下载文档原格式
小学四年级奥数题一、等差数列1.在等差数列3,12,21,30,39,48,…中912是第几个数2.求1至100内所有不能被5或9整除的整数和3.把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少4.把从1开始的所有奇数进行分组,其中每组的第一个数都等于此组中所有数的个数,如1,3、5、7,9、11、13、15、17、19、21、23、25,27、29、……79,81、……,求第5组中所有数的和二、按规律填数;164,48,40,36,34,28,15,10,13,12,11,31、4、5、8、9、、13、、42、4、5、10、11、、55,9,13,17,21, ,三、平均数问题1.已知9个数的平均数是72,去掉一个数后,余下的数平均数为78,去掉的数是______ .2.某班有40名学生,期中数学考试,有两名同学因故缺考,这时班级平均分为89分,缺考的同学补考各得99分,这个班级中考平均分是_______ .3.今年前5个月,小明每月平均存钱元,从6月起他每月储蓄6元,那么从哪个月起小明的平均储蓄超过5元、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数.23, 26, 30, 33A、B、C、D 4个数的平均数是多少5 A、B、C、D4个数,每次去掉一个数,将其余3个数求平均数,这样计算了4次得到下面4个数23、26、30、33,A、B、C、D4个数的和是;四、加减乘除的简便运算1100-98+96-94+92-90+……+8-6+4-2=21976+1977+......2000-1975-1976- (1999)326×99 =467×12+67×35+67×52+67=514+28+39×28+39+15-14+28+39+15×28+39五、数阵图1、△、□、〇分别代表三个不同的数,并且;△+△+△=〇+〇；〇+〇+〇+〇=□+□+□；△+〇+〇+□=60求：△= 〇= □=2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中,使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中,使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.4 用1至9这9个数编制一个三阶幻方,写出所有可能的结果;所谓幻方是指在正方形的方格表的每个方格内填入不同的数,使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格的数;六、和差倍问题1.果园里一共种340棵桃树和杏树,其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵,两种树各种了多少棵2.一个长方形,周长是30厘米,长是宽的2倍,求这个长方形的面积;3.甲、乙两个数,如果甲数加上320就等于乙数了.如果乙数加上460就等于甲数的3倍,两个数各是多少4.有两块同样长的布,第一块卖出25米,第二块卖出14米,剩下的布第二块是第一块的2倍,求每块布原有多少米5.果园里有桃树和梨树共150棵,桃树比梨树多20棵,两种果树各有多少棵6.甲、乙两桶油共重30千克,如果把甲桶中6千克油倒入乙桶,那么两桶油重量相等,问甲、乙两桶原有多少油七、年龄问题1.兄弟俩今年的年龄和是30岁,当哥哥像弟弟现在这样大时,弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半,哥哥今年几岁2.母女的年龄和是64岁,女儿年龄的3倍比母亲大8岁,求母女二人的年龄各是多少岁3.哥哥今年比小丽大12岁,8年前哥哥的年龄是小丽的4倍,今年二人各几岁4.爷爷今年72岁,孙子今年12岁,几年后爷爷的年龄是孙子的5倍几年前爷爷的年龄是孙子的13倍八、假设问题1、有42个同学参加植树,男生平均每人种3棵,女生平均每人种2棵,男生比女生多种56棵.男、女生各多少人2.某小学举行一次数学竞赛,共15道题,每做对一题得8分,每做错一题倒扣4分,小明共得了72分,他做对了多少道题3.一张试卷有25道题,答对一题得4分,答错或不答均倒扣1分,某同学共得60分,他答对了多少道题4.小华解答数学判断题,答对一题给4分,答错一题要倒扣4分,她答了20个判断题,结果只得了56分,她答错了多少道题5. 育才小学五年级举行数学竞赛,共10道题,每做对一道题得8分,错一题倒扣5分,张小灵最终得分为41分,她做对了多少道题。
