三角形“四心”向量形式的充要条件应用知识总结

平面向量与三角形“四心”（较全面）一、“四心”概念（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心1）：外心到三角形各顶点的距离相等.二、“四心”的充要条件（1）⇔=++→→→→0OC OB OA 是△ABC 的重心.【证法1】：设()y x O ,，()11,y x A ，()22,y x B ，()33,y x C⇔=++→→→→0OC OB OA ()()()()()()⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-00321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔是的重心.【证法2】：∵→→→→→→=+=++02ODOAOCOBOA,∴→→=ODAO2∴A,O,D三点共线，且O分AD为2：1，∴是△ABC的重心.（2）⇔⋅=⋅=⋅→→→→→→OA OC OC OB OB OA 为△ABC 的垂心.【证明】：如图,O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ，D 、E 是垂足.→→→→→→→→→→→⊥⇔=⋅=-⇔⋅=⋅AC OB CA OB OC OA OB OC OB OB OA 0)(同理→→⊥OB OA ，⇔⊥→→AB OC O 为△ABC 的垂心. (3) ⇔=++→→→→0OC c OB b OA a O 为△ABC 的内心. 【证明】：∵bAC c AB →→,分别为→→AC AB ,方向上的单位向量，bACc AB →→+平分BAC ∠,(λ=→AO )bAC c AB →→+，令c b a bc ++=λ cb a bcAO ++=→)(bAC c AB →→+,化简得→→→→=++++0)(AC c AB b OA c b a ,→→→→=++0OC c OB b OA a .（4）⇔==→→→||||||OC OB OA 为△ABC 的外心.三、“四心”的向量表达1.⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=→→→→→→)(31)(31BC BA BO AC AB AO O 为△ABC 的重心；【证】：由),0[,sin sin +∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP ，即)(sin →→→+=AC B A C b AP λ，故→AP 与→→+AC AB 共线，又→→+AC AB 过BC 中点D ，故P 点的轨迹也过中点D ， 故点P 过三角形的重心．2. ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00AC BO BC AO O 为△ABC 的垂心.（1）由C B A S S S AOB AOC BOC tan :tan :tan ::=∆∆∆⇒→→→→=++0tan tan tan OC C OB B OA A . （2）222222→→→→→→+=+=+B A OC CA OB BC OA .【证】：由⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→AC b B A c OA OP λ知，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→AC b B B A c C AP cos cos λ， =⋅→→BC AP )cos cos (→→→→⋅+⋅⋅BC AC bB C B AB c C λ 0)cos cos cos cos (=+-=C B C B a λ，故→AP 与向量→BC 垂直， 故点P 的轨迹过垂心．【证】：由),0[,2sin 2sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，,2sin 2sin 22⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→→→C b AC B c AB AP λ故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=⋅→→→→→→C b BC AC B c BC AB BC AP 2sin 2sin 22λ，则0)sin sin (2=+-=⋅→→C b a B c a BC AP λ， 故点P 轨迹过三角形的垂心．【解】：AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足.→→→→→⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+BC C AC AC B AB AB cos ||cos ||C AC BC AC B AB BC AB cos ||cos ||→→→→→→⋅+⋅=C AC C BC AC B AB B BC AB cos ||cos ||||cos ||cos ||||→→→→→→⋅+⋅-=0=+-=→→BC BC ∴点的轨迹一定通过△ABC 的垂心.3. ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+=>+=→→→→→→→→→→0),||||(0),||||(t BC BCBA BA t BO AC AC AB AB AO λλO 为△ABC 的内心；（1）c b a S S S AOB AOC BOC ::::=∆∆∆⇒→→→→=++0sin sin sin OC C OB B OA A（2）→→→→→→→→→→→→→→→→=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||||||||||CB CB CA CAOC BC BC BA BA OB AC AC AB AB OA【解】：由),0[,sin sin 22+∞∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→λλC b AC B c AB OA OP 知，)0)(||||(sin >+=→→→→→λλAC AC AB AB B c AP ， 故动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心.满足⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=→→→→→→||||AC AC AB AB OA OP λ，),0[+∞∈λ ，则点的轨迹一定通过△ABC 的____.【解】：∵如图,设||,||→→→→→→==AC AC AF AB ABAE 分别为→→AC AB ,方向上的单位向量， 易知四边形AETF 是菱形,∴||||→→→→+AC AC AB AB 平分BAC ∠,∴点的轨迹一定通过△ABC的内心.4.两点分别是△ABC的边上的中点,且⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅⋅=⋅→→→→→→→→OA EO OC EO OC DO OB DO O 为△ABC 的外心； (1)0=++→∆→∆→∆OC S OB S OA S AOB AOC BOC (外心向量定理） (2)由AOB AOC BOC S S S AOB AOC BOC ∠∠∠=∆∆∆sin :sin :sin ::C B A 2sin :2sin :2sin =⇒→→→→=⋅+⋅+⋅02sin 2sin 2sin OC C OB B OA A .四、欧拉线及其向量法证明三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线叫三角形的欧拉线. 在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心.求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2. 【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是ABC ∆的重心⇔=++;若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++;1()3PG PA PB PC =++ ⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是ABC ∆的垂心⇔⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S A OBA OC BOC ：：：：=∆∆∆故0OC C tan OB B tan OA A tan =++3．O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222O O O ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOBAOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：故C 2sin B 2sin A 2sin =++4．O是内心ABC ∆的充要条件是|CB ||CA |(|BC ||BA |(AC|AB |(=⋅=⋅=⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成0)e e (O C )e e (O B )e e (O A 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 。

