广东省中山一中2014届高考数学热身试题 理 新人教A版

U AB图1图22013～2014学年度 高三第二次联考理 科 数 学命题人: 宝安中学 胡士军 南海中学 钱耀周★祝同学们考试顺利★本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ,集合{}09,A x x x =<<∈R 和{}44,B x x x =-<<∈Z关系的韦恩图如图1所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( ) A ．3个 B ．4个C ．5个D ．无穷多个2. 若复数()()2321iaa a -++-是纯虚数,则实数a 的值为( ) A ．2B ．1C ．2-D ．1或23. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,420S =,则该数列的公差d =( )A ．2B ．3C ．6D ．74. 已知抛物线22y px =(0p >)的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( )A ．12 B ．1 C ．2 D ．45. 如图2,矩形长为6,宽为4,在矩形内随机地撒300颗黄豆,数得落 在椭圆外的黄豆数为96颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的 面积约为( )A ．16.32 B. 15.32宝安中学 潮阳一中 桂城中学南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学2 3 1 正视图侧视图图3C ．8.68 D. 7.686. 已知平面α、β和直线m ,给出条件:①//m α；②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；⑤//αβ.能推导出//m β的是( )A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤7. 若变量,x y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则35z x y =+的取值范围是( )A ．(],9-∞B ．[)3,+∞C ．[]8,9-D ．[]8,3-8. 对任意实数,x y ,定义运算x y ax by cxy ⊗=++,其中,,a b c 是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算.已知123⊗=,234⊗=,并且有一个非零常数m ,使得x ∀∈R ,都有x m x ⊗=,则34⊗的值是( )A. 4-B. 4C. 3-D.3二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分） (一)必做题(9～13题)9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图3所示(均为直角三角形),则 该三棱锥的俯视图的面积为 .10.二项式5的展开式中常数项为_______. 11．不等式215x x ++-≤的解集为___________．12. 已知函数()cos ,01,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩,则()22d f x x π-⎰的值等于 .13. 已知ABC ∆的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,且120c b B ===︒,则ABC ∆的面积等于________.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）图4 14.(坐标系与参数方程选做题)若直线πsin 4ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭与直线31x ky +=垂直,则常数k = ．15.(几何证明选讲选做题)如图4,在ABC ∆中,//DE BC ,//EF CD , 若3BC =,2DE =,1DF =,则AB 的长为________．三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．(本题满分12分)设函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω,R ∈x ． (Ⅰ) 若21＝ω,求)(x f 的最大值及相应的x 的取值集合； （Ⅱ）若8π=x 是)(x f 的一个零点,且100<<ω,求ω的值和)(x f 的最小正周期.17．(本题满分12分)某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下:现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测.（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望.图5PABCDEF18.(本题满分14分)如图5,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,且PA PD AD ==,E 、F 分别为PC 、BD 的中点.(Ⅰ) 求证://EF 平面PAD ； (Ⅱ) 求证:面PAB ⊥平面PDC ；(Ⅲ) 在线段AB 上是否存在点G ,使得二面角C PD G --的余弦值为13?说明理由.19.(本题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且有111,1n n a S a +=+=(*n ∈N ).(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项n a ；(Ⅱ) 若n n a nb 4=,求数列{}n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）是否存在最小正整数m ,使得不等式()121nk k kk m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,若存在,求出m 的值；若不存在,说明理由.20.(本题满分14分)已知定点()11,0F -,()21,0F ,动点(),P x y ,且满足1122,,PF F F PF 成等差数列.(Ⅰ) 求点P 的轨迹1C 的方程； (Ⅱ) 若曲线2C 的方程为()()22222x t y t t -+=+(0t <≤),过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切,求直线l 被曲线1C 截得的线段长的最小值.21.(本题满分14分)已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a ∈R ).(Ⅰ) 若0x =为()f x 的极值点,求a 的值；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； (Ⅲ) 若函数()f x 在区间()1,2上单调递增,求实数a 的取值范围.2013～2014学年度 高三第二次联考理 科 数 学 参考答案与评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分宝安中学 潮阳一中 桂城中学南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9．1； 10．40； 11．[]3,2-； 12．3；； 14．3-； 15.92三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．【解析】(Ⅰ)xx x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+= (2)分当21＝ω时,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42sin 22cos 2sin )(πx x x x f ＝－， 而142sin 1≤⎪⎭⎫⎝⎛π-≤-x ,所以)(x f 的最大值为2, …………………………4分 此时π+π=π-k x 2242,k ∈Z ,即π+π=k x 423,Z ∈k , 相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x . …………………………6分（Ⅱ）依题意48sin 8=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππωf ,即π=π-πk 48ω,Z ∈k ,…………………………8分 整理,得28+=k ω, …………………………9分又100<<ω,所以10280<+<k ,141<<-k , …………………………10分 而Z ∈k ,所以0=k ,2=ω,所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ,)(x f 的最小正周期为π.…………12分17.【解析】(Ⅰ)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为()()35:222:1++=， (1)分所以,从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．…………2分设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ，则113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528．………4分（Ⅱ）X 的所有可能取值为0,1,2,3,且 ………5分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅，yxC 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………9分所以,X50123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………12分 18.【解析】(Ⅰ)证明:连结AC BD F =,ABCD 为正方形,F 为AC 中点,E 为PC 中点.所以在CPA ∆中,EF //PA .……2分又PA ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD , 所以//EF 平面PAD ……………3分(Ⅱ)证明:因为平面PAD ⊥平面ABCD , 平面PAD 面ABCD AD =ABCD 为正方形,CD AD ⊥,CD ⊂平面ABCD ,所以CD ⊥平面PAD . ……………4分又PA ⊂平面PAD ,所以CD PA ⊥.又PA PD AD ==,所以PAD ∆是等腰直角三角形,且2APD π∠=,即PA PD ⊥.………5分又CD PD D =,且CD 、PD ⊂面PDC ,所以PA ⊥面PDC .………6分 又PA ⊂面PAB , 所以面PAB ⊥面PDC ……………………7分(Ⅲ) 如图,取AD 的中点O ,连结OP ,OF ,因为PA PD =,所以PO AD ⊥.又侧面PAD ⊥底面ABCD ,平面PAD 平面ABCD AD =, 所以PO ⊥平面ABCD ,而,O F 分别为,AD BD 的中点,所以//OF AB ,又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥,以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz-如图所示, ……………………………………………8分 则有(1,0,0)A ,()1,2,0C -,(0,1,0)F ,(1,0,0)D -,(0,0,1)P , (9)分若在AB 上存在点,G 使得二面角C PD G --的余弦值为13,连结,PG DG ,设(1,,0)(02)G a a ≤≤,则(1,0,1),(2,,0)DP GD a ==--,由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(1,0,1)PA =-,………………10分设平面PGD 的法向量为(,,)n x y z =.则00n DP n GD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即020x z x ay +=⎧⎨--=⎩,解得………………10分22a z y a x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩令2y =-,得(),2,n a a =--,……………………………………………………………………11分所以1cos ,32n PA n PA n PA⋅<>===,解得12a =(舍去12-).………………13分所以,在线段AB 上存在点11,,02G ⎛⎫ ⎪⎝⎭(此时14AG AB=),使得二面角C PD G --的余弦值为13.…14分19.【解析】(Ⅰ) 当1n =时,211112a S a =+=+=；……………………………1分当2n ≥时,11n n S a ++=,11n n S a -+=,相减得12n n a a +=……………………………2分又212a a =, 所以{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以12-=n n a ……………………4分(Ⅱ) 由(Ⅰ) 知12-=n n a ,所以112244+-=⋅==n n n n n n a n b所以23411232222n n n T +=++++ 12n T = 34121212222n n n n ++-++++ 两式相减得2341211111222222n n n n T ++=++++-=2221111222122212n n n n n ++⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=--,所以1212n n n T ++=-(或写成11122n n n T ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭,11122n n n n T +=--均可给至8分) …………8分（Ⅲ）()()()11221211211121122k kk k k k k k k S T k k ++++==+⋅++⎛⎫⎛⎫-⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111211221212121k k k k k +++⎛⎫==-⎪---⋅-⎝⎭ …………11分所以()1111211122121212121nnk k n k k k k k S T k ++==+⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⋅++---⎝⎭⎝⎭∑∑若不等式()121nk k k k m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立,则2≥m ，所以存在最小正整数2m =,使不等式()121nk k kk m S T k =+<⋅++∑对任意正整数n 恒成立…………14分 20.【解析】(Ⅰ)由()11,0F -,()21,0F ,421=+PF PF 12F F >…………………1分根据椭圆定义知P 的轨迹为以21,F F 为焦点的椭圆,其长轴42=a ,焦距22=c ,短半轴322=-=c a b ,故1C 的方程为13422=+y x . ……4分(Ⅱ)设l :()2y k x =+,由过点()0,2-A 的直线l 与曲线2C 相切得()()2122+=++t t k t k ,化简得⎥⎦⎤⎝⎛∈+=220,12，t k kt (注:本处也可由几何意义求k 与t 的关系)…………6分 由0t <=≤,解得201k <≤…………7分联立()⎪⎩⎪⎨⎧=++=134222y x x k y ,消去y 整理得()0121616342222=-+++k x k x k ,…………………8分直线l 被曲线1C 截得的线段一端点为()0,2-A ,设另一端点为B,解方程可得()22224312,4343k k B k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭,所以AB==……………………11分(注：本处也可由弦长公式结合韦达定理求得)令n k =+12,则21212,1414nAB n n n n==∈--,考查函数n n y 14-=的性质知n n y 14-=在区间上是增函数,所以n =时,nn y 14-=取最大值,从而min AB ==. ……………… 14分21.(本题满分14分)已知函数()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦(其中a ∈R ).(Ⅰ) 若0x =为()f x 的极值点,求a 的值；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭； (Ⅲ) 若函数()f x 在区间()1,2上单调递增,求实数a的取值范围.【解析】(Ⅰ)因为()()()22211xf x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦所以()()()()()22222221111x x xf x a x a e a x a x aa e a x⎡⎤⎡⎤⎡⎤'=+-++-+--=+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦…2分因为0x =为()f x 的极值点,所以由()000f ae '==,解得0a =……………3分检验,当0a =时,()xf x xe '=,当0x <时,()0f x '<,当x >时,()0f x '>.所以0x =为()f x 的极值点,故0a =.……………4分(Ⅱ)当a =时,不等式()()21112f x x x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭,整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++>⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩…6分令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭,()()()1x h x g x e x '==-+,()1xh x e '=-,当0x >时,()10x h x e '=->；当0x <时,()10x h x e '=-<,所以()h x 在(),0-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增,所以()()00h x h >=,即()0g x '>,所以()g x 在R 上单调递增,而()00g =；故211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭,所以原不等式的解集为{}01x x x <>或；………………………………………………………………9分(Ⅲ) 当0a ≥时,()()221x f x ax a x a e ⎡⎤'=+++⋅⎣⎦因为()1,2x ∈,所以()0f x '>,所以()f x 在()1,2上是增函数. (11)分当0a <时,()()1xf x a x a x e a ⎛⎫'=++⋅ ⎪⎝⎭, ()1,2x ∈时,()f x 是增函数,()0f x '>. ① 若1a <-,则()()110,x f x a x a x e x a a a ⎛⎫⎛⎫'=++>⇒∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()11,2,a a ⎛⎫⊆-- ⎪⎝⎭得2a ≤-；② 若10a -<<,则()()110,x f x a x a x e x a a a ⎛⎫⎛⎫'=++⋅>⇒∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由()11,2,a a ⎛⎫⊆-- ⎪⎝⎭得102a -≤<.③ 若1a =-,()()210x f x x e '=--⋅≤,不合题意,舍去. 综上可得,实数a 的取值范围是(]1,2,2⎡⎫-∞--+∞⎪⎢⎣⎭ ………………………………………14分 (亦可用参变分离或者图像求解).。

