下载文档原格式
高三数学上学期 10 月联考试题 文考生注意：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色，墨水署名笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径毫米黑色墨水署名笔在答题卡上各题的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效，在试题卷、底稿纸上作答无效。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4. 本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：此题共12 小题，每题5 分，共 60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的。
1. 已知会合 A ＝ {0 ， 1， 2} ， B ＝ {1 ，2， 3} ，则 A ∩ B ＝ A.{1 ，2}B.{0， 2} C.{0，1}D.{1}2. 若 i 是虚数单位，则 2(3 ＋ i)iA.2 ＋ 6i－ 6i C.－ 2－ 6i D. － 2＋ 6i3. 若函数 f ( x) x 2 2, x 0 ，则 f(1) ＋ f( － 1) ＝log 2 x2, xB.1C.－4. 若双曲线x 2y 221(m 0) 的离心率为 2，则实数 m 的值为m 2 m 21B.3127 ) 5. 若 cos()，且 6，则 sin(36 31270 270 22 70 702A.B.C.12D.1212126. 在 Rt △ ABC 中， A ＝ 90°， AB ＝ AC ＝a ，在边 BC 上随机取一点 D ，则事件“ AD>10a ”发生4的概率为A.3B.2 C. 1 D. 1 43 2 37. 已知某几何体的三视图以下图，若该几何体的体积为 3π＋ 6，则 x 等于8.已知点 D 是△ ABC所在平面上的一点，且＝uuur uuur uuur uuur uuurBD＝－ 2DC，若 AD＝AB＋AC ，则λ－μA.6B. － 6C. －3D. －3 29. 已知函数f ( x) sin( x )( 0) 的两个零点之差的绝对值的最小值为，将函数 f(x)6 2的图象向左平移个单位长度获得函数g(x) 的图象，则以下说法正确的选项是3 7，0) 对称；①函数 g(x) 的最小正周期为π；②函数 g(x) 的图象对于点 (2 12③函数 g(x) 的图象对于直线对称；④函数 g(x) 在 [ ，π ] 上单一递加。
陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （ ）A. {}10x x -≤≤ B. {}10x x -<≤ C. {}10x x -≤< D. {}10x x -<<2. “01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A. B.C. D.4. 已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. c b a>> B. c a b>> C. a b c>> D. b c a>>5. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（ ）A. 1- B. 1C. 3- D. 36. 已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（ ）A. {}eB. [)e,+∞ C. {}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D. {}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7. 已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有三个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线8. 已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）A. 28- B. 28C. 14- D. 14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列导数运算正确的是（ ）A.1()x '= B. (e )e x x --'= C. 21(tan )cos x x'=D. 1(ln )x x'=10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）A. 甲乙不相邻的不同排法有48种B. 甲乙中间恰排一个人不同排法有36种C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11. 已知0c b a <<<，则（ ）A. ac b bc a+<+ B. 333b c a +<C.a c ab c b +<+ D.>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．的的13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.14. 51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x 123456体重超标人数y987754483227lnz y= 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；的（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈17. 已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈. )（2）（i ）从样本质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件A 等品芯片的的的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19. 已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （ ）A. {}10x x -≤≤ B. {}10x x -<≤ C. {}10x x -≤< D. {}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2. “01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->--=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4. 已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. c b a >>B. c a b>> C. a b c>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（ ）A. 1- B. 1C. 3- D. 3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6. 已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（ ）A. {}e B. [)e,+∞ C. {}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D. {}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7 已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有三个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得x >或x <()0f x '<得x <<的.所以()f x在(,-∞，)+∞上单调递增，(上单调递减，所以x =是极值点，故A 不正确；对应B，因(10f =+>，10f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x在⎛-∞ ⎝上有一个零点，当x ≥时，()0f x f ≥>，即函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭+上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8. 已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）A. 28- B. 28C. 14- D. 14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为44x x +≥=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列导数运算正确的是（ ）A. 211()x x '=-B. (e )e x x --'=C. 21(tan )cos x x'=D. 1(ln )x x'=【答案】ACD【解析】的的【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x+''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）A. 甲乙不相邻的不同排法有48种B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11. 已知0c b a <<<，则（ ）A. ac b bc a+<+ B. 333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c abc b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<⇒>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21yx =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214. 51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】的【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以x <1或x >2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-；参考数据：6123.52ii z==∑，6177.72i ii x z==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83ex y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i i i ii x zx zbxx ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83az bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83zy x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17. 已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或t ≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<a <1，则x +1≥(2x−1)22x−1>0，∴4x 2−5x ≤0x >12⇒12<x ≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U<--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得t =，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒t =；②F (x )在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，F (x )在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有t >0Δ>0−1<−12t <2F(−1)>0F(2)>0或t <0Δ>0−1<−12t <2F(−1)<0F(2)<0，解得1t <<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或t ≥18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈. )（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16 （2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，15(2)38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19. 已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x ()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>， ()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<， ()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x-'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数 a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。