若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S A OB A OC BOC ：：：：=∆∆∆故C sin B sin A sin c b a =++=++或;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心AB 的单位向量设AB 与AC方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理AB HC ⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅得.即0,0)(=⋅=-⋅即则AB PC BC PA CA PB ⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得+=0⇒2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=. 证明 +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++= 得OB OC OA +=- ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=，由平行四边形性质知12OE OD =，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用1．O 是的重心;若O 是的重心，则故;1()3PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ⇔G 为ABC ∆的重心.2．O 是的垂心;若O 是(非直角三角形)的垂心，则故3．O 是的外心(或) 若O 是的外心则故 4．O是内心的充要条件是引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记的单位向量为，则刚才O 是内心的充要条件可以写成 ，O 是内心的充要条件也可以是 。

若O 是的内心，则故;||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r是ABC ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ru u ur u u u r 所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；(一)将平面向量与三角形内心结合考查例1．O是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u ur 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心. 由⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（D）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析:由0=⋅-⋅⋅=⋅PC PB PB PA PC PB PB PA 得.即0,0)(=⋅=-⋅即则AB PC BC PA CA PB⊥⊥⊥,,同理 所以P 为ABC ∆的垂心. 故选D.(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例4． G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心. 证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线. 将=+代入++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31++=. 证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3+++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴++=0⇒++=0，即++=3 由此可得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） 例6 若O 为ABC ∆内一点，0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，则O 是ABC ∆ 的（）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 得OB OC OA +=-u u u r u u u r u u u r ，如图以OB 、OC 为相邻两边构作平行四边形，则OB OC OD +=u u u r u u u r u u u r，由平行四边形性质知12OE OD =u u u r u u u r，2OA OE=，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D 。

三角形“四心”向量形式的充要条件应用有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下： 一、 知识点总结1）O 是ABC ∆的重心⇔0OC OB OA =++;若O 是ABC ∆的重心，则ABCAOB AOC BOC S 31S S S ∆∆∆∆===故0OC OB OA =++; 1()3PG PA PB PC =++⇔G 为A B C ∆的重心. 2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆ 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或222OC OBOA ==)若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4）O 是内心ABC ∆的充要条件是OC OB OA =-⋅=-⋅=-⋅引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件可以写成 0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ O 是ABC ∆内心的充要条件也可以是0OC c OB b OA a =++ 若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;||||||0AB PC BC PA C A PB P ++=⇔A B C ∆的内心;向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过A B C ∆的内心(是B A C ∠的角平分线所在直线)； 二、 范例(一)．将平面向量与三角形内心结合考查例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为是向量AB 的单位向量设AB与A C方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。

三角形“四心”向量形式的充要条件及应用(修改稿)《平面向量》的学习中，通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。

现归纳总结如下： 一、、范例回顾(一)．将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P满足++=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ）（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 (二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2． H 是△ABC 所在平面内任一点，HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔点H 是△ABC 的垂心.由AC HB AC HB HA HC HB HC HB HB HA ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔⋅=⋅00)(, 同理⊥，⊥.故H 是△ABC 的垂心. （反之亦然（证略）） (三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理” 例3. G 是△ABC 所在平面内一点，GC GB GA ++=0⇔点G 是△ABC 的重心.证明 作图如右，图中=+连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GE GC GB =+代入GC GB GA ++=0，得EG GA +=0⇒GD GE GA 2-=-=，故G 是△ABC 的重心.（反之亦然（证略）） 例4．P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是△ABC 的重心⇔)(31PC PB PA PG ++=.证明 CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(31++=.（反之亦然（证略））(五) 将平面向量与三角形四心结合考查例5．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题）证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =21-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1+2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.例6．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

