代数式的变形(整式与分式)

整式与分式的化简在初中的数学学习中，我们学习到了许多的数学概念和技巧。

其中，整式与分式的化简是数学学习中一个十分重要和基础的内容，本文将为你详细介绍整式与分式的化简方法及其应用。

一、整式的化简1. 同类项的合并整式是由各种代数符号和数字组成的一种代数式，同类项是指具有相同字母和字母次数的代数式。

同类项的合并可以简化整式的形式。

例如：3x + 2y - 4x - y = -x + y2. 因式分解分解因式是指把一个代数式恰好分解为若干个不可再分的式子之积。

分解因式的方法有多种，其中比较常见的一种是提取公因式。

例如：6x + 10xy = 2(3x + 5xy)3. 公式化简公式化简是指通过一系列变形把代数式变换为更简单的形式。

例如：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2二、分式的化简1. 通分分式的分母是指分数的下方，通分指的是将两个分数的分母相同，从而使得分子相加或相减更加容易。

例如：1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/62. 分子、分母的约分对于分式，当分子和分母都是一个数的倍数时，可以约分到最简分数。

例如：12/15 = 4/53. 分式的乘除分式的乘除是指将两个分式相乘或相除，可通过约分化简分式的形式。

例如：(3/4) * (4/5) = 12/20 = 3/5总结：整式与分式的化简方法应灵活应用在数学学习当中，可以极大的提高数学综合素质。

化简后的代数式不仅便于计算，而且能够整合各种数学知识，为进一步的学习打下坚实基础。

希望本文能够帮助读者更好地理解整式与分式化简方法，从而在数学学习中更加得心应手！。

小学数学重点认识整式和分式的概念数学是我们日常生活中不可或缺的一部分，它帮助我们理解世界的规律并解决问题。

在小学数学中，认识整式和分式的概念是非常重要的。

在本文中，我们将介绍整式和分式的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、整式的概念整式是由常数和变量按照加、减、乘的运算规则组成的代数式。

简单来说，整式就是没有分数、开根号等运算符号的代数式。

例如，3x²+ 2xy - 5是一个整式，其中的3、2、-5分别是常数，x²和xy是变量的项。

整式有许多重要的性质。

首先，整式的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。

这意味着整式的加法和乘法可以随意改变顺序，进行合并和展开运算。

其次，整式有相反数和零元素。

对于任何整式a，都存在一个整式-b，使得a + b = 0。

同时，对于任何整式a，都存在一个整式0，使得a + 0 = a。

最后，整式的次数是指整式中所有单项式次数的最高值。

例如，对于整式2x⁴ + 3x² + 1，它的次数为4。

整式在数学中有广泛的应用。

它们可以用于解简单的方程和不等式，也可以用于建模和解决实际问题。

通过对整式的运算和化简，可以帮助我们更好地理解和分析数学中的各种问题。

二、分式的概念分式是由两个整式按照除法的运算规则组成的代数式。

通常，分式的形式为a/b，其中a和b是整式，且b不等于0。

在分式中，a称为分子，b称为分母。

例如，2/3是一个简单的分式，其中2为分子，3为分母。

分式也有一些重要的性质。

首先，分式可以进行加、减、乘、除的运算。

其中，加法和减法要求两个分式的分母相同，而乘法和除法则没有限制。

其次，分式可以进行约分和扩分。

约分是指将分式的分子和分母同时除以一个公因数，从而简化分式的形式。

扩分是指将分式的分子和分母都乘以同一个非零因式，从而得到等价的分式。

分式在数学中也有广泛的应用。

它们可以用于解复杂的方程和不等式，也可以用于计算比例、概率等问题。

分式的运算和化简可以帮助我们更好地处理数学中涉及到分数的各种情况。

初中数学知识归纳整式与分式的运算初中数学知识归纳：整式与分式的运算在初中数学学习中，我们不可避免地会遇到各种各样的数学知识与概念。

其中，整式与分式的运算是一个重要的内容。

本文将对整式与分式的概念、运算规则等进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。

一、整式的概念与运算整式是由常数、变量和它们的积、积的积等有限个数相加或相减而成的代数式。

一般地，整式可以表示为：\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\]其中，\(a_n\)至\(a_0\)为常数系数，\(x\)为变量，\(n\)为整数且大于0。

整式的运算包括加法和减法。

加法运算的规则如下：- 将同类项的系数相加，其他部分保持不变；- 如果没有相同的项，则直接写出各个项，不作任何运算。

例如，对于整式\(f(x)=3x^3+2x^2-5x+1\)和\(g(x)=2x^3-3x^2+x+2\)的加法运算，我们可得：\[f(x)+g(x)=(3+2)x^3+(2-3)x^2+(-5+1)x+(1+2)=5x^3-x^2-4x+3\]减法运算与加法运算类似，只需将被减数改为相反数后进行加法运算。

