上海市初三数学相交两圆的连心线定理

1.垂径定理及推论:如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例：∵ CD过圆心∵CD⊥AB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：（1）∵∠ACB=∠AOB∴……………（2）∵ AB是直径∴∠ACB=90°（3）∵∠ACB=90°∴ AB是直径（4）∵ CD=AD=BD∴ΔABC是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：∵ ABCD是圆内接四边形∴∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：（1）∵OC是半径∵OC⊥AB∴AB是切线（2）∵OC是半径∵AB是切线∴OC⊥AB（3）……………7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵ PA、PB是切线∴ PA=PB∵PO过圆心∴∠APO =∠BPO8．弦切角定理及其推论: 几何表达式举例：（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）（1）∵BD是切线，BC是弦∴∠CBD =∠CAB（2）∵ ED，BC是切线∴∠CBA =∠DEF9．相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 几何表达式举例：（1）∵PA·PB=PC·PD∴………（2）∵AB是直径∵PC⊥AB∴PC2=PA·PB10．切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：（1）∵PC是切线，PB是割线∴PC2=PA·PB （2）∵PB、PD是割线∴PA·PB=PC·PD11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1）（2）几何表达式举例：（1）∵O1，O2是圆心∴O1O2垂直平分AB （2）∵⊙1 、⊙2相切∴O1 、A、O2三点一线12．正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ，边数n；（2）有关计算在RtΔAOC中进行. 公式举例：(1) αn =；(2)几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR2.（4）扇形面积S扇形=；（5）弓形面积S弓形=扇形面积S AOB±ΔAOB的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交⇔ d＜r ；直线与圆相切⇔ d=r ；直线与圆相离⇔ d＞r.5．圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）两圆外离⇔ d＞R+r；两圆外切⇔ d=R+r；两圆相交⇔ R-r＜d＜R+r；两圆内切⇔ d=R-r；两圆内含⇔ d＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：已知弦构造弦心距.已知弦构造RtΔ. 已知直径构造直角.已知切线连半径，出垂直.圆外角转化为圆周角. 圆内角转化为圆周角. 构造垂径定理. 构造相似形.两圆内切，构造外公切线与垂直.两圆内切，构造外公切线与平行.两圆外切，构造内公切线与垂直.两圆外切，构造内公切线与平行.两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.相交弦出相似.一切一割出相似, 并且构造弦切角.两割出相似,并且构造圆周角.双垂出相似,并且构造直角.规则图形折叠出一对全等，一对相似.圆的外切四边形对边和相等. 若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.RtΔABC的内切圆半径：r=.补全半圆.AB=. AB=.PC过圆心，PA是切线，构造双垂、RtΔ.O是圆心，等弧出平行和相似. 作AN⊥BC，可证出:.。

沪科版九年级数学圆知识点圆是轴对称、中心对称图形。

对称轴是直径所在的直线。

同时，圆又是“正无限多边形”，而“无限”只是一个概念。

下面是我整理的沪科版九年级数学圆学问点，仅供参考希望能够关怀到大家。

沪科版九年级数学圆学问点1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同始终线上的三点确定一个圆。

10、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧11、推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

