湖南省怀化市溆浦县第三中学高中数学 第四章 圆与方程复习教案 新人教A版必修2

第四章圆与方程章末复习课1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆. (3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.2.点与圆的位置关系(1)点在圆上①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.(2)点不在圆上①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足F(x，y)<0，则该点在圆内.②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d max＝|PC|＋r；最小距离：d min＝|PC|－r.3.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.4.圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（z1－z2）2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.方法一函数与方程思想函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程中涉及三个量a ，b ，r (或D ，E ，F ).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方程.例1 求圆心在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程.解 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a ＞－12.所以r ＝a ＋12，r ＝|b |.又圆心(a ，b )在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，r ＝1，b ＝±1.所以所求圆的方程是⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y －1)2＝1，或⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋(y ＋1)2＝1.训练1 已知圆经过点A (2，－1)，圆心在直线2x ＋y ＝0上且与直线x －y －1＝0相切，求圆的方程.解 法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E2. ∵圆过点A (2，－1)，∴5＋2D －E ＋F ＝0，① 又圆心在直线2x ＋y ＝0上，∴2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2＝0，即2D ＋E ＝0.②将y ＝x －1代入圆方程得 2x 2＋(D ＋E －2)x ＋(1－E ＋F )＝0.Δ＝(D ＋E －2)2－8(1－E ＋F )＝0.③将①②代入③中，得(－D －2)2－8(1－2D －5)＝0，即D 2＋20D ＋36＝0， ∴D ＝－2或D ＝－18.代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－18，E ＝36，F ＝67.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0 或x 2＋y 2－18x ＋36y ＋67＝0.法二 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0). ∵圆心在直线y ＝－2x 上，∴b ＝－2a ， 即圆心为(a ，－2a ).又圆与直线x －y －1＝0相切，且过点(2，－1)， ∴|a ＋2a －1|2＝r ，(2－a )2＋(－1＋2a )2＝r 2，即(3a －1)2＝2(2－a )2＋2(－1＋2a )2， 解得a ＝1或a ＝9.∴a ＝1，b ＝－2，r ＝2或a ＝9，b ＝－18，r ＝132， 故所求圆的方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝2， 或(x －9)2＋(y ＋18)2＝338. 方法二 数形结合思想数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度. 例2 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点. (1)求y －2x －1的最大值与最小值； (2)求x －2y 的最大值与最小值. 解 (1)显然y －2x －1可以看作是点P (x ，y )与点Q (1，2)连线的斜率.令y －2x －1＝k ，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q (1，2)的圆C 的两条切线的斜率.对上式整理得kx －y －k ＋2＝0， ∴|－2k ＋2－k |1＋k 2＝1，∴k ＝3±34. 故y －2x －1的最大值是3＋34，最小值是3－34. (2)令u ＝x －2y ，则u 可视为一组平行线，当直线和圆C 有公共点时，u 的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.依题意，得|－2－u |5＝1，解得u ＝－2±5，故x －2y 的最大值是－2＋5，最小值是－2－ 5.训练2 当曲线y ＝1＋4－x 2与直线y ＝k (x －2)＋4有两个相异交点时，实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，512 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，34 C.⎝⎛⎦⎥⎤512，34D.⎝ ⎛⎭⎪⎫512，＋∞ 解析 曲线y ＝1＋4－x 2是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y ＝k (x －2)＋4是过定点(2，4)的直线.设切线PC 的斜率为k 0，则切线PC 的方程为y ＝k 0(x －2)＋4，圆心(0，1)到直线PC 的距离等于半径2，即|－1－2k 0－4|1＋k 20＝2，k 0＝512.直线PA 的斜率为k 1＝34. 所以，实数k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 C方法三 分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.例3 已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋ (y ＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l 的方程.解 圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r ＝5.①当直线l 的斜率不存在时，则l 的方程为x ＝－4，由题意可知直线x ＝－4符合题意. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋3＝k (x ＋4)， 即kx －y ＋4k －3＝0.由题意可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|－k ＋2＋4k －3|1＋k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝52， 解得k ＝－43，即所求直线方程为4x ＋3y ＋25＝0.综上所述，满足题设的l 方程为x ＝－4或4x ＋3y ＋25＝0.训练3 如图，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切.过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程. 解 (1)设圆A 的半径为r .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴r ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1，则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.