二、分式的概念与运算分式是由整式的两个整式相除得到的表达式。

一般地，分式可以表示为：\[\frac{{f(x)}}{{g(x)}}\]其中，\(f(x)\)为分子，\(g(x)\)为分母，且\(g(x)\)不能为0。

分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。

我们逐一介绍其运算规则。

1. 加法与减法：对于两个分式\(\frac{{f_1(x)}}{{g_1(x)}}\)和\(\frac{{f_2(x)}}{{g_2(x)}}\)的加法或减法运算，需要先找到它们的公共分母，然后将分子进行相应的加减运算后，保持分母不变，即可得到结果的分式。

例如，对于分式\(\frac{{2x}}{{x-1}}\)和\(\frac{{1}}{{x+1}}\)的加法运算，我们可得：\[\frac{{2x}}{{x-1}}+\frac{{1}}{{x+1}}=\frac{{2x(x+1)+1(x-1)}}{{(x-1)(x+1)}}=\frac{{2x^2+x-1}}{{x^2-1}}\]2. 乘法：对于两个分式\(\frac{{f_1(x)}}{{g_1(x)}}\)和\(\frac{{f_2(x)}}{{g_2(x)}}\)的乘法运算，我们只需将它们的分子相乘作为结果的分子，分母相乘作为结果的分母即可。

高中数学中的整式与分式知识点总结整式与分式是高中数学中的重要内容，理解和掌握这些知识点对于学好数学课程至关重要。

在本文中，将对整式与分式的概念、性质以及相关应用进行总结与讨论。

一、整式整式是指由数字、未知数及其乘幂相乘或相加得到的代数式。

整式的一般形式可以表示为：A_nxⁿ + A_n-1x^n-1 + ... + A₁x + A₀其中 A_n, A_n-1, ... , A₁,A₀ 是常数项，n 是整数，x 是变量。

1. 整式的基本运算（1）整式的加减运算：整式的相加相减只需要按照相同幂次的项进行合并，将系数相加或相减得到最简形式。

例如：(3x² + 4x - 2) + (2x² - 3x + 5) =5x² + x + 3（2）整式的乘法运算：整式的相乘使用分配律，将每一项相乘后再合并同类项，并进行系数相乘。

例如：(2x + 3)(x - 4) = 2x² - 5x - 122. 整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式表示为多个整式乘积的形式。

通过提取公因式、根据特殊公式以及应用整式乘法公式等方法，可以将整式进行因式分解。

例如：2x² + 6x = 2x(x + 3)3. 整式的应用整式在代数方程的求解、代数式的化简等问题中有广泛的应用。

适用标准文档初中数学复习第四讲——整式与分式一、知识构造代数式分式整式整数分式的分式分式因式整式的运整式的指数运算的基的意分解算〔加、相关概幂的〔加、天性义减、乘、念运算减、乘、质除、乘方〕除〕说明：在本局部，代数式分为整式和分式议论。

在实数范围内，代数式分为有理式和无理式，有理式分为整式和分式，整式分为单项式和多项式。

二、知识点梳理1.代数式：用运算符号和括号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式。

用数值取代代数式里的字母，依据代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。

2.单项式：由数与字母的积或字母与字母的积所构成的代数式叫做单项式〔单独一个数也是单项式〕；单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数〔包含符号〕；一个单项式中，全部字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

3.多项式：由几个单项式的和构成的代数式叫做多项式；在多项式中的每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；次数最高项的次数就是这个多项式的次数。

4.整式：单项式、多项式统称为整式。

5.分式：两个整式 A、B 相除，即 A÷ B 时，能够表示为A. 假如 B 中含有字母，B那么A叫做分式， A 叫做分式的分子， B 叫做分式的分母。

B6.同类项：所含的字母同样，且同样的字母的指数也同样的单项式叫做同类项。

把多项式中的同类项归并成一项，叫做归并同类项；一个多项式归并后含有几项，这个多项式就叫做几项式。

归并同类项的法那么：把同类项的系数相加的结果作为归并后的系数，字母和字母的指数不变〔归并同类项，法那么不可以忘，只求系数代数和，字母指数不变样〕。

7.整式的加减：整式的加减就是单项式、多项式的加减，可利用去括号法那么和归并同类项来达成整式的加减运算。

去括号法那么：括号前面是“+〞号，去掉“+〞号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“—〞号，去掉“—〞号和括号，括号里的各项都变号。

