江苏省高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 第7课时 双曲线的标准方程(2)教案 苏教版选修1-1

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2。

3.1 双曲线的标准方程1．了解双曲线标准方程的推导过程．（难点）2．理解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．（重点、难点）3．椭圆与双曲线标准方程的区别与联系．(易混点)[基础·初探］教材整理双曲线的标准方程阅读教材P39～P40例1以上部分,完成下列问题。

标准方程错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)错误!－错误!＝1(a〉0，b>0)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形焦点坐标F1(－c，0)，F2（c，0）F1（0，－c）,F2(0，c）a，b,c之间的关系c2＝a2＋b2判断(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)在双曲线标准方程错误!－错误!＝1中，a＞0，b＞0且a≠b.( ）(2)在双曲线标准方程中，a，b和焦点F2（c，0)满足a2＝b2＋c2.（) (3）双曲线y2－x2＝1的焦点坐标在y轴上．（)（4)在双曲线错误!－错误!＝1中，焦点坐标为（±5，0）．（ )【解析】 （1)方程错误!－错误!＝1中,a >0，b 〉0.a ＝b 时也是双曲线，故不正确；（2)在双曲线标准方程中，都有a 2＋b 2＝c 2。

3.2.1 双曲线及其标准方程（第二课时）(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；2．掌握根据条件求双曲线方程的基本方法；3．用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题．二、教学重难点1．重点：双曲线方程的理解和根据条件求双曲线方程的基本方法．2．难点：根据条件求双曲线方程的基本方法．三、教学过程1．复习引入1.1双曲线的定义在上一节课，我们介绍了第二种圆锥曲线——双曲线，并学习了双曲线的轨迹及其标准方程，本节课我们在上一节课的基础上继续学习求解双曲线方程的几种典型方法，并利用它们解决一些简单的实际问题问题1：双曲线的定义是什么？【活动预设】学生回答，教师通过学生的答案，强调双曲线定义中的几个关键信息．【设计意图】通过对双曲线的复习，为后面引出相应的变式做准备。

1.2定义中关键要素的理解问题2：（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（记为2a ）的点的轨迹是双曲线吗？【活动预设】通过观察图形，学生主动发现随着a 的不同取值，点的轨迹除了双曲线意外还有另外三种情况． 【设计意图】通过设问，让学生强化定义中“距离之差小于”这一细节。

问题3：平面内满足的点M 的轨迹是双曲线吗？【活动预设】让学生探究发现，当去掉绝对值的限制时，所得到的轨迹只有双曲线的一支．12FF 1220MF MF a a -=>,()【设计意图】明确双曲线定义中的另一个关键要素：距离之差的绝对值，引导学生全面的了解双曲线定义中的三个要素，深化学生对双曲线定义的理解．问题4：双曲线的标准方程是什么？【活动预设】学生总结焦点在x 、y 轴上的两种不同情况下的双曲线标准方程。