分组求和数列求和例题好嘞，今天咱们来聊聊一个有趣的数学话题——分组求和数列求和。
说实话，数学这玩意儿就像是你早上赖床时的闹钟，虽然一开始让人有点不爽，但其实挺有意思的。
想想吧，数列就像是一串珠子，咱们要把这些珠子分成好几组，然后再来个求和，听起来是不是特别有趣？先来个简单的例子，想象一下你有一串数字，像1、2、3、4、5。
这一串数字就像是你周末的朋友们，个个都想凑在一起，热热闹闹的。
现在你决定把这些朋友分成两组，第一组是1和2，第二组是3、4、5。
嘿，组好了，咱们就开始求和吧。
第一组的和是1加2，结果是3，第二组的和是3加4加5，结果是12。
于是你就得到了两个数字，3和12，这就像是你周末的聚会，大家分开之后各自都有了精彩的故事。
可别小看这个求和的过程，真的是个小窍门！就像你去超市购物一样，分开来买能省不少钱。
你总不能一次性把所有东西都扔进购物车里吧，得分门别类，这样才好算账。
数学也是如此，分组求和让咱们能够更轻松地处理这些数字，真的是省心省力。
咱们可以试着多分几组。
比如，把之前的数列1到5分成三组，第一组1，第二组2和3，第三组4和5。
这样分组之后，第一组的和还是1，第二组的和是2加3等于5，第三组的和是4加5，结果是9。
然后，你把这三个和再加在一起，嘿，最后结果是15。
看看，这就是分组求和的魅力，简单又有效，能让你在数学这片海洋里游得更自在。
想象一下，咱们的生活也是这样的。
每天都有无数的小事情，每一件都能分成小组来处理。
比如说，周一的工作、周二的健身、周三的学习，这样分开来，你会发现每一组都有自己的节奏和韵律。
求和就是把每组的精华提炼出来，最后再汇成你生活的全貌。
像个调味料，给生活加点儿味儿。
说到这里，可能有人会问了，这样分组求和有啥实际用处？嘿，别急，数学可不是单纯的公式，它可是有着广泛的应用的。
比如，在统计学里，咱们常常要把数据分组来进行分析。
你想，数据就像是调皮的小孩子，分开来更容易管教。
小学六年级奥数题100道及答案1. 有两组数列，第一组数列是：2, 4, 6, 8, ..., 100；第二组数列是：1, 3, 5, 7, ..., 99。
问两组数列中所有数的和是多少？答案：第一组数列是一个等差数列，首项为2，公差为2，共有50项。
第二组数列也是一个等差数列，首项为1，公差为2，共有50项。
两组数列的和可以通过求和公式计算得出：\[ S_1 = 2 \times 50 + 50 \times 49 / 2 = 2550 \]；\[ S_2 = 1 \times 50 + 50 \times 49/ 2 = 1225 \]。
所以，两组数列的和是：\[ S_1 + S_2 = 2550 + 1225 = 3775 \]。
2. 一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米。
如果把这个长方体切割成两个大小相等的正方体，那么切割后的每个正方体的体积是多少？答案：首先计算长方体的体积，\[ V_{长方体} = 10 \times 8\times 6 = 480 \] 立方厘米。
切割成两个正方体后，每个正方体的体积是原长方体体积的一半，即\[ V_{正方体} = 480 / 2 = 240 \]立方厘米。
3. 一个数列的前5项是：1, 1, 2, 3, 5。
这个数列的第6项是多少？答案：这是一个斐波那契数列，每一项都是前两项的和。
所以第6项是\[ 3 + 5 = 8 \]。
4. 有一个数字，如果把它乘以3然后加上10，得到的结果是这个数字的5倍。
这个数字是多少？答案：设这个数字为x，根据题意，我们有\[ 3x + 10 = 5x \]。
解这个方程，我们得到\[ 2x = 10 \]，所以\[ x = 5 \]。
5. 一个班级有40名学生，其中20名男生和20名女生。
如果随机选择一名学生，那么选择到男生的概率是多少？答案：从40名学生中随机选择一名，选择到男生的概率是男生人数除以总人数，即\[ P(男生) = 20 / 40 = 1 / 2 \]。