直线方程为3x －4y ＋6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.1．(2016·北京高考)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 2解析 圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y ＝x ＋3得x －y ＋3＝0，则圆心到直线的距离d ＝|－1－0＋3|12＋（－1）2＝ 2.答案 C2.(2015·安徽高考)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A.－2或12 B.2或－12 C.－2或－12D.2或12解析 圆方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x ＋4y ＝b 与该圆相切，∴|3×1＋4×1－b |32＋42＝1.解得b ＝2或b ＝12，故选D. 答案 D3.(2015·北京高考)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x －1)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D.(x －1)2＋(y －1)2＝2解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案 D4.(2015·全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213C.253D.43解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，23 3，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23 32＝213.故选B.答案 B5.(2014·浙江高考)已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ) A.－2B.－4C.－6D.－8解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ∴圆心坐标(－1，1)半径r 2＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2∴＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4. 答案 B6．(2016·全国Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π. 答案 4π7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则|CD |＝________． 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，则y 1＋y 2＝33，又y 2＝23，∴y 1＝3，∴A (－3，3)，B (0，23)．过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，则x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4. 答案 48.(2015·重庆高考)若点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________.解析 点P (1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x 2＋y 2＝5，设所求直线为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，圆心到直线的距离d ＝|－k ＋2|k 2＋1＝5，解得k ＝－12，∴直线为－12x －y ＋52＝0，即x ＋2y －5＝0.答案 x ＋2y －5＝09.(2015·浙江高考)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________.解析 因为实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则2x ＋y －4＜0，6－x －3y ＞0，所以|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝－3x －4y ＋10.令z ＝－3x －4y ＋10，则3x ＋4y －10＋z ＝0.当直线3x ＋4y －10＋z ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切时，z 取最值，故|z －10|5＝1，∴z ＝5或z ＝15，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值为15. 答案 15。

高中数学第4章圆与方程章末复习课学案新人教A版必修2求圆的方程【例1】 求圆心在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32＋y 2＝2上，且与x 轴和直线x ＝－12都相切的圆的方程．[解] 设圆心坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2在直线x ＝－12的右侧，且所求的圆与x 轴和直线x ＝－12都相切，所以a ＞－12.所以r ＝a ＋12，r ＝|b |.又圆心(a ，b )在圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝2上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2，联立⎩⎪⎨⎪⎧r ＝a ＋12，r ＝|b |，⎝ ⎛⎭⎪⎫a －322＋b 2＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝12，r＝1，b＝±1.所以所求圆的方程是⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋(y－1)2＝1，或⎝⎛⎭⎪⎫x－122＋(y＋1)2＝1.1．求圆的方程的方法求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．2．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式．(2)由题意得a, b, r(或D, E, F)的方程(组)．(3)解出a, b, r(或D, E, F)．(4)代入圆的方程．1．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x＋3y－29＝0相切，求圆的方程．[解]设圆心为M(m，0)(m∈Z)，由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，所以|4m－29|5＝5，即|4m－29|＝25，因为m为整数，故m＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.直线与圆的位置关系(1)m∈R时，证明l与C总相交；(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．[解](1)直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，由点斜式可知，直线过点P(4, －3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．(2)如图，当圆心C (3, －6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，所以直线l 的斜率为－13，所以m ＝－16.在△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5， 所以|AP |2＝|AC |2－|PC |2＝25－10＝15， 所以|AP |＝15，所以|AB |＝215， 即最短弦长为215.直线与圆位置关系的判断：直线与圆位置关系的判断方法主要有代数法和几何法. 一般常用几何法，而不用代数法，因为代数法计算复杂，书写量大，易出错，而几何法较简单．2．已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得弦长相等，求此时直线l 1的方程．