陕西省西安高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（答案在最后）（时间：120分钟满分：150分命题人：）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （）A.{}10x x -≤≤ B.{}10x x -<≤ C.{}10x x -≤< D.{}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2.“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42e f ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4.已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（）A.c b a >>B.c a b>> C.a b c>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（）A.1-B.1C.3- D.3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6.已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（）A.{}e B.[)e,+∞ C.{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.{}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=的图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有三个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得33x -<<，所以()f x在(,3-∞-，)3+∞上单调递增，(,)33-上单调递减，所以3x =±是极值点，故A 不正确；对应B ，因323()1039f -=+>，323()1039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8.已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A.28- B.28C.14- D.14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为4424x x x x+≥⋅=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大的根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列导数运算正确的是（）A.211()x x '=-B.(e )e x x--'= C.21(tan )cos x x'=D.1(ln )x x'=【答案】ACD 【解析】【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x +''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（）A.甲乙不相邻的不同排法有48种B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C.甲乙不排在两端的不同排法有36种D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a +<+B.333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c a b c b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513.若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214.51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以<1或>2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16.为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x123456体重超标人数y987754483227ln z y = 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆn i i i n i i x y nx yb x nx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx =-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83e x y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b 则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i ii i i x z x zb x x ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83a z bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83z y x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17.已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或224t +≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<<1，则+1≥(2−1)22−1>0，∴42−5≤0>12⇒12<≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ单调递减，当4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U <--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或2.4t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得24t ±=，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒224t +=；②在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有>0Δ>0−1<−12<2o −1)>0o2)>0或<0Δ>0−1<−12<2o −1)<0o2)<0，解得214t +<<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或2.4t ≥18.某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈.)（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16（2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，121010320C C 15(2)C 38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P 21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19.已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x 二次求导，判断()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>，()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<，()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e 2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x -'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。
2024-2025学年陕西省西安市高三上学期10月月考数学检测试题1、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则(){}(){}2210,1=-=-A x x B x log x x ………A B ⋂=A.B.C.D.{}10x x -……{}10x x -<…{}10x x -<…{}10x x -<<2. “”是“函数在上单调递增”的( )01a <<()log (2)a f x a x =-(,1)-∞A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数在区间的大致图像为( )()()2sin x x f x x e e x-=-+-[]2.8,2.8-A.B.C. D.4. 已知，，，则( )5log 2a =2log b a =1()2bc =A. B. C. D. c b a >>c a b >>a b c>>b c a>>5. 已知定义在R 上的函数满足，且，则( )()f x3(2)()f x f x +=(2)1f =-(100)f =A. 3 B. 1C. D. 1-3-6．已知函数，若关于x 的方程有2个不相等的1,0,()()12,0,x e x f x g x kx x x ⎧-⎪==-⎨<⎪⎩…()()f x g x =实数解，则实数k 的取值范围是( )A. B. C. D.{}e [,)e +∞1(,0){}8e -⋃1(,){}8e -∞-⋃7. 已知函数，则( )3()1f x x x =-+A. 有三个极值点 B. 有三个零点()f x()f xC. 直线是曲线的切线D.点是曲线的对称中心2y x =()y f x =(0,1)()y f x =8. 已知函数，，若方程有且仅有5个不相24,0(),0x x f x xlog x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩2()g x x ax b =++()0g f x =⎡⎤⎣⎦等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于( )A. B. 28C. D. 1428-14-二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列导数运算正确的是（ ）A. B. C.D.211(xx '=-()xxe e'--=21(tan )x cos x '=1(ln ||)x x'=10.甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则( )A. 甲乙不相邻的不同排法有48种B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11. 