〔括号前面是“+〞号，去掉括号不变号；括号前面是“—〞号，去掉括号都变号。

整式与分式的运算整式与分式整式与分式的运算是数学中的基础知识之一。

在数学学习的过程中，我们经常会遇到整式和分式的运算问题。

本文将介绍整式和分式的概念、性质以及它们在运算中的应用。

一、整式的概念与性质整式是由数字和字母以及加减乘除运算符号构成的代数式，如3x²+5xy-2y³。

整式可以是单项式、多项式或常数项。

整式的运算包括加法、减法和乘法。

加法运算：对于整式的加法运算，要将相同字母的项合并，即合并同类项。

例如，对于3x²+5xy-2y³和2x²+3xy+4y³，将x²、xy和y³合并得到5x²+8xy+2y³。

减法运算：减法运算也是将相同字母的项合并。

例如，对于3x²+5xy-2y³和2x²+3xy+4y³，将x²、xy和y³合并得到x²+2xy-6y³。

乘法运算：整式的乘法运算可以使用分配律进行展开。

例如，对于(x+y)(x-y)，利用分配律可以展开为x²-xy+xy-y²，最终得到x²-y²。

二、分式的概念与性质分式是由分子和分母用分数线分隔的表示形式，如1/2、3/4。

分子和分母都可以是整数、整式或方程。

分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法和减法运算：分式的加法和减法运算需要先找到共同的分母，然后将分子相加或相减。

例如，对于1/2+3/4，先找到1/2和3/4的最小公倍数为4，然后将分子相加得到5/4。

乘法运算：分式的乘法运算直接将分子、分母相乘即可。

例如，对于1/2*3/4，将1*3作为分子，2*4作为分母，最后得到3/8。

除法运算：分式的除法运算可以转化为乘法运算，即将除法形式写成乘法的倒数形式。

例如，对于1/2÷3/4，可以转化为1/2*4/3，然后进行乘法运算，最后得到2/3。

整式与分式的基本概念整式与分式是数学中常见的两种表达式形式，它们在代数运算、方程求解、函数定义等方面都有着广泛的应用。

本文将对整式和分式的基本概念进行介绍和比较，以帮助读者更好地理解和运用这两种表达式。

一、整式的基本概念整式，顾名思义，就是由整数和字母的乘积相加（减）而成的代数式。

它可以包括常数项、一次项、二次项、三次项等，但不包含任何分数。

一般形式如下：$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$其中，$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$为整数系数，$x$为未知数，$n$为非负整数，$n$次方为整数。

整式的例子可以是：$3x^2 - 5xy + 7$，$4x^3 - 2x^2 + 5x - 1$等。

整式的运算主要包括加法、减法和乘法。

加法和减法的运算法则与常规代数运算一致，将同类项合并。

乘法运算需应用分配律，将每一项分别相乘后再合并同类项。

二、分式的基本概念分式是由两个整式用除法连接而成的表达式，分子为一个整式，分母为一个非零整式。

分式的一般形式如下：$\frac{P(x)}{Q(x)}$其中，$P(x)$和$Q(x)$都是整式，$Q(x)$不等于零。

分式的例子可以是：$\frac{3x^2 - 2x + 1}{2x + 3}$，$\frac{x^3 -1}{x - 1}$等。

分式的运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法和减法的运算法则与整式类似，要先找到分母的公倍式，然后将分子按公倍式进行等比变换后再合并同类项。

乘法运算直接将分子相乘，分母相乘。

除法运算需要进行分式除法的行式计算，求出商式和余式。

三、整式与分式的比较整式和分式在形式上有一定的相似之处，都是由整数、字母及其乘积相加（减或乘）组成。

但在概念和应用上存在明显的差异。

首先，整式不包含分数，而分式则是由分子和分母组成的，分子和分母都可以是整式。

分式可以表示真分数、假分数以及带分数，而整式只能表示整数或常数。

整式的概念及运算一．知识概念1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。

或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式.2．单项式的系数与次数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.3．多项式：几个单项式的和叫多项式.4．多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数。

二． 整式的乘除与分解因式1.同底数幂的乘法法则: n m n m a a a +=⋅(m,n 都是正数)2.. 幂的乘方法则：mn n m a a =)((m,n 都是正数)⎩⎨⎧-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n3. 整式的乘法（1） 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

（2）单项式与多项式相乘:单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

（3）．多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4．平方差公式: 22))((b a b a b a -=-+ 立方差公式：a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)5．完全平方公式: 2222)(b ab a b a +±=±(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³6. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即n m n m a a a -=÷ (a ≠0,m 、n都是正数,且m>n).在应用时需要注意以下几点:①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a ≠0.②任何不等于0的数的0次幂等于1,即)0(10≠=a a ,如1100=,(-2.50=1),则00无意义. ③任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数),等于这个数的p 的次幂的倒数,即p p a a 1=-( a≠0,p 是正整数), 而0-1,0-3都是无意义的;当a>0时,a -p 的值一定是正的; 当a<0时,a -p 的值可能是正也可能是负的,如41(-2)2-=,81)2(3-=-- ④运算要注意运算顺序.7．整式的除法单项式除法单项式:单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；多项式除以单项式: 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.8.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 分解因式的一般方法：1. 提公共因式法2. 运用公式法3.十字相乘法，4.用分组分解法5.拆项，添项法，6.换元法，7.待定系数法分解因式的步骤：(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.分式的概念及其运算1．知识概念1.分式：形如A/B ，A 、B 是整式，B 中含有未知数且B 不等于0的整式叫做分式(fraction)。