[解] (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a , －a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2，解得a ＝－2. 因为圆心C (－2，0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1，所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.圆与圆的位置关系C 1x 2y 2x y C 2x 2y 2x y (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．[解] (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2，2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝（－2－4）2＋（2＋2）2＝213＝r 1＋r 2， 所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0， 即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.判断两圆位置关系的两种比较方法：(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系．(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能象几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A , B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．x ＋y －3＝0 [AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3，0)，C 2(0，3)，所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.]空间中点的坐标及距离公式的应用【例4】 如图，已知正方体ABCD ­A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求|MN |的长．[解] 由题意应先建立坐标系，以D 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ，所以B (a ，a ，0)，A ′(a ，0，a )，C ′(0，a ，a )，D ′(0，0，a )．由于M 为BD ′的中点，取A ′C ′的中点O ′，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a . 因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，3a 4，a .根据空间两点间的距离公式， 可得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－3a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＝64a .求空间中坐标及两点间距离方法及注意点：(1)求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．(2)确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．4．如图所示，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．[解]以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由中点坐标公式可得，D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝（ 1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5，|EF|＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.。

圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。

第四章 圆与方程复习小结教学目标分析：知识目标：1、掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2、掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3、掌握空间直角坐标系的建立，能用(,,)x y z 表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离. 重难点分析：重点：直线与圆的方程的运用难点：直线与圆的方程的运用互动探究：一、课堂探究：1、圆的方程（1）标准式：圆心在点(,)a b ，半径为r 的圆的标准方程为 .当圆心在坐标原点(0,0)时，圆的标准方程为 .（2）一般式： ______ .（3）圆的一般式方程化为标准式方程为 ___ .（4） 是求圆的方程的常用方法.2、点与圆的位置关系有 、 、 .点00(,)M x y 与圆222()()(0)x a y b r r -+-=>的关系的判断方法：（1）22200()()x a y b r -+->，点在圆外；（2）22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；（3）22200()()x a y b r -+-<，点在圆内. 3、直线与圆的位置关系有 、 、 .方法一：设直线的方程为:0l Ax By C ++=，圆的方程为022=++++F Ey Dx y x（0422>-+F E D ），圆的半径为r ，圆心(,)22D E --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：⑴当d r >时，直线l 与圆C 相离；⑵当d r =时，直线l 与圆C 相切；⑶当d r <时，直线l 与圆C 相交；方法二：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，方程没有实数解，直线与圆没有公共点，直线l 与圆C 相离；⑵当0∆=时，方程有一组实数解，直线与圆有且只有一个公共点，直线l 与圆C 相切；⑶当0∆>时，方程有两组实数解，直线与圆有两个不同的公共点，直线l 与圆C 相交；4、圆的切线方程（1）已知圆的方程是222x y r +=，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线的方程为：200x x y y r +=. （2）已知圆的方程是222()()(0)x a y b r r -+-=>，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线的方程为：200()()()()(0)x a x a y b y b r r --+--=>.（3）已知圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->，则经过圆上一点00(,)M x y 的切线的方程为：0000022x x y y x xy y D E F . （4）已知圆的方程是222()()(0)x a y b r r -+-=>，若点00(,)M x y 在圆外，则方程：200()()()()(0)x a x a y b y b r r --+--=>经过点00(,)M x y 引圆的两条切线的两切点相连的直线方程，即切点弦所在直线方程.5、圆的弦长的计算方法（1）几何法：222,l r d d 为弦心距；（2）代数法：2221212121221||(1)[()4](1)[()4]AB k x x x x y y y y k . 6、圆与圆的位置关系有 、 、 、 、 .设两圆的连心线长为d ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当12d r r >+时，圆1C 与圆2C 相离；（2）当12d r r =+时，圆1C 与圆2C 外切；（3）当1212||r r d r r -<<+时，圆1C 与圆2C 相交；（4）当12||d r r =-时，圆1C 与圆2C 内切；（5）当12||d r r <-时，圆1C 与圆2C 内含；7、圆系方程（1）经过直线:0l Ax By C 与圆22:0C x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为： 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=，当0λ时表示圆C ；（2）过相交两圆222211112222:0,:0C x y D x E y F C x y D x E y F ++++=++++=的交点的圆的方程是22223111222:()0C x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=.