三角形的四心在解析几何中的应用

三角形“四心”的向量性质及其应用东阳市中天高级中学数学组：蔡航英自从2003年高考(江苏卷)第5题向量考出彩后，在中学数学向量教学时，挖掘三角形“四心”向量性质及其应用，引起了广泛重视。

与三角形的“四心”(重心、垂心、外心、内心)有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性，又具有相当深度和难度的重要题型,备受各级各类考试命题者的青睐,频频出现在各级各类考试卷中，凸现出较好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材，现将有关三角形“四心”向量性质及其应用罗列如下：一、三角形的重心的向量表示及应用命题一 已知A B C ，，是不共线的三点，G 是ABC △内一点，若GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r．则G 是ABC △的重心．证明：如图1所示，因为GA GB GC ++=0u u u r u u u r u u u r，所以 ()GA GB GC =-+u u u r u u u r u u u r．以GB u u u r，GC u u u r为邻边作平行四边形BGCD ，则有GD GB GC =+u u u r u u u r u u u r， 所以GD GA =-u u u r u u u r．又因为在平行四边形BGCD 中，BC 交GD 于点E ， 所以BE EC =u u u ru u u r，GE ED =u u u ru u u r．所以AE 是ABC △的边BC 的中线．故G 是ABC △的重心．点评：①解此题要联系重心的定义和向量加法的意义；②把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法．例1 如图2所示，ABC △的重心为G O ，为坐标原点，OA =u u u ra ，=u u u rOB b ，=u u u r OC c ，试用a b c ，，表示u u u rOG ．解：设AG 交BC 于点M ，则M 是BC 的中点，⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=-GC OG c GB OG b GA OG a Θ GC GB GA OG c b a ++=-++∴而03=-++∴OG c b a3cb a OG ++=∴ 点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则AD BE CF ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：如图的所示，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=GC CF GBBE GA AD 232323Θ )(23GC GB GA CF BE AD ++-=++∴0=++GC GB GA Θ AD BE CF ∴++=u u u ru u u ru u u r0．．变式引申：如图4，平行四边形ABCD 的中心为O ，P 为该平面上任意一点，则1()4PO PA PB PC PD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．证明：1()2PO PA PC =+u u u r u u u r u u u r Q ，1()2PO PB PD =+u u u r u u u r u u u r，1()4PO PA PB PC PD ∴=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r．点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法2运用了向量加法的平行四边形法则．（2）若P图3图2与O 重合，则上式变为OA OB OC OD +++=u u u ru u u ru u u ru u u r0．二、三角形的外心的向量表示及应用命题二：已知G 是ABC △==，则点M 为△ABC 的外心。