已知，则()0c b a <<<A. B.C.ac b bc a+<+333b c a +<a c ab c b +<+>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 某班的全体学生参加化学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，则该班学生化学测试成绩的第40百分位数为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]__________.13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.xy e x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =14. 的展开式中，的系数为__________.5(1)(2)yx y x -+23x y 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数3212()2.32a f x x x ax +=-+（1）若，求函数的极值；1a =()f x （2）讨论函数的单调性.()f x 16．为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线的附近，请根据下表中bx ay e +=的数据求出（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程系数a 和b 的最终结果精确到(；0.01)（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.37 3.983.87 3.46 3.29附：经验回归方程：中，，；参考数据：ˆˆˆy bx a =+1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-⋅=-∑∑ˆˆa y bx =-，，，6123.52ii z==∑6177.72i ii x z==∑62191ii x==∑ln10 2.30.≈17. 已知函数，R ，，且()log (1)a f x x =+()2log (2)(a g x x t t =+∈)0a > 1.a ≠（1）当且时，求不等式的解集；01a <<1t =-()()f x g x …（2）若函数在区间上有零点，求t 的取值范围．()2()21f x F x a tx t =+-+(1,2]-18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：根据长期检测结果，得[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].到芯片的质量指标值X 服从正态分布，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等2(,)N μσ品，其它产品称为B 等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数作x 为的近似值，用样本标准差s 作为的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片μσ为 A 等品的概率保留小数点后面两位有效数字();①同一组中的数据用该组区间的中点值代表;②参考数据：若随机变量服从正态分布(ξ，则，，2(,)N μσ()0.6827P μσξμσ-<<+≈(22)0.9545P μσξμσ-<<+≈(33)0.9973.)P μσξμσ-<<+≈（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在和的芯片中随机抽取3件，记其中质量指[45,55)[85,95]标值在的芯片件数为，求的分布列和数学期望；[85,95]ηηⅱ该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件()A 等品芯片的利润是元，一件 B 等品芯片的利润是元，根据的计(124)m m <<ln(25)m -(1)算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19. 已知函数1()ln (1).x f x ae x a x -=+-+（1）当时，求函数的单调区间；0=a ()f x （2）当时，证明：函数在上单调递增；1a =()f x (0,)+∞（3）若是函数的极大值点，求实数a 的取值范围.1x =()f x数学答案一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)12. 6513.14. 40ln 2三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)15.（本小题满分13分）题号12345678答案CBABDCDA题号91011答案ACDBCDABD解：时，，(1)1a =3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x '=-+=--所以 或 时， ； 时， 1x <2x >()0f x '>12x <<()0f x '<则 在 上递减，在 上递增，()f x (1,2)(,1),(2,)-∞+∞所以 的极小值为 ，极大值为()f x 2(2)3f =5(1)6f =...............................5分，则，当 时， ，所以3212(2)()232a f x x x ax +=-+()()(2)f x x a x '=--2a =()0f x '… 在 上递增，当 时， 或 时， ； 时，()f x (,)-∞+∞2a >2x <x a >()0f x '>2x a <<,所以 在 上递增，在 上递减，当 时， 或()0f x '<()f x (,2),(,)a -∞+∞(2,)a 2a <x a < 时， ； 时， 2x >()0f x '>2a x <<()0f x '<所以 在 上递增；在 上递减. ()f x (,),(2,)a -∞+∞(,2)a ...............................8分16.（本小题满分15分）（2）令，所以，解得，由于，所0.26 4.83ln10 2.310x ee e -+<=≈0.26 4.83 2.3x -+<9.73x >x N ∈以，10x ...所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下. . (5)分17.（本小题满分15分）解： 时， ，又，，(1)1=- t ()()2log 1log 21a a x x +-…01a << 21(21)210x x x ⎧+-∴⎨->⎩…，解集为： ；2450151242x x x x ⎧-⎪∴∴<⎨>⎪⎩……∴15{|}24x x <…..............................................................6分解法一：，由得：且，(2)()222F x tx x t =+-+ ()0F x=22(2x t x x +=-≠-12)x -<…，设 且，则22(2)4(2)2x t x x +∴=-+-++2U x =+(14U <…2U ≠，212424U t U U U U =-=--+-+令，当时，时，单调递增，2()U U U ϕ=+1U <<()U ϕ4U <<()U ϕ且且或9(1)3,(4).2ϕϕϕ===9()2U ϕ∴…() 4.U ϕ≠12402U U ∴---< (2)044U U <---…t 的取值范围为：或2t -…t …解法二：，若，则在上没有零点．()222F x tx x t =+-+0t =()2F x x =+(1,2]-下面就时分三种情况讨论：0t ≠①方程在上有重根，则，解得：，又()0F x =(1,2]-12x x =0∆=t =1212x x t ==-(]1,2,∈-t ∴=②在上只有一个零点，且不是方程的重根，则有，解得：()F x (1,2]-()()120F F -<或，2t <-1t >又经检验： 或时， 在上都有零点；或2t =-1t =()F x (1,2]-2t ∴-… 1.t …③方程在上有两个相异实根，则有或，解得：()0F x =(1,2]-0,01122(1)0(2)0t t F F >∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪->⎪>⎪⎩0,01122(1)0(2)0t t F F <∆>⎧⎪⎪-<-<⎪⎨⎪-<⎪<⎪⎩，1t <<综上可知：t 的取值范围为或2t -…t …...............................15分 18.（本小题满分17分）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：(1)(1)即10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69.x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=69x μ≈=，所以X ∽，因为质量指标值X 近似服从正态分布，11s σ≈≈2(69,11)N 2(69,11)N 所以1(69116911)1()(80)22P X P X P X μσμσ--<<+--<<+==…，10.68270.158650.162-≈=≈所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为 0.16...............................................................5分，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在的芯(2)()(0.010.01)1010020i +⨯⨯=[85,95]片件数为10件，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：η，，3010103202(0)19C C P C η===21101032015(1)38C C P C η===，，12101032015(2)38C C P C η===0310103202(3)19C C P C η===随机变量的分布列为：ηη0123P21915381538219所以的数学期望η2151523()0123.193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=...............................11分设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有件，设每箱产品的利润为()ii (100)Y -Z 元，由题意知：，(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-由知：每箱零件中A 等品的概率为，所以Y ∽，所以(1)0.16(100,0.16)B ，()1000.1616E Y =⨯=所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))()100ln(25)m m E Y m =--+-,令16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<得，，又，，递增，84()16025f x x '=-=-794x =79(1,)4x ∈()0f x '>()f x 79;(,24)4x ∈，递减，所以当时，取得最大值.所以当时，每箱()0f x '<()f x 79(1,24)4x =∈()f x 794m =产品利润最大...............................................................17分19.（本小题满分17分）解：当时，，且知，在上，， (1)0=a ()ln =-f x x x 11()1-'=-=xf x x x (0,1)()0'>f x >在上单调递增；在上，， 在上单调递减；所以函数()f x (0,1)(1,)+∞()0'<f x ()f x (1,)+∞的单调增区间为，单调减区间为()f x (0,1)(1,)+∞ (4)分证明：因为，所以，且知，(2)1a =1()ln 2x f x ex x -=+-11()2x f x e x -'=+-要证函数单调递增，即证在上恒成立，()f x ()0f x '…(0,)+∞设，，则，11()2x g x e x -=+-0x >121()x g x e x -'=-注意，在上均为增函数，故在上单调递增，且1x y e-=21y x =-(0,)+∞()g x '(0,)+∞，(1)0g '=于是在上单调递减，在上单调递增，，即，因此函()g x (0,1)(1,)+∞()(1)0g x g =…()0f x '…数在上单调递增;()f x (0,)+∞ (10)分由，有，令，有，(3)11()1x f x ae a x -'=+--(1)0f '=11()1x h x ae a x -=+--121()x h x ae x -'=-①当时，在上恒成立，因此在上单调递减，0a …11()0x x h x ae x -'=-<(0,)+∞()f x '(0,)+∞注意到，故函数的增区间为，减区间为，此时是函数的(1)0f '=()f x (0,1)(1,)+∞1x =()f x 极大值点;②当时，与在上均为单调增函数，故在上单调递0a >1x y ae-=21y x =-(0,)+∞()h x '(0,)+∞增，注意到，若，即时，此时存在，使，(1)1h a '=-(1)0h '<01a <<(1,)n ∈+∞()0h n '=因此在上单调递减，在上单调递增，又知，()f x '(0,)n (,)n +∞(1)0f '=则在上单调递增，在上单调递减，此时为函数的极大值点，()f x (0,1)(1,)n 1x =()f x 若，即时，此时存在，使，(1)0h '>1a >(0,1)m ∈()0h m '=因此在上单调递减.在上单调递增，又知，()f x '(0,)m (,)m +∞(1)0f '=则在上单调递减，在上单调递增，此时为函数的极小值点.()f x (,1)m (1,)+∞1x =()f x 当时，由可知单调递增，因此非极大值点，1a =(1)()f x 1x =综上所述，实数 a 的取值范围为(,1).-∞ ..........................17分。