双重数列规律1.观察如下数列：10,1,10,2,10,3,10,4,……,10,9．这个数列一共有多少个数？2.观察如下数列：5,1,5,2,5,3,5,4,……,5,10．这个数列一共有多少个数？3.观察如下数列：8,1,8,2,8,3,8,4,……,8,7．这个数列一共有多少个数？4.观察如下数列：10,2,10,4,10,6,10,8,10,10，……，10,100．那么这个数列一共有多少个数？5.观察如下数列：5,3,5,6,5,9,5,12,……,5,99．那么这个数列一共有多少个数？6.观察如下数列：10,2,10,4,10,6,10,8,10,10，……，100,10．那么这个数列一共有多少个数？7.观察如下数列：1,100,2,99,3,98,2,97,1,96,2,95,3,94,2,93,1,92，……，2,2,1．这个数列的和是多少？8.观察如下数列：1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，……，0．这个数列的和是多少？9.观察如下数列：1,60,2,57,3,54,2,51,1,48,2,45,3,42,……，2,3．那么这个数列的和是多少？10.观察如下数列：1,100,2,99,3,98,2,97,1,96,2,95,3,94,2,93,1,92，……，2,1．这个数列中有多少个“2”？11.观察如下数列：1,100,2,98,3,96,2,94,1,92,2,90,3,88,2,86,1,84，……，0．这个数列中有多少个“2”？12.观察如下数列：1,60,2,57,3,54,2,51,1,48,2,45,3,42,……，2,3．那么这个数列中有多少个“2”？数组规律1.观察如下数组：（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），……，那么第10组中的三个数是什么？2.观察如下数组：（2,3,4），（3,4,5），（4,5,6）……，那么第10组中的三个数是什么？3.观察如下数组：（2,4,6），（4,6,8），（6,8,10），……，那么第10组中的三个数是什么？4.观察如下数组：（1,2,3），（2,3,4），（3,4,5），……，那么前10组中所有数的和是多少？5.观察如下数组：（2,3,4），（3,4,5），（4,5,6）……，那么前10组中所有数的和是多少？6.观察如下数组：（2,4,6），（4,6,8），（6,8,10），……，那么前10组中所有数的和是多少？7.观察如下数列：1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10，……，那么这个数列的第24个数是什么？8.观察如下数列：3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12，……，那么这个数列的第24个数是什么？9.观察如下数列：2,4,6,8,8,10,12,14,14,16,18,20，……，那么这个数列的第24个数是什么？10.观察如下数列：1,2,3,4,4,5,6,7,7,8,9,10，……，97,98,99,100，那么这个数列一共有多少数？11.观察如下数列：3,4,5,6,6,7,8,9,9,10,11,12，……，99,100,101,102，那么这个数列一共有多少数？12.观察如下数列：2,4,6,8,8,10,12,14,14,16,18,20，……，194,196,198,200，那么这个数列一共有多少数？。
数学初一奥数题及答案题目一：数列问题题目描述：有一个数列：2, 4, 7, 11, ... 这个数列的第10项是多少？解题思路：观察数列可以发现，每一项与前一项的差值依次为2, 3, 4, 5, ... 这是一个等差数列，差值的公差为1。
因此，第n项与第1项的差值是1+2+3+...+(n-1)。
答案：首先计算第10项与第1项的差值，即1+2+3+...+9，这是一个等差数列求和问题，公式为\( S = \frac{n(n+1)}{2} \)，代入n=9得到\( S = \frac{9 \times 10}{2} = 45 \)。
所以第10项是2 + 45 = 47。
题目二：几何问题题目描述：在一个直角三角形ABC中，∠C是直角，AC=6，BC=8，求斜边AB的长度。
解题思路：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
答案：根据勾股定理，\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)，代入AC=6，BC=8，得到\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)，所以AB = √100 = 10。
题目三：逻辑推理问题题目描述：有5个盒子，每个盒子里装有不同数量的球，分别是1, 2, 3, 4, 5个。
现在将这5个盒子重新排列，使得每个盒子里的球数都比前一个盒子多1个。
问：重新排列后的盒子里球的数量分别是多少？解题思路：由于每个盒子里的球数都比前一个盒子多1个，我们可以从最小的数开始排列，即5, 4, 3, 2, 1。