广东省中山一中2014届高三高考热身文科数学试题本试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。

从考生的反映看，试题难度适中，最后两道大题考查深入，有较好的梯度和区分度；坚持重点内容重点考，考潜能，考数学应用，在“知识的交汇处命题”有新的突破，反映了新课程的理念，试卷注重对常规数学思想方法以及通性、通法的考查，注重认识能力的考查，注重创新意识，稳中求新，新中求活，活中凸显能力。

注重综合性、应用性、探索性、开放性等能力型题目的考查，充分体现了能力立意，在考查学生数学基础知识、数学思想和方法的基础上，以逻辑思维能力为核心，同时考查了学生的学习能力、运算能力、空间想像能力、应用能力、探究能力、分析和解决问题的能力和创新能力，同时加强对思维品质的考查。

试卷在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。

2014．5本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟.参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数()1(R)z a a i a =++∈是纯虚数，则2z 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．iD ． i -【知识点】复数是纯虚数的条件，复数的乘法运算。

【答案解析】B 解析 ：解：因为复数()1(R)z a a i a =++∈是纯虚数，所以010a a =⎧⎨+≠⎩所以z i =，所以21z =-,所以选B 。

【思路点拨】根据复数是纯虚数的条件，求得a=0，从而z i =，所以21z =-。

2. 已知全集R U =，2{20}A x x x =--<，}0{≥=x x B ，则=B A Y （ ）A ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x【知识点】一元二次不等式的解法，集合运算。

