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毕业论文(设计)题目名称：微分中值定理的推广及应用题目类型：理论研究型学生姓名：邓奇峰院(系)：信息与数学学院专业班级：数学10903班指导教师：熊骏辅导教师：熊骏时间：2012年12月至2013年6月目录毕业设计任务书 (I)开题报告 ....................................................................................................................................... I I 指导老师审查意见. (III)评阅老师评语 (IV)答辩会议记录 (V)中文摘要 (VI)外文摘要 .................................................................................................................................... V II1 引言 (1)2 题目来源 (1)3 研究目的和意义 (1)4 国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向 (1)5 微分中值定理的发展过程 (2)6 微分中值定理的基本内容 (3)6.1 罗尔(Rolle)中值定理 (3)6.2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (4)6.3 柯西（Cauchy）中值定理 (4)6.4 泰勒（Taylor）定理 (4)7 微分中值定理之间的联系 (5)8 微分中值定理的应用 (5)8.1 根的存在性证明 (6)8.2 利用微分中值定理求极限 (8)8.3 利用微分中值定理证明函数的连续性 (10)8.4 利用微分中值定理解决含高阶导数的中值问题 (10)8.5 利用微分中值定理求近似值 (10)8.6 利用微分中值定理解决导数估值问题 (10)8.7 利用微分中值定理证明不等式 (11)9 微分中值定理的推广 (14)9.1 微分中值定理的推广定理 (15)9.2 微分中值定理的推广定理的应用 (17)参考文献 (18)致谢 (19)微分中值定理的推广及应用学生：邓奇峰，信息与数学学院指导老师：熊骏，信息与数学学院【摘要】微分中值定理，是微积分的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，在微积分中起着极其重要的作用。
微分中值定理的推广及应用微分中值定理是数学分析中一个重要的定理，它是关于微分学中函数的变化性的定理。
这个定理在数学家们探索函数几何性质时，尤其是推广应用中起到了重要的作用。
本文旨在介绍微分中值定理的推广及应用。
2分中值定理微分中值定理是在变分学中最为经典的定理之一。
它往往用来说明函数的连续性、变化率及函数的驻点有关。
它的正式定义如下：定义：设f(x)为连续函数，在区间[a,b]上，若存在一点θ∈(a,b)，使得f′(θ)与[f(a)-f(b)]/[a-b]相等，则称θ为函数f(x)在区间[a,b]上的中值点，令f′(θ)=[f(a)-f(b)]/[a-b]，则称为微分中值定理。
3广微分中值定理在原始定义的基础上，可以推广出一系列类似的定理。
3.1阶中值定理高阶中值定理是一种推广微分中值定理，它引入了高阶导数，通过某些极值点解出高阶导数等于函数在该点处的前后变化值的差值。
定义：设f(x)具有N阶可导的连续函数，在区间[a,b]上，若存在一点θ∈(a,b)，使得f^(N)(θ)与[f^(N-1)(b)-f^(N-1)(a)]/[b-a]相等，则称θ为函数f(x)在区间[a,b]上的N阶中值点，令f^(N)(θ)=[f^(N-1)(b)-f^(N-1)(a)]/[b-a]，则称为高阶中值定理。
3.2展中值定理拓展中值定理是一种推广微分中值定理，它与高阶中值定理的不同之处在于，它把对一个连续函数的某一段求导之后得到的极值点，当做求函数本身的极值点，从而拓展出新的中值定理。
定义：设f(x)是一个连续函数，且f′(x)在区间[a,b]上连续可导，若存在一点θ∈(a,b)，使得f′(θ)与[f′(b)-f′(a)]/[b-a]相等，则称θ为函数f(x)在区间[a,b]上的拓展中值点，令f′(θ)=[f′(b)-f′(a)]/[b-a]，则称为拓展中值定理。
4用微分中值定理及其推广的定理在微积分应用中起到了重要作用，常用于函数的极值求解、区间求值等方面。