答案：重新排列后的盒子里球的数量分别是5, 4, 3, 2, 1。
题目四：组合问题题目描述：有红、黄、蓝三种颜色的球各10个，现在要从中选出5个球，求有多少种不同的选法？解题思路：这是一个组合问题，可以使用组合公式\( C(n, k) =\frac{n!}{k!(n-k)!} \)来计算，其中n是总数，k是选出的数量。
答案：首先考虑不考虑颜色的情况下，从30个球中选出5个球的组合数为\( C(30, 5) \)。
等差数列小学四年级奥数题LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020小学四年级奥数题一、等差数列1.在等差数列3，12，21，30，39，48，…中912是第几个数2.求1至100内所有不能被5或9整除的整数和3.把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少4.把从1开始的所有奇数进行分组，其中每组的第一个数都等于此组中所有数的个数，如（1），（3、5、7），（9、11、13、15、17、19、21、23、25），（27、29、……79），（81、……），求第5组中所有数的和二、按规律填数。
1）64，48，40，36，34，( )2）8，15，10，13，12，11，( )3)1、4、5、8、9、（）、13、（）、（）4)2、4、5、10、11、（）、（）5)5,9,13,17,21,( ),( )三、平均数问题1.已知9个数的平均数是72,去掉一个数后,余下的数平均数为78,去掉的数是______ .2.某班有40名学生,期中数学考试,有两名同学因故缺考,这时班级平均分为89分,缺考的同学补考各得99分,这个班级中考平均分是_______ .3.今年前5个月,小明每月平均存钱元,从6月起他每月储蓄6元,那么从哪个月起小明的平均储蓄超过5元、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数.23, 26, 30, 33A、B、C、D 4个数的平均数是多少？5 A、B、C、D4个数，每次去掉一个数，将其余3个数求平均数，这样计算了4次得到下面4个数23、26、30、33，A、B、C、D4个数的和是。
四、加减乘除的简便运算1）100-98+96-94+92-90+……+8-6+4-2=（）2）1976+1977+……2000-1975-1976-……-1999=（）3）26×99 =（）4）67×12+67×35+67×52+67=（）5)（14+28+39）×（28+39+15）-（14+28+39+15）×（28+39）五、数阵图1、△、□、〇分别代表三个不同的数，并且;△+△+△=〇+〇；〇+〇+〇+〇=□+□+□；△+〇+〇+□=60求：△= 〇= □=2.将九个连续自然数填入3行3列的九个空格中，使每一横行及每一竖列的三个数之和都等于60.3.将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等.4 用1至9这9个数编制一个三阶幻方，写出所有可能的结果。
【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++ =2+10025=10325=2550××（）（方法二）根据12398991005050++++++= ，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ×−（）， 所以，第102项321021205=+×=（-）；由“项数=(末项−首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499−÷+=÷+=+=（）【答案】499【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．解： 1(1)n a a n d =+−×5(281)1=+−×32=(根)故最下面的一层有32根．【答案】32【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
小学数学一年级奥数题练习题及答案八合理分组各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢【题目】：把3、4、5、6、32、33、34、35这八个数填入下面的两个算式中（每个数只能用一次）：⑴□+□-□=□⑵□+□-□=□【解析】：这道题解题的关键在于合理分组。
仔细观察给出的八个数的特点：两组，每组四个连续自然数。
