测数据的误差； ▪ 所抽取的全部36家超市的销售额之间差异；
2. 组间误差(between-group error)—处理误差(treatment error)
第 8 章 方差分析
§8.1 方差分析的基本原理 §8.2 单因素方差分析 §8.3 双因素方差分析
8.1 方差分析的基本原理
8.1.1 什么是方差分析？ 8.1.2 误差分解 8.1.3 方差分析的基本假定
什么是方差分析(ANOVA)?
(analysis of variance)
1. 检验多个总体均值是否相等；
2020-1-14
方差分析的基本原理
(误差分析)
1. 方差分析的基本原理，就是要分析数据的总误差 中有没有系统误差。
– 如果超市的不同位置对销售额没有显著影响，意味着没 有系统误差。
– 这时，每种处理所对应的总体均值(i)应该相等。
2. 如果存在系统误差，每种处理所对应的总体均值 (i)至少有一对不相等；
1. 数据的误差可以用平方和(sum of squares)来表示，常 简记为SS；
• 总平方和，记为SST；
– 反映全部数据总误差大小的平方和； – 抽取的全部36家超市销售额之间的误差平方和
• 组间平方和，记为SSA；
– 反映系统误差(处理误差) 大小的平方和； – 也称为处理平方和(treatment sum of squares)
yij i ij
设总均值为，第i个处理的效应可以用第i个处 理的均值与总均值的差表示，记为i，即i=i- ；这样，第i个处理均值被分解成i=i+，方差
分析模型可以改写为 ：
yij i ij
§8.2 单因素方差分析
8.2.1数据结构 8.2.2分析步骤 8.2.3关系强度的测量 8.2.4方差分析中的多重比较
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
观测值 ( j )
水平A1
因素(A) i
水平A2
…
水平Ak
1
x11
x21
…
xk1
2
x12
x22
…
xk2
:
:
:
:
:::来自:::
n
x1n
• 组内平方和，记为SSE； ▪ 反映随机误差大小的平方和； ▪ 也称为误差平方和(sum of squares of error)
2020-1-14
方差分析的基本原理
(误差分解)
• 误差平方和的分解及其关系
总误差 = 系统误差 + 随机误差
总平方和
组间平方和
组内平方和
=
+
(SST)
(SSA)
(SSE)
额的影响，则称为单因素方差分析(one-way analysis of variance)； 3. 如果只分析超市位置和竞争者数量两个因素对销售额的单 独影响，但不考虑它们对销售额的交互效应(interaction)， 则称为只考虑主效应的双因素方差分析； 4. 如果除了考虑超市位置和竞争者数量两个因素对销售额的 单独影响外，还考虑二者对销售额的交互效应，则称为考 虑交互效应的双因素方差分析。
什么是方差分析?
(例题分析)
【 例 8-1】确定超市的位置和竞争者的数量对销售额是否 有显著影响，获得的年销售额数据(单位：万元)如下表：
因素
2020-1-14
水平或处理
样本数据
什么是方差分析?
(例题分析)
1. 分析“超市位置”和“竞争者数量”对销售额的影响； 2. 如果只分析超市位置或只分析竞争者数量一个因素对销售
– 在例8-1中，要求不同位置超市的销售额的方差都相同；
3. 独立性(independence)。每个样本数据是来自因素各水平 的独立样本(该假定不满足对结果影响较大)；
– 在例8-1中，3个样本数据是来自不同位置超市的3个独立样本；
2020-1-14
单因素方差分析的数学模型
设因素A有k种处理(比如超市位置有“居民区 ”、“商业区”、“写字楼”3种)，单因素方 差分析可用下面的线性模型来表示 :
▪ 通过分析观测数据的误差来判断各总体均值是否相等； ▪ 用方差来衡量误差的大小。
2. 研究分类型自变量对数值型因变量的影响；
▪ 一个或多个分类自变量
2个或多个 (k 个) 处理水平或分类
▪ 一个数值型因变量
3. 有单因素方差分析和双因素方差分析；
▪ 单因素方差分析：一个分类自变量 ▪ 双因素方差分析：两个分类自变量