2014年广东省中山市高考数学模拟试卷（四）（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.已知集合M={x∈R|x2+2x-3≤0}，N={x∈R|x+1＜0}，那么M∩N=（）A.{-1，0，1}B.{-3，-2，-1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-3≤x＜-1}【答案】D【解析】解：由M中的不等式变形得：（x-1）（x+3）≤0，解得：-3≤x≤1，即M={x|-3≤x≤1}，由N中的不等式解得：x＜-1，即B={x|x＜-1}，则M∩N={x|-3≤x＜-1}．故选D分别求出M与N中不等式的解集确定出两集合，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.复数=（）A. B. C.- D.-【答案】C【解析】解：=．故选：C．把分子分母同时乘以1+i，直接利用复数的除法运算求解．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础的计算题．3.已知向量=（x，1），=（4，x），则“x=2”是“∥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：∵∥，向量=（x，1），=（4，x），∴x2-4=0，即x=±2，根据充分必要条件的定义可判断：“x=2”是“∥”的充分不必要条件，故选：A根据∥，条件，得出x=±2，根据充分必要条件的定义可判断．本题考查向量与充分必要条件的定义，属于中档题．4.已知等比数列{a n}前n项和为S n且S5=2，S10=6，则a16+a17+a18+a19+a20等于（）A.12B.16C.32D.54【答案】B【解析】解：∵S5=2，S10=6，∴a6+a7+a8+a9+a10=6-2=4，∵a1+a2+a3+a4+a5=2，∴q5=2，∴a16+a17+a18+a19+a20=（a1+a2+a3+a4+a5）q15=2×23=16，故选B．根据题目所给的条件可知，第六项到第十项的和是4，再与前五项的值相比，得到公比的五次方，要求的结果可以有前五项乘以公比的15次方得到．等比数列可以通过每隔相同个数的项取一个构造新数列，构造出一个新的等比数列数列，从而求出数列的通项公式．这类问题考查学生的灵活性，考查学生分析问题及运用知识解决问题的能力．5.执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的x的值为（）A.3B.126C.127D.128【答案】C【解析】解：当输出的x=2时，执行循环体后，x=3，不满足退出循环的条件，当x=3时，执行循环体后，x=7，不满足退出循环的条件，当x=7时，执行循环体后，x=127，满足退出循环的条件，故输出的x值为127故选：C分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算x值并输出，模拟程序的运行过程，即可得到答案．本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，模拟程序的运行过程是解答此类问题最常用的办法．6.在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内（阴影部分）的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，∴正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为=，故选B．欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．7.用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A.324B.328C.360D.648【答案】B【解析】解：由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点P在对角线BD1上，过点P作垂直于BD1的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设BP=x，则当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为（）A.[2，6]B.[2，18]C.[3，18]D.[3，6]【答案】D【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，∴正方体的对角线长为6，∵x∈[1，5]，∴x=1或5时，三角形的周长最小，设截面正三角形的边长为t，则由等体积可得，∴t=，∴y min=；x=2或4时，三角形的周长最大，截面正三角形的边长为2，∴y max=6．∴当x∈[1，5]时，函数y=f（x）的值域为[3，6]．故选D．求出正方体的对角线长，根据x∈[1，5]，可得x=1或5时，三角形的周长最小；x=2或4时，三角形的周长最大，从而可得结论．本题考查正方体的截面问题，考查学生分析解决问题的能力，确定三角形周长取最大、最小时的位置是关键．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.已知（1+2x）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则a1-2a2+3a3-4a4= ______ ．【答案】-8【解析】解：对二项式的展开式求导得到8（1+2x）3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3令x=-1得到-8═a1-2a2+3a3-4a4故答案为-8．先对二项展开式求导函数，对求导后的式子中的x赋值-1，求出代数式的值．本题考查复合函数的求导法则、利用赋值法解决代数式的系数和问题．10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=6，c=4，cos B=，则b= ______ ．【答案】6【解析】解：∵a=6，c=4，cos B=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos B=36+16-16=36，则b=6．故答案为：6利用余弦定理列出关系式，将a，c，cos B的值代入即可求出b的值．此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．11.若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为______ ．【答案】4【解析】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z过C（1，3）时，目标函数有最大值，为z=1+3=4．故答案为：4．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．12.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P作PE⊥l，若直线EF的倾斜角为120°，则|PF|= ______ ．【答案】4【解析】解：由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=-1．∵直线EF的倾斜角为120°，∴k l=tan120°=-．∴直线EF的方程为：y=-（x-1），联立，解得y=2．∴E（-1，2）．∵PE⊥l于E，∴y P=2，代入抛物线的方程可得=4x p，解得x P=3．∴|PF|=|PE|=x P+1=4．故答案为：4．由抛物线y2=4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x=-1．由直线EF的倾斜角为120°，可得k l=tan120°=-．进而得到直线EF的方程为：y=-（x-1），与抛物线方程联立，可得解得y E．由于PE⊥l于E，可得y P=y E，代入抛物线的方程可解得x P．再利用|PF|=|PE|=x P+1即可得出．本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．13.所有真约数（除本身之外的正约数）的和等于它本身的正整数叫做完全数．如：6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+8+16+31+62+124+248．已经证明：若2n-1是质数，则2n-1（2n-1）是完全数，n∈N*．请写出一个四位完全数______ ；又6=2×3，所以6的所有正约数之和可表示为（1+2）•（1+3）；28=22×7，所以28的所有正约数之和可表示为（1+2+22）•（1+7）；按此规律，496的所有正约数之和可表示为______ ．【答案】8128；（1+2+22+23+24）•（1+31）【解析】解：∵2n-1是质数，2n-1（2n-1）是完全数，∴令n=7，可得一个四位完全数为64×（127-1）=8128；∵496=24×31，∴496的所有正约数之和可表示为（1+2+22+23+24）•（1+31）．故答案为：8128；（1+2+22+23+24）•（1+31）．利用2n-1是质数，2n-1（2n-1）是完全数，令n=7，可得结论；由496=24×31，可得496的所有正约数之和．本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．14.在平面直角坐标系x O y中，已知直线l的参数方程为（参数t∈R），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立相应的极坐标系．在此极坐标系中，若圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，则圆心C到直线l的距离为______ ．【答案】【解析】解：直线l的参数方程为（参数t∈R），即x+y-3=0，∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴圆C的普通方程为x2+y2=4x，（x-2）2+y2=4，故圆心（2，0），则圆心C到直线l的距离为=，故答案为．把直线的参数方程化为普通方程，再把圆C的极坐标方程化为普通方程，求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求出圆心C到直线l的距离．本题考查把参数方程、极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想．15.如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD 并延长交⊙O于点E，若PA=2，∠APB=30°，则AE= ______ ．【答案】【解析】解：连接OA，过O作OF⊥AE，过A作AM⊥PC，如图所示，∵PA为圆O的切线，∴∠PAO=90°，又PA=2，∠APB=30°，∴∠AOD=120°，∴OA=PA tan30°=2×=2，又D为OC中点，故OD=1，根据余弦定理得：AD2=OA2+OD2-2OA•OD cos∠AOD=4+1+2=7，解得：AD=，∵在R t△APM中，∠APM=30°，且AP=2，∴AM=AP=，故三角形AOD的面积S=OD•AM=，则S=AD•OF=OF=，∴OF=，在R t△AOF中，根据勾股定理得：AF==，则AE=2AF=．故答案为：连接OA，由AP为圆的切线，得到∠PAO=90°，过A作AM垂直于AC，过O作OF 垂直于AE，根据垂径定理得到F为AE的中点，在直角三角形APO中，由AP的长及∠APO的度数，利用正切函数定义及特殊角的三角函数值求出半径OA的长，由D为OC的中点，可求出OD的长，同时得到∠AOD的度数，在三角形AOD中，根据余弦定理求出AD的长，再由OD及边上的高AM求出三角形AOD的面积，此三角形的面积还可以用AD及边上的高OF表示，进而求出OF的长，在直角三角形AOF中，由OA和OF的长，利用勾股定理求出AF的长，进而求出AE的长．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有锐角三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，以及垂径定理，利用了数形结合的思想，直线与圆相切时，常常连接圆心与切点，构造直角三角形解决问题，直线与圆相交时，常常由弦心距，弦的一半及圆的半径构造直角三角形解决问题，学生做此类题应注意辅助线的作法．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x+1．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）求函数在[-，]上的最小值，并写出取最小值时相应的x值．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=2sinxcosx+cos2x+1=sin2x+cos2x+1=1+2sin（2x），令2k，解得，k≤x≤k，所以函数f（x）的单调递增区间为[k，k]（k∈Z）．（Ⅱ）因为≤x≤，则-，即有-，即有0≤1+2sin（2x）≤3，所以当2x=-，即x=-时，函数f（x）取得最小值0．【解析】（Ⅰ）运用二倍角的正弦公式，两角和的正弦公式，即可得到f（x），再由正弦函数的单调增区间，解不等式即可得到；（Ⅱ）由x的范围，求得2x的范围，再由正弦函数的性质，即可得到最小值．本题考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的单调性和值域的运用，考查运算能力，属于中档题．17.北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成绩满分为100分，规定测试成绩在[85，100]之间为体质优秀；在[75，85]之间为体质良好；在[60，75]之间为体质合格；在[0，60]之间为体质不合格．现从某校高三年级的300名学生中随机抽取X名学生体质健康测试成绩，其茎叶图如下：（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）根据以上X名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，从体质为优秀和良好的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选出3人．（ⅰ）求在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率；（ⅱ）记X为在选出的X名学生中体质为良好的人数，求X的分布列及数学期望．【答案】解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学生人数有人．（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为15：10=3：2．所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为，从体质为优秀的学生中抽取的人数为．（ⅰ）设“在选出的3名学生中至少有名体质为优秀”为事件A，则．故在选出的3名学生中至少有1名体质为优秀的概率为．（ⅱ）解：随机变量X的所有取值为1，2，3.，，．所以，随机变量X的分布列为：．【解析】（Ⅰ）根据抽样的定义和条件即可估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；（Ⅱ）求出随机变量的分布列以及数学期望公式进行计算即可．本题主要考查茎叶图的应用以及随机变量的分布列和数学期望的计算，考查学生的计算能力．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；（Ⅲ）在线段AB上是否存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求出AF的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD．…（1分）取AD的中点G，连结GC，因为底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，且AB=BC=1，所以四边形ABCG为正方形，所以CG⊥AD，且，所以∠ACD=90°，即AC⊥CD．…（3分）又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．…（4分）（Ⅱ）解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz．…（5分）则A（0，0，0），C（1，1，0），E（0，1，1），P（0，0，2），所以，，，，，，，，．因为PA⊥平面ABCD，所以，，为平面ACD的一个法向量．…（6分）设平面EAC的法向量为，，，由，得，令x=1，则y=-1，z=1，所以，，是平面EAC的一个法向量．…（8分）所以＜，＞因为二面角E-AC-D为锐角，所以二面角E-AC-D的余弦值为．…（9分）（Ⅲ）解：假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．设F（a，0，0），则，，，，，．设平面PCF的法向量为，，，由，得，令x=1，则y=a-1，，所以，，是平面PCF的一个法向量．…（12分）因为AE∥平面PCF，所以，即，…（13分）解得，所以在线段AB上存在一点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF，且．…（14分）【解析】（Ⅰ）取AD的中点G，连结GC，证明PA⊥CD，AC⊥CD，利用线面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAC；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面ACD、平面EAC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角E-AC-D的余弦值；（Ⅲ）假设在线段AB上存在点F（不与A，B两点重合），使得AE∥平面PCF．设F（a，0，0），求出，，是平面PCF的一个法向量，根据AE∥平面PCF，可得，即，从而可得结论．本题考查线面垂直的判定，考查面面角，考查线面平行，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求出平面的法向量是关键．19.已知函数f（x）=e x-ax（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=0处取得极小值，不等式f（x）＜mx的解集为P，若，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=e x-2x，f（0）=1，f′（x）=e x-2，得f′（0）=-1，所以曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1．（Ⅱ）f′（x）=e x-a．当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，此时f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；当a＞0时，x∈（-∞，lna）时，f′（x）＜0，x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）的单调递增区间为（lna，+∞），单调递减区间为（-∞，lna）．（Ⅲ）由函数f（x）在x=0处取得极小值，则f′（0）=0得a=1，经检验此时f（x）在x=0处取得极小值．因为M∩P≠∅，所以f（x）＜mx在，上有解，即，使f（x）＜mx成立，即，使＞成立，所以＞．令，′，所以g（x）在，上单调递减，在[1，2]上单调递增，则g（x）min=g（1）=e-1，所以m∈（e-1，+∞）．【解析】（Ⅰ）a=2时，f（x）=e x-2x，f（0）=1，f′（x）=e x-2，得f′（0）=-1，由此能求出曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程．（Ⅱ）由函数f（x）=e x-ax得到f′（x）=e x-a，由此根据a的取值范围进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（Ⅲ）由题意知，f′（0）=0，再由M∩P≠∅，得到不等式f（x）＜mx在，上有解，分离参数，求得函数最值，即可得到实数m的取值范围．本题考查函数的切线方程的求法，考查函数的单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．20.已知圆（x+1）2+y2=8的圆心为M，N（t，0），t＞0且t≠2-1，设Q为圆上任一点，线段QN的垂直平分线交直线MQ于点P．（1）试讨论动点P的轨迹类型；（2）当t=1时，设动点P的轨迹为曲线C，过C上任一点P作直线l，l与曲线C有且只有一个交点，l与圆M交于点AB，若△ABN的面积是，求直线l的方程．【答案】解：（1）由题|PN|=|PQ|，当＜＜时，点N在圆M内，点P在线段MQ内，∴＞∴动点P的轨迹是以M，N为焦点，为长轴的椭圆，…2分当＞时，点N在圆M外，点P在线段MQ的延长线上，∴＜∴动点P的轨迹是以M，N为焦点，为实轴长的双曲线．…5分（2）由（1）知t=1时，动点P的轨迹是以M（-1，0），N（1，0）为焦点，为长轴长的椭圆∴，，∴b=1∴曲线C的方程是…6分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m由消y并整理成（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0（*）∵l与曲线C有且只有一个交点，∴（*）方程有且只有一个实数解，∴△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-2）=0，即有m2=1+2k2…7分∵圆心M（-1，0）到直线l的距离为，∴弦长，…9分点N（1，0）到直线l的距离为，∴△ABN的面积为，∴S====，∵△ABN的面积是，∴=，解得得2mk=3+k2∴4m2k2=（3+k2）2⇒4（1+2k2）k2=9+6k2+k4⇒（k2+1）（7k2-9）=0∴，当时，代入2mk=3+k2得当时，代入2mk=3+k2得…12分当直线的斜率不存在时，直线l方程为或经检验不满足条件综上所求直线方程为或．…13分．【解析】（1）由题|PN|=|PQ|，当＜＜时，动点P的轨迹是以M，N为焦点，为长轴的椭圆；当＞时，动点P的轨迹是以M，N为焦点，为实轴长的双曲线．（2）t=1时，曲线C的方程是，设直线l的方程为y=kx+m，由消，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，由此利用圆心M（-1，0）到直线l的距离、弦长公式结合已知条件能求出直线l的方程．本题考查点的轨迹类型的讨论，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和弦长公式的合理运用．21.已知数列{a n}、{b n}满足：a1=，a n+b n=1，b n+1=．（Ⅰ）求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）设C n=，求证数列{C n}是等差数列，并求b n的通项公式；（Ⅲ）设S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，不等式4a S n＜b n恒成立时，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵a n+b n=1，∴a n=1-b n，∴b n+1==．∵a1=，∴，，，；（Ⅱ）∵，∴，∴数列{C n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，∴c n=-4+（n-1）（-1）=-n-3．于是，；（Ⅲ），S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1==．∴4a S n-b n=．由条件可知（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立即可满足条件，设f（n）=（a-1）n2+（3a-6）n-8．当a=1时，f（n）=-3n-8＜0恒成立，当a＞1时，由二次函数的性质知不可能成立，当a＜1时，对称轴＜，f（n）在（1，+∞）为单调递减函数．则f（1）=（a-1）n2+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，∴＜，∴a≤1时，4a S n＜b n恒成立．【解析】（Ⅰ）直接由数列递推式求b1，b2，b3，b4；（Ⅱ）把数列递推式变形，得到数列{C n}是以-4为首项，-1为公差的等差数列，求得数列{C n}的通项公式后代入C n=求b n的通项公式；（Ⅲ）求出数列{a n}的通项公式，代入S n=a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1利用裂项相消法求出S n，把不等式4a S n＜b n恒成立转化为（a-1）n2+（3a-6）n-8＜0恒成立，构造二次函数后分离参数n得答案．本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，考查了数列的函数特性，是中档题．。