12、推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等13、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形14、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等15、推论：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等16、定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半17、推论：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等18、推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径19、推论：假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形20、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角21、①直线L和⊙O相交dr p=②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离dr22、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线23、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径24、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点25、推论：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心26、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角27、圆的外切四边形的两组对边的和相等28、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角29、推论：假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31、推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33、推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34、假如两个圆相切，那么切点确定在连心线上35、①两圆外离dR+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-rdr)④两圆内切d=R-r(Rr)⑤两圆内含dr)36、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37、定理：把圆分成n(n≥3):⊙依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⊙经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39、正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n40、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41、正n边形的面积Sn=pr/2p表示正n边形的周长，r为边心距42、正三角形面积√3a2/4a表示边长43、假如在一个顶点四周有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=444、弧长计算公式：L=n兀R/18045、扇形面积公式：S扇形=n兀R2/360=LR/2外公切线长=d-(R+r)初中数学实数的倒数、相反数和确定值学问点1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，假如a 与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；2.探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；3．了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；4．了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；6．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2．圆的性质(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.(3)垂径定理及推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3．两圆的性质(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线.(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角.圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.要点二、与圆有关的位置关系 1．判定一个点P 是否在⊙O 上 设⊙O 的半径为，OP=，则有点P 在⊙O 外； 点P 在⊙O 上；点P 在⊙O 内. 要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.2．判定几个点12nA A A 、、在同一个圆上的方法当时，在⊙O 上.3．直线和圆的位置关系设⊙O 半径为R ，点O 到直线的距离为. (1)直线和⊙O 没有公共点直线和圆相离. (2)直线和⊙O 有唯一公共点直线和⊙O 相切.(3)直线和⊙O 有两个公共点直线和⊙O 相交. 4．切线的判定、性质 (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. (2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心.(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.5．圆和圆的位置关系设的半径为，圆心距.(1)和没有公共点，且每一个圆上的所有点在另一个圆的外部外离.(2)和没有公共点，且的每一个点都在内部内含(3)和有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部外切.(4)和有唯一公共点，除这个点外，的每个点都在内部内切.(5)和有两个公共点相交.两圆的五种位置关系可以概括为三类：要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形1．三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示.(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示.(4)垂心：是三角形三边高线的交点.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).2．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角.(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.要点四、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的有关概念及性质【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC 外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0) 则 22(11)(03)13r PA ==++-=【总结升华】 三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°， 求CD 的长．【思路点拨】作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长． 【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2． 在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ 223OF OE EF =-=． 在Rt △DFO 中，OF ＝3，OD ＝OA ＝3，∴ 22223(3)6DF OD OF =-=-=(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF ＝26cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．举一反三： 【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝ ．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．（2017•曲靖一模）如图，⊙O 的半径为4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB 、OC ，若∠BAC 和∠BOC 互补，则弦BC 的长度为.【思路点拨】首先过点O 作OD ⊥BC 于D ，由垂径定理可得BC=2BD ，又由圆周角定理，可求得∠BOC 的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC 的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【答案】4.【解析】解：过点O 作OD ⊥BC 于D ， 则BC=2BD ，∵△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 与∠BOC 互补， ∴∠BOC=2∠A ，∠BOC+∠A=180°， ∴∠BOC=120°， ∵OB=OC ，∴∠OBC=∠OCB=（180°﹣∠BOC ）=30°， ∵⊙O 的半径为4， ∴BD=OB•cos∠OBC=4×=2，∴BC=4．故答案为：4．【总结升华】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（ ）N MO C BAA．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、与圆有关的位置关系【高清ID号： 362179 高清课程名称：《圆》单元复习关联的位置名称（播放点名称）：经典例题6】4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．请判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论.【答案与解析】直线CE与⊙O相切理由：连接OE∵OE=OA∴∠OEA=∠OAE∵四边形ABCD是矩形∴∠B=∠D=∠BAD=90°，BC∥AD,CD=AB∴∠DCE+∠DEC=90°, ∠ACB=∠DAC又∠DCE=∠ACB∴∠DEC+∠DAC=90°∵OE=OA∴∠OEA=∠DAC∴∠DEC+∠OEA=90°∴∠OEC=90°∴OE⊥EC∴直线CE与⊙O相切.【总结升华】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．举一反三：【变式】如图，P为正比例函数图象上的一个动点，的半径为3，设点P的坐标为(x、y).(1)求与直线相切时点P的坐标.(2)请直接写出与直线相交、相离时x的取值范围.【答案】(1)过作直线的垂线，垂足为.当点在直线右侧时，，得，(5，7.5).当点在直线左侧时，，得，(，).当与直线相切时，点的坐标为(5，7.5)或(，).(2)当时，与直线相交.当或时，与直线相离.类型四、圆中有关的计算5．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．（1）求证：DF⊥AC；（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．【答案与解析】（1）证明：连接OD，∵OB=OD ，∴∠ABC=∠ODB ， ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB ， ∴∠ODB=∠ACB ， ∴OD ∥AC ，∵DF 是⊙O 的切线， ∴DF ⊥OD ， ∴DF ⊥AC ．（2）解：连接OE ，∵DF ⊥AC ，∠CDF=22.5°， ∴∠ABC=∠ACB=67.5°， ∴∠BAC=45°， ∵OA=OE ，∴∠AOE=90°， ∵⊙O 的半径为4，∴S 扇形AOE =4π，S △AOE=8 ， ∴S 阴影=4π﹣8．【总结升华】本题主要考查了切线的性质，扇形的面积与三角形的面积公式，圆周角定理等，作出适当的辅助线，利用切线性质和圆周角定理，数形结合是解答此题的关键．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB 所在圆的圆心为O ．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【思路点拨】求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长． 【答案与解析】连接OB ，过点O 作OE ⊥AB ，垂足为E ，交AB 于点F ，如图(2)． 由垂径定理，可知E 是AB 中点，F 是AB 的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2． 设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+． 解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°．∴AB的长为120481803ππ⨯=(m)．∴帆布的面积为8601603ππ⨯=(m2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O作OC⊥AB于D，交于C，∵ OC⊥AB，∴.由题意可知，CD=4cm.设半径为x cm，则.在Rt△BOD中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。

