《正多边形和圆》第一课时参考教案教学资料

正多边形和圆（一）教案教材分析学生在前面已经学习了正多边形的概念，了解正多边形的各边相等、各内角相等以及多边形内角和的运算公式。

在本册中学习了圆及圆的有关性质，理解圆中弧与弦的关系，从而为本节课研究正多边形与圆的关系打下了良好的基础，本节课先通过观察美丽的图案，让学生感受到数学来源于生活。

接下来研究正多边形和圆的关系，按由特殊到一般的规律，以正五边形为例进行探索和证明，并将结论推广到正n边形。

让学生体会到化归思想在研究问题中的重要性。

培养学生观察、比较、分析问题的能力，发展了学生合情推理能力和演绎推理能力。

教学目标知识技能：了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。

能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。

数学思考；通过正多边形与圆的关系的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移的能力。

解决问题：进一步向学生渗透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辩证法思想，体会化归思想在研究问题中的重要性，能综合运用所学知识和技能解决问题。

情感态度：学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的。

重点难点教学重点：探索正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念，并能进行计算。

教学难点：探索正多边形与圆的关系。

教学过程：一、观察图案，提出问题（设计说明：学生通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，从中感受到数学美，并提出本节课所要研究的问题。

）问题l：观看教科书图24。

3－1，这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的，利用正多边形得到的物体。

你能从这些图案中找出正多边形来吗？教师引导学生回忆、理解正多边形的概念。

问题2：菱形，矩形，正方形是正多边形吗？问题3：通过观察图案，你们知道正多边形和圆有什么关系吗？问题4：给你一个圆，怎样就能做出一个正多边形来？（教师引导学生观察、思考，学生分组讨论、交流，发表各自见解）此问题比较抽象，是本节课的难点。

《2.7正多边形与圆》教学设计【教学目标】知识与技能：了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系；会应用多边形和圆的有关知识画多边形．过程与方法：经历画正多边形的过程，进一步培养学生的动手操作能力.情感态度：调动学生的积极性，组织学生自主探究，然后在相互交流学习中培养学生的钻研精神.【教学重难点】应用多边形和圆的有关知识计算及画多边形. 【教具准备】课件、圆规、三角尺【教学过程】一导入新课引入：通过插图展示不同的正多边形，引导学生讨论并总结正多边形的特点。

二合作探究探究1：正多边形的定义和性质教师问：什么叫做正多边形？学生答：各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.D E教师问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？学生答：矩形不一定是正多边形，因为矩形各边不一定相等；菱形不是正多边形，因为菱形各角不一定相等；教师强调：正多边形：①各边相等；②各角相等，两个条件，缺一不可. 教师问:正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？学生动手操作，交流，感受正多边形的对称性.教师归纳：正n 边形都是轴对称图形，都有n 条对称轴，只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.探究2 正多边形的相关概念出示例题：如图，把⊙O 分成5段相等的弧，即 ，依次连接各等分点，所得五边形ABCDE 是正五边形吗？为什么？解题分析：在同圆中，等弧所对的弦相等，所对的圆心角、圆周角都相等。

A B正多边形的证明：概念学习：将一个圆n(n≥3) 等分，依次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。

正n 边形的各顶点n 等分其外接圆.圆与正多边形的关系：完成表格：所得多边形是正多边正多边形外接圆的圆心正多边形的中心外接圆的半径正多边形的半径正多边形每条边所对的圆心角正多边形的中心角中心到每一条边的距离正多边形的边心距A BOCD P发现规律：正多边形的中心角=外角= 练习巩固： 在一个半径为4 m 圆形空地上修建一个正六边形花坛，求花坛的面积。