三角形四心定理以及相关证明三角形的四心分别是外心、内心、重心和垂心。

这些点在三角形中具有重要的几何意义，被广泛应用于三角形的各种问题中。

首先介绍外心。

一个三角形的外接圆是唯一确定的，它通过三个顶点。

外接圆的圆心称为该三角形的外心。

外心到三个顶点的距离相等，且这个距离等于外接圆的半径。

因此，如果我们知道了一个三角形的外接圆，就可以很容易地找到它的外心。

接下来是内心。

一个三角形有唯一确定的内切圆，它切于三条边上，并且与每条边都有唯一公切线。

内切圆的圆心称为该三角形的内心。

内切圆半径等于该点到各边距离之和除以3（即其到各边距离之和）。

由于内切圆与每条边都有唯一公切线，因此内心到每条边上垂线长度相等。

重心是指一个三角形所有高线交点所在位置，也就是三条中线交点所在位置。

中线是连接一个顶点与对面中点之间连线所组成的直线段，而高线是连接一个顶点与对面边的垂线所组成的直线段。

重心到三个顶点的距离相等，且这个距离等于三条中线长度之和的一半。

最后是垂心。

垂心是指一个三角形三条高线交点所在位置。

高线是连接一个顶点与对面边的垂线所组成的直线段。

垂心到每条边上的垂足距离相等，且这个距离等于该点到三边距离之积与该三角形面积之比的2倍。

下面我们来证明三角形四心定理。

首先证明外心、内心、重心共线。

设ABC为任意一个三角形，O为其外接圆圆心，I为其内切圆圆心，G为其重心。

我们需要证明O、I、G 三点共线。

首先考虑O和G两点是否共线。

我们知道，G是通过连接每个顶点和对面中点所得到的中线交于一点而得到的。

而O则是通过连接每个顶点和外接圆圆心所得到的直径所得到的垂直平分线交于一点而得到的。

显然，在任意一个锐角或钝角三角形中，这两条直线不会相交，因此O和G两点不共线。

接下来考虑O、I、G三点的位置关系。

我们可以利用向量的方法来证明它们共线。

设D、E、F分别为三角形ABC上AB、BC、CA边上的垂足，M为BC中点，N为AC中点，P为AB中点。

三角形的四心的应用：OA OB OB OC ⋅=⋅=OC例1、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（ ） A ．内心 B. 外心 C.重心 D.垂心例2、已知O 是平面内的一个点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：(),[0,)AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的 （ ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例3、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，O 是平面内一点，若0=++OC c OB b OA a ，则O 是ABC ∆的 （ ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心，若OH =()m OA OB OC ++，则实数 例5、已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-的最小值是__________.例6、已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则12SS 的取值范围是例7、已知ABC ∆的外接圆是单位圆O ，且0543=++OC OB OA ，则=⋅AB OC ________例8、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( ) A ．4 B .15 C .7 D ．1例9、已知△ABC 的顶点()()0,1,0,1C B -，设△ABC 的重心与内心分别为I G ,，且BC GI //，则顶点的轨迹方程为____例10120,12=∠==BAC ，O 为△ABC 的内心，则AC AO ⋅的值为 ．例11、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( ) A ．4 B .15 C .7 D ．1例12、已知C ∆AB 的重心为O ，过O 任做一直线分别交边AB ，C A 于P ，Q 两点，设m AP =AB ，Q C n A =A ，则49m n +的最小值是 ．例13、已知O 为ABC ∆的外心，0120,2,2=∠==BAC aAC a AB ,若AC y AB x AO +=，则y x 63+的最小值为_____ 例14、在ABC ∆中，5=BC ，O G ,分别为ABC ∆的重心和外心，且5=⋅BC GO ，则ABC ∆的形状为 ( )A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 上述三种情况都有可能例15、在△ABC中，()0=+⋅⎫⎛BA AC AC AB⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=65,3,3ππA ，则AC AB ⋅的最大值为____ 例16、已知点G 是△ABC 的重心，A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是 ( ) A .33 B .22 C .23 D .34例17、在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于 ( ) A. 2 B. 1 C. 83 D. 43例18、已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．例19、椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，若△ABF 2的内切圆的周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为 ( ) A.53 B.103 C.203 D.53例20、抛物线y2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为 ( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．2x ＋y －1＝0 D ．2x －y －1＝0三角形的四心的应用：OA OB OB OC ⋅=⋅=OC例1、已知P 是ABC ∆所在平面内任意一点，且3PA PB PC PG ++=，则G 是ABC ∆的（ C ） A ．