第2章 微分和微分法·导数的简单应用90 §2-4 微分中值定理及其应用读者知道，常数(作为区间上的常值函数)的导数恒等于零，那么相反的结论也是正确的吗？又当函数)(x f 在区间),(b a 内单调增大时，由于0(0)()()0(0)x f x x f x x ≥∆>⎧+∆-⎨≤∆<⎩， 从而0)()(≥∆-∆+x x f x x f , 所以它的导数(若存在的话)()()()lim0∆→+∆-'=≥∆x f x x f x f x x那么反过来，若)(0)(b x a x f <<≥'时，函数)(x f 在区间),(b a 内一定是单调增大的吗？要回答这样的问题，就要用到微分学中最重要的一个定理，即微分中值定理(或称拉格朗日中值定理).1.微分中值定理 为了证明微分中值定理，通常都是先证明罗尔定理作为引理. 罗尔定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且0)()(==b f a f ，则至少有一点),(b a c ∈，使()0f c '=(图2-14)（*）.证 因为函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，所以它在区间],[b a 上有最大值M 和最小值m .若=m M ，则()0()≡≤≤f x a x b ，结论显然成立；若<m M ，则)(x f 在区间),(b a 内某点c 取到最大值或最小值（即不可能同时在两个端点上取到最大值和最小值）.根据定理2-1，有()0f c '=.【注】下面的结论有时也称为罗尔定理： 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续且()()f a f b =.若()f x 在开区间(,)a b 内有导数，则至少有一点(,)c a b ∈，使()0f c '=.(图2-15)只要作辅助函数()()()F x f x f a =-，则()()0F a F b ==.根据已证的罗尔定理，就会有点),(b a c ∈，使()()0F c f c ''==.微分中值定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数，则至少有一点),(b a c ∈使)()()()(b c a ab a f b fc f <<--=' （2-6）（*）罗尔一生从未接受微积分.他是一个代数学家.他可能是在研究代数方程的根时得出类似的结论.后来人们习惯上称它为罗尔定理（他的结论不可能是这种形式）.)图2-14)§2-4 微分中值定理及其应用 91特别，当)()(b f a f =时，它就是罗尔定理（见罗尔定理后的注）.因此，微分中值定理是罗尔定理的推广.[分析] 如图2-16，曲线)(x f y =上必有一点(,())C c f c ，它在该点处切线的斜率等于弦AB 的斜率(切线与弦平行)，即式(2-6).证 考虑函数(曲线与弦的差))]()()()([)()(a x ab a f b f a f x f x ---+-=δ（图2-17）显然，函数)(x δ在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且0)()(==b a δδ(在区间两端等于零).根据罗尔定理，必有点),(b a c ∈，使0)(='c δ，即)()()()(b c a ab a f b fc f <<--='【注】微分中值定理的上述证明方法的优点是直观, 而下面的证明方法容易推广（用于证明§2-9中的泰勒公式）.设待定常数C 满足条件()()()f b f a C b a =+- （※）再作辅助函数()()[()()]()F t f t f a C t a a t b =-+-≤≤, 则函数()F t 在区间[,]a b 上满足罗尔定理的条件，因此有中值(,)c a b ∈, 使()0F c '=, 即()()0()F c f c C C f c '''=-=⇔=.把它代入上面的等式（※）, 则得()()()()()f b f a f c b a a c b '=+-<< 或 ()()()()f b f a f c a c b b a-'=<<-等式(2-6)又称为拉格朗日中值公式或微分中值公式.它有很多变形，例如，若令)10(<<--=θθab a c则拉格朗日中值公式为()()[()]()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<< (2-7)它对b a >也成立.又如，若函数)(x f 在开区间),(b a 内有导数，则对任意),(b a x ∈和()(,)x x a b +∆∈，都有)10()()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f (2-8) 通常称它为有限增量公式(其中x ∆为有限增量．．．．)，以便区别于无穷小量形式(或极限形式)的公式图2-17图2-16第2章 微分和微分法·导数的简单应用92 ()()()()f x x f x f x x o x '+∆-=∆+∆其中x x d =∆为无穷小量.请读者注意两者的区别．．．．．．．．．．. 微分中值定理和罗尔定理，只断定那个中值)(b c a c <<的存在性，而没有指出它在区间),(b a 内的具体位置.尽管如此，仍不失它在微积分中的重要性，因为在几乎所有的应用中，并不需要知道它在区间),(b a 内的具体位置.微分中值定理使我们能够根据函数的导数．．．．．．．．．．．．．．．．．．)(x f '所提供的信息，反过来去推断函数本身所具有的某些特性或变化状态．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 推论 若函数)(x f 在区间),(b a 内处处有导数，且0)(≡'x f )(b x a <<，则()≡f x 常数()<<a x b证 设),(0b a x ∈为任意固定一点.