汉中市2020届高三年级教学质量第一次检测考试文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域。
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设集合[],2,1=M }032|{2<--∈=x x Z x N ,则N M =（ ） A ．[1，2]B ．(－1，3)C ．{1}D ．{l ，2}2.若iiz 215-=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）||2a = A ． i -2 B ．i +2 C ．i --2 D ．i +-23.已知向量,满足1,2a a b =⋅=-，则(2)a a b →→→⋅-=( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 4.已知sin()2sin 2παα-=，则tan 2α的值为 ( )A ．43-B ．34-C ．165D ．12 5.函数331x x y =-的图像大致是( )A ．B ．C ．D ．6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）A ．13B ．12 C ．.23D ．567.已知函数()()1,022,0xx f x f x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩，则21log 5f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．516B ．54 C ．52D ．58.地铁某换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下:A ．AB ．BC ．D D ．E9.已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+>的最小正周期为π,若()f x 在[0,)x t ∈时函数值没有最小值，则实数t 的范围是（ ）A ．π(0,]6B ．2(0,π]3C ．π5π(,]36D ．π2(,π]3310.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 33()()22f x f x +=-且3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,2()log (31)f x x =-+，则(2020)f =（ ）A ．4B ．2log 7C ．2D ．-211.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线被曲线22(2)2x y -+=所截得的弦长为2．则该双曲线的离心率为（ ）A B C D 12.已知函数211()(0)42f x x x a x =++<，()ln (0)g x x x =>，其中R a ∈．若()f x 的 图像在点()()11,A x f x 处的切线与g x （）的图像在点()()22,B x f x 处的切线重合，则a 的取值范围是（ ）A ．(1ln 2,)-++∞B ．(1ln 2,)--+∞C ． 3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．(ln 2ln3,)-+∞第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13.曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为______．14.在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知ABC ∆的面积为15，2=-c b14cosA =-,则a 的值为______．15.正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上.若163P ABCDV -=，则球O 的体积是______． 16.已知函数()log (3)1a f x x =+-（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为______． 三、解答题（共70分,解答写出文字说明、证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题，第22~23题为选考题）17.（12分）已知等差数列n {}a 满足4357,219a a a =+=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n b a -是首项为2，公比为2的等比数列，求数列{}n b 通项公式及前n 项和n T . 18.（12分）2019年2月13日《西安市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X （单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数；（2）为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为[6.5,7.5)，[7.5,8.5)的学生中抽取9名参加座谈会． （i ）你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；（ii ）座谈中发现9名学生中理工类专业的较多．请根据200名学生的调研数据，填写下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？（精确到0.1）附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++）.临界值表：PB ＝42，线段AC ，AP 的中点分别为O ，Q ． （1）求证：平面PAC⊥平面ABC ； （2）求四面体POBQ 的体积．20.（12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的3倍，焦距为22． （1）求椭圆的方程；（2）已知定点()1,0E -,若直线()20y kx k =+≠与椭圆交于,C D 两点.问:是否存在k 的值,使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由.21.（12分）已知函数()ln 1()f x x ax a R =++∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 的图像与x 轴相切，求证：对于任意互不相等的正实数1x ，2x ，都有()()21211211f x f x x x x x -<+-.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标系方程为2cos 3sin ρθθ=． （1）求直线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PM PN +的值.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数()23f x x x =-+-． （1）求不等式()2f x <的解集；（2）若()21f x a x ≥+的解集包含[]3,5，求实数a 的取值范围．。
陕西汉中市2020届高三上学期第五次质量检测数学（文）试题一、单选题1．集合{|10}A x x =-≤，集合2{|60}B x x x =--<，则A B = （）A ．{|3}x x <B ．{|31}x x -<≤C ．{|2}x x <-D ．{|21}x x -<≤【答案】A【解析】求得集合{|1}{|23},B A x x x x =-<<=≤，再根据并集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|10}{|1}A x x x x =-≤=≤，集合2{|60}{|23}B x x x x x =--<=-<<，则{|3}A B x x =< ，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足()234i z i -=+,则z =（）A ．2i --B ．2i -C ．2i -+D ．2i +【答案】D【解析】把已知等式变形再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由(2)z |34|5i i -=+=，得55(2)z 22(2)(2)i i i i i +===+--+．故选：D ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（）A ．－3＜m ＜0B ．－3＜m ＜2C ．－3＜m ＜4D ．－1＜m ＜3【答案】A【解析】由题意知，()()23032m m m -+<⇒-<<，则C ，D 均不正确，而B 为充要条件，不合题意，故选A.4．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（）A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里【答案】D【解析】每天行走的步数组成公比为12的等比数列,根据前6项和为378列式可解得.【详解】设第n 天行走了n a 步,则数列{}n a 是等比数列,且公比12q =,因为123456378a a a a a a +++++=,所以23451(1)378a q q q q q +++++=,所以12345378111111()()()()22222a =+++++6378378192111()2(1)264112===---,所以第一天走了192步.故选:D 【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式中的基本量的计算,属于基础题.5．边长为m 的正方形内有一个半径为2m n n ⎛⎫< ⎪⎝⎭的圆，向正方形中机扔一粒豆子（忽略大小，视为质点），若它落在该圆内的概率为34，则圆周率π的值为()A ．34m nB ．2234m n C ．34n mD ．2234n m 【答案】B【解析】由几何概型中的面积型概率的求法，求出圆周率π的值即可得解．【详解】由几何概型可知2234n m π=，则2234m nπ=.选B.【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属基础题．6．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”.在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【答案】A【解析】假设甲获奖，则甲、乙、丙都回答错误，丁回答正确，符合题意，所以甲获奖，故选：A ．7．函数f(x)=(21+e x−1)cos x 图象的大致形状是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】先判断函数的奇偶性，再求f1，f π2利用排除法可得解.【详解】由题意得，fx =21+e x−1cos x =1−e x 1+e x ⋅cos x ，所以f−x =1−e −x1+e −x ⋅cos (−x)=e x −11+e x ⋅cos x =−f(x)，所以函数fx 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令x =1，则f1=21+e1−1cos 1=1−e1+ecos 1<0，f π2=0。