【设计意图】复习上节课这一最重要的知识点，掌握双曲线的两种方程，为下面求解双曲线的标准方程做准备。

2．初步应用，熟悉方程例1已知线段，直线相交于点，且它们斜率之积是，求点的轨迹方程。

2．3.1 双曲线的标准方程[学习目标] 1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．知识点一 双曲线的定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 知识点二 双曲线的标准方程思考121212件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案 (1)当距离之差等于F 1F 2时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F 1、F 2，当距离之差大于F 1F 2时，动点的轨迹不存在． (2)a ，b 的值及焦点所在的位置．题型一 求双曲线的标准方程例1 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解 (1)方法一 若焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由于点P (3，154)和Q (－163，5)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－22516b 2＝1，2569a 2－25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－16，b 2＝－9，(舍去)．若焦点在y 轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)， 将P 、Q 两点坐标代入可得⎩⎪⎨⎪⎧22516a 2－9b 2＝1，25a 2－2569b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16，所以双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.综上，双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1.方法二 设双曲线方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．∵P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋22516n ＝1，2569m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－16，n ＝9.∴所求双曲线的标准方程为y 29－x 216＝1. (2)方法一 依题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝6，25a 2－4b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝1，∴所求双曲线的标准方程为x 25－y 2＝1. 方法二 ∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线的标准方程是x 25－y 2＝1.反思与感悟 求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a ，b 的值．若焦点位置不确定，可按焦点在x 轴和y 轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)，通过解方程组即可确定m 、n ，避免了讨论，从而简化求解过程． 跟踪训练1 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x 轴上，经过点P (4，－2)和点Q (26，22)． 解 (1)由双曲线的定义知，2a ＝8，所以a ＝4， 又知焦点在x 轴上，且c ＝5， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9， 所以双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.(2)因为焦点在x 轴上，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，将点(4，－2)和(26，22)代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4b 2＝1， ①24a 2－8b 2＝1， ②解得a 2＝8，b 2＝4，所以双曲线的标准方程为x 28－y 24＝1.题型二 双曲线定义的应用例2 若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)如图，若P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．解 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得|MF 1－MF 2|＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22. 故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2－PF 1|＝2a ＝6两边平方得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2＝36，∴PF 21＋PF 22＝36＋2PF 1·PF 2 ＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝100－1002×32＝0，且∠F 1PF 2∈(0°，180°)，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴12PF F S＝12PF 1·PF 2 ＝12×32＝16. 反思与感悟 (1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据|PF 1－PF 2|＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件|PF 1－PF 2|＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．跟踪训练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的左，右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1得，a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义和余弦定理得PF 1－PF 2＝±6，F 1F 22＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°，所以102＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2， 所以PF 1·PF 2＝64，所以12F PF S＝12PF 1·PF 2·sin∠F 1PF 2 ＝12×64×32＝16 3. 题型三 与双曲线有关的轨迹问题例3 如图，在△ABC 中，已知AB ＝42，且三个内角A ，B ，C 满足2sinA ＋sin C ＝2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．解 以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (－22，0)，B (22，0)．由正弦定理得sin A ＝BC 2R ，sin B ＝AC 2R ，sin C ＝AB2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2BC ＋AB ＝2AC ，从而有AC －BC ＝12AB ＝22<AB .由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点)． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6， 即所求轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．反思与感悟 (1)求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程．(2)求解双曲线的轨迹问题时要特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．跟踪训练3 如图所示，已知定圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1； 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4. 设动圆M 的半径为R ， 则有MF 1＝R ＋1，MF 2＝R ＋4， ∴MF 2－MF 1＝3<10＝F 1F 2.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支，且a ＝32，c ＝5，于是b 2＝c 2－a 2＝914.∴动圆圆心M 的轨迹方程为x 294－y 2914＝1(x ≤－32)．1．已知F 1(3,3)，F 2(－3,3)，动点P 满足PF 1－PF 2＝4，则P 点的轨迹是________．(填序号) ①双曲线 ②双曲线的一支 ③不存在④一条射线答案 ②解析 因为PF 1－PF 2＝4，且4<F 1F 2，由双曲线定义知，P 点的轨迹是双曲线的一支．2．椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________．答案 ±3解析 由题意知，34－n 2＝n 2＋16， ∴2n 2＝18，n 2＝9.∴n ＝±3.3．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为________． 答案 4 3解析 由标准方程得a 2＝10，b 2＝2， 所以c 2＝a 2＋b 2＝12，c ＝23， 所以焦距2c ＝4 3.4．已知双曲线中a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为______________________． 答案x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 解析 当焦点在x 轴上时，方程为x 225－y 224＝1，当焦点在y 轴上时，方程为y 225－x 224＝1. 5．P 是双曲线x 2－y 2＝16的左支上一点，F 1，F 2分别是左，右焦点，则PF 1－PF 2＝________. 答案 －8解析 将x 2－y 2＝16化为标准形式为x 216－y 216＝1，所以a 2＝16,2a ＝8， 因为P 点在双曲线左支上， 所以PF 1－PF 2＝－8.1．双曲线定义中|PF1－PF2|＝2a (2a<F1F2)不要漏了绝对值符号，当2a＝F1F2时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．要注意与椭圆中a，b，c的区别．在椭圆中a2＝b2＋c2，在双曲线中c2＝a2＋b2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a，b，c的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx2＋ny2＝1 (mn<0)的形式求解．。