根据拉格朗日中值公式，对于任意),(b a x ∈，都有)10(0))](([)()(0000<<=--+'=-θθx x x x x f x f x f即))(()(0b x a x f x f <<≡.对于定义在区间,a b 上的函数)(x f ，若另有定义在区间,a b 上的可微函数()F x 使d ()()d F x f x x = 或 ()()F x f x '=则称函数()F x 为)(x f 的一个原函数.函数)(x f 在区间,a b 上的原函数不是唯一的，若函数()G x 也是它在区间,a b 上的原函数，因为[]()()()()()()0F x G x F x G x f x f x '''-=-=-=根据上述推论，所以()()F x G x c -≡(常数)或()()F x G x c ≡+.因此，若函数()f x 在区间,a b 上有原函数，则它在该区间上就会有无穷多个原函数，而且每两个原函数之间只能相差一个常数.2.函数单调性的判别法 下面的结论实际上也是微分中值定理的推论.它指出了用导数判别函数单调性的方法.定理2-2 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内处处有导数. ⑴ 若()0()f x a x b '><<，则)(x f 在区间],[b a 上是增函数； ⑵ 若()0()f x a x b '<<<，则)(x f 在区间],[b a 上是减函数. （在有限个点上有0)(='x f 时，结论仍成立）证 设1x 和2x 为区间],[b a 上任意两点且21x x <，根据拉格朗日公式，则有2112121()()[()]()f x f x f x x x x x θ'-=+--若()0()f x a x b '><<，则21()()0f x f x ->，即)()(21x f x f <，因此()f x 是增函数；若()0()f x a x b '<<<，则21()()0f x f x -<，即12()()f x f x >，因此()f x 是减函数. 例18 设13)(23-+=x x x f ，则)2(363)(2+=+='x x x x x f 于是，方程0)(='x f 有根12x =-和20x =. 用这两个根把函数)(x f 的定义域),(+∞-∞分§2-4 微分中值定理及其应用 93成三个小区间 (图2-18)：]0)([),0(],0)([)0,2(],0)([)2,(>'+∞<'->'--∞x f x f x f可见，函数)(x f 在区间)2,(--∞和),0(+∞内增大，而在区间)0,2(-内减小.3.证不等式的方法情形Ⅰ 设函数)(x f 和)(x g 在区间),[b a 上连续且在),(b a 内有导数.若满足条件：()i )()(a g a f = 和 ()ii ()()()f x g x a x b ''><<则))(()(b x a x g x f <<>.(见图2-19)情形Ⅱ 设函数)(x f 和)(x g 在区间],(b a 上连续且在),(b a 内有导数.若满足条件：()i )()(b g b f = 和 ()ii ()()()f x g x a x b ''><<则))(()(b x a x g x f <<<.(见图2-20)证 譬如证情形Ⅰ(图2-19).令)()()()(b x a x g x f x h <≤-=.根据条件()i ，则0)(=a h ；根据条件()ii ，()0()h x a x b '><<.因此，)(x h 是增函数.于是，)()()(0b x a x h a h <<<=所以有))(()(b x a x g x f <<>.例19 证明：⑴ 当0>x 时，x x <+)1ln(； ⑵ 当1->x 且0≠x 时，xx x +>+1)1ln(.因此，当0>x 时，有x x xx <+<+)1ln(1.证 ⑴令)1ln()(,)(x x g x x f +==，则0)0()0(==g f 且)0(11)(1)(>+='>='x xx g x f [属于情形Ⅰ]因此，有)0()1ln(>+>x x x .图2-19图2-20图2-18•2-·0x第2章 微分和微分法·导数的简单应用94 ⑵ 令)1ln()(,1)(x x g xx x f +=+=. 在区间]0,1(-上，0)0()0(==g f 且 )(11)1(1)(2x g xx x f '=+>+=' [属于情形Ⅱ]因此，有)1ln(1x xx +<+)01(<<-x .其次，在区间),0[+∞上，0)0()0(==g f 且 )(11)1(1)(2x g xx x f '=+<+=' [属于情形Ⅰ]因此，有)1ln(1x xx +<+)0(+∞<<x .习 题1.不求导数，而根据罗尔定理证明：函数22)(23+--=x xx x f在区间)1,1(-内必有点c ，使0)(='c f .2.证明：不论m 为何值，多项式m x x x P +-=3)(3在区间]1,1[-上不会有两个实根.3.设多项式nn x a x a x a a x P ++++= 2210)(的系数满足等式01321210=+++++n a aa a n 证明：多项式)(x P 在区间)1,0(内必有实根. 提示：考虑函数1210121)(+++++=n n x n a x a x a x f .4.