内心 B. 外心 C.重心 D.垂心例2、已知O 是平面内的一个点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足：(),[0,)AB AC OP OA ABACλλ=++∈+∞，则点P 的轨迹一定过ABC ∆的 （ A ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心例3、已知ABC ∆的三边长分别为c b a ,,，O 是平面内一点，若0=++OC c OB b OA a ，则O 是ABC ∆的 （ A ） A ．内心 B.外心 C.重心 D. 垂心若OH =()m OA OB OC ++，则实数例5、已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R ，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-的最小值是__________.32 32例6、已知△ABC 中，过重心G 的直线交边AB 于P ，交边AC 于Q ，设△APQ 的面积为1S ，△ABC 的面积为2S ，AP pPB =，AQ qQC =，则12SS 的取值范围是 .⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,94例7、已知ABC ∆的外接圆是单位圆O ，且0543=++OC OB OA ，则=⋅AB OC ________ 51-分析：()0432*******=⋅⇒+=⇒=++OB OA OB OA OC OC OB OA ，()()()OB OA OA OB OB OA AB OC ⋅+-=-+-=⋅1514351例8、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( C ) A ．4 B .15 C .7 D ．1分析：设BC 中点为D ，AD AO 4=，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，则BC OA ⊥例9、已知△ABC 的顶点()()0,1,0,1C B -，设△ABC 的重心与内心分别为I G ,，且BC GI //，则顶点的轨迹方程为_________分析：[]r BC r AC BC AB 32121⋅⋅=⋅++ ()013422≠=+x y x例10、已知0120,1,2=∠==BAC AC AB ，O 为△ABC 的内心，则AC AO ⋅的值为 ．例11、若△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为 ( C ) A ．4 B .15 C .7 D ．1分析：设BC 中点为D AD AO 4=，若△ABC 的外接圆的圆心为O ，则BC OA ⊥例12、已知C ∆AB 的重心为O ，过O 任做一直线分别交边AB ，C A 于P ，Q 两点，设m AP =AB ，Q C n A =A ，则49m n +的最小值是 ．253例13、已知O 为ABC ∆的外心，0120,2,2=∠==BAC aAC a AB ,若AC y AB x AO +=，则y x 63+的最小值为______226+ 分析1：坐标法分析2：基底法 ()()OA OC y OA OB x OA -+-=-，平方，判别式法例14、在ABC ∆中，5=BC ，O G ,分别为ABC ∆的重心和外心，且5=⋅BC GO ，则ABC ∆的形状为 ( B ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 上述三种情况都有可能 分析1、坐标法分析2、基底法()()()3056122=-⇒=-+=⋅=⋅+=⋅c b AC AB AC AB BC GD BC DO GD BC GO （D 为BC 中点）a b c b >>,，由于0230252cos 222<-=-+=acac b c a B 例15、在△ABC 中，()0=+⋅⎫⎛BA AC AC AC AB AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=65,3,3ππA AC AB ，则AC AB ⋅的最大值为____23 分析：,m AC AB ==9cos 2222=+A m m ，AAAC AB cos 22cos 9+=⋅例16、已知点G 是△ABC 的重心，A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是 ( C ) A .33 B .22 C .23 D .34例17、在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于 ( D )A. 2B. 1C. 83D. 43例18、已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，连接BC 并延长至点D ，使得|CD |＝|BC |，求AC 与OD 的交点P 的轨迹方程．分析1、利用重心进行相关点代入法得(x ＋13)2＋y 2＝49(y ≠0)．分析2、过P 作BC 的平分线，必得AB 的三等分点⎪⎭⎫⎝⎛0,31M ，必有P 在以AM 为直径的圆上.例19、椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1点，若△ABF 2的内切圆的周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为 ( D ) A.53 B.103 C.203 D.53例20、抛物线y2＝2px 的焦点为F ，点A 、B 、C 在此抛物线上，点A 坐标为(1,2)．若点F 恰为△ABC 的重心，则直线BC 的方程为 ( C ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＝0 C ．2x ＋y －1＝0 D ．2x －y －1＝0(2010·湖北)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5分析：∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴点M 是△ABC 的重心．∴AB →＋AC →＝3 AM →.∴m ＝3.。