2014年广东省中山一中高考数学热身试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共8小题，共40.0分)1.设集合M={x|x2+x-6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）A.[1，2）B.[1，2]C.（2，3]D.[2，3]【答案】A【解析】解：∵M={x|x2+x-6＜0}={x|-3＜x＜2}=（-3，2），N={x|1≤x≤3}=[1，3]，∴M∩N=[1，2）故选A根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．本题考查的知识点是交集及其运算，求出集合M，N并画出区间的形式，是解答本题的关键．2.复数z=（1+i）2的实部是（）A.1B.0C.-1D.2【答案】B【解析】解：复数z=（1+i）2=2i，则实部为0，故选：B根据复数的基本运算，进行化简即可得到结论．本题主要考查复数的基本运算，比较基础．3.已知f（x）是定义在R上的函数，命题p：f（x）满足∀x∈R，f（-x）=-f（x），命题q：f（0）=0，则命题p是命题q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：若f（x）满足∀x∈R，f（-x）=-f（x），则当x=0时，则f（0）=-f（0），即f（0）=0，函数f（x）=x2，满足f（0）=0，但函数f（x）=x2，为偶函数，不满足条件f（-x）=-f （x），即命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A根据充分条件和必要条件的定义，结合函数奇偶性的定义即可得到结论．键，比较基础．4.已知，，，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A.-B.C.-D.【答案】A【解析】解：∵已知，，，，向量与垂直，∴（）•（）=0，即：（-3λ-1，2λ）•（-1，2）=0，∴3λ+1+4λ=0，∴λ=-．故选A．先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得3λ+1+4λ=0，是解题的关键．5.已知点F是抛物线y2=4x焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN中点到准线距离为（）A. B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点∴F（1，0），准线方程x=-1，设M（x1，y1），N（x2，y2）∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，解得x1+x2=4，∴线段AB的中点横坐标为2，∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为2+1=3．故选：C．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．6.已知l是直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是（）A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若α⊥β，l∥α，则l⊥βC.若l⊥α，l∥β，则α⊥βD.若l∥α，α∥β，则l∥β【答案】C【解析】C．若l⊥α，l∥β，则过l作平面γ，设γ∩β=c，则l∥c，故c⊥α，c⊂β，故α⊥β，即C正确；D．若l∥α，α∥β，则l⊂β，或l∥β，故D错．故选：C．根据线面平行的性质，结合面面位置关系即可判断A；由线面平行的性质和面面垂直的性质，即可判断B；由线面平行的性质定理和线面垂直的性质，结合面面垂直的判定定理，即可判断C；由线面平行的性质和面面平行的性质，即可判断D．本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查线面平行与垂直的判定和性质、面面平行与垂直的判断和性质，熟记这些是迅速解题的关键．7.设ω＞0，函数y=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A. B. C.3 D.【答案】B【解析】解：∵函数y=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈z∴ω=n×，n∈z又ω＞0，故其最小值是．故选：B．函数y=sin（ωx+）的图象向右平移个单位后与原图象重合可判断出是周期的整数倍，由此求出ω的表达式，判断出它的最小值．本题考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，解题的关键是判断出函数图象的特征及此特征与解析式中系数的关系，由此得出关于参数的方程求出参数的值，本题重点是判断出是周期的整数倍．8.非空集合G关于运算⊕满足：（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G；（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a；（3）对任意的a，b，c∈G，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：①G={非负整数}，⊕为整数的加法．②G={奇数}，⊕为整数的乘法．③G={平面向量}，⊕为平面向量的数量积．④G={二次三项式}，⊕为多项式加法．⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．其中G关于运算⊕为“融洽集”的是（）A.①④⑤B.①②C.①②③⑤D.②③⑤【答案】解：∵对任意两个非负整数，和仍为非负整数，满足（1），且对于非负整数0，任何非负整数加0等于0加这个数，等于这个数，满足（2），∴①是“融洽集”．∵对任意两个奇数，积仍为奇数，满足（1），且对于奇数1，任何奇数乘1等于1乘这个数，等于这个数，满足（2），∴②是“融洽集”．∵对任意两个平面向量，数量积为数量，不满足（1），∴③不是“融洽集”．∵对任意两个二次项系数相反的二次三项式，和可能不是二次三项式，不满足（1），∴④不是“融洽集”．∵对于虚数i，i×i=-1，不是虚数，不满足（1），∴⑤不是“融洽集”．故G关于运算⊕为“融洽集”的是：①②，故选：B逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件，若两个条件都满足，是“融洽集”，有一个不满足，则不是“融洽集”．本题主要给出新定义，考查学生对集合新定义的理解．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)9.已知变量x，y满足约束条件则2x+y的最小值为______ ．【答案】3【解析】解：画出可行域，由图得当把2x+y=z平移到过直线x-y=0与直线x=1的交点C（1，1）处，目标函数z有最小值为：z=2x+y=2×1+1=3．故答案为：3．由线性约束条件画出可行域，结合图象平移目标函数即可求出目标函数的最小值．本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题．近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．10.在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是______ ．（用数字作答）【答案】15【解析】解：（1+）6展开式的通项为T=C r（）r=C r，∴在x（1+）6的展开式中，含x3项系数是：15．故答案为：15利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2，即可求解含x3的项的系数本题考查二项展开式上通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．11.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若9S5+5S9=90，则S7= ______ ．【答案】7【解析】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，9S5+5S9=90，∴9（5a1+）+5（9a1+d）=90，整理，得a1+3d=1，∴=7（a1+3d）=7．故答案为：7．利用等差数列的前n项和公式直接求解．本题考查等差数列的前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的前n项和公式的合理运用．12.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ ．【答案】【解析】解：由三视图可知改几何体是底部为圆柱，上部为三棱锥的组合体．圆柱的体积V=π×12×1=π三棱锥的体积V==所以该几何体的体积为故答案为：计算能力．13.在[-2，2]上任取一个数，代入三个函数f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x的计算程序，得到y1，y2，y3三个值，接着自动将它们输入下一个程序（对应程序框图如图），则输出的结果为y3的概率是______ ．【答案】【解析】解：根据程序框图，输入a，b，c后，输出的是a，b，c中的最小值，要输出y3，就是在[-2，2]上x在那个范围取值时，f3（x）=的值最小，画出三个函数的图象如图，在[-1，0]和[1，2]上，f3（x）=最小，∴输出的结果为y3的概率是．故答案为：．根据程序框图，输入a，b，c后，输出的是a，b，c中的最小值，因此只要求出在[-2，2]上，x在那个范围取值时，f3（x）=的值最小．通过在同一个坐标系中画出三个函数的图象，观察在各个范围中图象的相对位置求解．本题是程序框图与函数结合的题目，解题的关键是把问题转化成在[-2，2]上，x在那个范围取值时，函数f3（x）=的图象最低．14.（坐标系与参数方程选做题）若P（2，-1）为曲线（0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在直线的倾斜角为______ ．【答案】解：曲线（0≤θ＜2π）的普通方程为（x-1）2+y2=25，表示以A（1，0）为圆心，以5为半径的圆．由题意知，该弦所在直线与PA垂直，故该弦所在直线的斜率等于==1，故该弦所在直线的倾斜角为，故答案为：．把参数方程化为普通方程，求出圆心A的坐标，利用该弦所在直线与PA垂直，斜率之积等于-1求出该弦所在直线的斜率，从而求出该弦所在直线的倾斜角．本题考查把参数方程化为普通方程的方法，直线和圆相交的性质，判断该弦所在直线与PA垂直是解题的关键．15.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB、CD于E、F，且EF∥BC，若AD=12，BC=20，则EF= ______ ．【答案】15【解析】解：∵EF∥AD∥BC，∴△OAD∽△OCB，OA：OC=AD：BC=12：20△OAE∽△CABOE：BC=OA：CA=12：32∴EF==15故答案为：15由已知中EF∥AD∥BC，我们易得到OAD∽△OCB，△OAE∽△CAB，进而我们可以求出AD，EF，BC三条平行线段分线段所成的比例，结合AD=12，BC=20，即可求出答案．本题考查的知识点是平等线分线段成比例定理，其中求出平行线分线段所成的比例是解答本题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.在△ABC中，已知2sin B cos A=sin（A+C）．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若BC=2，△ABC的面积是，求AB．【答案】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∵B∈（0，π），∴sin B＞0，∴cos A=，…（6分）∵A∈（0，π），∴A=；…（7分）（Ⅱ）∵A=，∴cos A=，又BC=2，S△ABC=AB•AC•sin=，即AB•AC=4①，∴由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos A=AB2+AC2-AB•AC，…（9分）∴AB2+AC2=BC2+AB•AC=4+4=8，…（11分）∴（AB+AC）2=AB2+AC2+2AB•AC=8+8=16，即AB+AC=4②，联立①②解得：AB=AC=2，则AB=2．