中考数学必用公式整理归纳初三是非常关键的一年，这一年我们的数学学习将会进入总复习阶段，为了迎接中考，我们要掌握的数学公式有哪些呢?下面是小编为大家整理的关于中考数学必用公式整理，希望对您有所帮助!圆与弧的公式正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n弧长计算公式：L=n兀R/180扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦定理：把圆分成n(n≥3)：⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2)(k-2)=4弧长计算公式：L=n兀R/180扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2初中代数所有公式1、乘法与因式分解①a2-b2=(a+b)(a-b)②a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)③a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)2、三角不等式①|a+b|≤|a|+|b|②|a-b|≤|a|+|b|③|a|≤b<=>-b≤a≤b④|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|3、一元二次方程的解①-b+√(b2-4ac)/2a②-b-√(b2-4ac)/2a4、根与系数的关系①x1+x2=-b/a②x1_x2=c/a注：韦达定理5、判别式①b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根②b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根③b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根6、某些数列前n项和①1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2②1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2③2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)④12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6⑤13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4⑥1_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6_7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/37、正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r注：其中r表示三角形的外接圆半径8、余弦定理b2=a2+c2-2accosb初三数学必背公式三角形的面积=底×高÷2。

2020年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝厘米．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为cm．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是米．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为cm．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为．（用含三角比的代数式表示）18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P的坐标．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．2020年上海市闵行区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（）A．都缩小到原来的n倍B．都扩大到原来的n倍C．都没有变化D．不同三角比的变化不一致【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案．【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数值不变，故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．2．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么下列比例式能成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP（AP＞BP），且使AP 是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点【解答】解：根据黄金分割定义可知：AP是AB和BP的比例中项，即AP2＝AB•BP，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．3．（4分）k为任意实数，抛物线y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0）的顶点总在（）A．直线y＝x上B．直线y＝﹣x上C．x轴上D．y轴上【分析】求出抛物线的顶点为（k，﹣k），可以得到顶点在y＝﹣x直线上．【解答】解：∵y＝a（x﹣k）2﹣k（a≠0），∴抛物线的顶点为（k，﹣k），∵k为任意实数，∴顶点在y＝﹣x直线上，故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数顶点的求法，和一次函数的性质是解题的关键．4．（4分）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，AE＝BE，那么有（）A．△AED∽△BED B．△BAD∽△BCD C．△AED∽△ABD D．△AED∽△CBD 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD．【解答】解：∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2；∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC；∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2∴AD：DC＝AE：BC；∵∠A为公共角，∴△AED∽△CBD；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．5．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过平面内任意三点可作一个圆B．相等的圆心角所对的弧一定相等C．相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线D．