三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O O CA O BC 证明：作：OA S OA OCB ⋅=∆'，OB S OB OCA ⋅=∆'，S OC OAB =∆'不难得知：AOB COA BOC OC B S S OC OC OB OB S S ∆∆∆∆⋅=⋅=''''即BO C AO B CO A O C B S S S S ∆∆∆∆⋅⋅=''；同理==∆∆''''O B A O A C S S ''O C B BO C AO B CO A S S S S ∆∆∆∆=⋅⋅ 从而：O 为'''C B A ∆的重心，则+'OA +'OB 0'=OC ， 得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S O AB O CA O BC .一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔== 02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S O AB O CA O BC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A ;常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S H AB H CA H BC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A ； 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；'有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅=⎭⎫⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅=⎭⎫⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a c b a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔cb a ACc AB b AI ++⋅+⋅=⇔ 0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：点P 的轨迹为BC 边的中线（射线），选C2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：AC AB OA OP ++=λ⇔AC AB AP +=λAC AB +必平分BAC ∠，理由如下：ADACABACACABAB=+==1111,1==，故四边形11DCAB为菱形，对角线AD平分一组对角，ADACAB=+必定平分11ACB∠，即BAC∠，从而ACABAP+=λ也平分BAC∠.故知点P的轨迹为A∠的内角平分线（射线），选 B3．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP++=λ，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：ACABOAOP++=λ⇔ACABAP+=λ由BCACBCABBCACBCABBCAP+=+=⋅λλ得：0|)|||(=+-=⋅BCBCBCAPλ，得BCAP⊥点P的轨迹为BC边的高线所在直线. 选D4．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足ACABOAOP+=λ，[)+∞∈,0λ，则点P的轨迹一定通过ABC∆的( )A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：由于CACCbBcBAB sin||sinsinsin||=⋅=⋅=，知点P的轨迹为BC边的中线（射线）,选C5．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足2cos cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ⎛⎫+ ⎪=++⎪⎝⎭，R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．外心B．内心C．重心D．垂心解析：0||||=+-=+=⋅+BCBCBCACBCABBCACAB知点P的轨迹为BC边的中垂线, 选A6．O是ABC∆所在平面上一定点，动点P满足])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=，*R∈λ，则点P的轨迹一定通过ABC△的( )．A．内心B．垂心C．重心D．AB边的中点解析：])21()1()1[(31OCOBOAOPλλλ++-+-=OCOD3)21(3)22(λλ++-=（D为AB边的中点）知CDP,,三点共线（因1321322=++-λλ），故知点P 的轨迹为AB 边的中线所在直线，但是0≠λ，故除去重心. 选D 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点解析：)22121(31OC OB OA OP ++=OC OD 3231+=（D 为AB 边的中点） 进而有：PC DP 2=，故为AB 边中线的三等分点(非重心), 选B8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：CP AB CB CA ⋅-=222⇔02))((222=⋅-+-=⋅--CP AB CA CB CA CB CP AB CA CB 进而有：02=⋅PD AB （D 为AB 边的中点），故知点P 的轨迹为AB 边的中垂线, 选A9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( )A ．2B ．23C ．3D ．6 解析：P 为重心，得)(31AC AB AP +=，故AP AC AB ⋅=+3,选C10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S∆∆=2λ，ABC PAB S S ∆∆=3λ．定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对 解析：G 为重心，画图得知, 选A11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 解析：由OC OB OA -=+，平方得知, 选D12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：由2222CA OB BC OA +=+⇔2222BC CA OB OA -=-BA BC CA OB OA BA BC CA BC CA OB OA OB OA ⋅-=+⋅⇔+-=+-⇔)()())(())(( 0)2()(=⋅=-++⋅⇔OC BA CA BC OB OA BA ，得AB OC ⊥；同理得：AC OB ⊥,BC OA ⊥，故为垂心, 选D 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 21||||=AC AC AB AB , 则ABC ∆为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形解析：21||||=AC AC AB AB 0||||=⋅⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB ：表明A ∠的内平分线也垂直于BC （三线合一）， 知ABC ∆等腰；21||||=AC AC AB AB ：得到︒=∠60A ；两者结合得到ABC ∆为等边三角形. 