衔接 三角形的“四心”

初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心三角形的四心定义：1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。

内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。

2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。

外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。

该点叫做三角形的外心。

3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。

4、重心：重心是三角形三边中线的交点。

三角形的外心的性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心;2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合;3.锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心与斜边的中点重合。

在△ABC中4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA6.S△ABC=abc/4R三角形的内心的性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2.5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90°+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/26.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的垂心的性质:1.锐角三角形的垂心在三角形内;直角三角形的垂心在直角顶点上;钝角三角形的垂心在三角形外。

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC 的重心一般用字母O 表示。

性质：1. 外心到三顶点等距，即OA OB OC 。

2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD BC ,OE AC ,OF AB .1 1 13. A BOC B AOC C AOB, ,2 2 2二、三角形的内心。

定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2. 三角形的面积＝12三角形的周长内切圆的半径．3. AE AF ,BF BD ,CD CE ；AE BF CD 三角形的周长的一半。

1 1 14. , 90 ，AIB C5.BIC 90 A CIA B 90 。

2 2 2三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC 的重心一般用字母H 表示。

性质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即AH BC ,BH AC ,CH AB。

2. △ABH 的垂心为 C ，△BHC 的垂心为 A ，△ACH 的垂心为 B 。

1四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC 的重心一般用字母G 表示。

性质：4.顶点与重心G 的连线必平分对边。

5.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的 2 倍。

即GA 2GD , GB 2GE , GC 2GF6.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即x x x y y yA B C A B Cx , y .G G3 37.向量性质：（1）G A GB GC 0；1（2）( )PG PA PB PC ，38.S1BGC S S SCGA AGB3A BC。

五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为ABC 所在的平面内一点，满足OA OB OB OC OC OA，则点O 为ABC 的垂心。

三角形四心
一、重心：三条边的中线交于一点
性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，
即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3）/3)。

二、外心：三条边的垂直平分线交于一点。

该三角形外接圆的圆心，
性质：
1、外心到三角形三个顶点的距离相等
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心与斜边中点重合。

三、垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点。

性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））
3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

四、内心：三条内角平分线交于一点。

即三角形内切圆的圆心。

性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。

三角形的四心1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径． 锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )．3、三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．三角形的重心到边的距离与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．例1 证明重心定理。

ABCDEFG IK HE FABCMABCO证法1 如图，D 、E 、F 为三边中点，设BE 、CF 交于G ，连接EF ，显然EF ∥=12BC ，由三角形相似可得GB ＝2GE ，GC =2GF ． 又设AD 、BE 交于G '，同理可证G 'B =2G 'E ，G 'A =2G 'D ，即G 、G '都是BE 上从B 到E 的三分之二处的点，故G '、G 重合． 即三条中线AD 、BE 、CF 相交于一点G ．证法2 设BE 、CF 交于G ，BG 、CG 中点为H 、I ．连EF 、FH 、HI 、IE ，因为EF ∥=12BC ，HI ∥=12BC ， 所以 EFHI 为平行四边形．所以 HG =GE 、IG=GF ，GB =2GE ，GC =2GF ．同证法1可知AG =2GD ，AD 、BE 、CF 共点． 即定理证毕．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．练习：设G 为△ABC 的重心，M 、N 分别为AB 、CA 的中点，求证：四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．证明 如图，连GA ，因为M 、N 分别为AB 、CA 的中点，所以△AMG 的面积=△GBM 的面积，△GAN 的面积=△GNC 的面积,即四边形GMAN 和△GBC 的面积相等．ABCD EFGCC。

三角形的四心
重心：三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

外心：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

3、外心到三顶点的距离相等
垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：
1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