内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和【分析】利用确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、经过不在同一直线上的三点才能确定一个圆，错误，是假命题；B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧一定相等，错误，是假命题；C、相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线，正确，是真命题；D、内切两圆的圆心距等于两圆的半径的差．错误，是假命题；故选：C．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件，弦、弧的关系及两圆的位置关系，属于基础题，难度不大．6．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有以下结论：①a＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④b2﹣4ac＜0；其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用抛物线开口方向对①进行判断；利用对称轴的位置得到b＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，则可对②进行判断；利用自变量为﹣1对应的函数值为负数可对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数和判别式的意义可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，所以①正确；∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a、b异号，即b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以③正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以④错误．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝6厘米．【分析】根据比例中项的定义得到a：b＝b：c，然后利用比例性质计算即可．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b＝b：c，即4：b＝b：9，∴b＝±6（负值舍去）．故答案为：6．【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．8．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，AB＝10，sin A＝，则BC＝4【分析】根据锐角三角函数的定义得出sin A＝＝，代入求出即可．【解答】解：∵sin A＝＝，SB＝10，∴BC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．9．（4分）抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3在对称轴右侧的部分是下降的．（填“上升”或“下降”）【分析】根据a＜0，知抛物线开口向下，则在对称轴右侧的部分呈下降趋势．【解答】解：∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∴对称轴右侧的部分呈下降趋势．故答案为：下降．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向分析对称轴左右两侧的变化规律是解题的关键．10．（4分）如果两个相似三角形的相似比为2：3，两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为40cm．【分析】根据相似三角形周长比等于相似比列式计算．【解答】解：设较小的三角形的周长为xcm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm，∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴两个相似三角形的周长比为2：3，∴＝，解得，x＝40，故答案为：40．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长比等于相似比是解题的关键．11．（4分）为单位向量，与的方向相反，且长度为6，那么＝﹣6．【分析】根据平面向量的性质解决问题即可．【解答】解：∵为单位向量，与的方向相反，且长度为6，∴＝﹣6，故答案为﹣6．【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（4分）某人从地面沿着坡度为i＝1：的山坡走了100米，这时他离地面的高度是50米．【分析】垂直高度、水平距离和坡面距离构成一个直角三角形．利用坡度比找到垂直高度和水平距离之间的关系后，借助于勾股定理进行解答．【解答】解：∵坡度为i＝1：，∴设离地面的高度为x，那么水平距离为x．∵x2+（x）2＝1002解得x＝50．即这时他离地面的高度是50米．【点评】本题考查了坡度＝垂直距离：水平距离．它们与斜边构成直角三角形．13．（4分）已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，那么tan∠BAE＝．【分析】由正方形ABCD中四个内角为直角，四条边相等，求出BC与DC的长，利用勾股定理求出BD的长，由旋转的性质可求BE的长，即可求解．【解答】解；如图，∵正方形ABCD，∴∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△BCD中，DC＝BC＝2，根据勾股定理得：BD＝＝＝2，∵将线段BD绕着点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点E处，∴BE＝BD＝2，∴tan∠BAE＝＝＝，故答案为：．【点评】此题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．14．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为．【分析】r的长即为斜边AB上的高，由勾股定理易求得AB的长，根据直角三角形面积的不同表示方法，即可求出r的值．【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S＝AC•BC＝AB•r，△ABC∴r＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理、直角三角形面积的求法，熟练掌握切线的性质是解题的关键．15．（4分）设抛物线l：y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2﹣4x+1的伴随抛物线的解析式y＝﹣x2+1．【分析】先根据抛物线的解析式求出其顶点D和抛物线与y轴的交点C的坐标．