选D 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( )A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角三角形 解析：CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2CA BC AB CA BC CB AC AB ⋅+=⋅++⋅=2)( 得到：0=⋅CA BC ，得：︒=∠90C ,选C 二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 解析：直接用结论16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 解析：)9(31)(31)(312+⋅=+⋅=+=⋅AC AB AC AC AB AC AC AB AC AO 利用：CB AC AB =-，两边平方得.23=⋅AC AB 故27)923(31=+=⋅AC AO17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ．解析：法1：利用工具结论易知：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::3:2:1，得:ABC S ∆=∆AOC S 32:6= 法2：0422232=+=+++=++OD OE OC OB OC OA OC OB OA （E 为AC 的中点，D 为BC 的中点）易得：D O E ,,三点共线，且OD EO 2=，从而得到：ABC ADC AOC S S S ∆∆∆==3132. 法3：作：OA OA ='，OB OB 2'=，OC OC 3'=则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧======∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 236'''''' 从而得：331:13:)236(:==++=∆∆S S S S S S COA ABC ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 5 ． 解析：法1：AC AB AO 5152+=，用O 拆开得：022=+⋅+⋅OC OB OA ， 'A 'B 'C O)(A BC利用工具结论易知：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::1:2:2，则:ABC S ∆51:5==∆AO B S 法2：AC AD AC AB AO 51545152+=+=，（D 为AB 边的中点），得到：C O D ,,共线，且OD CO 4=， 则:ABC S ∆5:==∆OD CD S AO B . 法3：同上题中法3，此处略.19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 解析：法1：由BC AB BC AB AB AC AB c b a AC c AB b AI ⋅+⋅=+⋅+⋅=++⋅+⋅=++⋅+⋅=165161016)(5555655法2：如图，线长易知，角平分线分线段成比例，得：3:5:=ID AI ， 故)21(8585BC AB AD AI ⋅+⋅=⋅=AB +⋅=1658520．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 解析：法1：由BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，由AC AB y AB y x ABBC y AB y x AB AO AB ⋅+-=⇒+-⋅=⋅22)(2))((，得：y y x --=)(42；同理22)(2))((AC y AC AB y x ACBC y AB y x AC AO AC +⋅-=⇒+-⋅=⋅，得：y y x +--=)(21；易得：34,613==y x ，得27=+y x . 法2：以},{AC AB 为基底，表示：CO BO AO ,,，利用222CO BO AO ==，得之BC y AB x AO +=AC y AB y x +-=)(，y y x y y x AO )(2)(4222--+-=； AC y AB y x AB AO BO +--=-=)1(，y y x y y x BO )1(2)1(4222---+--=； AC y AB y x AC AO CO )1()(-+-=-=，)1)((2)1()(4222----+-=y y x y y x CO ；由22BO AO =0254=--⇒⇒y x 移项做差； 由22CO AO =0142=+-⇒⇒y x 移项做差； 联立方程解得：34,613==y x ，得27=+y x .BCA MNG21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 解析：由AO m AB B CAC C B AB AB 2)sin cos sin cos (⋅=⋅+⋅⋅ 得：22||sin cos cos ||||sin cos ||AB m B CA AC ABC B AB =⋅⋅⋅+⋅得：C m C A B mc BCA b c CB c sin cos cos cos sin cos cos sin cos 22⋅=+⇒=⋅⋅⋅+⋅得到：C A C A C A C A B C m sin sin cos cos )cos(cos cos cos sin =++-=+=⋅ 得：.2130sin sin =︒==A m 22．在ABC∆中，1,==⊥AD BC AB AD ，则⋅AD AC解析：.33)(2===⋅=⋅+=⋅AD AD AD BC AD BC AB AD AC 三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB = ，AN yAC = ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线， 得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AO B CO A BO C S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''O B A O A C O C B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP'A 'B 'C OABC从而得：3||21====P P同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P ∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值．解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521|)(|21||=++==+=b a AD22116202521|)2(|21||=+-==-=b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=>=<BE AD BEAD BE AD27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。