特殊地：当1λ时，圆系方程表示两圆公共弦所在的直线方程；当两圆相切（内切或外切）时，直线l 为过两圆公共切点的直线方程.8、空间直角坐标系（1）空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对(,,)x y z 表示.（2）空间两点间的距离公式，如果11112222(,,),(,,)P x y z P x y z ，则两点间的距离为12||PP =.（3）坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：x 轴上的点的坐标的特点：(,0,0)P m ，纵坐标和竖坐标都为零．y 轴上的点的坐标的特点：(0,,0)P m ，横坐标和竖坐标都为零．z 轴上的点的坐标的特点：(0,0,)P m ，横坐标和纵坐标都为零．xoy 坐标平面内的点的特点：(,,0)P m n ，竖坐标为零．yoz 坐标平面内的点的特点：(,0,)P m n ，纵坐标为零．zox 坐标平面内的点的特点：(0,,)P m n ，横坐标为零．（4）已知两点的中点坐标：平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 中点的坐标为（211212,,222z z x x y y +++）. （5）一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点：点(,,)P x y z 关于坐标原点的对称点为(,,)P x y z ---；点(,,)P x y z 关于坐标横轴（x 轴）的对称点为(,,)P x y z --；点(,,)P x y z 关于坐标纵轴（y 轴）的对称点为(,,)P x y z --；点(,,)P x y z 关于坐标竖轴（z 轴）的对称点为(,,)P x y z --；点(,,)P x y z 关于xoy 坐标平面的对称点为(,,)P x y z -；点(,,)P x y z 关于yoz 坐标平面的对称点为(,,)P x y z -；点(,,)P x y z 关于zox 坐标平面的对称点为(,,)P x y z -．例1、(1)求经过点(5,2),(3,2)A B ,圆心在直线230x y --=上的圆的方程；(2)求以(0,0),(2,0),(0,4)O A B 为顶点的三角形OAB 外接圆的方程.答案：(1)22(4)(5)10x y -+-=；(2)22240x y x y +--=.小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.例2、求圆224x y +=上点与直线43120x y +-=距离的最大值和最小值.点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想例3、已知圆O 的半径为3，直线l 与圆O 相切，一动圆与l 相切，并与圆O 相交的公共弦恰为圆O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？答案：26x y =.例4、由圆22:9C x y +=外一点(5,12)P 引圆的割线交圆于A B 、两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.答案：225120x y x y +--=.点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点” 例5、已知圆22:(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=.（1）求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；（2）设l 与圆C 交于不同的两点A B 、，若||AB =l 的倾斜角；（3）求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（4）若定点(1,1)P 分弦AB 为12AP PB =,求此时直线l 的方程.答案：222(2);(3)210(1);(4):02033x y x y x l x y x y ππα=+--+=≠-=+-=或或. 二、课堂练习：1、已知圆C 的圆心在直线40x y --=上,并且通过两圆221:430C x y x +--=和221:430C x y y +--=的交点,(1)求圆C 的方程； (2)求两圆1C 和2C 相交弦的方程解：(1) 22:6230C x y x y +-+-=；(2)0x y -=2、求圆22412390x y x y ++-+=关于直线3450x y -+=的对称圆方程解：圆方程可化为22(2)(6)1x y ++-=, 圆心(2,6)O -,半径为1 设对称圆圆心为'(,)O a b ，则O 与'O 关于直线3450x y --=对称， 因此有2634502263124a b b a -+⎧⋅-⋅-=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩解得42a b =⎧⎨=-⎩ ∴所求圆的方程为22(4)(2)1x y -++=点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？课外作业：补充：1、若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线:0l ax by +=的距离为，求直线l 的倾斜角的取值范围.答案：5[,]1212ππ.2、当c 为何值时，圆2260x y x y c ++-+=与直线230x y +-=的两个交点P Q 、满足OP OQ ⊥？其中O 是坐标原点？答案：3c =.3、已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=及直线:(32)(1)107l m x m y m +++=+.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交.（2）求直线l 被圆C 截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.答案：:250d l x y =--=.4、已知光线l 过点(1,1)P -，经y 轴反射后与圆22:(4)(4)1C x y -+-=相切，求光线l 所在的直线的方程.答案：43103410x y x y +-=++=或.5、已知点(5,0)P 和圆2216x y +=，过点P 任意作直线l 交圆于A B 、两点，求弦AB 的中点M 的轨迹方程.答案：222250(16)x y x x y +-=+<.6、从点(4,5)P 向圆22:(2)4C x y -+=引切线，求切线的方程.答案：21201604x y x -+==或.7、已知直线l 过点(0,3)，且与圆22:240C x y y +--=交于A,B 两点，若O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求直线l 的斜率.8、已知直线:l y x b =+与圆22:4C x y +=交于,A B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？变式1：已知直线:1l y kx =+与圆22:4C x y +=交于,A B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？变式2：已知直线:3l y kx =+与圆22:4C x y +=交于,A B 两点，求弦AB 中点M 的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？课后反思：。