数学文(时间120分钟，满分150分)第I 卷(共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题四个选项中只有一项符合题意)1.已知集合{10}A x x =-≤，集合2{60}B x x x =--<，则A B = A.{3}x x < B.{31}x x -<≤ C.{2}x x <- D.{21}x x -<≤2.复数z 满足(2－i)z ＝|3＋4i|，则z ＝A.－2－iB.2－iC.－2＋iD.2＋i3.方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是 A.－3<m<0 B.－3<m<2 C.－3<m<4 D.－1<m<34.中国古代数学石作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一关的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了A.24里B.48里C.96里D.192里5.边长为m 的正方形内有一个半径为n 2m n ⎛⎫<⎪⎝⎭的圆，向正方形中随机扔一粒豆子(忽略大小，视为质点)，若它落在该圆内的概率为34，则国周率π的值为 A.34m n B.34n m C.2234m n D.2234n m 6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我没有获奖”，乙说：“是丙获奖”，丙说：“是丁获奖”，丁说：“我没有获奖”。
在以上问题中只有一人回答正确，根据以上的判断，获奖的歌手是A.甲B.乙C.丙D.丁7.函数2()(1)cos 1xf x x e =-+图象的大致形状是8.若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ≡n(mod m)，例如10≡4(mod 6)，如图程序框图的算法源于我国古代《孙子算经》中的“孙子定理”的某一环节，执行该框图，输入a ＝2，b ＝3，c ＝5，则输出的N ＝A. 6B. 9 c. 12 D. 219.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期是π，将函数f(x)的图象向左平移6π个单位长度后所得的函数图象过点P(0，1)，则函数()sin()f x x ωϕ=+ A.有一个对称中心,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.有一条对称轴6x π=C.在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减D.在区间5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 10.四棱锥P －ABCD 的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P －ABCD 的侧面积等于4(1)，则该外接球的表面积A.4πB.12πC.24πD.36π11.过抛物线C ：x 2＝2py(p>0)的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，若4|AF|＝| BF|，O 为坐标原点，则AF OF= A.54 B.34C.4D.5 12.己知函数f(x)＝xlnx ＋x(x －a)2(x ∈R)，若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得f(x)>xf ’(x)成立，则实数a 的取值范围是 A.9,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B.3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C.)+∞ D.()3,+∞ 第II 卷(共90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省汉中市2021届高三年级第一次模拟数学试题文科数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|20},{1,0,2}A x x x B =+->=-，则()A B =R（ ）A. {2}B. {1,0}-C. {0,2}D. {1,0,2}-【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式，利用补集、交集定义即可.【详解】因为{}{}2|20|21A x x x x x x =+->=<->或，所以{}|21A x x =-≤≤R所以()A B =R{1,0}-.故选：B ． 2. 设复数543z ii=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数为3455z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数()()()54353434434343555i i i i z i i i i ⋅-+====+++-， 所以复数z 对应点为34(,)55位于第一象限. 故选：A.3. 设x θ=是函数()3cos sin f x x x =+的一个极值点，则tan θ=（ ）A. 3-B. 13-C.13D. 3【答案】C 【解析】 【分析】利用连续光滑曲线的极值点处的导数为0，可求得答案得选项.【详解】因为函数()3cos sin f x x x =+，所以'()3sin cos f x x x =+-，所以'()0f θ=，即3sin cos 0θθ+-=，解得1tan 3θ=， 故选：C.4. 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国.古埃及人的分数运算特别奇葩而且复杂，采用的思路可以说是世界上独一无二的.古埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数叫做埃及分数，或者叫单分子分数.埃及分数求和是一个古老而饶有兴趣的数学问题，下面的几个埃及分数求和不正确的是（ ）A. 1111116324816326464+++++=B. 222211115021416150151++++=---- C. 1111124612++=D. 11149121231235051+++=+++++++ 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用裂项求和法可判断BD 选项的正误；利用分式的加法可判断C 选项的正误.【详解】对于A 选项，623456111111111111111632212481632642222226412⎛⎫- ⎪⎝⎭+++++=+++++==-，A 选项正确； 对于B 选项，()()()21111121212122121n n n n n ⎛⎫==- ⎪--+-+⎝⎭，所以，222211111111111112141615012335574951⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪----⎝⎭1125125151⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，B 选项错误； 对于C 选项，11131112464612++=+=，C 选项正确； 对于D 选项，()()112221123112n n nn n n n ===-+++++++， 所以，111222224911212312350334505151+++=-+-++-=+++++++，D 选项正确. 故选：B.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.5. 已知直线1(2)10l ax a y +++=:，2:20()l x ay a R ++=∈，则“2a =”是“12l l //”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件，由直线平行求出参数；根据2a =再验证两直线是否平行，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若1(2)10l ax a y +++=:与2:20()l x ay a R ++=∈平行， 则2(2)0a a -+=，解得2a =或1a =-；当2a =时，1:2410l x y ++=与2:220l x y ++=显然平行； 当1a =-时，1:10l x y -++=与2:20l x y -+=也平行；所以由12l l //不能推出2a =；由2a =能推出12l l //. 因此“2a =”是“12l l //”的充分不必要条件. 故选：A6. 直线10ax y +-=被圆2228130+--+=x y x y所截得的弦长为a =（ ）A. 43-B. 34-C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】可将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径.再根据垂径定理算得圆心到直线的距离，用点到直线距离公式建立方程求解即可.【详解】2228130+--+=x y x y ，即()()22144-+-=x y ，该圆圆心为()1,4，半径为2r直线10ax y +-=截圆所得的弦长为()1,4到直线10ax y +-=的距离为1d ==1=，解得43a =-故选：A【点睛】本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式12l x x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.优先采用几何法.7. 五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫､商､角､徵､羽.如果从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，则这个音序中宫和羽至少有一个的概率为（ ） A.12B.710C.920D.1120【答案】B 【解析】 【分析】利用对立事件的概率关系进行求解.【详解】设从这五个音阶中任取两个音阶，排成一个两个音阶的音序，这个音序中宫和羽至少有一个为事件A ，则A 表示这个音序中不含宫和羽这两个音序，()()23253271115410C P A P A C ⨯∴=-=-=-=⨯.故选：B8. 设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ B. 若,l l m α⊥⊥，则//m α C. 若,//l l m α⊥，则m α⊥ D. 若//,//l m αα，则//l m【答案】C 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面的位置关系定义可判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D.【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，故A 不正确；,l l m α⊥⊥，则m α，可能平行，可能线在面内；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，故C 正确； //l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，故D 不正确.故选：C .【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价. 9. 若0a b <<，则下列不等式成立的是（ ） A. 11a b-<- B. 22a b ab > C. 2ab a -<- D. ln ln a b <【答案】A 【解析】【分析】根据不等式的性质即可分别判断. 【详解】对A ，若0a b <<，则11a b>，则11a b -<-，故A 正确；对B ，若0a b <<，则0ab >，则a ab b ab ⋅<⋅，即22a b ab <，故B 错误； 对C ，若0a b <<，则0a ->，则()()a a b a ⋅-<⋅-，即2a ab -<-，故C 错误； 对D ，若0a b <<，则0a b >>，则ln ln a b >，故D 错误. 