然后根据C的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将D点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，∴顶点坐标D为（2，﹣3），与y轴交点为C（0，1），设伴随抛物线的解析式为：y＝ax2+1，把D（2，﹣3）代入得a＝﹣1，∴伴随抛物线y＝﹣x2+1，故答案为：y＝﹣x2+1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，属于新定义题，难度适中，关键是正确理解题意再用待定系数法求函数解析式．16．（4分）半径分别为3cm与cm的⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果公共弦AB ＝4cm，那么圆心距O1O2的长为2或4cm．【分析】利用连心线垂直平分公共弦的性质，构造直角三角形利用勾股定理及有关性质解题．【解答】解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系，勾股定理等知识点．注意，解题时要分类讨论，以防漏解．17．（4分）正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°．（用含三角比的代数式表示）【分析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1＝36°，然后利用勾股定理和解直角三角形即可得解【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，设这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，a＝2R sin36°；a＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，∴＝2tan36°，故正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°，故答案为：2tan36°．【点评】本题考查了正多边形与圆，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键．18．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D在底边BC上，且∠DAC ＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE 的长为1．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得＝，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴＝，∴＝，∴CD＝，BD＝BC﹣CD＝，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴＝，即＝，∴DM＝，MB＝BD﹣DM＝，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴＝，∴BE＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧）．求△BCD的面积．【分析】根据二次函数图象的最高点是A（1，4），且经过点B（0，3），可以求得该函数的解析式，然后令y＝0，求出相应的x的值，即可得到点C和点D的坐标，从而可以求得△BCD的面积．【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2+4（a≠0），把B（0，3）代入得3＝a（0﹣1）2+4解得：a＝﹣1，令y＝0，那么﹣（x﹣1）2+4＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（3，0），∴CD＝4，∵点B的坐标为（0，3），∴OB＝3，∴△BCD的面积是：＝6．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．（10分）已知：在平行四边形ABCD中，AB：BC＝3：2．（1）根据条件画图：作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF交CE于点G．（2）设＝，＝，那么向量＝﹣；（用向量、表示），并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．【分析】（1）首先作∠BCD的平分线，然后作BE的垂直平分线即可；（2）首先判定△GEF∽△GCD，然后根据AB：BC＝3：2，得＝＝，进而得出EF＝CD，CG＝CE，最后根据向量运算即可得结论，即可画出分向量．【解答】解：（1）作∠BCD的平分线，交边AB于点E，取线段BE的中点F，联结DF 交CE于点G．作图如下：（2）∵CE为∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠DCE又∵AB∥CD∴∠DCE＝∠BEC∴△GEF∽△GCD∵AB：BC＝3：2∴＝＝∴EF＝CD，CG＝CE∵＝，＝，∴＝＝，＝＝∵+＝，＝﹣﹣∴＝﹣（+）＝﹣（+）＝﹣﹣同理可得，＝﹣＝（+）＝（﹣）＝﹣）在向量和方向上的分向量，如图所示：故答案为：＝．【点评】此题考查了角平分线的作图以及向量的运算，熟练掌握，即可解题．21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝4，tan B＝3．以AB为直径作⊙O，交边DC于E、F两点．（1）求证：DE＝CF；（2）求：直径AB的长．【分析】（1）直接利用垂径定理结合平行线分线段成比例定理得出DH＝HC，进而得出答案；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，再利用已知结合勾股定理得出答案．【解答】（1）证明：过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵AD∥BC，∠ADC＝90°，OH⊥DC，∴∠BCN＝∠OHC＝∠ADC＝90°．∴AD∥OH∥BC．又∵OA＝OB．∴DH＝HC．∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH＝HF，∴DH﹣EH＝HC﹣HF．即：DE＝CF．（2）解：过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB＝90°，∵∠AGB＝∠BCN＝90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD＝CG．∵AD＝2，BC＝4，∴BG＝BC﹣CG＝2．在Rt△AGB中，∵tan B＝3，∴AG＝BG•tan B＝2×3＝6．在Rt△AGB中，AB2＝AG2+BG2∴AB＝．【点评】此题主要考查了垂径定理以及勾股定理，正确应用垂径定理是解题关键．22．（10分）2019年第18号台风“米娜”于9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的B岛东南方约980千米的西北太平洋洋面上（A点）生成，向西北方向移动．并于9月30日20时30分到达B岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东30°的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7°方向，且距舟山市250千米．