设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内有导数，且A x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim （有限值）证明：在),(b a 内至少有一点c ，使0)(='c f .提示：将函数()f x 连续延拓到闭区间[,]a b 上.5.设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间),(b a 内可微分，且()()0f a f b ==.证明：对任意实数λ，必存在点(,)a b ξ∈，使()()f f ξλξ'=提示：令()e()xF x f x λ-=.6.对于下列函数，在所示区间上应用拉格朗日中值公式，求出中值c ：⑴)51()(2≤≤=x x x f ； ⑵)42(1)(≤≤=x xx f ；⑶)94()(≤≤=x x x f ； ⑷)e 1(ln )(≤≤=x x x f .答案：⑴3=c ；⑵22=c ；⑶4/25=c ；⑷1e -=c .7.证明：对于0≥x ，则有)(x θθ=使§2-4 微分中值定理及其应用 95θ+=-+x x x 211而且)(x θθ=满足01111;lim ;lim 4242x x θθθ+→+∞→≤≤==8.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数.证明：必有点),(b a c ∈，使)()()()(c f c c f ab a af b bf '+=-- [ 提示：考虑函数)()(x xf x g =]9.设函数()f x 在点a 连续且有极限lim ()x af x →'.证明：必有导数()f a '且()lim ()x af a f x →''= [点a 的导数等于近旁导数的极限]同样，若函数()f x 在点a 左连续[右连续]且有左极限lim ()x af x -→'[右极限lim ()x af x +→']，则必有左导数()f a -'[右导数()f a +']且()lim ()x a f a f x --→''= ()lim ()x a f a f x ++→⎡⎤''=⎢⎥⎣⎦提示：()()()f a x f a f a x x θ'+∆-=+∆∆(01)θ<<.【注1】根据这个结论, 函数1,()0,x a f x x a=⎧=⎨≠⎩在含点a 的区间内没有原函数（用反证法证）。
微分中值定理的推广及应用微分中值定理（DifferentialMidpointTheorem）是一种实用的定理，它推广了微分学中最基本定理之一，即微分中值定理。
微分中值定理，通常简称为中值定理，是在微分学中常用的关于连续函数的一般性定理，由法国数学家贝尔贡威尔（Joseph Louis Lagrange）在1797年首次提出，指出当连续函数在某一区间上有一个局部极小值点时，则存在一个点，其函数值与该点的一阶偏导数值相等，称为中值定理。
微分中值定理的推广不仅仅包括将原来的一阶微分中值定理扩展到二阶及多阶，而且可以推广到改变变量的维数上。
微分中值定理推广后，不仅可以应用于一阶函数中，而且可以应用于多元函数中。
例如，对于n元复变函数，当若干变量有极小值时，可以有一组变量的值使得该多元函数的梯度为零。
微分中值定理的应用有很多，首先在函数估计中有着广泛的应用，可以用来求出一个函数在某点最低的值，也可以求出函数的极值点，另外，微分中值定理也可以用于求解线性方程组，可以用来求解非线性方程组，以及在数值分析中也有着广泛的应用，例如求解椭圆方程。
微分中值定理有着极大的应用价值，由它可以推广得出很多新的定理，并且有不少新的应用空间。
而推广微分中值定理也为解决复杂问题提供了另一种思路。
总之，微分中值定理是一个基础性的定理，其应用价值极大，是一个值得研究的定理。
微分中值定理也是生物学和化学中应用最多的定理之一，在生物学中可用来研究一种特定的分子的吸光度变化。
而在化学中，微分中值定理可以推导出加成定律，其中用来求解溶液的浓度，当溶液中的活性分子在不同的活性场中存在不同的浓度时，可以采用微分中值定理来求解溶液的浓度变化。
总之，微分中值定理是一个非常重要的定理，它推广了微分学中最基本的定理，并且具有多种应用，它的应用不仅仅局限于数学理论，而且可以广泛应用于现实中的各个领域。
因此，微分中值定理对社会和人类的科学技术发展有巨大的贡献。
微分中值定理的证明、推广以及应用篇一：微分中值定理的证明及应用微分中值定理的证明及应用摘要：文章首先介绍了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，即通过构造辅助函数来达到罗尔定理的条件以便利用罗尔定理来证明其他微分中值定理，并且就用这种方法证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
然后分类列举微分中值定理在证明等式、不等式、求极限以及在讨论方程根的存在性方面的应用，而且微分中值定理即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理在不同的解题应用方面是各有优劣的，又是相互互补渗透的，因此我们在解题时也要学会综合运用它们。