§4.1圆的标准方程1. 掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程；2. 会用待定系数法求圆的标准方程.124127，找出疑惑之处）1.在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？2.什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？二、新课导学※ 学习探究新知：圆心为(,)A a b ，半径为r 的圆的方程222()()x a y b r -+-=叫做圆的标准方程.0a b ==，则圆的方程就是222x y r += 特殊：若圆心为坐标原点，这时探究：确定圆的标准方程的基本要素？※ 典型例题例 写出圆心为(2,3)A -，半径长为5的圆的方程，并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上.小结：点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：⑴2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外；⑵2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上；⑶2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内.变式:ABC 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3)A B -(2,8)C -，求它的外接圆的方程反思：1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于,,a b r 的方程组，求,,a b r 或直接求出圆心(,)a b 和半径r .2.待定系数法求圆的步骤：（1）根据题意设所求的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=；（2）根据已知条件，建立关于,,a b r 的方程组；（3）解方程组，求出,,a b r 的值，并代入所设的方程，得到圆的方程.例2 已知圆C 经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在直线:10l x y -+=上,求此圆的标准方程.※ 动手试试练1. 已知圆经过点(5,1)P ，圆心在点(8,3)C -的圆的标准方程.练2.求以(1,3)C 为圆心，并且和直线3470x y --=相切的圆的方程三、总结提升※ 学习小结一．方法规纳⑴利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径.⑵比较点到圆心的距离与半径的大小，能得出点与圆的位置关系.⑶借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大化简计算的过程与难度.二．圆的标准方程的两种求法：⑴根据题设条件，列出关于a b r 、、的方程组，解方程组得到a b r 、、得值，写出圆的标准方程. .）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知(2,4),(4,0)A B -，则以AB 为直径的圆的方程（ ）.A ．22(1)(2)52x y ++-=B ．22(1)(2)52x y +++=C ．22(1)(2)52x y -+-=D ．22(1)(2)52x y -++=2. 点2(,5)P m 与圆的2224x y +=的位置关系是（ ）.A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定3. 圆心在直线2x =上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --，则圆C 的方程为（ ）.A ．22(2)(3)5x y -+-=B ．22(2)(3)25x y -+-=C ．22(2)(3)5x y -++=D ．22(2)(3)25x y -++=4. 圆关于22(2)5x y ++=关于原点(0,0)对称的圆的方程5. 过点(2,4)A 向圆224x y +=所引的切线方程 .20x y +=上，且与直线10x y +-=切于点(2,1)-，求圆的标准方程.2. 已知圆2225x y += 求：⑴过点(4,3)A -的切线方程. ⑵过点(5,2)B -的切线方程§4.1圆的一般方程1. 在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的条件；2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程；3．培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力127130，找出疑惑之处）1．已知圆的圆心为),(b a C ，半径为r ，则圆的标准方程 ，若圆心为坐标原点上，则圆的方程就是2．求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程.二、新课导学※ 学习探究问题1．方程222410x y x y +-++=表示什么图形？方程222460x y x y +-++=表示什么图形？问题2．方程220x y Dx Ey F ++++=在什么条件下表示圆？新知：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的轨迹.⑴当2240D E F +->时，表示以(,)22D E --为圆心 ⑵当2240D E F +-=时，方程只有实数解2D x =-，2E y =-，即只表示一个点（-2D ，-2E ）;（3）当2240D EF +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形小结：方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线不一定是圆只有当2240D E F +->时，它表示的曲线才是圆，形如220x y Dx Ey F ++++=的方程称为圆的一般方程思考：1．圆的一般方程的特点？2．圆的标准方程与一般方程的区别？※ 典型例题例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径.⑴224441290x y x y +-++=；⑵2244412110x y x y +-++=.例 2 已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆上()2214x y ++=运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.※ 动手试试练1. 求过三点(0,0),(1,1),(4,2)A B C 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标.练2. 已知一个圆的直径端点是1122(,),(,)A x y B x y ，试求此圆的方程.三、总结提升※学习小结1．方程220x y Dx Ey F++++=中含有三个参变数，因此必须具备三个独立的条件，才能确定一个圆，还要注意圆的一般式方程与它的标准方程的转化.2．待定系数法是数学中常用的一种方法，在以前也已运用过.例如：由已知条件确定二次函数，利用根与系数的关系确定一元二次方程的系数等.这种方法在求圆的方程有着广泛的运用，要求熟练掌握. 3．使用待定系数法的一般步骤：⑴根据题意，选择标准方程或一般方程；⑵根据条件列出关于,,a b r或,,a b r或,,D E F，代入标准方程或一般方程.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若方程220x y x y m+-++=表示一个圆，则有（）.A．2m≤ B.2m< C．12m< D．12m≤2. 圆22410x y x+--=的圆心和半径分别为（）.A．(2,0),5B．(0,-．．(2,2),53. 动圆222(42)24410x y m x my m m+-+-+++=的圆心轨迹是（）.A．210x y+-= B．210x y-+=C．210x y-+= D．210x y--=4. 过点(1,1),(1,3)C D-，圆心在x轴上的圆的方程是 .5. 圆22450x y x+--=的点到直线3420x y-+=的距离的最大值为 .1. 设直线2310x y++=和圆22230x y x+--=相交于,A B，求弦AB的垂直平分线方程.2. 求经过点(2,4)A--且与直线:3260B的圆的方程.l x y+-=相切于点(8,6)§4.2直线、圆的位置关系1．理解直线与圆的几种位置关系；2．利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；3．会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．