故选：A.10. 三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，190,1,3,2ABC AB BC AA ∠=︒===，则三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（ ）A. 32πB. 16πC. 12πD. 8π【答案】D 【解析】 【分析】由三棱柱的结构特征，把三棱柱111ABC A B C -放入长方体中，则长方体的外接球就是三棱柱的外接球，利用长方体体对角线求出外接球半径，进而得到外接球的表面积. 详解】把三棱柱放入长方体中，如图所示，所以长方体的外接球即是三棱柱的外接球，11,3,2AB BC AA ==，∴长方体的外接球半径2221(3)22R ++==∴三棱柱111ABC A B C -2，表面积为22442)8S R πππ===， 故选：D.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.11. 设1F ､2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A.173+ B.173-+ C.54D.53【答案】D 【解析】【分析】利用题设条件和双曲线的定义，表示出边，然后利用勾股定理得到,a c 的的等量关系，左右同时除以2a ，化简即可求得离心率.【详解】依题意212PF F F =，可知12PF F △是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是中点，根据双曲线定义可知122PF PF a -=，所以122PF a c =+，由勾股定理可知()()()222212=22F F a c a c ++=，整理可得223250c ac a --=，即23250e e --=，解得53e =. 故选：D.【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）． 12. 已知向量(,,)x y z a a a a =，(,,)x y z b b b b =，{},,i j k 是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计算：()()(),,yz xy xz y z z y z x x z x y y x xy z yz xyxz xyz ij ka a a a a a ab a b a b i a b a b j a b a b k a a a b b b b b b b b b ⎛⎫⨯=-+-+-==-⎪ ⎪⎝⎭其中行列式计算表示为a b ad bc c d=-，若向量(2,1,4),(3,1,2),AB AC ==则AB AC ⨯=（ ）A. (4,8,1)---B. (1,4,8)--C. (2,8,1)--D. (1,4,8)---【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标公式代入计算可得选项.【详解】由题意得()()()()1241+4322+21132,8,1AB AC i j k ⨯=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=--， 故选：C.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若向量13(,22a =，6,b =a 与b 的夹角为3π，则a b ⋅=___________.【答案】3 【解析】 【分析】根据题意求出1a =，代入公式cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅计算即可.【详解】解：因为13(,2a =，所以2112a ⎛⎫== ⎪， 又6b =，a 与b 的夹角为3π， 所以1cos ,1632a b a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：3.【点睛】求非零向量,a b 的数量积的3种方法：（1）直接法:若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算；（2）几何法:根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量,a b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解；（3）坐标法:若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出,a b 的坐标，通过坐标运算求解.14. 设实数,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的最大值是___________.【答案】7 【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出. 【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将3z x y =-化为3y x z =-，观察图形可得，当直线3y x z =-过点A 时，z 取得最大，联立方程组123x y x y -=-⎧⎨-=⎩，解得()4,5A ，max 3457z ∴=⨯-=.故答案为：7.15. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32n n S a =-，则5S =___________. 【答案】21181【解析】 【分析】由32n n S a =-，推得12(2)3n n a n a -=≥，进而得到数列{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足32n n S a =-， 当2n ≥时，1132n n S a --=-，两式相减可得1122n n n n S S a a ---=-，即122n n n a a a -=-，可得12(2)3n n a n a -=≥， 令1n =，可得1132S a =-，即1132a a =-，可得11a =， 所以数列{}n a 是首项为1，公比为23的等比数列，所以5521[1()]211328113S ⨯-==-.故答案为：21181. 16. 已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对任意的x ∈R 都有(8)()(4)f x f x f +=+，当12,[0,4]x x ∈且12x x ≠时，都有[]1212()()()0x x f x f x -->，给出下列命题：①(4)0f =；②函数()y f x =在[12,8]--上是递增的； ③函数()y f x =的图像关于直线8x =-对称； ④函数()y f x =[12,12]-上有四个零点.其中所有真命题的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用赋值法，令4x =-，结合偶函数的定义，即可判定①正确；利用单调性的定义以及偶函数再对称区间上单调性，判断选项②错误；利用所给的恒等式进行变形，再结合偶函数的性质，推出(8)(8)f x f x -+=--，即可判定③正确；利用赋值求出[12,12]-上()0f x =的x 的个数，可判定④正确. 【详解】因为函数()y f x =对任意的x ∈R 都有(8)()(4)f x f x f +=+，令4x =-，则()()()444f f f =-+，所以()40f -=， 又函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()40f =，所以①正确； 因为当12,[0,4]x x ∈且12x x ≠时，都有[]1212()()()0x x f x f x -->， 则当12x x >时，()()12f x f x >，当12x x <时，()()12f x f x <， 所以()f x 在[0,4]上单调递增，因为()f x 是偶函数，所以()f x 在[4,0]-上单调递减，因为(8)()(4)f x f x f +=+，则有(4)(4)(4)f x f x f +=-+，即(4)(4)f x f x +=-，又()f x 是偶函数，则有(4)(4)f x f x +=--，可得(4)(4)f x f x -=--，所以函数()f x 关于4x =-对称，所以()f x 在[8,4]--上单调递增，在[12,8]--上单调递减，所以②错误； 因为(8)()(4)f x f x f +=+，即(8)()f x f x +=，再根据(8)()(4)f x f x f +=+，可得(8)()()f x f x f x -+=-=， 所以(8)(8)f x f x -+=+，所以()f x 关于8x =对称，由()f x 是偶函数可得()f x 关于8x =-对称可得所以③正确； 因为(8)()f x f x +=，则(12)(4)0f f ==， 因为()f x 是偶函数，所以(12)0f -=， 所以()4(4)(12)(12)0f f f f -==-==，所以函数()y f x =在[12,12]-上有四个零点，所以④正确. 故答案为：①③④【点睛】方法点睛：对于函数的综合应用问题，解答时会涉及到函数的基本性质：如函数的单调性、奇偶性，以及函数的周期性、函数的对称性等知识，同时对于抽象函数的求值问题，常选择运用赋值法求解，解题时要注意对称性、奇偶性和周期性之间的关系.三､解答题：共70分.解答题写出文字说明､证明过程和演算步骤.第17~21题是必考题，每个考生都必须作答.第22､23题是选考题，考生根据要求作答.17. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足22cos c a b A =+. （1）求角B ；（2）若ABC ∆b =ABC ∆的周长.【答案】（1）3π；（2）5【解析】 【分析】（1）通过正弦定理将边化为角可得1cos 2B =，进而可得结果； （2）由三角形面积公式易得4ac =，结合余弦定理可得5a c +=，进而得周长. 【详解】解：（1）由正弦定理可得2sin sin 2sin cos C A B A =+，·2sin()sin 2sin cos A B A B A ∴+=+2sin cos sin A B A ∴=，在ABC ∆中，sin 0A ≠，1cos 2B ∴=. 又(0,)B π∈，3B π∴=.（2）1sin 32ABCSac B ==.4ac ∴=. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得()22223b a c ac a c ac =+-=+-.13,4b ac ==，5a c ∴+=.ABC ∆∴的周长为513+.18. 为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：年龄 [)20,28 [)28,36 [)36,44 [)44,52 [)52,60接受的人数14 6 15 28 17（1）求频率分布直方图第二组中x 的值，并根据频率分布直方图，求这100位被调查者年龄的中位数m ； （2）由以上统计数据填22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以m 岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？m 岁以下m 岁及m 岁以上总计接受不接受总计附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.001 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）0.0125x =，中位数44m =；（2）联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异. 【解析】 【分析】（1）由概率之和为1即可求出x ，根据前三个矩形的面积和为0.5可判断中位数； （2）根据表中数据可完善列联表，求出卡方值，和3.841比较即可得出. 【详解】解：（1）由(0.025030.0375)81x ⨯++⨯=，得0.0125x =. ∵前三个矩形的面积和为(0.02500.01250.0250)80.5++⨯=， ∴100位被调查者年龄的中位数44m =. （2）由题可得22⨯联表如下： m 岁以下 m 岁及m 岁以上 总计 接受3545 80 不接受 15520总计 50 50 100∵22100(3554515)256.25 3.841505080204K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯.∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异.19. 