历年联赛题-2005年全国高中数学联赛

2005年全国高中数学联赛试卷1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值有 个 3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为4．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( ) A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是焦点在 轴上的 6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+3747．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ； 8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围 是 ； 9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉 祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE EC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BFFC ＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．A'B'C'D'DC B A 45°ADCB加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z 的最小值．三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数，[1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．2006年全国高中数学联合竞赛试题1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 形状为 ．2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为 3． A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为 ． 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为 ． 5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的 条件 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9，则2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为 ． 7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ． 9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 11．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ．12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．13. 给定整数n ≥2，设M 0(x 0，y 0)是抛物线y 2＝nx －1与直线y ＝x 的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数k ≥2，使(x 0m ，y 0m)为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x 的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和．记S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ．问：⑴ 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最大值；⑵ 进一步对任意1≤i ，j ≤5有||x i －x j ≤2，当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最小值.说明理由．15．设 f (x )＝x 2＋a . 记f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R |对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]．2006年全国高中数学联合竞赛加试试题一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0⌒交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1⌒交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1⌒交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P 0'⌒，交AB 0的延长线于P 0'. 试证：⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒相内切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆．二、已知无穷数列{a n }满足a 0＝x ，a 1＝y ，a n ＋1＝a n a n －1＋1a n ＋a n －1，n ＝1，2，…．⑴ 对于怎样的实数x 与y ，总存在正整数n 0，使当n ≥n 0时a n 恒为常数？ ⑵ 求通项a n ．三、解方程组⎩⎨⎧x －y ＋z －w ＝2，x 2－y 2＋z 2－w 2＝6，x 3－y 3＋z 3－w 3＝20，x 4－y 4＋z 4－w 4＝66，B 1B 0C 1P 1P 0Q 1Q 0AC 02007年全国高中数学联合竞赛一试试卷1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C的平面角的余弦值为_______2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数 x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是_______3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

- 1 -2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题一、选择题（每小题6分，共60分） 1．数集{x x x -2,}中x 的取值范围是（ ）A ．),(+∞-∞B ．),0()0,(+∞⋃-∞C ．),2()2,(+∞⋃-∞D ．),2()2,0()0,(+∞⋃⋃-∞2．若012=++z z ，则2005z的值是（ ）A ．1B ．1-C ．i 2321± D ．i 2321±- 3．函数x x y 24sin cos +=的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π24．随机抛掷一颗6个面分别刻有1，2，3，4，5，6个点的骰子，其出现（即向上一面）的 点数的数学期望值为 （ ） A ．3 B ．3.5 C ．4 D ．4.5 5．函数cx bx ax x f ++=23)(的图像如图，则下面关于c b a ,,符号判断正确的是 （ ）A ．0,0,0<<>c b aB ．0,0,0>>>c b aC ．0,0,0><<c b aD ．0,0,0<><c b a6．16666101192111011111-++++C C C 被8除所得余数是（ ）A ．0B ．2C ．3D ．5 7．不等式31|1log 1|31>+x 的解集为（ ）A ．)81,91(B ．)27,31(C ．)27,3()3,31(⋃ D ．)81,3()3,91(⋃8．当22ππ≤≤-x 时，函数)(x f 满足x x f x f 2sin )(sin 3)sin (2=+-，则)(x f 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数- 2 - 9．点P 在双曲线222a y x =-的右支上，21,A A 21122A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于（ ） A ．30 B ．5.27C ． 25D ． 5.2210．正四面体ABCD 中，CD CF AB AE 41,41==，则直线DE 和BF 所成角是 （ ）A ．134arccosB ．133arccosC ．134arccos -πD ．133arccos -π二、填空题（每小题6分，共24分）11．已知函数⎩⎨⎧≤<+-<≤---=10,101,1)(x x x x x f ，则1)()(->--x f x f 的解集为 . 12．数列{n a }的前n 项和n S 满足n n a n S 2=，若10031=a ，则2005a 等于 .13．设平面内的两个向量,互相垂直，12==，又k 与t 是两个不同时为零的实数， 若向量b t a x )3(-+=与b t a k y 2+-=互相垂直，则k 的极大值为 .14．在某次商品的有奖销售活动中，有n 人获三等奖（4≥n ），三等奖的奖品共有四种，每 个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选了一种，结果有一种奖品无人挑选的概率是 . 三、解答题（共5小题，计66分） 15．（12分）某人购房向银行贷款s 元，年利率为p ，每两年向银行返还一次本息，十年还清，要求每次向银行的付款数相同，那么十年付款的总额是多少？16．（12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -的侧面C C AA 11的面积为23的菱形，1ACC ∠ 为锐角，侧面11A ABB ⊥侧面C C AA 11，且11===AC AB B A .ABC1A 1B 1C- 3 -（1）求证11BC AA ⊥； （2）求11B A 到平面ABC 的距离.17．（12分）设c bx x x f ++=2)(（c b ,为常数），方程x x f =)(的两个实数根为21,x x ，且满足01>x ，112>-x x .（1）求证：)2(22c b b +>；（2）若10x t <<，比较1x 与)(t f 的大小.18．（15分）如图，过原点O 作抛物线px y 22=（0>p ）的两条互相垂直的弦OB OA ,， 再作AOB ∠的平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程.- 4 -19．（15分）圆周上有800个点，依顺时针方向标号依次为800,,2,1 .它们将圆周分成800个间隙.任意选定一点染成红色，然后按如下规则逐次染红其余的一些点：若第k 号点已被染红，则可按顺时针方向经过k 个间隙，将所到达的那个点染红.如此继续下去，试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.。

2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。

2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。

所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。

二○○五年全国高中数学联合竞赛试题一.选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．使关于xk 有解的实数k 的最大值是（ ） A． BC ．63+D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足||3,||7,||11,||9,AB BC CD DA ====则AC BD ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个 3．ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。

则CB A CCC B BB A AA sin sin sin 2cos2cos 2cos 111++⋅+⋅+⋅ 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，D C B A ABCD ''''-为正方体。

任作平面α与对角线C A ' 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面 多边形的面积为S ，周长为l .则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值5.方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a aa M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

2005年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1．使关于x k 有解的实数k 的最大值是（ ）A 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC 则⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7.将关于x 的多项式2019321)(x x x x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a .8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。

2005年全国高中数学联赛试题（二）一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。

证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。

） 二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值. 三、（本题满分50分）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.2005年全国高中数学联赛试题（二）参考答案一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。

证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。

（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。

） 证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。

如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ，则由AD=AC ， 得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上， ∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC ，∴A 、I 、C 、E 四点共圆， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC ，而∠CIE=2∠ICD ， ∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC ，∴∠ACI=21∠ACB ，∴I 为△ABC 的内心。