…（13分）【解析】（Ⅰ）由三角形的内角和定理及诱导公式得到sin（A+C）=sin B，代入已知的等式，根据sin B不为0，可得出cos A的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由A的度数求出cos A的值，再由三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积及sin A的值代入求出AB•AC的值，记作①，利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2-2AB•AC•cos A，求出将cos A，BC及AB•AC的值代入，整理后求出AB2+AC2的值，再根据AB•AC的值，利用完全平方公式变形，开方求出AB+AC的值，记作②，联立①②即可求出AB的长．此题考查了余弦定理，诱导公式，三角形的面积公式，完全平方公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17.为了调查我市在校中学生参加体育运动的情况，从中随机抽取了16名男同学和14名女同学，调查发现，男、女同学中分别有12人和6人喜爱运动，其余不喜爱．（1）根据以上数据完成以下2×2列联表：（2）根据列联表的独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与喜爱运动有关？（3）将以上统计结果中的频率视作概率，从我市中学生中随机抽取3人，若其中喜爱运动的人数为ξ，求ξ的分布列和均值．参考数据：解：（1）…（2分）（2）假设：是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得：＜…..（5分）因此，在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关…．（6分）（3）统计结果中喜爱运动的中学生所占的频率为．…..（7分）喜爱运动的人数为ξ的取值分别为：0，1，2，3，则有：…．（10分）喜爱运动的人数为ξ的分布列为：…（11分）因为ξ～，，所以喜爱运动的人数ξ的值为…．（12分）【解析】（1）本题是一个简单的数字的运算，根据a，b，c，d的已知和未知的结果，做出空格处的结果．（2）假设是否喜爱运动与性别无关，由已知数据可求得观测值，把求得的观测值同临界值进行比较，得到在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断喜爱运动与性别有关．（3）喜爱运动的人数为ξ，ξ的取值分别为0，1，2，3，结合变量对应的事件利用等可能事件的概率公式做出概率，写出分布列和期望．本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个综合题，准确的数据运算是解决问题的关键．18.已知数列{a n}为等差数列，且公差不为0，{b n}为等比数列，a1=b1=1，a2=b2，a4=b3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式．（Ⅱ）设c n=n2a n，其前n项和为S n，求证：3≤++…+＜4．（Ⅰ）解：设等差数列的公差为d，则由题意知a2=1+d，a4=1+3d…．（2分）∵{b n}为等比数列，a1=b1=1，a2=b2，a4=b3，∴，即（1+d）2=1+3d…（4分）整理，得d2=d，又d≠0，解得d=1．…（5分）∴a n=1+（n-1）=n．…（6分）（Ⅱ）证明：依题意．（7分）∴S n=c1+c2+…+c n=13+23+…+n3=…．（8分）∴…．（10分）∴＜=＜4…．（12分）∵＞，∴综上所述：＜…..（14分）【解析】（Ⅰ）由题意推导出（1+d）2=1+3d，解得d=1．由此能求出{a n}的通项公式．（Ⅱ）依题意，从而得到S n=，由此利用裂项求和法和放缩法能证明＜．本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式，考查考生分析问题、解决问题的能力．对于第（Ⅰ）问，由已知条件递推关系可求出公差d，进而可求出{a n}，{b n}的通项公式；对于第（Ⅱ）问考察裂项求和法的合理运用．19.木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧．很多古代建筑和家具不用铁钉，保存到现代却依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用；如图，是一个楔子形状的直观图．其底面ABCD为一个矩形，其中AB=6，AD=4．顶部线段EF∥平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=6，EF=2，二面角F-BC-A的余弦值为，设M，N是AD，BC的中点，（1）证明：BC⊥平面EFNM；（2）求平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值．【答案】解：（1）∵EF∥平面ABCD，且EF⊂平面EFAB，如图1又∵平面ABCD∩平面EFAB=AB，∴EF∥AB（线面平行的性质定理）．又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，∴MN∥AB，∴EF∥MN，∴E，F，M，N四点共面．∵FB=FC，∴BC⊥FN，又∴BC⊥MN，且⊂平面⊂平面，∴BC⊥平面EFNM．（2）在平面EFNM内F做MN的垂线，垂足为H，则由第（1）问可知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，所以FH⊥平面ABCD，又因为FN⊥BC，HN⊥BC，则二面角F-BC-A的平面角为∠FNH．在R t△FNB和R t△FNH中，，∠FH=8，过H做边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，连接，FN，FS，FQ，由作图2可知，AB⊥SQ，AB⊥FH⇒AB⊥平面FSQ，由第（1）问，EF∥AB，∴EF⊥平面FSQ，∴∠SFQ是要求二面角B-EF-C的平面角．在△SFQ中，∠∠，∴tan∠SFQ=tan（π-∠FSQ-∠FQS）=∠∠∠∠，∴∠，即二面角B-EF-C的余弦值是．【解析】（1）根据EF∥平面ABCD，且EF⊂平面EFAB，如图1，又平面ABCD∩平面EFAB=AB，根据线面平行的性质定理推断出EF∥AB，又M，N是平行四形ABCD两边AD，BC的中点，推断出MN∥AB，进而可知EF∥MN，推断出E，F，M，N四点共面．根据FB=FC，推断出BC⊥FN，又BC⊥MN，根据线面垂直的判定定理推断出，BC⊥平面EFNM．（2）在平面EFNM内F做MN的垂线，垂足为H，则由第（1）问可知：BC⊥平面EFNM，则平面ABCD⊥平面EFNM，进而可知FH⊥平面ABCD，又因为FN⊥BC，HN⊥BC，可知二面角F-BC-A的平面角为∠FNH．在R t△FNB和R t△FNH中，分别求得FN和HN，过H做边AB，CD的垂线，垂足为S，Q，连接，FN，FS，FQ，由作图2可知，AB⊥SQ，AB⊥FH推断出AB⊥平面FSQ，由第（1）问，EF∥AB进而可知EF⊥平面FSQ，进而可知∠SFQ是要求二面角B-EF-C的平面角．在△SFQ中，求得tan∠FSQ，进而根据两角和与差的正切函数求得tan∠SFQ，则cos∠SFQ．本题主要考查了空间点，线面的位置关系，空间的角和体积的计算．考查学生的空间想象能力和运算能力．新课标对立体几何的教学要求中，特别提到了“感知”空间几何体，本题也是基于这种理念，让大家感知一个生活中实实在在的几何体；立体几何作为传统稳定的版块，要在证明位置关系和角，距离，体积的计算方面练好扎实的基本功外，我们也要注意一些高考新动向，命题给人一种命题者希望稳定推进的过程中对这部分进行的新尝试，因为，毕竟立体几何是几大传统版块中，新教材变动最多的地方之一．20.已知F1（-1，0），F2（1，0），线段PF1=4，线段PF2的垂直平分线与PF1交于Q点，（1）求Q点的轨迹方程；（2）已知点A（-2，0），过点F2且斜率为k（k≠0）的直线l与Q点的轨迹相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3于点M，N，线段MN的中点为P，记直线PF2的斜率为k′．求证：k•k′为定值．【答案】（1）解：已知F1（-1，0），F2（1，0），线段PF1=4，线段PF2的垂直平分线与PF1交于Q点，∵PF1=PQ+QF1，线段PQ=QF2，∴QF1+QF2=PF1=4＞2，∴Q点是以F1、F2的为焦点的椭圆，…（2分）故所求Q点方程为．…（4分）（2）证明：设过点F2（1，0），且斜率为k（k≠0）的直线l方程为y=k（x-1），设点E（x1，y1），点F（x2，y2），…（5分）将直线l方程y=k（x-1）代入椭圆C：，整理得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，…（6分）∵点P在椭圆内，∴直线l和椭圆都相交，△＞0恒成立，且，．…（7分）直线AE的方程为，直线AF的方程为，令x=3，得点，，点，，∴点P的坐，…（9分）直线PF2的斜率为′=-．…（11分）将，代入上式得，′．∴k•k′为定值．…（14分）【解析】（1）根据垂直平分线和椭圆的性质可求出Q点的轨迹方程．（2）先将直线l的方程和椭圆的方程联立，再求出点P的坐标，最后表示出直线PF2的斜率，化简代入，即可得证．本题主要考查了椭圆标准方程的求解，椭圆的基本性质，直线和椭圆的位置关系，考查考生的计算能力和数形结合的数学思想．21.已知函数f（x）=ln，g（x）=，a＞0．（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，求a的值；（2）证明：当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方；（3）当a=1时，设曲线C：h（x）=f（x）-e[1+•g（x）]（e为自然对数的底数），h′（x）表示h（x）的导函数，求证：对于曲线C上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，存在唯一的x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于h′（x0）．【答案】（1）解：∵f（x）=ln，∴f′（x）=，∴f′（1）=1，∵f（1）=ln，∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，∴1-ln-1=0，∴a=1；（2）解：令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-（x＞a＞0），则φ′（x）=-＜0，∴φ（x）在（a，+∞）上单调递减，且φ（a）=0，∴x＞a时，φ（x）＜φ（a）=0，即f（x）＜g（x），∴当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方；（3）证明：由题意，h（x）=lnx-ex，若存在唯一的x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于h′（x0），则-e=，∴x0ln-（x2-x1）=0，设F（x）=xln-（x2-x1），则F（x）是关于x的一次函数，∴只需证明F（x）在（x1，x2）上单调，且满足F（x1）F（x2）＜0．F（x1）=x1ln-（x2-x1），F（x2）=x2ln-（x2-x1），将x1，x2看作自变量，得到两个新函数足F（x1）、F（x2），讨论它们的最值．F（x1）=x1ln-（x2-x1），F′（x1）=ln＞0，函数是增函数，∵x1＜x2，∴F（x1）＜F（x2）=0．同理F（x2）=x2ln-（x2-x1），函数是增函数，∴F（x1）＞F（x2）=0．∴F（x1）F（x2）＜0∴F（x）=xln-（x2-x1）在（x1，x2）上有零点x0，∵＞1，∴ln＞0，∴F（x）=xln-（x2-x1），）在（x1，x2）上是增函数，∴F（x）=xln-（x2-x1）在（x1，x2）上有唯一零点x0，∴对于曲线C上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1＜x2，存在唯一的x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于h′（x0）．【解析】（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（1，f（1））在曲线上，利用方程联立解出a的值；（2）令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-（x＞a＞0），证明φ（x）在（a，+∞）上单调递减，且φ（a）=0，即可得出结论；（3）若存在唯一的x0∈（x1，x2），使直线AB的斜率等于h′（x0），则x0ln-（x2-x1）=0，设F（x）=xln-（x2-x1），则F（x）是关于x的一次函数，只需证明F（x）在（x1，x2）上单调，且满足F（x1）F（x2）＜0．将x1，x2看作自变量，得到两个新函数足F （x1）、F（x2），讨论它们的最值即可．本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数是关键．。