133136，找出疑惑之处）1．把圆的标准方程222()()-+-=整理为圆的一般方程 .x a y b r把2222++++=+->整理为圆的标准方程为 .x y Dx Ey F D E F0(40)2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？3．直线与圆的位置关系有哪几种呢？4．我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？二、新课导学※ 学习探究新知1：设直线的方程为:0l ax by c ++=，圆的方程为22:0C x y Dx Ey F ++++=，圆的半径为r ，圆心(,)22D E --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： ⑴当r d >时，直线l 与圆C 相离；⑵当r d =时，直线l 与圆C 相切；⑶当r d <时，直线l 与圆C 相交；新知2：如果直线的方程为y kx m =+，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，将直线方程代入圆的方程，消去y 得到x 的一元二次方程式20Px Qx R ++=，那么：⑴当0∆<时，直线与圆没有公共点； ⑵当0∆=时，直线与圆有且只有一个公共点；⑶当0∆>时，直线与圆有两个不同的公共点；※ 典型例题例1 用两种方法来判断直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=的位置关系.例2 如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为,求l 的方程变式：求直线50x y --=截圆22446x y x y +-++0=所得的弦长.※ 动手试试练1. 直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值.练2. 求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.三、总结提升※ 学习小结判断直线与圆的位置关系有两种方法① 判断直线与圆的方程组是否有解a.有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交 b 无解,则直线与圆相离② 如果直线的方程为0Ax By C ++=，圆的方程为222()()x a y b r -+-=，则圆心到直线的距离d =.⑴如果d r < 直线与圆相交;⑵如果d r =直线与圆相切; .）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 直线3460x y -+=与圆22(2)(3)4x y -+-=A ．相切B ．相离C ．过圆心D ．相交不过圆心 2. 若直线0x y m ++=与圆22x y m +=相切，则m 的值为（ ）.A ．0或2B ．2CD ．无解 3 已知直线l 过点(2,0)-，当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围是（ ）.A ．(-B ．(C ．(D ．11(,)88- 4. 过点(2,2)M 的圆228x y +=的切线方程为.5. 圆2216x y +=上的点到直线30x y --=的距离的最大值为 .1. 圆222430x y x y +++-=上到直线:1l x y ++0=.2. 若直线430x y a -+=与圆22100x y +=.⑴相交；⑵相切；⑶相离；分别求实数a 的取值范围.§4.2圆与圆的位置关系1．理解圆与圆的位置的种类；2．利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；3．会用连心线长判断两圆的位置关系．136137，找出疑惑之处）1．直线与圆的位置关系 ，， .2．直线50x y --=截圆22460x y y +++=所得的弦长 .3．圆与圆的位置关系有几种，哪几种？4. 设圆两圆的圆心距设为d.当d R r >+时，两圆当d R r =+时，两圆当||R r d R r -<<+ 时，两圆当||d R r =-时，两圆当||d R r <-时，两圆二、新课导学※ 学习探究探究：如何根据圆的方程，判断两圆的位置关系？新课：两圆的位置关系利用圆的方程来判断.通常是通过解方程或不等式和方法加以解决※ 典型例题例1 已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆22:C x24420y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？变式：若将这两个圆的方程相减，你发现了什么？例2圆1C 的方程是:22224x y mx y m +-++ 50-=，圆2C 的方程是:22222x y x my m ++-+30-=,m 为何值时两圆⑴相切；⑵相交；⑶相离；⑷内含.※ 动手试试练1. 已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=问m 取何值时，两圆相切.练2. 求经过点M(2,-2),且与圆2260x y x +-=与224x y +=交点的圆的方程三、总结提升※ 学习小结1．判断两圆的位置关系的方法:(1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定.(2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系.2．对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数.3．一般地，两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线.4．求两圆的公共弦所在直线方程，就是使表示圆的两个方程相减消去二次项即可得到.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知01r <<，则两圆222x y r +=与22(1)(1)2x y -++=的位置关系是（ ）.A ．外切B ．相交C ．外离D ．内含2. 两圆2220x y x +-=与2240x y y +-=的公共弦长（ ）.A B ．1 C D ．2 3. 两圆224210x y x y +-++=与2244x y x y ++-10-=的公切线有（ ）.A ．1条B ．2条C ．4条D ．3条4. 两圆2222440,2120x y x y x y x ++-=++-=相交于,A B 两点，则直线AB 的方程是 .5. 两圆221x y +=和()2234x y -+=的外公切线方程 .1. 已知圆C 与圆2220x y x +-=相外切,并且与直线0x =相切于点,求圆C 的方程.2. 求过两圆221:420C x y x y +-+=和圆222:240C x y y +--=的交点,且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程.§4.2.3直线与圆的方程的应用1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．138140，找出疑惑之处）1．圆与圆的位置关系有.2．圆224450+-+x y x yx y x y++--=和圆2284+=的位置关系为 .703．过两圆22640++-x y y+--=和22628x y x=的交点的直线方程 .二、新课导学※学习探究1．直线方程有几种形式? 分别是?2．圆的方程有几种形式?分别是哪些?3．求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? 4．直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢?※ 典型例题例1 已知某圆拱形桥.这个圆拱跨度20AB m =,拱高4OP m =,建造时每间隔4m 需要用一根支柱支撑,求支柱22A B 的高度(精确0.01m)变式：赵州桥的跨度是37.4m.圆拱高约为7.2m.求这座圆拱桥的拱圆的方程例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边距离等于这条边所对这条边长的一半.※ 动手试试练1. 求出以曲线2225x y +=与213y x =-的交点为顶点的多边形的面积.练2. 讨论直线2=+与曲线y.y x三、总结提升※学习小结1．