如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，E 为PB 的中点.（1）求证：//PD 平面AEC ； （2）若2,2AB PD AB ==，求三棱锥E PAD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）223. 【解析】 【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，根据中位线和线面平行的判定定理即可证明； （2）运用等体积法转化为1122E PAD B PAD P ABD V V V ---==，结合体积公式即可求解. 【详解】解：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，因为四边形ABCD 是正方形，O ∴为BD 的中点. 又已知E 为PB 的中点，//OE PD ∴.PD ⊄平面AEC ，OE ⊆平面AEC ，∴//PD 平面AEC .（2）2,2AB PD AB ==，22PD ∴=又PD ⊥底面ABCD ，211123323P ABD ABDV SPD -∴=⋅=⨯⨯⨯=. E 是PB 的中点，11223E PAD B PAD P ABD V V V ---∴===【点睛】求体积的常用方法：（1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；（3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,0),(1,0)A B -，动点M 满足4MA MB =-.记动点M 的轨迹为曲线C ，直线:2l y kx =+与曲线C 相交于不同的两点,P Q . （1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 上存在点N ，使得()OP OQ ON R λλ+=∈，求λ的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）(2,0)(0,2)-. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求得曲线C 的方程；（2）联立直线与椭圆方程，设出,,P Q N 点的坐标，利用韦达定理得出1212,x x x x +，进而得到12y y +，再根据()OP OQ ON R λλ+=∈，求得N 点的坐标，再根据N 点在椭圆上，代入即可求得221643k λ=+，再根据k 的范围即可求得λ的取值范围.【详解】解：（1）由已知可得4MA MB +=， 根据椭圆的定义，点M 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>，24,1a c ==，2,a b ∴=== ∴曲线C 的方程为22143x y +=；（2）联立222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：22(43)1640k x kx +++=，216(123)0k ∆=->， 241k ∴>，设1122(,),(,),(,)N N P x y Q x y N x y ， 则121222164,4343k x x x x k k +=-=++， 21212221612()444343k y y k x x k k ∴+=++=-+=++， OP OQ ON λ+=,易知：0λ≠，即1212()()=NN x x x y y y λλ+=⎧⎨+⎩，122122116()(43)112()(43)N N k x x x k y y y k λλλλ⎧=+=-⎪+⎪∴⎨⎪=+=⎪+⎩，又点N 在椭圆上，即22143N N x y +=，223412N N x y ∴+=，即222216123+4=12(43)(43)k k k λλ⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 化简得：22222644816(43)43k k k λ+==++，241k >，2434k ∴+>.2110434k ∴<<+，2160443k ∴<<+，即204λ<<，λ∴的取值范围是(2,0)(0,2)-.【点睛】关键点点睛：本题的解题的关键是利用点N 在椭圆上构建关系式，找出λ的表达式. 21. 已知函数()ln 1f x x ax =-+()a R ∈.（1）当4a =时，求()f x 在()1,(1)f 处的切线方程； （2）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）30x y +=；（2）(0,1). 【解析】 【分析】（1）求出()f x 在1x =处的导数值，即切线斜率，求出()1f ，即可得出切线方程； （2）分离参数得ln 1x a x+=，则()f x 有两个零点等价于y a =和ln 1x y x +=有两个交点，利用导数判断ln 1x y x+=的单调性即可得出. 【详解】解：（1）当4a =时，()ln 41f x x x =-+，(1)3f ∴=-.1()4f x x='-，(1)3f '∴=-. ∴切线方程为33(1)y x +=--，即30x y +=； （2）函数的定义域是(0,)+∞，令()0f x =，则ln 1x a x +=. 设ln 1(),()x h x a g x x+==，则()h x a =与ln 1()(0)x g x x x+=>的图象在(0,)+∞上有两个交点. 2ln ()xg x x-'=，令()0g x '=，则1x =，01x <<当，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<，()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞单调递减，max ()(1)1g x g ∴==.1()0g e=，当1x >时，()0>g x ， ∴a 的取值范围是(0,1).【点睛】本题考查根据函数零点个数求参数范围，解题的关键是分离参数，转化为y a =和ln 1x y x+=有两个交点，利用导数求ln 1x y x+=的单调性和最值即可. 22. 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，直线l 交曲线C 于,A B 两点. （1）写出直线l极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的直角坐标为(1,2)--，若点M 到,A B 两点的距离之积是16，求a 的值.【答案】（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=，曲线C 的直角坐标方程为22(0)y ax a =>；（2）2a =.【解析】 【分析】（1）根据公式cos ,sin x y ρθρθ==，代入化简即可；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得2)480t t a -++=，根据参数t 的几何意义及韦达定理计算即可.【详解】解：（1）直线l 的直角坐标方程为1x y -=， 所以直线l 的极坐标方程为cos sin 1ρθρθ-=.由2sin 2cos a ρθθ=，得22sin 2cos a ρθρθ=.所以曲线C 的直角坐标方程为22(0)y ax a =>.（2）将直线l的参数坐标方程1()22x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数代入22(0)y ax a =>中，得2)480t t a -++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则1248t t a =+.124816t t a =+=，2a ∴=或6a =- 0a >又，2a ∴=【点睛】将参数方程化为普通方程的方法：将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法；常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参.23. 已知函数4(2)1f x x x =-++. （1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）若不等式2()2f x a a ≥+对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),13,-∞-+∞；（2）[]3,1-. 【解析】 【分析】（1）利用零点分段法将函数()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()6f x ≥的解集；（2）由（1）可知，函数()f x 的最小值是3，不等式2()2f x a a ≥+对一切实数x 恒成立等价于22()3min a a f x +≤=，解不等式即可求得a 的取值范围.【详解】（1）33,1()5,1233,2x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩，不等式()6f x ≥等价于1336x x ≤-⎧⎨-+≥⎩或1256x x -<≤⎧⎨-+≥⎩或2336x x >⎧⎨-≥⎩，得1x ≤-或3x ≥， ∴不等式的解集为(][),13,-∞-+∞；（2）由（1）知：当1x ≤-时，()6f x ≥，当12x -<≤时，3()6f x ≤<，当2x >时，()3f x >，故函数()f x 的值域[3,)+∞，即()f x 的最小值是3，∵不等式2()2f x a a ≥+对一切实数x 恒成立，∴223a a +≤，解得：31a -≤≤故实数a 的取值范围是[]3,1-.【点睛】方法点睛：解绝对值不等式的方法通常是先利用零点分段法去掉绝对值号，将函数表示为分段函数的形式，然后分段进行求解不等式.。
2020-2021学年陕西省高三（上）质检测评数学试卷（文科）（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合A={x|−x2+x<0}，则∁R A=()A.(−∞, 0)∪[1, +∞)B.[0, 1]C.[−1, 0]D.(−∞, −1)∪[0, +∞)2.已知复数z满足z(1−i)＝(1+ai)i3，且z为纯虚数．则实数a的值为（）A.−1B.−2C.D.3.2020年的高中学业水平测试结束后，某校统计了该校学业水平测试中的数学成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图，则该校学业水平测试中的数学成绩的中位数估计为（）A.70B.71C.72D.734.在四边形ABCD中，AB // CD，且CD＝2AB，E，F分别为CD，BC的中点，若＝，＝，则＝（）A.-B.C.D.5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.6.执行如图的程序框图，则输出的结果为（）A.120B.121C.143D.1457.2020年8月3日（农历六月十四）23时59分上演了“十五的月亮十四圆”的天文奇观．某同学准备对2020年农历正月到七月期间的月圆情况进行一次调研，现从这七个月中月亮最圆的夜晚中任意选取两个夜晚进行分析，则其中恰好包括农历六月十四日晚上的概率为（）A. B. C. D.8.已知椭圆E：的左顶点为A，右焦点为F，若点P在E上，M为AF的中点，PA⊥PF，且|PM|＝b，则E的离心率为（）A. B. C. D.9.已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n＝na n，且S2+S4+S6+...+S60＝1860，则a1＝（）A.8B.6C.4D.210.已知函数f(x)＝2sinx⋅cosx+2cos2x−1，若函数f(x)的对称中心为(x0, 0)，且x0∈[−π, 2π]，则满足条件的所有x0的和是（）A.4πB.3πC.2πD.π11.已知正三棱锥A−BCD的底面是边长为6的正三角形，其外接球球O的表面积为64π，且点A到平面BCD的距离小于球O的半径，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值为（）A. B. C. D.12.设m∈R，若函数f(x)＝的值域是[e−1, +∞)，则函数g(x)＝e x−x+2−m的零点的个数是（）A.0B.1或2C.1D.2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.)13.已知函数f(x)＝2sin(ωx+）(ω>0)的最小正周期为4π，则f(3π)＝________．14.已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+2y的最大值为________．