中山市2014届高三数学综合试题（五）理科注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设{}1,2,3,4,5U =-,{}1,5A =-,{}2,4B =,则()UBA =?（ ）A. {2}B. {1,3,4,5}C. {2,3,4}D. {2,4} 2. 复数231ii--（i 是虚数单位）的实部和虚部的和是（ ） A ．4 B ．6 C ．2 D ．33. 已知x 、y 满足0020350x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≤⎪⎪-+≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）5. 已知2(3,log 15)a →=，2(2,log 3)b →=,2(2,log )c m →=,若()a b →-c →,则m 的值为（ ）A ．25B ．C ．10D ．1256. 甲乙等5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1个人，则不同站法有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种7. 曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．2ln 2B ．2ln 2-C ．4ln 2-D ．42ln 2-8.把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，1，4）为12的相同等差分拆．正整数27的不同等差分拆有( )个. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9. 4(1)x -的展开式中2x 的系数是10. 在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B两点，则||AB =11. 已知(,0)2πα∈-，sin α=tan α的值为12.如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是CD 的中点，则AE AB 的值为 13．下列命题：①函数在上是减函数； ②点(1,1),(2,7)A B 在直线两侧；③数列为递减的等差数列，，设数列的前n 项和为，则当时，取得最大值；④若已知回归直线的斜率的估计值和样本点中心，则一定可求出回归直线方程。