用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，然后通过对坐标和方程的代数运算，把代数结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论，这就是用坐标法解决几何问题的“三部曲”.2．用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 一动点到(4,0)B的距离的2倍，则动点的轨迹方程（）.A-的距离是到(2,0)A．()22x y-+=416-+= B．()22x y442. 如果实数,x y 满足22410x y x +-+=，则y x的最大值为（ ）A ．3. 圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 圆()()22114x y -+-=关于直线:220l x y --=对称的圆的方程 .5. 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程 .1. 坐标法证明:三角形的三条高线交于一点.2. 机械加工后的产品是否合格,要经过测量检验某车间的质量检测员利用三个同样的量球以及两块不同的长方体形状的块规检测一个圆弧形零件的半径.已知量球的直径为2厘米,并测出三个不同高度和三个相应的水平距离,求圆弧零件的半径.§4.2.3直线，圆的方程（练习）1．理解直线与圆的位置关系的几何性质；2．利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；3．会用“数形结合”的数学思想解决问题．（预习教材P 124~ P 140，找出疑惑之处）一．圆的标准方程例1 一个圆经过点A(5,0)与B(-2,1)圆心在直线3100x y --=上,求此圆的方程二．直线与圆的关系例2求圆()()22234x y -++=上的点到20x y -+=的最远、最近的距离三．轨迹问题充分利用几何图形的性质,熟练掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式. 例3 求过点A(4,0)作直线l 交圆22:4O x y +=于B,C 两点,求线段BC 的中点P 的轨迹方程四 弦问题主要是求弦心距（圆心到直线的距离），弦长，圆心角等问题.一般是构成直角三角形来计算例4 直线l 经过点()5,5，且和圆2225x y +=相交，截得的弦长为l 的方程.五．对称问题（ 圆关于点对称，圆关于圆对称）例5 求圆()()22114x y -++=关于点()2,2对称的圆的方程.练习1. 求圆()()22114x y -+-=关于直线220x y --=对称的圆的方程2. 由圆外一点(2,1)P 引圆22:4O x y +=的割线交圆于A,B 两点,求弦AB 的中点的轨迹.3. 等腰三角形的顶点是A(4.2)底边一个端点是B(3,5)求另一个端点的轨迹是什么?4．已知圆C 的圆心坐标是1(,3)2-,且圆C 与直线230x y +-=相交于,P Q 两点,又,OP OQ O ⊥是坐标原点,求圆C 的方程.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知(3,0)M 是圆2282100x y x y +--+=内一点，过M 点的量长的弦所在的直线方程是（ ）. A 30x y +-= B 30x y --=C 260x y --=D 260x y +-=2. 若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是（ ）.3. 已知点()1,1A -和圆C ：22(5)(7)4,x y -+-=一束光线从A 点经过x 轴反射到圆周C 的最短路程是（ ）.A ．10 B.226- C.64 D.84. 设圆22450x y x +--=的弦AB 的中点P （3，1），则直线AB 的方程为__________________.5. 圆心在直线y x =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程_______________________.1. 从圆外一点(1,1)P 向圆221x y +=引割线,交该圆于,A B 两点,求弦AB 的中点的轨迹方程.2．2. 2y x =上，圆被直线0x y -=截得的弦长为.§4.3 空间直线坐标系1.明确空间直角坐标系是如何建立；明确空间中的任意一点如何表示；2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐标142144，找出疑惑之处）1．平面直角坐标系的建立方法，点的坐标的确定过程、表示方法？2．一个点在平面怎么表示？在空间呢？二、新课导学※ 学习探究1.怎么样建立空间直角坐标系？2.什么是右手表示法？3.什么是空间直角坐标系，怎么表示？思考：坐标原点O 的坐标是什么？讨论:空间直角坐标系内点的坐标的确定过程※ 典型例题例1在长方体OBCD D A B C ''''-中，3,4OA OC ==2.OD '=写出,,,D C A B '''四点坐标.反思：求空间中点的坐标的步骤：建立空间坐标系→写出原点坐标→各点坐标.讨论：若以C 点为原点，以射线,,BC CD CC '方向分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则各顶点的坐标又是怎样的呢？变式：已知(2,3,4)M -，描出它在空间的位置例2 V ABCD -为正四棱锥，O 为底面中心，若2,3AB VO ==，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标.※ 动手试试练1. 建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标.练2. 已知ABCD A B C D ''''-是棱长为2的正方体，,E F 分别为BB '和DC 的中点，建立适当的空间直角坐标系，试写出图中各中点的坐标三、总结提升※ 学习小结1.求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标.2.点关于坐标平面对称，则点在该坐标平面内两个坐标不变，另一个变成相反数；关于坐标轴对称则相对于该轴的坐标不变，另两个变为相反数；关于原点对称则三个全变为相反数；3.空间直角坐标系的建立要选取好原点，以各点的坐标比较好求为原则，另外要建立右手直角坐标系.4.关于一些对称点的坐标求法(,,)P x y z 关于坐标平面xoy 对称的点1(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面yoz 对称的点2(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于坐标平面xoz 对称的点3(,,)P x y z -；(,,)P x y z 关于x 轴对称的点4(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于y 对轴称的点5(,,)P x y z --；(,,)P x y z 关于z 轴对称的点6(,,)P x y z --；）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是（ ）.A ．(,,)P x y z 中,,x y z 的位置是可以互换的B ．空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系C ．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分D ．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同2. 已知点(3,1,4)A --，则点A 关于原点的对称点的坐标为（ ）.A ．(1,3,4)--B ．(4,1,3)--C ．(3,1,4)-D ．(4,1,3)-3. 已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C -，则ABC ∆的重心坐标为（ ）.A ．7(6,,3)2B ．7(4,,2)3C ．14(8,,4)3D ．7(2,,1)64. 已知ABCD 为平行四边形，且(4,1,3),(2,5,1)A B -，5. 方程222(2)(3)(1)36x y z -+++-=的几何意义是 .(1,2,3)M -，求它分别关于坐标平面，坐标轴和原点的对称点的坐标.2. 设有长方体ABCD A B C D ''''-，长、宽、高分别为 4,3,5,AB cm AD cm AA cm N '===是线段CC '的中点.