三角形四心问题总结归纳在平面几何学中，三角形是一个基本的形状，它由三条线段组成，而每个三角形都有四个特殊点，被称为四心。

四心包括外心、内心、重心和垂心，它们有着独特的性质和重要的几何意义。

本文将对三角形四心问题进行总结归纳，探索其特点和相关定理。

一、外心外心是指可以完全包含三角形的一个圆心，称为外接圆心。

我们可以通过三角形的三个顶点来确定外心。

外心具有以下性质：1. 外心到三角形的每个顶点的距离相等，即外接圆的半径相等。

2. 外心位于三角形两条中垂线的交点处。

3. 外心是外接圆的圆心，外接圆的直径是三角形一边的中点和对边中垂线的交点。

二、内心内心是指可以切到三角形的三条边上的一个圆心，称为内切圆心。

我们同样可以通过三角形的三个顶点来确定内心。

内心具有以下性质：1. 内心到三角形的每条边的距离相等，即内切圆的半径相等。

2. 内心位于三角形三条角平分线的交点处。

3. 内心到三角形三个顶点的连线，与三角形的各边相切。

三、重心重心是指三角形三个顶点连线的交点，称为重心也称为重心，重心是一个三角形的几何中心之一。

重心具有以下性质：1. 重心到三角形的每个顶点的距离的平方和是相等的。

2. 重心到三角形的每条边的距离的平方和，等于到该边中点的距离的平方和的三倍。

3. 重心将每个三角形划分为面积相等的三个小三角形。

四、垂心垂心是指过三角形的三个顶点作三角形的三条边的高线的交点，称为垂心也称为垂心。

垂心具有以下性质：1. 垂心到三角形的每条边的距离相等。

2. 垂心到三个顶点的连线的延长线上。

通过总结归纳，我们可以得出以下三角形四心问题的相关定理：1. 外心、内心和重心共线：三角形的外心、内心和重心三点共线，并且这条直线称为欧拉线。

2. 垂心到三角形顶点的连线同时垂直于三角形对边。

3. 垂心在锐角三角形内部，直角三角形顶点上，钝角三角形外部。

在实际应用中，对于三角形四心问题的研究和应用有着广泛的领域，包括航空、建筑、地理测量等多个领域。

三角形四心的向量性质及应用(教师用答案版)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等； (3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．工具：O 为ABC △内一点，则有：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证明：延长AO 交BC 于D ，如图必有：||||OA OD S S S OAB OCA OBC =+∆∆∆，||||BC BD S S S OAB OCA OAB =+∆∆∆，||||BC CD S S S OAB OCA OCA =+∆∆∆； ---（*）由D O A ,,共线，得：0||||=+OD ODOA OA进而得：0||||=+⋅OD OA OA OD ----------------① 由C D B ,,共线，得：OC BC BD OB BC CD OD ⋅+⋅=|||||||| ----------② 由①②得：OA OA OD ⋅||||0||||||||=⋅+⋅+OC BC BD OB BC CD 代入（*）结论 得+⋅+∆∆∆OA S S S OAB OCA OBC +⋅+∆∆∆OB S S S OAB OCA OCA 0=⋅+∆∆∆OC S S S OABOCA OAB消去分母得：0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 证毕.另证：作AC OG AB OH //,//，如图：AGOH 为平行四边形；由OC S OB S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆)()(AC OA S AB OA S OA S OAB OCA OBC +⋅++⋅+⋅=∆∆∆ AC S AB S OA S OAB OCA ABC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆)(AC S SAB S S OA S ABCOAB ABC OCA ABC ⋅+⋅+=∆∆∆∆∆ )(AC ACAHAB AB AG OA S ABC ⋅+⋅+=∆ )(AH AG OA S ABC ++=∆ 0)(=+=∆AO OA S ABC ．AB CODAB CODHFEG反方向思考：设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 必有：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS S S S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S S S S ∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ． 验证式思考：先证引理：若b a ,不共线，对p ，有0=⋅p a 且0=⋅p b ，必有.0=p证明：若.0≠p 必有p a ⊥且p b ⊥，得b a //，与题设矛盾，故必有.0=p 再证：设α=∠BOC ，β=∠COA ，则βαπ--=∠2AOB ； 由)(OC S OB S OA S OA OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅∆∆∆OC OA S OB OA S OA S OAB OCA OBC ⋅+⋅+⋅=∆∆∆2ββαπβαπβαcos )2sin(21)2cos(sin 21sin 212⋅⋅⋅--⋅⋅+--⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=OC OA OB OA OB OA OA OC OA OC OB ]cos )sin()cos(sin [sin 212ββαβαβα+-++⋅⋅=OC OB OA )]}(sin[{sin 212βαβα+-+⋅⋅=OC OB OA 0)]sin([sin 212=-+⋅⋅=ααOC OB OA ； 有对称性知：0)(=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OB OAB OCA OBC ，又OA ，OB 不共线， 故：必有0=⋅+⋅+⋅∆∆∆OC S OB S OA S OAB OCA OBC 成立． 一、三角形的重心的向量表示及应用知识：G 是ABC △的重心⇔)(31AC AB AG +=⇔0=++GC GB GA ⇔)(31OC OB OA OG ++= (O 为该平面上任意一点)略证：1:1:1::=∆∆∆GAB GCA GBC S S S ，得：0=++GC GB GA ．变式：已知D E F ，，分别为ABC △的边BC AC AB ，，的中点．则0=++CF BE AD ． 