15.已知双曲线E：的左焦点为F，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为点H，若|FH|＝2，且△FOH的面积为3（其中O为坐标原点），则E的标准方程为________．16.已知{a n}是正项等比数列，a32＝2a2a6，且a1+a3+a5+a7+a9＝，若[x]表示不超过x的最大整数（例如[2.9]＝2，[−3.1]＝−4），设b n＝[a n]，则数列{b n}的前n项和(n>10)为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.)17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a+c＝2bcosC，且．(Ⅰ)求cosC；(Ⅱ)若a＝2，求△ABC的面积．18.某旅游景点努力打造一流旅游区，吸引更多的游客前来观光旅游，据统计，该景点2013年到2019年游客人数y与对应年份代号x的数据如表：(Ⅰ)若y关于x具有较强的线性相关关系，且回归方程为，且，求；(Ⅱ)若每位游客平均为景区带来200元收入，根据(Ⅰ)中结论，预测该景点旅游收入首次超过1.6亿元的年份．19.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D为BC的中点，已知AB＝AA1＝BC＝2，AD＝．(Ⅰ)求证：平面AB1D⊥平面BCC1B1；(Ⅱ)求三棱锥A1−AB1D的体积．20.已知抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F作圆的两条切线l1，l2且l1⊥l2．(Ⅰ)求抛物线E的方程；(Ⅱ)过点F作直线l，与E交于A，B两点，若A，B到直线3x+4y+20＝0的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最小值．21.已知函数．(Ⅰ)若f(x)在[1, e]上是单调函数，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若m＝2，求证：．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程])22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l与曲线C交于A，B两点、以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)若OA⊥OB，求．[选修4-5：不等式选讲])23.已知函数f(x)＝|x−1|+|mx+2|（其中m为常数）．（1）当m＝2时，解关于x的不等式f(x)>4；（2）若m＝1，且，求x的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年陕西省高三（上）质检测评数学试卷（文科）（一）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【解答】∵集合A={x|−x2+x<0}={x|x<0或x>1}，∴∁R A=[0, 1]．2.【解答】z(1−i)＝(1+ai)i3＝a−i，所以z＝＝＝，由题意得，a+1＝0，即a＝−(1)故选：A．3.【解答】由频率分布直方图知，0.05+0.15+0.20＝0.40<0.5，所以数学成绩的中位数在[70, 80)内，设中位数为x，则0.40+(x−70)×0.030＝0.50，解得x＝73.3≈73．4.【解答】因为E，F分别为CD，BC的中点，＝，＝，所以＝＝＝，5.【解答】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为直五棱柱．如图所示所以S＝+＝19+2．6.【解答】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝3+5+7+...+23的值，S＝3+5+7+...+23＝＝143．7.【解答】某同学准备对2020年农历正月到七月期间的月圆情况进行一次调研，现从这七个月中月亮最圆的夜晚中任意选取两个夜晚进行分析，基本事件总数n＝＝21，其中恰好包括农历六月十四日晚上的基本事件个数m＝＝6，则其中恰好包括农历六月十四日晚上的概率为P＝＝＝．8.【解答】由题意椭圆E：的左顶点为A，右焦点为F，若点P在E上，M为AF的中点，PA⊥PF，且|PM|＝b，如图：而a+c＝2b，(a+c)2＝4b2，即，(a+c)2＝4a2−4c2，整理可得：5e2+2e−3＝0，e∈(0, 1)，解得e＝，9.【解答】∵S n＝na n，∴S n＝n(S n−S n−1)，n≥2，即(n−1)S n＝nS n−1，n≥2，即＝，n≥2，∴数列{}是每项均为S1的常数列，∴＝S1＝a1，即S n＝na1，又∵S2+S4+S6+...+S60＝1860，∴(2+4+6+...+60)a1＝a1＝1860，解得：a1＝2，10.【解答】f(x)＝2sinx⋅cosx+2cos2x−1＝sin2x+cos2x＝2sin(2x+），令2x+＝kπ，k∈Z，则x＝+，k∈Z，∵x0∈[−π, 2π]，∴满足条件的所有x0的取值为，，，，，，∴（）+（）++++＝4π．11.【解答】因为外接球球O的表面积为64π，设其半径为r，则有4πr2＝64π，解得r＝4，设点A到平面BCD的距离为x，则有，解得x＝2或x＝6（舍），取BD的中点Q，则EQ // AB，所以异面直线AB与CE所成角为∠QEC或它的补角，AB＝，即AC＝AD＝4，所以EQ＝2，而CQ＝，故，所以CE2＝AC2+AE2−2AC⋅AEcos∠CAD＝，所以CE＝，所以，故异面直线AB与CE所成角的余弦值为．12.【解答】当x≥e时，f(x)＝x−lnx的导数为f′(x)＝1−＝>0，可得f(x)在[e, +∞)递增，可得f(x)≥e−1，当x<e时，f(x)＝m−x递减，可得f(x)>m−e，由f(x)的值域是[e−1, +∞)，可得m−e≥e−1，即m≥e−1，函数g(x)＝e x−x+2−m的零点个数，即为e x−x＝m−2的实根的个数．设ℎ(x)＝e x−x，则ℎ′(x)＝e x−1，当x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增；当x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减，可得ℎ(x)在x＝0处取得极小值，且为最小值1，作出g(x)＝e x−x的图象，以及直线y＝m−2，由于m−2>1，可得它们有两个交点，则函数g(x)＝e x−x+2−m的零点的个数是2．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【解答】∵函数f(x)＝2sin(ωx+），(ω>0)的最小正周期为4π，∴＝4π，可得ω＝，可得：f(x)＝2sin（x+），∴f(3π)＝2sin（×3π+）＝2sin＝−2sin＝−(1)14.【解答】根据约束条件画出可行域，如图：由，解得A(3, 4)，直线z＝x+2y过点A(3, 4)时，目标函数在y轴上的截距取得最大值，此时z最大值11，即目标函数z＝x+2y的最大值为11，15.【解答】由双曲线的方程可得左焦点F(−c, 0)渐近线的方程为y＝±x，当直线HF与y＝x垂直时，|FH|＝2，＝b＝2，△FOH的面积为3，可得＝3，所以a＝3，则E的标准方程为：＝1，16.【解答】设数列{a n}的公比为q(q>0)，由题设可得，即为，解得，∴a n＝30×（）n−1，∵数列{a n}的前11项分别为30，15，15，，，，，，，，，易知当n≥11时，0<a n<1，∴数列{b n}的前10项分别为30，22，15，11，8，6，4，3，2，2，当n≥11时，b n＝0，∴当n>10时，数列{b n}的前n项和为30+22+15+11+8+6+4+3+2+2＝103，三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.【解答】（1）∵a+c＝2bcosC＝2b•，整理可得：b2＝ac+c2，又，∴2c2＝ac+c2，解得a＝c，∴cosC＝＝＝．（2）∵C∈(0∘, 180∘)，cosC＝，∴C＝45∘，又由(Ⅰ)可得a＝2，b＝2，∴S△ABC＝absinC＝＝2．18.【解答】（1），＝，则，解得；（2）由(Ⅰ)得，，再由200(5x+）>16000，解得x>11.32，∴预测该景点旅游收入2014年首次超过1.6亿元．19.【解答】（1）证明：∵在直三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1，∵D为BC的中点，AB＝AA1＝BC＝2，AD＝．∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BC，∵BC∩BB1＝B，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面AB1D，∴平面AB1D⊥平面BCC1B1．（2）∵AB＝AA1＝BC＝2，AD＝．∴由(Ⅰ)得△ABC是等边三角形，∴D到平面AA1B1的距离d＝＝，＝＝2，∴三棱锥A1−AB1D的体积为：＝＝＝＝．20.【解答】（1）圆的圆心C(−2, 0)，半径r＝，抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点F（，0)设两条切线l1，l2且与圆C的切点分别为M，N，则|CM|＝|CN|＝r，则四边形CMFN为正方形，所以|CF|＝r＝3，即+2＝3，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x；（2）设直线l的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2−4my−4＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，线段AB的中点为Q，Q到直线3x+4y+20＝0的距离为d，则y1+y2＝4m，中点Q的坐标为(1+2m2, 2m)，由梯形的中位线定理可得d1+d2＝2d，则d＝＝＝≥，当m＝-时，d取得最小值，所以d1+d2的最小值为．21.【解答】（1）f(x)＝，(x>0)，f′(x)＝（−lnx−m)，令g(x)＝−lnx−m，(x>0)，则g′(x)＝--<0，g(x)在(0, +∞)递减，若f(x)在[1, e]上是单调函数，则f(x)在[1, e]递增或在[1, e]递减，即f′(x)≥0在[1, e]恒成立或f′(x)≤0在[1, e]恒成立，⇔g(1)≤0或g(e)≥0，即1−m≤0或−1−m≥0，解得m≥1或m≤−1，故m的取值范围是(−∞，−1]∪[1, +∞)；（2）m＝2时，要证f(x)＝<，即证ℎ(x)＝e x−lnx−2>0，(x>0)，ℎ′(x)＝e x−，ℎ″(x)＝e x+>0，故ℎ′(x)在(0, +∞)递增，x→0时，ℎ′(x)→−∞，x＝1时，ℎ′(1)＝e−1>0，故∃x0∈(0, 1)，使得ℎ′(x0)＝0，即＝，lnx0＝−ln（）＝−x0−ln2，故ℎ(x)在(0, x0)递减，在(x0, +∞)递增，故ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝−lnx0−2＝+x0+ln2−2>2−2+ln2>0，故ℎ(x)>0恒成立，故f(x)<．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【解答】（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为，根据转换为极坐标方程为．（2）设A(ρ1, θ1)，B(ρ2, θ2)，由于OA⊥OB，所以，所以，则＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23.【解答】当m＝2时，f(x)＝|x−1|+|2x+2|＝|x−1|+2|x+1|，①当x<−1时，x−1<0且x+1<0，f(x)＝1−x−2(x+1)＝−1−3x>4，解得：x<−，②当−1≤x≤1时，x−1≤0且x+1≥0，f(x)＝−(x−1)+2(x+1)＝x+3>4，解得：x>1，（舍），③当x>1时，x−1>0且x+1>0，f(x)＝x−1+2(x+1)＝3x+1>4，解得：x>1，综上：不等式的解集是(−∞，-）∪(1, +∞)；m＝1时，f(x)＝|x−1|+|x+2|，a++7＝−(−a+）+7≤−2+7＝3，（当且仅当a＝−2时“＝”成立），故f(x)＝|x−1|+|x+2|≤3，①x<−2时，f(x)＝−x+1−x−2＝−2x−1≤3，解得：x≥−2，不合题意，②−2≤x≤1时，f(x)＝1−x+x+2＝3，符合题意，③x>1时，f(x)＝x−1+x+2≤3，解得：x≤1，不合题意，综上：不等式的解集是[−2, 1]．。