广东省中山一中2014届高三数学第二次统测试题 理（含解析）新人教A 版第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,3M =，{}14N x Z x =∈<<，则 （ ）A.N M ⊆B.N M =C.{}2,3M N =ID.()1,4M N =U2.等差数列{}n a 中，“13a a <”是“1n n a a +<”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点：充分必要条件3.化简21sin352sin20-=oo（）A.12B.12- C.1-D.14.已知等比数列{}n a的首项11a=，公比2=q，则=+++1122212logloglog aaaΛ（）A.50B.35C.55D.465.已知平面向量()1,2a=-r，()4,b m=r，且a b⊥r r，则向量53a b-=r r（）A.()7,16-- B.()7,34-- C.()7,4--D.()7,14-【解析】6.命题，:p α∃、R β∈，使()tan tan tan αβαβ+=+；命题:q x R ⌝∀∈，210x x ++≥．则下列命题中真命题为（ ）A.q p ∧B.()p q ⌝∧ C.()()p q ⌝⌝∧D.()p q ⌝∧7.奇函数()f x 满足对任意x R ∈都有()()2f x f x +=-成立，且()18f =，则()2012f +()()20132014f f +的值为（ ）A.2B.4C.6D.8【解析】8.如下图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =u u u r xOA yOB +u u u r u u u r，则 （ ）A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<考点：1.共线的平面向量；2.平面向量的线性表示第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）9.已知等差数列{}n a ，满足31a =，86a =，则此数列的前10项的和10S = .10.在ABC ∆中，=23AB ，=2AC ，=60C o，则BC = .11.已知向量()3,1a =r ，()1,3b =r ，(),7c k =r，若()//a c b -r r r ，则k =___ .【解析】12.若函数()x f 的导函数()342+-='x x x f ，则函数()x f +1的单调减区间是_____ .13.一物体在力()5,0234,2x F x x x ≤≤⎧=⎨+>⎩（单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从0x =处运动到4x = （单位：m ）处，则力()F x 做的功为 焦.14.下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5； ③把函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π得x y 2sin 3=的图象；④函数sin 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在()0,π上是减函数. 其中真命题的序号是 .三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ，且2c =，60C =o .（1）求sin sin a bA B++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆.16.（本小题满分12分）已知向量()cos ,sin a x x =r ，()cos ,cos b x x =-r ，()1,0c =-r（1）若6x π=，求向量a r 、c r的夹角；（2）当9,28x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()21f x a b =⋅+r r 的最大值.17.（本小题满分14分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足：23428a a a ++=，且32a +是2a 、4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.（本小题满分14分）为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：()35kC x x =+（010x ≤≤，k 为常数），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.（1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小，并求最小值.19.（本小题满分14分）已知()214fx x =-+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点11,n n n P a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭在曲线()y f x =上()n N *∈，且11a =，0n a >.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足212211683n nn n T T n n a a ++=+--，11b =，求数列{}n b 的通项公式； （3）求证：14112n S n >+-，n N *∈.20.（本小题满分14分）已知函数()()()212ln f x a x x =---，()1xg x xe-=（a R ∈，e 为自然对数的底数）.（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意的10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x >恒成立，求a 的最小值； （3）若对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的()1,2i x i =，使得()()0i f x g x =成立，求a 的取值范围.所以，对任意2,2ae⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭，有()()00h a h≤=，。