二、三角形的外心的向量表示及应用知识：O 是ABC △的外心⇔222||||||OC OB OA OC OB OA ==⇔=='A 'B 'C OABCABCO02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅⇔OC C OB B OA A略证：C B A S S S OAB OCA OBC 2sin :2sin :2sin ::=∆∆∆，得：02sin 2sin 2sin =⋅+⋅+⋅OC C OB B OA A常用结论：O 是ABC △的外心⇒.2|| ;2||22AC AO AC AB AO AB =⋅=⋅ 三、三角形的垂心的向量表示及应用知识：H 是ABC △的垂心⇔HA HC HC HB HB HA ⋅=⋅=⋅⇔222222||||||||||||AB HC CA HB BC HA +=+=+0tan tan tan =⋅+⋅+⋅⇔HC C HB B HA A略证：C B A S S S HAB HCA HBC tan :tan :tan ::=∆∆∆，得：0tan tan tan =⋅+⋅+⋅HC C HB B HA A 扩展：若O 是ABC △的外心，点H 满足：OC OB OA OH ++=，则H 是ABC △的垂心． 证明：如图：BE 为直径，H 为垂心，O 为外心，D 为BC 中点；有：为平行四边形AHCE EA CH AB EA AB CH EC AH BC EC BC AH ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥////进而得到：,//EC AH 且EC AH =，即：EC AH =； 又易知：OC OB OD EC +==2；故：OA OH OC OB AH -=+=，即：OC OB OA OH ++=． 又：OG OC OB OA ⋅=++3（G 为重心），故：OG OH ⋅=3；故：得到欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．证毕． 四、三角形的内心的向量表示及应用知识：I 是ABC △的内心⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅0||||0||||0||||CB CB CA CA CI BC BC BA BA BI AC AC AB AB AI ⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅0||||0||||0||||CA CA BC BC CI BA BA CB CB BI AC AC BA BA AI 0=⋅+⋅+⋅⇔IC c IB b IA a cb a OCc OB b OA a OI ++⋅+⋅+⋅=⇔0sin sin sin =⋅+⋅+⋅⇔IC C IB B IA A 注：式子中|||,||,|AB c CA b BC a ===，O 为任一点．ABDOHCE略证：C B A c b a S S S IAB ICA IBC sin :sin :sin ::::==∆∆∆，得之． 五．欧拉线：ABC △的外心O ，重心G ，垂心H 三点共线(欧拉线)，且GH OG 21=．（前已证） 测试题一．选择题1．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 2．(03全国理4)O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)(ACAC ABAB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 3．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)cos cos (CAC AC BAB AB OA OP ++=λ，R ∈λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 4．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足)sin sin (CAC AC BAB AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心5．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ⎛⎫+ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，R ∈λ， 则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心6．O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足])21()1()1[(31OC OB OA OP λλλ++-+-=，*R ∈λ ， 则点P 的轨迹一定通过ABC △的( )．A ．内心B ．垂心C ．重心D ．AB 边的中点 7．已知O 是ABC ∆的重心，动点P 满足)22121(31OC OB OA OP ++=,则点P 一定为ABC △的( ) A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．AB 边的中点8．在ABC △中，动点P 满足：CP AB CB CA ⋅-=222，则P 点轨迹一定通过△ABC 的( )Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心9．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为( ) A ．2 B ．23C ．3D ．6 10．设点P 是ABC ∆内一点，用ABC S ∆表示ABC ∆的面积，令ABC PBC S S ∆∆=1λ，ABCPCA S S ∆∆=2λ，ABC PAB S S∆∆=3λ．BCA M N G定义),,()(321λλλ=P f ，若)61,31,21()(),31,31,31()(==Q f G f 则( )A ．点Q 在ABG ∆内B ．点Q 在BCG ∆内C ．点Q 在CAG ∆内D ．以上皆不对11．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( )A ．21 B ．0 C ．1 D ．21- 12．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若222OB BC OA =+222AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 13．(06陕西)已知非零向量AB 与AC 满足0||||=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+BC AC AC AB AB 且21||||=⋅AC AC AB AB , 则△ABC 为( ) A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 14．