根据这八个数的特点，可以有多种分组方法，所以这题的解法非常多，要完整的给出题目的所有解法，做到不重不漏，就需要进行有序的分组。
首先，对八个数进行分组。
第一类分组方法，只有一种，即前四个连续自然数为一组，后四个连续自然数为一组，得到一种组合：3+6=4+5；32+35=33+34。
第二类分组方法，共有三种，我们把八个数大、小搭配分成四组，得到和相等的四个加法算式：①3+35；②4+34；③5+33；④6+32。
把这四个算式相互搭配得到三种组合，第一种：①=②、③=④；第二种：①=③、②=④；第三种：①=④、②=③。
所以，八个数共有四种分组方法。
再根据每种分组完成⑴、⑵两小题的填空，如果不考虑每个加法算式中加数位置的变化，可以得到四种不同的基本的填法，如果考虑到每个加法算式中加数位置的变化，填法就非常多了。
【题目】：兔妈妈拔来31个萝卜，准备放在5个盘子里，每个盘子里放的萝卜个数都不相等。
如果你要1-31个萝卜中的任何个数，那么只要端一些盘子进行组合就能满足。
每个盘子里放几个？（图形略）【解析】：这一题里，每个盘子里萝卜的个数应该是一个公比为2，首项为1的等比数列：1、2、4、8、16。
这个数列最大的特点就是数列中的每一项都是前面所有项的和加1，正是这个数列的这个特点满足了题目的要求。
例如，我们可以拿1个、2个、3个（1+2）、4个、5个（1+4）……。
这道题是奥数中的一种经典题型，它的答案即这个数列，在小学高年级的有关分数运算的奥数中，用的非常多，通过这题的讲解，最好能让孩子对这个数列，有个初步的认识，能记住数列的前几项。
【原创】奥数解析（九）合理分组【原创】奥数解析（九）合理分组《奥赛天天练》第３２讲，巩固训练，习题1【题目】：把3、4、5、6、32、33、34、35这八个数填入下面的两个算式中（每个数只能用一次）：⑴□+□-□=□⑵□+□-□=□【解析】：这道题解题的关键在于合理分组。
仔细观察给出的八个数的特点：两组，每组四个连续自然数。
根据这八个数的特点，可以有多种分组方法，所以这题的解法非常多，要完整的给出题目的所有解法，做到不重不漏，就需要进行有序的分组。
首先，对八个数进行分组。
第一类分组方法，只有一种，即前四个连续自然数为一组，后四个连续自然数为一组，得到一种组合：3+6=4+5；32+35=33+34。
第二类分组方法，共有三种，我们把八个数大、小搭配分成四组，得到和相等的四个加法算式：①3+35；②4+34；③5+33；④6+32。
把这四个算式相互搭配得到三种组合，第一种：①=②、③=④；第二种：①=③、②=④；第三种：①=④、②=③。
所以，八个数共有四种分组方法。
再根据每种分组完成⑴、⑵两小题的填空，如果不考虑每个加法算式中加数位置的变化，可以得到四种不同的基本的填法，如果考虑到每个加法算式中加数位置的变化，填法就非常多了。
《奥赛天天练》第３２讲，巩固训练，习题2【题目】：兔妈妈拔来31个萝卜，准备放在5个盘子里，每个盘子里放的萝卜个数都不相等。
如果你要1-31个萝卜中的任何个数，那么只要端一些盘子进行组合就能满足。
每个盘子里放几个？（图形略）【解析】：这一题里，每个盘子里萝卜的个数应该是一个公比为2，首项为1的等比数列：1、2、4、8、16。
这个数列最大的特点就是数列中的每一项都是前面所有项的和加1，正是这个数列的这个特点满足了题目的要求。
例如，我们可以拿1个、2个、3个（1+2）、4个、5个（1+4）……。
这道题是奥数中的一种经典题型，它的答案即这个数列，在小学高年级的有关分数运算的奥数中，用的非常多，通过这题的讲解，最好能让孩子对这个数列，有个初步的认识，能记住数列的前几项。
十四 数列的分组(B)年级 班 姓名 得分一、填空题1. 有一列由三个数组成的数组,它们依次是(1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);……第99个数组内三个数的和是______.2. 有数组:(1,1,1),(2,4,8),(3,9,27),……,第100组的三个数之和是___.3. 有数组{1,2,3,4},{2,4,6,8},{3,6,9,12},……,那么第100个数组的四个数的和是______.4. 将自然数按下面的规律分组:(1,2),(3,4,5,6),(7,8,9,10,11,12),(13, 14,15,16,17,18,19,20),……,第1991组的第一个数和最后一个数各是______.5. 将奇数按下列方式分组: (1),(3,5),(7,9,11),(13,15,17,19),…….(1) 第15组中第一个数是______;(2) 第15组中所有数的和是______;(3) 999位于第____组第____号.6. 