24.6 正多边形与圆二、师生互动，探究新知师：将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形吗？如果是，证明你的结论•如果是六、七……等份呢？生：小组合作探索分析、总结结论•将一个圆分成n等份,依次连接各分点得到一个正n边形•[教师根据学生的回答进行引导、补充和总结•]师：以五边形为例，引导学生证明•已知：如图，点A B、C、D E在o O上，且A B =Be = C D = DE = E A.求证：五边形ABCD是O O的内接正五边形•证明：（1）由A B = Be = C D = D E = ?A，得________ = _________ = _________ =•••B CE = C DA = 3A B，AZ i = z 2.让学生通过等分圆后，观察得出结论，体现一种研究方法一一由特殊推广到一般•同理可得/ 2=Z 3=Z 4=Z 5.又因为顶点A、B CD E都在O O上，所以五边形ABCD是O 0的内接正五边形.生：思考完成填空•师：将一个圆分成n等份,经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形吗？用课件出示下列证明.已知：如图，点A B、C D E在O 0上,且A B=Be = C D = D E = E A,TP PQ QR RSST分别是以点A B、C、D E为切点的O 0 的切线•求证：五边形PQRS是O 0的外接正五边形.证明：连接OA OB OC则/ OAB=Z OB= / OB=Z OCB•/ TP PQ QF分别是以点A、B、C为切点的O0的切线，•••/ 0AP=Z 0BP=Z 0B(=Z 0CQ•••/ PAB=Z PBA=Z QBC=Z QCB又••• A B = Be , ••• AB= BC• △ PAB 也厶QBC•••/ P=Z Q PQ= 2PA同理可得/ Q=Z R=Z S=Z T,QF= RS= ST= TP= 2PA•••五边形PQRS的各边都与O 0相切，•••五边形PQRS是O 0的外切正五边形.生：观察理解证明过程，得出结论.将一个圆分成n等份，经过各分点作圆的切线，以相邻I教学小结I【板书设计】正多边形与圆1.正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形•2.正多边形与圆的关系：把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.3.画正多边形24.6 正多边形与圆第2课时正多边形的性质生：思考回答师：（1）正方形有外接圆吗？若有，外接圆的圆心在哪？（正方形对角线的交点.）⑵ 根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心？（3）正方形有内切圆吗？圆心在哪？半径是谁？生：小组讨论回答•接OA OB OC OD 0E•/ OB= OC •••/ 1 = Z 2.又•••/ ABC=Z BCD•/ 3=Z 4.•/ AB= DC ODC• OA= OD 即点D在O O上.同理，点E在O O上.所以正五边形ABCD有一个外接圆O O. 因为正五边形ABCD的各边是O O中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以点O为圆心，以弦心距（OH为半径的圆与正五边形的各边都相切.可见正五边形ABCD还有一个以O为圆心的内切圆.师：引导学生归纳.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线采用开展活动，小组讨论的方法，培养学生互助，协作的精神，通过引导学生自主合作，探究验证，培养学生分析问题和解决问题的意识和能力.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径•其他两个顶点到圆心的距离都等于半径•正五边形的各顶点共圆•正五边形有外接圆•圆心到各边的距离相等•正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心,半径是圆心到任意一边的距离•照此法证明，正六边形、正七边形、…、正n 边形都有一个外接圆和内切圆•定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆• 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距•正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等•正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角•正n边形的每个中心角都等于---------- •n师：正多边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？生：小组讨论得出正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心•边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心• 师：讲解例题•例求边长为a的正六边形的周长和面积•五、布置作业，巩固提升 教材习题24.6第4〜8题.I 教学小结I正多边形的性质巩固认识，提高应用水平【板书设计】 ,并且这两个圆是同心。

《正多边形和圆（1）》教案一、教学内容1、正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，•正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距。

2、在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系。

3、正多边形的画法。

二、教学目标1、了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形。

2、复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容。

三、教学重、难点重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。

难点：通过例题使学生理解正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。

四、教学过程（一）、复习引入请同学们口答下面两个问题。

1、什么叫正多边形？2、从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、•中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；•正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点。

想一想：菱形是正多边形吗？矩形、正方形呢？（二）、探索新知1、如图所示的圆，把⊙O•分成相等的6•段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形。

∵AB=BC=CD=DE=EF∴AB=BC=CD=DE=EF又∴∠A= BCF= （BC+CD+DE+EF）=2BC∠B= CDA=（CD+DE+EF+FA）=2CD∴∠A=∠B同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等、六边形ABCDEF是⊙O 的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆。