内心：三角形的三条内角平分线交于一点，叫做三角形的内心。

内心的性质：
1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、内心到三角形三边距离相等。

三角形四心定理以及相关证明三角形的四心分别是外心、内心、重心和垂心。

这些点在三角形中具有重要的几何意义，被广泛应用于三角形的各种问题中。

首先介绍外心。

一个三角形的外接圆是唯一确定的，它通过三个顶点。

外接圆的圆心称为该三角形的外心。

外心到三个顶点的距离相等，且这个距离等于外接圆的半径。

因此，如果我们知道了一个三角形的外接圆，就可以很容易地找到它的外心。

接下来是内心。

一个三角形有唯一确定的内切圆，它切于三条边上，并且与每条边都有唯一公切线。

内切圆的圆心称为该三角形的内心。

内切圆半径等于该点到各边距离之和除以3（即其到各边距离之和）。

由于内切圆与每条边都有唯一公切线，因此内心到每条边上垂线长度相等。

重心是指一个三角形所有高线交点所在位置，也就是三条中线交点所在位置。

中线是连接一个顶点与对面中点之间连线所组成的直线段，而高线是连接一个顶点与对面边的垂线所组成的直线段。

重心到三个顶点的距离相等，且这个距离等于三条中线长度之和的一半。

最后是垂心。

垂心是指一个三角形三条高线交点所在位置。

高线是连接一个顶点与对面边的垂线所组成的直线段。

垂心到每条边上的垂足距离相等，且这个距离等于该点到三边距离之积与该三角形面积之比的2倍。

下面我们来证明三角形四心定理。

首先证明外心、内心、重心共线。

设ABC为任意一个三角形，O为其外接圆圆心，I为其内切圆圆心，G为其重心。

我们需要证明O、I、G 三点共线。

首先考虑O和G两点是否共线。

我们知道，G是通过连接每个顶点和对面中点所得到的中线交于一点而得到的。

而O则是通过连接每个顶点和外接圆圆心所得到的直径所得到的垂直平分线交于一点而得到的。

显然，在任意一个锐角或钝角三角形中，这两条直线不会相交，因此O和G两点不共线。

接下来考虑O、I、G三点的位置关系。

我们可以利用向量的方法来证明它们共线。

设D、E、F分别为三角形ABC上AB、BC、CA边上的垂足，M为BC中点，N为AC中点，P为AB中点。

三角形“四心”定义与性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 表示。

性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

三角形“四心”定义与性质之巴公井开创作所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 暗示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 暗示，它具有如下性质： 性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H 暗示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边， 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母G 暗示。

性 质：G 的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=.4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。

三角形“四心”定义与性质三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

ABC ∆的重心一般用字母O 表示。

性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。

〖半径〗2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,.〖定义〗 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。

〖圆周角与圆心角〗 4.向量形式：若点O 为ABC ∆所在的平面内一点，满足AC OA OC CB OC OB BA OB OA ⋅+=⋅+=⋅+)()()(＝0，则点O 为ABC ∆的外心。

二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

〖半径、定义〗2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径．〖三角形拆分〗 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。

〖三角形全等〗 4.,2190A BIC ∠+=∠B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。

4.向量形式：（1）若点I 为ABC ∆所在的平面内一点，并且满足=⋅+⋅+⋅c b a （其中c b a ,,为三角形的三边），则点I 为△ABC 的内心。

(2)设()+∞∈,0λ，则向量(+=λ，则动点P 的轨迹过ABC ∆的内心。

证4①：∠三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。

ABC ∆的重心一般用字母H表示。

性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。

2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。

三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。

当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。

一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。

∆ABC 的重心一般用字母O 表示。

性质：1.外心到三顶点等距，即OA =OB =OC 。

2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD ⊥BC, OE ⊥AC, OF ⊥AB .3. ∠A = 1∠BOC, ∠B =21∠AOC, ∠C =21∠AOB 。

2二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。

∆ABC 的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

12.三角形的面积＝⨯三角形的周长⨯内切圆的半径．23.AE =AF ,BF =BD, C D =CE ；AE +BF +CD =三角形的周长的一半。

4. ∠BIC = 90 +1∠A, ∠CIA = 90 +1∠B ，∠AIB = 90 +1∠C 。

2 2 2三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。

∆ABC 的重心一般用字母H 表示。

性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AH ⊥BC, BH ⊥AC, CH ⊥AB 。

2.△ABH 的垂心为C ，△ BHC 的垂心为A ，△ ACH 的垂心为B 。

+ = + = + 四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。

∆ABC 的重心一般用字母G 表示。

性 质：1. 顶点与重心G 的连线必平分对边。

2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2 倍。

即GA = 2GD , GB = 2GE , GC = 2GF3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即 x G =x A + x B + x C , y 3 G = y A + y B + y C . 34. 向量性质：（1） GA + GB + GC = 0 ；1 （2） = (PA + PB + PC ) ，5. 3 S ∆BGC = S ∆CGA = S ∆AGB = 1 S 3∆ABC 。