三角形“四心”向量形式的应用一． 知识总结1、三角形的重心的向量表示及应用（中线交点） 命题一：G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++=命题二：1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点). 命题三：点O 是三角形ABC 的重心则∆∆∆AOB BOC COA S = S = S变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0． 变式引申：平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1()4PO PA PB PC PD =+++2、三角形的垂心的向量表示及应用：（三边高线交点） 命题一：H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=•例1：若H 为△ABC 所在平面内一点，且222222HA BC HB CA HC AB +=+=+ 则点H 是△ABC 的垂心3．外心(三边垂直平分线交点，外接圆圆心) 命题一：O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等)4．内心(角平分线交点，内切圆圆心) 命题一：O 是△ABC 的内心⇔()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=命题二：||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心; 变式：向量()(0)||||AB ACAB AC λλ+≠所在直线过△ABC的内心(是∠BAC 的角平分线所在直线)；例 1.已知O 是平面上一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(),(0,)cos cos AB AC OP OA AB BAC Cλλ=++∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A .外心 B.内心 C 重心 D 垂心变形：（1）(),(0,)sin sin AB ACOP OA AB B AC Cλλ=++∈+∞ （2）sin sin (),(0,)AB C AC B OP OA AB AC λλ=++∈+∞（3）(),(0,)cos cos AB AC PB PC AB BAC Cλλ=-++∈+∞例2： 点O 在△ABC 内部且满足220OA OB OC ++=,则△ABC 面积与凹四边形ABOC的面积之比（ ）A 0 B 3/2 C 5/4 D 4/3变形引申：0OA mOB nOC ++=，求△ABC 面积与凹四边形ABOC 的面积之比5．外心与重心：O 是△ABC 的外心，G 是重心，则3OA OB OCOG ++=6．外心与垂心：O 是△ABC 的外心，H 是垂心，则OH OA OB OC =++7．重心与垂心：G 是△ABC 的重心，H 是垂心，则3HA HB HCHG ++=8．外心、重心、垂心：O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心，则13OG OH =9. “欧拉定理”：锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的 (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；(2)三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

三角形“四心”向量形成的充耍条件应用在学习了《平面向量》一章的基础容之后，学生们通过课堂例题以员课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、心向量形式的充要条件。

现旧纳总结如下:一.知识点总结____________________1 ） 0 是AABC 的重心 <=> OA+OB + OC=0若0 是AABC 的重° , | SaBOC = SaaOC = SaaOB = 3 Smbc jj OA+OB+OC = 0 PG = ^（PA + PB + PC） OG为AABCtf｝重心.2）o 是AABC的垂心<=>OA 6B = OB OC = OC OA若0 是AABC（非直角三角形）的垂心，U| S ABOC5S AAOCS S AZ\OB =tan A：tan B：tan C故tan AOA + tan BOB + tan COC = 63 ）0 是AABC 的外心<=> IOAI=IOBI=IOCI（或=而2 =疋2）若0是AABC的外心则S ABOC：S AAOC： S M（）B = slnZBOC:sinZAOC ：sinZAOB = sin2A : sln2B : sin2C故sin2AOA + sln2BOB + sin2COC = 64）0是心AABC的充要条件是贰（亘-亘）=而（亘-匹）=显（亘-JL）=oIABI AC I BA I IBCI I CAI ICBI引IS单位向量，使条件变鶴更简洁。

如果记入瓦说，不的单位向量为兀瓦恳，则刚才0是AABC 心的充要条件可以写成:OA.（e[+e^） = OB.（e[ + e^） = OC.（e^ + e^） = 00是AABC心的充要条件也可以是aOA + bOB + cOC = 0若0 是AABC 的心，则S AB（）c：S AA<）c： Su（）B=a： b： c故aOA + bOB + cOC = OggsinAOA + slnBOB + sinCOC = 6.\AB\PC+\BC\PA+\CA\PB = O^ P ^ABC的心；向量兄（輕+姿）（几工0）所在直线il AABC的心（是ABAC的角平分线IABI IACI所在直线）；(-).将平面向量与三角形心结合考查例1・0是平面上的一罡点，ABC是平面上不共线的三f点，动点P满竺+丝），几w[o,p ）则P 点的珈迷一定通11MBC 的（ KI（A ）外心（B ）心（C ）重心（D ）垂心解析：因为丝是向量丽的单位向量设丽与疋方向上的单位向量分别为勺和J, JHI 一〜OP-dA = AP原式可化为AP = A （e { +勺），由菱形的基本性质知AP 平分ABAC, SI ）么在A4BC中，AP 平分Z3AC,则知选B.点评：2ii®给人的M 象当然是“新颖、陌生J 首先箔是什么？没见过！想想，一个非零M向量除以它的模不就是单位向量?此题所用的部必须是简单的基本知识,如向量的加减法、向量 的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等,若十分熟悉，乂能迅速地wtiiffg 到一起, 解fiiii-^rnjg 也没有。