中山市2014届高三数学综合试题（一）理科一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.)1.若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是 A . ()2,4 B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,22. 已知直线,l m 和平面α， 则下列命题正确的是A ．若//,l m m α⊂，则//l αB ．若//,l m αα⊂，则//l mC ．若,l m l α⊥⊥，则//m αD ．若,l m αα⊥⊂，则l m ⊥ 3. 已知,a b 是实数，则”2a >且3b >”是“5a b +>”的（ ）4.，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A.12 B.13 C.14 D.155．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与 俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）A.B .C .2D . 46．已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< , 且 ()2,MN b =,则a b +=A ．6B ．7C ．8D ．97．已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于,M N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A B ．12+ C D ．12+8．将边长为2的等边三角形PAB 沿x 轴滚动，某时刻P 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)P x y 的轨迹方程是()y f x =，关于函数()y f x =有下列说法：①()f x 的值域为[0,2]； ②()f x 是周期函数； ③( 1.9)()(2013)f f f π-<<； ④69()2f x dx π=⎰.其中正确的说法个数为:A.1B.2C.3D. 4二、填空题：(本大题共6小题,每小题5分,满分30分．) （一）必做题（8～13题）9．二项式61(2)x x-的展开式中常数项是 。

广东省中山一中2014届高三高考热身文科数学试题本试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。

从考生的反映看，试题难度适中，最后两道大题考查深入，有较好的梯度和区分度；坚持重点内容重点考，考潜能，考数学应用，在“知识的交汇处命题”有新的突破，反映了新课程的理念，试卷注重对常规数学思想方法以及通性、通法的考查，注重认识能力的考查，注重创新意识，稳中求新，新中求活，活中凸显能力。

注重综合性、应用性、探索性、开放性等能力型题目的考查，充分体现了能力立意，在考查学生数学基础知识、数学思想和方法的基础上，以逻辑思维能力为核心，同时考查了学生的学习能力、运算能力、空间想像能力、应用能力、探究能力、分析和解决问题的能力和创新能力，同时加强对思维品质的考查。

试卷在考查基础知识的同时，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查。

2014．5本试卷共4页，21小题， 满分150分. 考试用时120分钟. 参考公式： 锥体的体积公式是13V Sh =, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数()1(R)z a a ia =++∈是纯虚数，则2z 的值为（ ）A ．0B ．1-C ．iD ． i - 【知识点】复数是纯虚数的条件，复数的乘法运算。

【答案解析】B 解析 ：解：因为复数()1(R)z a a i a =++∈是纯虚数，所以010a a =⎧⎨+≠⎩所以z i =，所以21z =-,所以选B 。

【思路点拨】根据复数是纯虚数的条件，求得a=0，从而z i =，所以21z =-。

2. 已知全集R U =，2{20}A x x x =--<，}0{≥=x x B ，则=B A （ ）A ．}20{<≤x xB ．}0{≥x xC ．}1{-≤x xD ．}1{->x x 【知识点】一元二次不等式的解法，集合运算。

U AB图1 2013~2014学年度 高三第二次联考 理 科 数 学命题人: 宝安中学 胡士军 南海中学 钱耀周★祝同学们考试顺利★本试卷共4页,21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1。

答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目。

2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效.4。

考生必须保持答题卷的整洁。

考试结束后，将答题卷交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1。

已知全集U =R ,集合{}09,A x x x =<<∈R 和{}44,B x x x =-<<∈Z 关系的韦恩图如图1所示,则阴影部分所示集合中的元素共有（ )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个宝安中学 潮阳一中 桂城中学南海中学 普宁二中 中山一中 仲元中学图22。

若复数()()2321iaa a -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．2-D ．1或2 3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ,且24S=，420S =，则该数列的公差d =( )A ．2B ．3C ．6D ．74。

已知抛物线22y px=（0p >）的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( ）A ．12B ．1C ．2D ．45。

如图2，矩形长为6，宽为4,落在椭圆外的黄豆数为96的面积约为（ )A ．16.32B 。

15.32C ．8.68 D.7.686. 已知平面α、β和直线m ,给出条件：①//m α;②m α⊥；③m α⊂；④αβ⊥；2 31 正视图侧视图图3⑤//αβ.能推导出//m β的是（ ）A ．①④B ．①⑤C ．②⑤D ．③⑤7. 若变量,x y 满足约束条件02143y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩,则35z x y =+的取值范围是( )A ．(],9-∞B ．[)3,+∞C ．[]8,9-D ．[]8,3-8. 对任意实数,x y ，定义运算x y ax by cxy ⊗=++,其中,,a b c 是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。