（1）台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时多少千米？（2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【分析】（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，于是得到结论；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）由题意得，AB＝980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时，∴（千米），答：台风中心从生成点（A点）到达B岛的速度是每小时25千米；（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，∴∠SHZ＝90°，∵∠NZD＝30°，∠CZN＝7°，∴∠CZD＝∠CZN+∠NZD＝7°+30°＝37°，在Rt△SHZ中，sin∠CZD＝．∵∠CZD＝37°，SZ＝250千米，∴SH＝SZ•sin∠CZD＝250×sin37°≈250×0.60≈150（千米），∵150千米＜170千米，∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响到F处影响结束．即SE＝SF＝170（千米）．∵在Rt△SEH中，∠SHE＝90°，SE2＝SH2+HE2，∴，∴EF＝2EH≈160（千米），∴上海遭受这次台风影响的时间为（小时），答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．23．（12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD 于点O，且AD•OC＝AB•OD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB；（2）AF•DE＝AG•BC．【分析】（1）由已知得出，证明Rt△ADB∽Rt△ODC，得出∠ABD＝∠OCD，证出∠OEB＝90°，即可得出结论；（2）证明△ADB∽△AEC，得出，即，证明△DAE∽△BAC，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵AD•OC＝AB•OD，∴，∵BD是AC边上的高，∴∠BDC＝∠BDA＝90°，△ADB和△ODC是直角三角形，∴Rt△ADB∽Rt△ODC，∴∠ABD＝∠OCD，又∵∠EOB＝∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC＝180°，∠EOB+∠ABD+∠OEB＝180°．∴∠OEB＝90°，∴CE⊥AB；（2）在△ADB和△AEC中，∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠OCD，∴△ADB∽△AEC，∴，即，在△DAE和△BAC中∵∠DAE＝∠BAC，．∴△DAE∽△BAC，∵AF是∠BAC的平分线，∴，即AF•DE＝AG•BC．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝﹣2的抛物线经过点C（0，2），与x轴交于A（﹣3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO＝∠BCO，求点P 的坐标．【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将A，B的坐标及对称轴方程代入即可；（2）分别求出点B，C的坐标，直接在Rt△OBC中，根据余切定义即可求出；（3）设点E的坐标是（x，0），求出点E的坐标，再求出CE的解析式，即可求出其与抛物线的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，将点C（0，2）、A（﹣3，0）、对称轴直线x＝﹣2代入，得：，解得：，，∴这条抛物线的表达式为；（2）令y＝0，那么，解得x1＝﹣3，x2＝﹣1，∵点A的坐标是（﹣3，0），∴点B的坐标是（﹣1，0），∵C（0，2），∴OB＝1，OC＝2，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，∴；（3）设点E的坐标是（x，0），得OE＝|x|．∵∠CEO＝∠BCO，∴cot∠CEO＝cot∠BCO，在Rt△EOC中，∴，∴|x|＝4，∴点E坐标是（4，0）或（﹣4，0），∵点C坐标是（0，2），∴，∴，或解得和（舍去），或和（舍去）；∴点P坐标是（，）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数等，解题关键是在求点E坐标时需注意可在x轴的正半轴，也可在负半轴．25．（14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC ＝90°，CD＝2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD＝x，CE＝y．（1）求证：∠DAB＝∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长．【分析】（1）由点G是Rt△ABC的重心，证明CF⊥AB，即∠AFC＝90°，利用外角的性质即可证明结论；（2）过点B作BH⊥CD于点H，先证△CAD≌△BCH，得出BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，再证△ADE∽△BHE，利用合比性质即可求出结论；（3）分两种情况讨论，当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，可证AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，可由重心分别求出CF，AC，CD的长，可由勾股定理求出AD的长．【解答】（1）证明：∵点G是Rt△ABC的重心，∴CF是Rt△ABC的中线，又∵在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴CF⊥AB，即∠AFC＝90°，∵∠DEF＝∠ADE+∠DAE＝∠EFC+∠ECF，且∠ADE＝∠EFC＝90°，∴∠DAB＝∠DCF；（2）解：如图1，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH+∠BCH＝90°，又∵∠BCH+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠CBH，又∵∠ADC＝∠CHB＝90°，AC＝CB，∴△CAD≌△BCH，∴BH＝CD＝2，CH＝AD＝x，DH＝2﹣x，∵∠ADC＝∠CHB＝∠BHD＝90°，∴AD∥BH，∴△ADE∽△BHE，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：当GC＝GD时，如图2﹣1，取AC的中点M，联结MD，那么MD＝MC，联结MG，MG⊥CD，且直线MG经过点B，那么BH与MG共线，又CH＝AD，那么AD＝CH＝；当CG＝CD时，如图2﹣2，即CG＝2，点G为△ABC的重心，∴，∴AB＝2CF＝6，∴，∴；综上所述，AD＝1或．【点评】本题考查了函数，相似三角形的判定与性质，重心的性质等，解题关键是熟练掌握重心的性质．。