自然数列1,2,3,…,n ,…,它的第n 组含有2n -1个数,第10组中各数的和是______.7. 给定以下数列: 11,21,22,31,32,33,41,42,43,44,…, (1)2923是第____项; (2)第244项是____;(3)前30项之和是____.8. 在以下数列: 11,12,21,13,22,31,14,23,32,41,15,24,…中,197居于第___项.9. 设自然数按下图的格式排列:1 2 5 10 17 …4 3 6 11 18 …9 8 7 12 19 …16 15 14 13 20 …25 24 23 22 21 …… … … … … …(1) 200所在的位置是第____行,第____列;(2) 第10行第10个数是______.10. 紧接着1989后面写一串数字,写下的数字都是它们前面两个数字之积的个位数,例如8×9=72,在9后面写2,2×9=18,在2后面写8,…,这样得到一串数字,从1开始,第1989个数字是______.二、解答题11. 将1到1989的自然数从头开始,依次第四个数一组,第一组各数间添上“+”号,第二组各数间添上“一”号,以后各组以“+”,“一”号相间隔,列成一个算式:1+2+3+4-5-6-7-8+9+10+11+12-13-….问:(1) 1989前添什么号?(2) 求这个算式的结果.12. 把由1开始的自然数依次写下来:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14….重新分组,按三个数字为一组:123,456,789,101,112,131,…,问第10个数是几?13. 根据下图回答:(1) 第一行的第8个数是几?(2) 第五行第六列上的数是几?(3) 200的位置在哪一格(说出所在行和列的序号)?14. 已知自然数组成的数列A:1,2,3,…,9,10,11,12,…,把这个数列的10和大于10的数,全部用逗号隔成一位数,做成一个新的数列B: 1,2,3,…,9,1,0,1,1,1,2,….问:(1) A中100这个数的个位上的“0”在B中是第几个数?(2) B中第100个数是几?这个数在A中的哪个数内?是它的哪一位数?(3) 到B的第100个数为止,“3”这个数字出现了几次?(4) B中前100个数的和是多少?———————————————答案——————————————————————答 案:1. 解法一 这串数组,各组数的和是16,32,48,….各组数的和分别是按16的1倍,2倍,3倍,……的规律递增.因此,第99个数组的和是16×99=16×(100-1)=1600-16=1584.解法二 通过观察可以发现,每一组括号中的三个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数的5倍,第三个数是第一个数的10倍.因此,第99组内三个数应为:(99,99×5,99×10).所以,第99个数组的和是:99+99×5+99×10=99×(1+5+10)=99×16=15842. 解法一 通过观察可以发现,每一组括号中三个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数自乘的积,第三个数是第一、二两数的乘积,因此,第100组中的三个数应分别是:第一个数是100;第二个数是100×100=10000;第三个数是100×10000=1000000,所以,第100组的三个数的和为:100+10000+1000000=1010100.解法二 通过观察可发现每一组的三个数的和可以用通项公式32n n n a n ++=表示,n =1,2,3,….因此,第100组的三个数之和是:101010010010010032100=++=a .3. 解法一 这串数组,各组数的和是10,20,30,40,….因此,第100个数中的四个数的和是100×10=1000.解法二 通过观察可以发现,每一组数括号中四个数的关系是:第一个数表示组数,第二个数是第一个数的2倍,第三个数是第一个的3倍,第四个数是第一个数的4倍.因此,第100个数组内的四个数分别是:(100,200,300,400).所以,第100个数组的四个数的和是:100+200+300+400=1000.4. 仔细观察找出这些自然数分组的规律,再找出每一组的第一个数与该组的序数之间的关系.第1组的第1个数是:1=(1-1)×1+1;第2组的第1个数是:3=(2-1)×2+1;第3组的第1个数是:7=(3-1)×3+1;第4组的第1个数是:13=(4-1)×4+1;……根据这一规律,可求出第1991组的第1个数是:(1991-1)×1991+1=3962091.