《双曲线的标准方程》教学设计一、教材分析《双曲线的标准方程》是《选修2-1》第2章§的内容，也是三种圆锥曲线方程之一。

圆锥曲线的教学突出体现了解析法的根本思想：先将形的问题转化成数来研究，再将数的研究借助形来揭示，它是培养学生数形结合思想的精典素材,也是解析几何的基础，其重要性不言而喻。

《双曲线的标准方程》与《椭圆的标准方程》相似，因此可以采用类比的方法学习，先复习椭圆有关知识，根据它们的相似性，建构新的数学认知。

江苏高考对椭圆知识点的要求是B级，对双曲线的要求是A 级，要求的等级有明显的差异，因此教学的重点是双曲线的定义、标准方程及其简单的应用，而双曲线标准方程的推导过程是否让学生掌握，要视不同学生的实际情况而定。

《双曲线的标准方程》后续内容是《抛物线的标准方程》、《曲线与方程》，因此本节课承上启下。

二、学情分析知识方面，学生之前学习过圆、椭圆，有一定的知识储备，能够建立适当的坐标系求轨迹方程，并通过椭圆标准方程的推导初步掌握了含有根式方程化简的一般方法，但计算能力仍需加强。

情感方面，双曲线在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用，多数学生通过直观感受和动手操作对本节课的学习有浓厚的兴趣，但是仍有部分基础相对薄弱的学生对数学有一定的畏惧心理，缺乏学习的主动性，需要教师引导鼓励。

能力方面，本节课面对的是高中二年级的学生，他们多数已经具备一定的观察、归纳、概括、分析问题、解决问题的能力，也具备一定的自学能力，但合作交流意识以及知识的类比迁移能力还有待于进一步提高。

三、教学目标：知识与技能:掌握双曲线的定义、标准方程及其推导过程,能根据已知条件求双曲线的标准方程过程与方法:经历双曲线及其标准方程的获得过程 ,培养学生观察、思考、分析与解决问题的能力,体会分类讨论、类比的数学思想情感态度与价值观:感受数学的对称美和简洁美,激发学生的学习兴趣四、教学重点、难点重点：双曲线的定义及标准方程。

难点：正确运用双曲线的定义推导双曲线的标准方程五、教法与学法（1）类比的学习方法：类比椭圆的定义及标准方程从而得到双曲线的定义及标准方程；（2）实验法：结合拉链实验，让学生动手操作，体验双曲线的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力以及逻辑思维能力；（3）多媒体教学辅助法：运用多媒体展示几个外轮廓是双曲线的花瓶、建筑物图片、双曲线的生成动画、椭圆与双曲线的类比表格等，有效激发学生的学习兴趣，使学生产生强烈的学习欲望； （4）合作探究法：学生独立思考无法解决的时候教师组织学生分组讨论，合作交流； （5）讲练结合：教师对本节的重点内容与疑难问题精讲后，让学生进行有针对性的练习，通过讲解和练习，使学生掌握知识，发展思维能力，使学生从学懂到学会，实现能力转化。

第二章 圆锥曲线与方程第7课时 双曲线的标准方程（2）教学目标：1. 进一步掌握双曲线的标准方程；2. 能根据已知条件求双曲线的标准方程.教学重点：求双曲线的标准方程教学难点：求双曲线的标准方程教学过程：Ⅰ.问题情境Ⅱ.建构数学求双曲线的标准方程Ⅲ.数学应用例1：已知双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，且点)24,3(1-P ，)5,49(2P ，在此双 曲线上，求双曲线的标准方程练习：点A 位于双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上，21,F F 是它的两个焦点，求21F AF ∆ 的重心G 的轨迹方程.例2：一炮弹在某处爆炸，在A 处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s ．(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2)已知A 、B 两地相距800m ，并且此时声速为340 m ／s ，求曲线的方程．练习1：已知ABC ∆的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使 A C B sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹练习2：求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹方程思考：椭圆134222=+n y x 和双曲线116222=-y nx 有相同的焦点，求实数n 的值。

Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P 36 习题3，41. 已知21,F F 是双曲线191622=-y x 的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为600，那么PQ QF PF -+22的值为________2. 求焦点的坐标是（-6，0）、（6，0），并且经过点A （-5，2）的双曲线的标准方程3.4. 求经过点)72,3(-P 和)7,26(--Q ，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

授课方案方案课题名称双曲线及其标准方程姓名王菲菲工作单位河北黄骅中学年级学科高二数学教材版本人教 A 版一、授课内容解析在高中数学中 ,双曲线及其标准方程的课程, 在解析初等函数之前,是认识笛卡尔坐标图线的重点。

他是为培养学生对于坐标图线认识函数关系打下基础 ,其重点在于认识学生对于图像认识的能力 ,培养学生用数轴图形认识函数信息的能力。

现此刻在数学授课中 ,基本数学修养必定被培养 ,让学生自己成立对于初等数学的理解。

本节重点就是让学生培养用图形认识方程的能力及其解题思路。

二、授课目的1、知识与技术目标：(1) 认识双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导.(2)掌握双曲线的标准方程(3)会利用双曲线的定义和标准方程解决一些简单的问题2、过程与方法目标：经过与椭圆的比较推导出双曲线的定义，标准方程3、感神态度与价值观目标：经过本节数学学习，领悟数形结合的数学思想，发展学生数学应妄图识，提升学习兴趣，在不同样的探究活动中形成锲而不舍的研究精神。

4.授课重点，难点授课重点：双曲线的定义和标准方程；授课难点：双曲线标准方程的推导及简单应用.4.教法与学法：讲练结合三、学习者特色解析高一学生已经具备了必然的归纳、猜想能力，但在数学的数形结合能力方面尚需进一步培养 . 经过前面的学习，学生已经掌握了椭圆的定义和基本性质. 多数学生对数学学习有必然的兴趣，因此能够积极主动参加自主学习，合作研究，谈论交流，但由于学生各方面能力发展不够均衡，仍有小部分学生这方面能力需要加强. 授课中我采用模拟图像、制作科学小瞧频、自主学习、合作研究、谈论交流，分组显现、思疑的教法和学法，尽可能的增加学生的课堂参加程度，真切做到学生是课堂的主人，教师是课堂的组织者、设计者、引导者。

课前教师注意授课活动的设计，备好各层次学生可能出现的问题，课堂上认真关注学生的活动，将时间、空间还给学生，侧重师生交往的有效化，做好合时引导点拨。

另外，课上采用多媒体辅助授课，加强课堂直观性，增加课堂容量。

4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。

双曲线及其标准方程教学目标：1、理解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。

2、掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。

教学重点及难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点。

教学过程：复习椭圆的定义，引出双曲线的定义。

1、让学生回答椭圆的定义（略,巩固椭圆的基础知识）2、引出双曲线的定义。

思考：若F 1、F 2是平面内的两个定点，动点P 满足12PF P F -=2a （常数） （2a ＜12F F ），那么P 点的轨迹是什么呢？（动画演示，让学生有直观感知，认识到双曲线形成的过程，双曲线上的点满足的条件）让学生归纳出定义，老师加以补充。

定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫双曲线的焦距。

3、 建立双曲线的方程。

如图，以F 1、F 2所在的直线为x 轴，以F 1F 2的中点为原点，建立如图所坐标系；设P （x ，y ），设这个常数为2a ，12F F =2c 则F 1（-c ，0），F 2（c ，0） 12PF P F -=2a2a =±()()22222222ca x a y a c a --=-∵2c ＞2a 22c a -＞0 令22c a -=2b 其中b ＞0 代入上式得2b 2x -22a y =22a b即：22221x y a b-=（a ＞b ＞0，22a b +=2c 即焦点在x 轴上）， 思考：焦点在y 轴上时方程是什么？22221y x a b-= （a ＞b ＞0，22a b +=2c 焦点在y 轴上）， 思考：如何判断焦点所在的位置？练习：1、下列方程表示什么图形？若是双曲线求出其焦点的坐标。

（1）22142x y -= （2）221y x -=（3）224936y x +=2、若22111x y k k +=+-表示双曲线，则k 的范围是 。