这个正多边形就是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆。

•我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心。

外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形和圆数学教案第一章：正多边形的定义和性质1.1 教学目标了解正多边形的定义及其性质学会计算正多边形的边数和内角大小1.2 教学内容正多边形的定义：所有边相等，所有角相等的多边形正多边形的性质：每个内角等于(180度×(n-2))/n，其中n为边数正多边形的边数和内角大小的计算方法1.3 教学活动引入正多边形的概念，展示图片，让学生感知正多边形的特点讲解正多边形的性质，引导学生进行公式推导举例说明如何计算正多边形的边数和内角大小，让学生进行练习1.4 作业布置请学生绘制一个正五边形，并计算其边数和内角大小第二章：圆的定义和性质2.1 教学目标了解圆的定义及其性质学会计算圆的周长和面积2.2 教学内容圆的定义：平面上所有点到圆心的距离相等点的集合圆的性质：圆的周长等于2πr，其中r为半径；圆的面积等于πr²圆的周长和面积的计算方法2.3 教学活动引入圆的概念，展示图片，让学生感知圆的特点讲解圆的性质，引导学生进行公式推导举例说明如何计算圆的周长和面积，让学生进行练习2.4 作业布置请学生计算一个半径为5cm的圆的周长和面积第三章：正多边形和圆的对比3.1 教学目标理解正多边形和圆的关系学会区分正多边形和圆的特点3.2 教学内容正多边形和圆的定义和性质的对比正多边形和圆的图形特点的对比3.3 教学活动引导学生回顾正多边形和圆的定义和性质展示正多边形和圆的图形，让学生观察其特点讲解正多边形和圆的区别，引导学生进行思考3.4 作业布置请学生举例说明如何区分正多边形和圆第四章：圆的方程4.1 教学目标学习圆的标准方程和一般方程理解圆的方程的含义和应用4.2 教学内容圆的标准方程：(x h)²+ (y k)²= r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径圆的一般方程：x²+ y²+ Dx + Ey + F = 0，其中D²+ E²4F > 0圆的方程的应用4.3 教学活动讲解圆的标准方程和一般方程的定义和特点引导学生理解圆的方程的含义和应用举例说明如何根据圆的方程画出圆，并让学生进行练习4.4 作业布置请学生根据给定的圆的方程，画出相应的圆，并计算圆的半径和圆心坐标。