代数式的变形竞赛题Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998代数式的变形（整式与分式）在化简、求值、证明恒等式（不等式）、解方程（不等式）的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等方法作初步介绍.1．配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题.例1设a、b、c、d都是整数，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和，其形式是______.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式为(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2 设x、y、z为实数，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x2-2yz=0∴ (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0∴x=y=z,∴原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子.例3 如果a是x2-3x+1=0的根,试求的值.解∵a为x2-3x+1=0的根,∴ a2-3a+1=0,,且=1.原式说明:这里只对所求式分子进行因式分解,避免了解方程和复杂的计算.3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例4 设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明令p=m-a,q=m-b,r=m-c则p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0∴p3+q3+r3-3pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0例5 若,试比较A、B的大小.解设则.∵2x＞y ∴2x-y＞0, 又y＞0,可知∴A＞B.4.设参当已知条件以连比的形式出现时,可引进一个比例系数来表示这个连比.例6 若求x+y+z的值.解令则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k,∴x+y+z=(a-b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7 已知a、b、c为非负实数，且a2+b2+c2=1,,求a+b+c的值. 解设 a+b+c=k则a+b=k-c，b+c=k-a,a+c=k-b.由条件知即∴a2k-a3+b2k-b3+c2k-c3=-3abc,∴(a2+b2+c2)k+3abc=a3+b3+c3.∵a2+b2+c2=1,∴k=a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b+c)[(a+b)2+c2-(a+b)c]-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca),∴k=k(a2+b2+c2-ab-bc-ac),∴k(a2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,∴k(-ab-bc-ac)=0.若K=0, 就是a+b+c=0.若-ab-bc-ac=0,即 (a+b+c)2-(a2+b2+c2)=0,∴(a+b+c)2=1,∴a+b+c=±1综上知a+b+c=0或a+b+c=±15.“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：（1）分离分式为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式和一个分式的代数和.例8 证明对于任意自然数n，分数皆不可约.证明如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约.而显然不可通约，故不可通约，从而也不可通约.（2）表示成部分分式将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和.(3)通分通分是分式中最基本的变形,例9的变形就是以通分为基础的,下面再看一个技巧性较强的例子.例9 已知求证:.证明6.其他变形例10 已知x(x≠0，±1)和1两个数，如果只许用加法、减法和1作被除数的除法三种运算（可用括号），经过六步算出x2.那么计算的表达式是______. 解 x2=x(x+1)-x或 x2=x(x-1)+x例11 设a、b、c、d都是正整数，且a5=b4,c3=d2,c-a=19,求d-b.解由质因数分解的唯一性及a5=b4,c3=d2,可设a=x4,c=y2,故19=c-a=(y2-x4)=(y-x2)(y+x2)解得 x=3. y=10. ∴ d-b=y3-x5=757强化练习1.选择题（1）把相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是（）（A）2 （B）3 （C）6 （D）7 （E）8（2）已知则的值是（）.(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3（3）假定x和y是正数并且成反比，若x增加了p%，则y减少了（）.（A）p% (B)% (C)% (D)% (E)%2.填空题（1）（x-3）5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f，则a+b+c+d+e+f=________,b+c+d+e=_______.(2)若=_____.(3)已知y1=2x,y2=,则y1y1986=______3.若（x-z）2-4(x-y)(y-z)=0,试求x+z与y的关系.4.把写成两个因式的积,使它们的和为，求这两个式子.5.若x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.求的值.6.已知x,y,z为互不相等的三个数,求证7.已知a2+c2=2b2,求证8.设有多项式f(x)=4x4-4px3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.9.设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.参考答案2.(1)-32,210 (2) (3)23.略.4.5. 6.略, 7.略.8.∵p2-4q-4(m+1)=0, ∴4q=p2-4(m+1)=0,∴f(x)=4x4-4px3+[p2-4(m+1)]x2+2p·(m+1)x+(m+1)2=4x4+p2x2+(m+1)2-4px3-4(m+1)x2+2p(m+1)x=[2x2-px-(m+1)]2.9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq),展开整理得cdp2-(ac+bd)+pq+abq2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是cp=bq或dp=aq,即c(a+b)=b(c+a)或d(a+b)=a(c+d). 均可得出ac=bd.。

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