第1992组的第一个数是: (1992-1)×1992+1=3966073.因此,第1991组的最后一个数是:3966073-1=3966072.5. (1)从第1组到第14组的奇数有1+2+3+ (14)21514⨯=105(个). 因此,第15组最初一个数是第106个奇数:2×106-1=211.(2)在第15组中的数是以211为首项,公差为2,项数等于15的等差数列,其和是15×211+21415⨯×2=3375. (3)设999位于第n 组,因31×32=992,32×33=1056,所以n =32,第32组最初一个数是:[2×(1+2+…+31)-1]+2=993.因此,999是第32组的第4号数.6. 第1组到第9组共有自然数:1+3+5+…+(2×9-1)=29)117(⨯+=18(个). 因此,第10组第1号数是82,第10组有2×10-1=19个数,所以第10组各数之和为 1729219)10082(=⨯+.7. (1)以分母相同的分数分组,并记分母为n 的分数属于第n 组,从而2913是第29组的第13号数,第n 组由n 个分数组成,从第1组到第28组有1+2+3+…+28=22928⨯=406 个分数,因此2913位于第406+13=419项. (2)因21×20=420,22×21=462,23×22=506,故第244项在第22组,前21组有22221⨯=231个分数,从而第244项是居于第22组中的第13号数,是2213. (3)前30项之和为 1+21(1+2)+31(1+2+3)+…+71(1+2+…+7)+81+82 =1+252423+++…+28+83 =21(2+3+4+…+8)+83 =21×27)82(⨯++83 =8143 =1787.8. 将分子与分母之和相等者归于同一组: )11(,)21,12(,)31,22,13(,)41,32,23,14(,…，其中197在7+19-1=25组,是第19号数.1至24组共有分数 1+2+3+…+24=22524⨯=300(个). 所以197在原数列中是第300+19=319项.9. 注意到第一列是完全平方数: 1,4,9,16,25,….按(1),(2,3,4),(5,6,7,8,9),…分组,则200在196与225之间,属第15组,倒数第4个数,在第4行、第15列上.第10行第10个数是位于第10行第10列上的数91.10. 写出前面几个数字:198928688428688428…,1989后面的六位数字出现循环.(1989-4)÷6=330…5,所以第1989位数字是8.11. 1989÷8=248…5,所以1989前添的是“-”号.观察到,从第3个数起,每8个数之和为0:3+4-5-6-7-8+9+10=0,11+12-13-14-15-16+17+18=0,…………………………(1989-2)÷8=248…3,所以,这个算式的结果是:1+2+1987+1988-1989=1989.12. 1到9有9个数字,10到19有20个数字,第10个三位数是192.13. (1)所有自然数按自右上至左下以斜线分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),…,第n 组第1号数是第一行的第n 个数.从第1组到第(n -1)组有:1+2+3+…+(n -1)=2)1(n n ⨯- 个数,从而第n 组第1号数是2)1(n n ⨯-+1.因此,第1行第8个数是287⨯+1=29.(2)一般地,自上至下第m 行,自左至右第n 列上的数在第(m +n -1)组中,第五行第六列上的数在第10组中,第10组第1号数是2109⨯+1=46,第10组在第五行的数是46+5-1=50.(3)19×20=380,20×21=420,故200在第20组中,第20组第一个数是 22019⨯+1=191,因此数200在第10行第11列的位置上.14. (1)数100之前有数字9+2×90=189(个),所以数100的个位上的“0”在B 中是第189+3=192个数.(2)B 中第9+2×40=89个数是A 中数49的“9”:4950515253545556…, B 中第100个数是A 中数55的十位数上的“5”.(3)到B 的第100个数为止,数字“3”一共出现了1+1+1+11+1+1=16(次).(4)B 中前100个数字之和为(1+2+…+9)×5+10×(1+2+3+4)+6×5+(0+1+2+3+4)=225+100+30+10=365.。