关键词：罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理辅助函数我们知道微分中值定理是整个微分学的理论基础，并且它在数学分析中也占有重要地位作用，它也是连接函数与导数的纽带与桥梁，而我们知道函数在某一点的导数是一种局部性质。
在实际研究中我们有时需要从函数的整体出发考虑其全局性质，因而正式微分中值定理可以解决这种由局部到全局或者有全局到局部的问题。
笔者在学习中借鉴和总结了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，并且简单地讨论了微分中值定理的各种应用。
1微分中值定理的证明11对中值定理[1]的简单证明分析：拉格朗日中值定理的证明要用到罗尔定理，但是定理所给出的已知条件不能够满足罗尔定理条件中的()?()故此我们需要构造一个新的函数，不妨记为()使它满足罗尔定理的全部条件，为此设?()?()?则()?()?(?)即()??()?（1）由（1）可构造新函数()?()?,有题设可知()在[,]上连续，在（,）内可导，且()?(),因此()满足罗尔定理的全部条件。
所以函数()?()?,即我们要构造的函数。
证明：构造辅助函数()?()?,其中?()?()?根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道()在闭区间[,]上是连续的，在开区间（,）内是可导的，并且还有()?(),所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数()在(,)内至少存在一点?,使得?(?)??(?)??0即?(?)?()?()?,故证得()?()??(?)(?)12对中值定理[1]的简单证明分析：若用定理证明这个定理，需要构造一个辅助函数并且使它满足定理的条件，不妨设?()?()()?(),可变形为()?()?()?()（2）由（2）可构造辅助函数()?()?(),有题设可知()在[,]上连续，(,)内可导且()?(),因而()满足定理的条件，即()?()?()为所要构造的函数。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用1. 引言1.1 多个函数多介值的微分中值定理及其应用多个函数多介值的微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是多元函数微分中值定理的推广和应用。
在多个函数多介值的情况下，该定理可以帮助我们更准确地分析函数在不同点的变化情况。
我们需要了解多元函数的微分中值定理。
该定理告诉我们，如果一个函数在某个区域内是连续的且可微的，那么在这个区域内存在一点，该点的梯度等于函数在这个区域内平均变化率的值。
这个定理对于研究函数的变化趋势和最值点是非常有帮助的。
我们将探讨多个函数多介值的微分中值定理在实际问题中的应用。
这包括在经济学、物理学、工程学等领域中的具体案例分析，以及如何利用该定理来解决实际问题中的挑战。
多个函数多介值的微分中值定理及其应用是微积分中的重要内容，通过深入研究和实践，我们可以更好地理解和应用这一定理。
希望通过本文的介绍，读者可以对该定理有更深入的认识和理解。
2. 正文2.1 多元函数的微分中值定理多元函数的微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是一种关于多元函数的函数值与导数之间的关系的定理。
在单变量函数的微积分中，我们熟悉的是微分中值定理，它表达了函数在某个区间内的平均增长率与瞬时增长率相等的性质。
而对于多元函数，微分中值定理的表述则需要引入偏导数的概念。
多元函数的微分中值定理可以描述为：设函数f(x,y)在闭区域D上连续且在开区域D内可微，且对于P(x_1,y_1)和Q(x_2,y_2)属于D，则存在一点C(x_0,y_0)属于线段PQ，使得f(x_2,y_2) - f(x_1,y_1) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x_2 - x_1) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y_2 - y_1)其中\frac{\partial f}{\partial x}和\frac{\partial f}{\partial y}分别表示f(x,y)对x和y的偏导数。
目录摘要 (2)引言 (2)1微分中值定理的内容及联系 (2)1.1基本内容 (2)1.2三个中值定理之间的关系 (2)2微分中值定理的推广 (3)2.1推广一 (3)2.2推广二 (3)2.3推广三 (4)2.4推广四 (4)2.5推广五 (5)3微分中值定理的应用 (5)3.1导数极限定理 (5)3.2导数估值问题 (5)3.3讨论方程根的存在性 (6)3.4证明不等式 (6)3.5计算极限 (7)3.6函数的单调性 (9)3.7用来判定级数的敛散性 (9)3.8证明有关等式 (10)结束语 (12)参考文献 (12)微分中值定理推广与应用摘 要： 拉格朗日中值定理与柯西中值定理都是罗尔中值定理，在本篇论文里，给出罗尔中值定理的其它多种推广来扩大其应用。