第二十四章圆24.3 正多边形和圆教学设计第1课时一、教学目标1．了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．2．正多边形与圆有关的计算．二、教学重点及难点重点：正多边形的概念及正多边形与圆有关的计算．难点：正多边形与圆有关的计算．三、教学用具多媒体课件，三角板、直尺、圆规．四、相关资源多张《生活中的正多边形》图片，《画圆内接正五边形》动画，《正多边形与圆的相关概念》动画，《地基为正六边形的亭子》图片．五、教学过程【创设情境，引入新课】观看下列美丽的图案．问题这些美丽的图案，都是日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？师生活动：教师演示课件或展示图片，提出问题．学生观察图案，思考并指出找到的正多边形．教师关注：①学生能否从这些图案中找到正多边形；②学生能否从这些图案中发现正多边形和圆的关系．设计意图：通过观看美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美．【合作探究，形成新知】1．正多边形与圆的关系【知识点解析】正多边形和圆,微课全面的讲解正多边形与圆相关知识.（1）你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆作出一个正多边形吗？师生活动：教师提出问题，让学生观察、思考．学生讨论、交流，发表各自见解．引导学生只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，把问题转化为已经解决的问题，建立知识点之间的联系．教师把问题引到如何等分一个圆——依次作相等的圆心角．教师关注：学生能否联想到等分圆周作出正多边形来．设计意图：问题的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，研究的热情，调动学生学习的积极性，并有意将注意力集中在正多边形与圆的关系上．（2）将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论．师生活动：教师提出问题后，学生认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充．教师在学生归纳的基础上进行补充，并以正五边形为例进行证明．证明：如图，====，∵AB BC CD DE EA====，∴AB BC CD DE EA==．3BAD CAE AB∠=∠．∴C D∠=∠=∠=∠=∠．同理可证：A B C D E∴五边形ABCDE是正五边形．∵A、B、C、D、E在⊙O上，∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．设计意图：学生在教师的指导下进行逻辑推理，论证所发现的结论的正确性，从而培养学生科学严谨的治学态度，和运用所学知识解决问题的能力．（3）如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？师生活动：教师提出问题，学生思考，同学间交流，回答问题．教师关注：学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形．归纳：将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形．设计意图：将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教给学生一种研究问题的方法：由特殊到一般．2．正多边形与圆的概念学生观看课件，理解概念．【数学探究】用等分圆周法作正六边形和正方形,交互动画展现正多边形与圆的性质.师生活动：教师用课件显示要解决的概念，学生自学课本第105页，回答问题．教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．归纳：正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正边形的中心．正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．设计意图：通过自主学习概念，培养了学生的归纳能力，加深了对概念的理解，充分发展了学生的发散思维．【例题分析，深化提升】例有一个亭子（如图），它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．师生活动：教师引导学生画出正六边形图形，进行分析．教师关注：①学生能否知道欲求地基的周长和面积，需要先求正六边形的边长和边心距；②学生能否将正六边形的边长、半径和边心距集中在一个三角形中来研究；③学生能否将正六边形的中心与顶点连接起来，将正六边形分割成6个全等的等腰三角形，去发现每个等腰三角形的顶角就是中心角，腰是半径，底边是边长，底边上的高是边心距，从而可以利用勾股定理进行计算，进而能够求得正多边形的周长和面积．思考：正n边形的中心角度数如何计算？正n边形的一个外角度数如何计算？正n边形的中心角与外角的大小有什么关系？归纳：中心角的度数=360n．外角的度数=360n．正n边形的中心角与外角的大小相等．设计意图：让学生在了解有关正多边形的概念后，通过例题的练习，巩固所学到的知识．教师引导学生将实际问题转化成数学问题，将多边形化归成三角形来解决．体现了化归思想在解题中的应用．【练习巩固，综合应用】1．下列命题正确的是()．A．各边相等的多边形是正多边形B．各角相等的多边形是正多边形C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形D．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形2．圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比()．A．扩大了一倍B．扩大了两倍C．扩大了四倍D．没有变化3．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是()．A．60°B．45°C．30°D．22.5°4．正十二边形每个内角的度数为．5．在半径为R的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为．6．分别求出半径为R的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积．参考答案1．D 2．D 3．C 4．150°5．2∶1设计意图：巩固了正多边形与圆的有关概念的理解和应用．6．解：（1）作等边△ABC的边BC上的高AD，垂足为D．连接OB ，则OB =R ．如图：在Rt △OBD 中，∠OBD =30°，边心距OD =12OB =12R ． 在Rt △ABD 中，∠BAD =30°， AD =OA ＋OD =R ＋12R =32R ． 由勾股定理，得AB =3R ，所以2113333222ABC S BC AD R R R ==⨯⨯=△． （2）连接OB ，OC ，过点O 作OE ⊥BC ，垂足为E ．如图：则∠OEB =90°，∠OBE =∠BOE =45°，即Rt △OBE 为等腰直角三角形．则有222BE OE OB +=．所以边心距22=OE BE OB R ==， BC =2BE =2222R R ⨯=． 所以()2222ABCD S AB BC R R ===正方形．师生活动：学生独立完成，教师批改、总结，重点关注：①对学生在练习中出现的问题，有针对性地给予分析；②学生面对探究性问题的解决方法．设计意图：考查对圆与正多边形有关的概念的掌握，巩固本节课所学的内容．六、课堂小结学完这节课你有哪些收获？1．正多边形相关定义中心的定义：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．半径的定义：外接圆的半径叫做正多边形的半径．中心角的定义：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．边心距的定义：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．2．正n 边形的中心角与外角的大小相等．师生活动：学生自己总结，不全面的由其他学生补充完善．教师重点关注：不同层次学生对本节知识的理解、掌握程度．设计意图：让学生总结出自己的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯，同时也提出自己的疑问和困惑便于教师及时反馈．七、板书设计24.3 正多边形和圆（1）1．正多边形相关定义2．正n 边形的中心角与外角的大小相等．。