分别以,,AB AD AA '所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.⑴求,,,,,,,A B C D A B C D ''''的坐标；⑵求N 的坐标；§4.3.2空间两点间的距离公式1. 通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式2. 掌握空间直角坐标系中两点间的距离公式及推导，并能利用公式求空间中两点的距离.145146，找出疑惑之处）1. 平面两点的距离公式？2. 我们知道数轴上的任意一点M 都可用对应一个实数x 表示，建立了平面直角坐标系后，平面上任意一点M 都可用对应一对有序实数),(y x 表示.那么假设我们建立一个空间直角坐标系时，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组()z y x ,,表示出来呢？3. 建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？二、新课导学※ 学习探究1.空间直角坐标系该如何建立呢？2.建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M 如何用坐标表示呢？33.3.空间中任意一点1111(,,)P x y z 与点2222(,,)P x y z 之间的距离公式22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=.注意：⑴空间两点间距离公式同平面上两点间的距离公式形式上类似；⑵公式中1212,,,x x y y12,z z 可交换位置；⑶公式的证明充分应用矩形对角线长=.探究：⑴点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)o 的距离？⑵如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？※ 典型例题例1 求点P 1(1, 0, -1)与P 2(4, 3, -1)之间的距离变式：求点(0,0,0)(5,2,2)A B -到之间的距离例2 在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是15(1,2,3),(2,2,3),(,,3)22A B C --.求证：ABC ∆是直角三角形.※ 动手试试练1. 在z 轴上，求与两点(4,1,7)A -和(3,5,2)B -等距离的点.练2. 试在xoy 平面上求一点，使它到(1,1,5)A -,(3,4,4)B 和(4,6,1)C 各点的距离相等.三、总结提升※ 学习小结1.两点间的距离公式是比较整齐的形式，要掌握这种形式特点，另外两个点的相对应的坐标之间是相减而不是相加.2.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆.与之类似的是，在三维空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为球心，以定长为半径的球.※ 知识拓展1.空间坐标系的建立，空间中点的坐标的求法.2.平面上1122(,),(,)P x y Q x y 两点间的距离公式d3.平面上圆心在原点的圆的方程222x y r +=.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．空间两点(3,2,5),(6,0,1)A B --之间的距离（ ）.A ．6B ．7C ．8D ．92．在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P ，则点P 为（ ）.A ．(9,0,0)B ．(1,0,0)-C ．(9,0,0)(1,0,0)-D ．都不是3．设点B 是点(2,3,5)A -关于xoy 面的对称点，则AB =（ ）.A ．10B ．384．已知(3,5,7)A -和点(2,4,3)B -，则线段AB 在坐标平面yoz 上的射影长度为 .5．已知ABC ∆的三点分别为(3,1,2),(4,2,2)A B --，(0,5,1)C 则BC 边上的中线长为 .(1,2,3),(7,10,3)A B 和(1,3,1)C -.试证明A 角为钝角.2. 在河的一侧有一塔5CD m =，河宽3BC m =，另侧有点A ，4AB m =，求点A 与塔顶D 的距离.第四章圆与方程复习1. 掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化.2. 掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值.3. 掌握空间直角坐标系的建立，能用(,,)x y z表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离.124152，找出疑惑之处）复习知识点1.圆的方程⑴标准式：圆心在点(,)a b，半径为r的圆的标准方程为当圆心在坐标原点时，圆的方程为 .⑵一般式：.⑶圆的一般式方程化为标准式方程为.⑷是求圆的方程的常用方法.2.点与圆的位置关系有，判断的依据为：3.直线与圆的位置关系有，判断的依据为：4.圆与圆的位置关系有，判断的依据为：5.空间直角坐标系⑴空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对 表示.⑵空间两点间的距离公式，如果1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z ，则两点间的距离为12PP = .⑶点(,,)M a b c 关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标⑴关于坐标平面xoy 对称的点 ；⑵关于坐标平面yoz 对称的点 ；⑶关于坐标平面xoz 对称的点 ；⑷关于x 轴对称的点 ；⑸关于y 对轴称的点 ；⑹关于z 轴对称的点 .※ 典型例题例1 求经过(2,4),(3,1)P Q --两点,并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆.小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程.例2 在圆224x y +=上与直线43120x y +-=距离最短的点是.※ 动手试试练. 求过直线240x y ++=和圆2224x y x y ++-10+=的交点，且满足下列条件之一的圆的方程.⑴过原点；⑵有最小面积.三、总结提升※ 学习小结1.确定圆的方程，一般用待定系数法，如果条件与圆心和半径有关，通常选择圆的标准方程；如果已知点的坐标，条件与圆心无直接关系，一般选用圆的一般方程.2.直线与圆的位置关系可以根据方程组解的情况来判断，但利用圆心到直线的距离与圆的半径比较来判断更方便.4.过一点作圆的切线，应首先判断点是否在圆上，如果点在圆上，可直接利用公式写现圆的切线方程；如果点在圆外，必有两条切线，如果关于斜率k 的方程只有一解，则另一条切线必为斜率不存在的直线，务必要补上.5.学习过程中要注意数形结合思想的运用，充分利用图形的性质减少运算量、节省时间，提高准确度，※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 圆22210x y ax y +-++=关于直线1x y -=对称的圆方程是2210x y +-=，则实数a 的值是（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．2±2. 圆222210x y x y +--+=上的点到直线2x y -=的距离最大值是（ ）.A ．2B ．1．2+ D ．1+3. 2kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是（ ）.A ．k =B ．(2,2)k ∈-C ．2k <-或2k >D ．2k <-或2k >或k =4. 如果直线l 将圆22460x y x y +-+=平分，那么坐标原点到直线l 的距离最大值为 .5. 若圆2221:()()1O x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4O x y +++=的周长，则实数,a b 的关系是 .1. 讨论两圆：221:16161632610C x y x y +++-=与2221:(sin )(1)16C x y α-+-=的位置关系.2. 已知点(,0),(0,)A a B b （其中,a b 均大于4），直线AB 与圆22:4440C x y x y +--+=相切 ⑴求证：(4)(4)8a b --=；⑵求线段AB 的中点M 的轨迹方程.。