本文也举例说明了和性质,并给出了第二型曲面积分计算的几种方法.关键词： 拉格朗日中值定理；柯西中值定理；罗尔中值定理引言在数学分析课程中罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理统称为微分中值定理,他们是微分中值学中最基本、最重要的定理,是连接函数与导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要数学工具,是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值,因此讨论微分中值定理的推广具.为加深对微分中值定理的理解,更好地掌握微分中值定理的应用,本文归纳介绍了微分中值定理的几种推广形式及在解题中的一些应用。
1 微分中值定理的内容及联系1.1 基本内容1.1.1 Rolle 定理若)(x f 在],[b a 上连续，在内),(b a 可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点()b a ,∈ξ使0)(='ξf 。
1.1.2 Lagrange 定理若)(x f 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使)()()()(a b a f b f f --='ξ1.1.3 Cauchy 定理设)(x f ，)(x g 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且0)(≠'x g ，则至少存在一点(),a b ξ∈，使得)()()()()()(ξξg f a g b g b f a f ''=--1.2 三个中值定理之间的关系现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。
那它们之间具体有什么样的关系呢？首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的)()(b f a f =这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。
相反，如果在拉格朗日定理中添加)()(b f a f =这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。
通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。
继续用这一思路来看拉格朗日定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的x x g =')(的话，发现定理成为了拉格朗日定理。
这使得我们发现他们二者之间的联系， 拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。
2.微分中值定理的推广2.1推广一 若函数()f x 满足：①在(,)a b 内可导；②l i m ()l i m ()x ax b f x f xA +-→→==,其中A为有限值,或+∞,或-∞ ,则至少存在一点(,)a b ξ∈,使'()0f x =。
证明：(1) 设A 为有限值时,对函数()f x 做连续延拓,定义 ()(,)(),f x x a b F x A x a b∈⎧=⎨=⎩易知()F x 在[,]a b 上满足罗尔中值定理条件,故在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使''()()0F f ξξ==(2)设A =+∞,由于()f x 在(a,b)内连续,有极限的定义,对充分大的0C >,存在0(,)x a b ∈,使0()f x C<则直线y C =与()y f x =至少有2个交点111(,())M x f x 与222(,())M x f x 即1212()(),,(,)f x f x C x x a b ==∈不妨设12x x < 易知()f x 在12[,](,)x x a b ⊂上满足罗尔中值定理, 故存在12(,)(,)x x a b ξ∈⊂,使'()0f ξ= (3) A =-∞,类似可证还可以把罗尔定理中的有限区间推广到无限区间2.2推广二 若函数()f x 满足：①在[,)a +∞上连续：②在(,)a +∞内可导：③li m ()()x f x f a →+∞=,则至少存在一点(,)a ξ∈+∞,使()'0fξ=证明 令11t x a =-+,将[,)x a ∈+∞变换成(0,1]t ∈,记11()x a t tϕ=+-=,则有(1)a ϕ=,0lim ()t t ϕ+→=+∞,设(())()f t g t ϕ=,从而()g t 在 (0,1]上可导,且有lim ()lim (())lim ()()((1))(1)x t t g t f t f x f a f g ϕϕ++→∞→→=====定义()g t 在[0,1]上,其中(0)(1)g g =,由罗尔定理, 存在(0,1)η∈,使得'()0g η=()ϕηξ=,则''()()0f ξϕη=.