圆的切线中“连接”的妙用利用圆的切线性质和其判定定理解决一些有关圆的切线问题时，通常要添加辅助线，其中“连结”就是一种重要的辅助线作法。

即利用圆的切线进行运算或证明时，通常要把切点与圆心连结起来，充分利用“垂直”来解决问题；在证明圆的切线时，把该直线和圆的交点与圆心连结结起来，证明此半径垂直于该直线即可。

下面通过几例，让我们一起来体会一下“连结”的妙用。

一、利用圆的切线进行运算例1：如图1，在同心圆⊙O 中，大圆的弦AB 切小圆于点C ，且AB=6cm ，求圆环的面积。

分析：因为大圆的弦AB 切于小圆C 点，所以连结OC ，可得OC ⊥AB ，进而根据垂径定理求得AC=12AB=3。

圆环的面积是大圆面积与小圆面积的差，连结OA ，此时OA 为大圆半径，OC 为小圆半径，在Rt⊿AOC 中，利用勾股定理可求出(OA 2－OC 2)的值，就可求出圆环的面积。

解：连结OC 、OA∵AB 切小圆于点C ∴OC⊥AB ∴AC=12AB=3 在Rt⊿AOC 中， ∵OA 2－OC 2=AC 2=9∴S 圆环 =S 大圆－S 小圆=22222()9OA OC OA OC AC πππππ-=-==(cm 2) 答：圆环的面积是9πcm 2。

二、利用圆的切线进行证明例2：如图2，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 与过点C 的切线互相垂直，垂足为D 。

求证：AC 平分∠DAB分析：要证明AC平分∠DAB，就是要证∠1=∠2。

C为切点，连结OC可得OC⊥AC，进而证得AD∥OC，得到∠1=∠3，其它问题就会迎刃而解。

证明：连结OC∵CD为O的切线∴OC⊥CD又∵AD⊥CD ∴AD∥OC ∴∠1=∠3∵OA=OC ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠2即AC平分∠DAB三、证明圆的切线例3，如图3，在⊿AEF中，∠BAC的平分线AD与⊿AEF的外接圆⊙O交于D点，过D 点作BC∥EF，分别交AE和AF的延长线于点B和点C。

九年级下册沪教版数学知识点总结圆的确定1.圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

2.圆的两要素是圆心和半径。

圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

3.圆心相同的圆叫做同心圆。

半径相等的圆叫做等圆。

4.经过一点A 可以做无数个圆。

经过A 、B 可以作无数个圆。

经过不在同一直线上的三个点A 、B 、C 可以做1个圆。

5.三角形的外接圆的圆心叫做外心。

6.一个三角形有1个外接圆，一个圆有无数个内接三角形。

7.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。

8.经过四边形四个顶点的圆叫做四边形的外接圆。

经过多边形每个顶点的圆叫做多边形的外接圆。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）1.联接圆上任意两点间的线段叫做弦。

过圆心的弦就是直径。

2.直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。

大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。

3.从圆心到弦的距离叫做弦心距。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（2）1.在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么所对的劣弧或优弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。

2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条优劣弧、两条弦、或两条弦心距，这四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也相等。

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（3）1.角平分线上的点到角两边的距离相等。

垂径定理（1）1.垂径定理：如果圆的直径垂直于弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

（推论：弦心距平分弦）垂径定理（2）1.如果圆的直径平分炫（这条弦不是直径），那么这条直径垂直这条弦，并且平分这条弦所对弧。

2.如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直平分这条弧所对的弦。

3.如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线过圆心，并且平分这条弦所对的弧。

4.如果一条直线平分弦和它所对的一条弧，那么这条直线过圆点，并且垂直这条弦。

5.如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线过圆点，并且平分这条弦。

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-； 外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=； 外离⇔21r r d +>； 内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（ ）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（ ）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为 例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（ ）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（ ）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（ ）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（ ） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移 个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（ ）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是 （保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长． 【中考连接】 一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（ ）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为 （ ）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 第8题图 第9题图 第11题图 第10题图 第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（ ）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于 ．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为 ．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由． 第3题图 第6题图 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 第12题图 第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=． （1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。