又'21()0ϕηη=-≠,所以'()0,(,).f a ξξ=∈+∞注 类似可以证明若()f x 在(,)-∞+∞上可导,且lim ()lim ()x x f x f x →-∞→+∞=,则至少存在一点(,)ξ∈-∞+∞,使'()0f ξ=2.3推广三 若函数()f x 满足：①在区间[,)a +∞上连续；②在区间[,)a +∞上可导；③lim x M →+∞=,则至少存在一点(,)ξ∈-∞+∞,使得'2()()(1)M f a f a ξξ-=+-证明 令11t x a =-+即 11()x a t tϕ=+-=当[,)x a ∈+∞时,01t <<,(1)a ϕ=,lim ()t ot ϕ→=+∞,()(())()f x f t g t ϕ==lim ()lim ()lim ()t t x g t t f x M ϕ→→→+∞===补充定义0(0)lim ()t g g t M →==，则()g t 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，根据拉格朗日中值定理，存在一点(0,1)η∈，使'(1)(0)()10g g g η-=-，即'()()g f a M η=-记()ξϕη=，'''()()()g f ηξϕη=而'221()(1)a ϕηξη=-=-+-故至少存在一点(,)a ξ∈+∞使得2'(1)()()a f f a M ξξ-+-=-2.4推广四 若函数()f x 满足：①在区间(,)-∞+∞上连续；②在区间(,)-∞+∞上可导；③lim ()lim ()x x f x f x →+∞→-∞=,则至少存在一点(,)ξ∈-∞+∞,使得'()0f ξ=。
证明 令11xxe t e -=+,则1ln()1t x t tφ+==-,x -∞<<+∞与11t -<<对应。
()(())f x f t g t φ==,11lim ()lim ()lim ()lim ()t x x t g t f x f x g t →-→-∞→+∞→===补充定义1(1)l i m ()t g g t →--=,1(1)lim ()t g g t →-=,()g t 在[1,1]-+上连续,在(1,1)-+内可导,(1)(1)g g -=据罗尔中值定理知,在(1,1)-+内至少存在一点(1,1)η∈-+,使得'()0g η=,记()ξφη=,有''22()()01g f ηξη=⋅=-从而有'()0f ξ=。
2.5推广五 如函数()f x 、()g x 、()h x 满足：①在[,]a b 上连续；②在(,)a b 内可导,则至少存在一点(,)a b ξ∈,使()()()()()()0()()()f a g a h a f b g b h a f x g x h x = 证明 设 ()()()()()()()()()()f ag ah a F x f b g b h a f x g x h x =,由行列式的性质知()()0F a F b ==,利用罗尔中值定理即可得证 注；（1）若()g x x =()1h x =并带入上式即得拉格朗日定理'()()()f b f a f b aξ-=-（2）若令'()1,()0h x g x =≠展开即得柯西中值定理''()()()()f x f b f ag x b a-=-3.微分中值定理的应用3.1导数极限定理 例1设函数()f x 满足：（1）在x a =的某δ邻域(,)a a δδ-+内连续 （2）'lim ()x af x K →=则()f x 在x a =处可导,且'()f a K =证明：先对()f x 在[,](,]x a a a δ⊂-上应用拉格朗日中值定理,有'()()()(),[,](,]f x f a f x a x a a a ξδ-=-⊂-从而有'''()()()()()lim lim lim ()x ax aaf x f a f x a f a f x ax aξξξ----→→→--===--由'lim ()x af x K →=故''()lim ()x af a f K ξ--→==同理可证'()f a K +=同理'()f a K =此结论说明了,若有限导数'()f x 在某区间存在,则在区间没一点连续,它或是连续,或是第二间断点 3.2导数估值问题例2 设()f x 在(0,1)上具有二阶连续导数,且满足条件'(),(),f x M f x N ≤≤其中M,N都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点。
证明：'()22N f c M ≤+证明 将()f x 在x c =处展为一阶泰勒公式''2'()()()()(),(),012!f x c f x f c f c x c c x c ξθθ-=+-+=+-<< （1）在（1）式中令0x =,则有 ''2'11()(0)(0)()(0),012!f c f f c f c c c ξξ-=+-+<<< （2）在（1）式中令1x =,则有 ''2'22()(1)(1)()(1),012!f c f f c f c c c ξξ-=+-+<<<（3） （2）式减（3）式,得''2''221()(1)()(1)(0)()2!f c f cf f f c ξξ---=+于是'''2''2211()(1)(0)[()(1)()]2!f c f f f c f c ξξ=----''2''22111(1)(0)()(1)()22f f f c f cξξ≤++-+222[(1)]M M c c N≤++-+又因为22(0,1),(1)1c c c ∈-+≤,故 '()22N f c M ≤+3.3讨论方程根的存在性例3 设()f x 在[0,1]上可导,且对任何(0,1)x ∈都有'()1f x ≠,又0()1f x <<。