3·6圆和圆的位置关系1.圆与圆的五种位置关系：(1)外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的外部；(2)外切：两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；(3)相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在另一个圆的内部；(4)内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；(5)内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．外离和内含都没有公共点；外切和内切都有一个公共点，相交有两个公共点．因此只从公共点的个数来考虑，可分为相离、相切、相交三种．(2)相交2.两圆相内切或外切时，两圆的连心线一定经过切点，都是轴对称图形，对称轴是它们的连心线．3.在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以O1O2＝O1A+O2A ＝R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，O1、A、O2在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．在图(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O2，所以O1O2＝O1B-O2B，即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O1O2=O1B-O2B，说明O1、O2、B在一条直线上，B既在⊙O1上，又在⊙O2上，所以⊙O1与⊙O2内切．当两圆相外切时，有d=R+r，反过来，当d=R+r时，两圆相外切，即两圆相外切 d＝R+r当两圆相内切时，有d=R-r，反过来，当d＝R-r时，两圆相内切，即两圆相内切d ＝R-r．设两圆半径分别为R和r，圆心矩为d，那么(1)两圆外离d＞R+r(2)两圆外切d=R+r(3)两圆相交R-r＜d＜R=r(R≥r)(4)两圆内切d=R-r(R＞r)(5)两圆内含d＜R-r(R＞r)同心圆d=04.定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．1.两个同样大小的肥皂泡黏(点O，O′是圆心)，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．分析：因为两个圆大小相同，所以半径OP=O′P＝OO′，又TP、NP分别为两圆的切线，所以PT⊥OP，PN⊥O′P，即∠OPT＝∠O′PN=90°，所以∠TPN等于360°减去∠OPT+∠O′PN+∠OPO°即可．【解析】∵OP ＝OO′＝PO′，∴△PO′O是一个等边三角形．∴∠OPO′=60°．又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=∠NPO′=90°．∴∠TPN=360°-2× 90°-60°=120°．2．如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点，OP=8cm．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？(2)以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？【解析】(1)设⊙O与⊙P外切于点A．∴ PA=OP-OA=8-5，∴ PA=3cm．(2)设⊙O与⊙p内切于点B．∴ PB=OP+OB=8+5，∴ PB=13cm．（3)如图7-101，⊙O2与以O1为圆心的同心圆相交于A、B、C、D．3．求证：四边形ABCD是等腰梯形．分析：欲证明四边形ABCD是等腰梯形，只需证明AB∥CD，AD=BC且AB≠CD即可．【解析】证明：连结O1O2，∵⊙O2与以O1为圆心的圆相交于A、B、C、D，∴ AB⊥O1O2，DC⊥O1O2．∴ AB∥CD．在⊙O2中，∵AB∥CD，又∵ AB≠CD，∴四边形ABCD是等腰梯形．4.已知：如图7-102，A是⊙O1、⊙O2的一个交点，点P是O1O2的中点．如果过A的直线MN垂直于PA，交⊙O1于M，交⊙O2于N．那么AM与AN有什么关系呢？是O1O2中点，由平行线等分线段定理可得AC=AD，而得结论．【解析】证明：过点O1、O2分别作O1C⊥MN，O2D⊥MN，垂足为C、D，又∵ PA⊥MN，∴ PA∥O1C∥O2D，∵O1P=O2P，∴ AC=AD．∴ AM=AN．。

初三圆中常见的辅助线的性质有哪些？
1. 弦：初三圆中的弦是任何两个圆上的点之间的线段，且穿过圆心。

性质如下：
- 弦长相等的两条弦所对的圆心角相等。

- 圆心角相等的两条弦所对的弦长相等。

2. 切线：初三圆上的切线是与圆只有一个公共点的直线。

性质如下：
- 切线与半径垂直。

3. 弦切定理：在初三圆中，若一条弦和一条切线相交，那么两条弦所对的圆心角相等。

即切线所对的弦和切线相交处的弦所对的圆心角相等。

4. 弧：初三圆上的弧是两个点之间的曲线，也可以看成是圆周上两个点间的部分。

性质如下：
- 圆心角相等的两个弧的弧长相等。

5. 直径：初三圆的直径是通过圆心的一条弦，它同时也是圆的最长的弦，且是弦中最长的一条。

性质如下：
- 直径的中点是圆的圆心。

- 直径是其他弦的两倍长。

6. 弧切定理：在初三圆中，若一条切线和一条弧相交，那么切线所对的圆心角等于相交弧所对的弧度。

7. 径切定理：在初三圆中，若一条切线和一条直径相交，那么切线所对的圆心角等于90度。

以上是初三圆中常见辅助线的性质。

Note: This answer assumes the "初三圆" mentioned refers to a circle studied in the Chinese mathematics curriculum for students in their third year of junior high school.。