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、，若CA BC CB AB AC AB AB ⋅+⋅+⋅=2，则ABC ∆为( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．既非等腰又非直角三角形二．填空题15．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 1 ． 16．ABC ∆中，7,3,1===BC AC AB ，O 为重心，则=⋅AC AO27． 17．点O 在ABC ∆内部且满足032=++OC OB OA ，则:ABC S ∆=∆AOC S 3 ． 18．点O 在ABC ∆内部且满足AC AB AO 5152+=，则:ABC S ∆=∆AOB S 4 ． 19．已知ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，I 为ABC ∆的内心，且BC AB AI μλ+=，则=+μλ1615. 20．已知ABC ∆中，1,1,2-=⋅==AC AB AC AB ，O 为ABC ∆的外心，且BC y AB x AO +=，则=+y x 27． 21．已知O 为锐角ABC ∆的外心，︒=∠30A ，若AO m B C AC C B AB 2sin cos sin cos =⋅+⋅，则=m 21． 22．在ABC ∆中，1,3,==⊥AD BD BC AB AD ，则=⋅AD AC3 ．三．解答题23． 如图，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AC AB ,两边分别交于N M ,两点，且AM xAB =u u u u v u u u v ，AN y AC =u u u v u u u v ，求证：113x y+=．解：由N G M ,,三点共线，得：AN t AM t AG ⋅+⋅-=)1(AC ty AB x t ⋅+⋅-=)1(--------①又G 是ABC ∆的重心得：AC AB AG ⋅+⋅=3131 ---------② 由①②得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-3131)1(ty x t ，消去t 得：113x y +=.24．设O 在ABC ∆的内部，若有正实数321,,λλλ满足：0321=⋅+⋅+⋅OC OB OA λλλ， 求证：AOB COA BOC S S S ∆∆∆=::::321λλλ．证明：作：OA OA ⋅=1'λ，OB OB ⋅=2'λ，OC OC ⋅=3'λ 则+'OA +'OB 0'=OC ，则O 为'''C B A ∆的重心，则：''''''OB A OA C OC B S S S ∆∆∆==.设为S又⎪⎩⎪⎨⎧=⋅==⋅==⋅=∆∆∆∆∆∆SS SS S S S S S AOB OB A COA OA C BOC OC B 2!''13''32''λλλλλλ 从而得：AOB COA BOC S S S SSS∆∆∆==::::::211332321λλλλλλλλλ25．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证：321P P P ∆为正三角形． 证明：由1OP +2OP +3OP =0⇒1OP +2OP =3OP -平方得：1212112121-=⋅⇒=⋅++OP OP OP OP从而得：3211)(||2121222121=⋅-+=-==OP OP OP OP P P P P 同理可得：3||||1332==P P P P ，即321P P P∆为正三角形． 26．在ABC ∆中，︒===60,5,2A AC AB ，求从顶点B A ,出发的两条中线BE AD ,的夹角的余弦值． 解：设b AB a AC ==,，则,560cos 25,4,2522=︒⨯⨯=⋅==b a b a且b a BE b a AD -=+=21),(21； 则,3)8525(41)2(41)21()(2122=--=-⋅-=-⋅+=⋅b b a a b a b a BE AD2394102521221|)(|21||22=++=+⋅+=+=b b a a b a AD221162025214421|)2(|21||22=+-=+⋅-=-=b b a a b a BE 故：.919149142212393||||,cos ==⋅=⋅>=<BE AD BEAD BE AD'A 'B 'C OABCA BED C27．已知H 是ABC △的垂心，且||||BC AH =，试求∠A 的度数．解：设ABC △的外接圆半径为R ，点O 是ABC △的外心。

ACB1e 2e P三角形“四心”的向量表示及应用（一）三角形各心的概念介绍 姚保英 丁晓欣 1、重心——三角形的三条中线的交点； 注：重心性质①三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的2/3。

②已知ABC ∆及其重心O ，则有→→→→=++0OC OB OA其中若()()()()y x O y x C y x B y x A ,,,,,,,332211则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=33321321y y y y x x x x2、垂心——三角形的三条垂线的交点；3、内心——三角形的三个内角角平分线的交点（三角形内切圆的圆心）； 注：角分线性质定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。

逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这 个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。

定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两 条线段与这个角的两邻边对应成比例，. 如图：在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则BCAB DC AD =4、外心——三角形的三条垂直平分线的交点（三角形外接圆的圆心）根据概念，可知各心的特征条件．比如：重心将中线长度分成2：1；垂线与对应边的向量积为0；角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心到三角形各顶点的距离相等． （二）三角形各心的向量表示1、 O 是ABC ∆的重心0=++⇔OC OB OA ；2、 O 是ABC ∆的垂心OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅⇔；3、 O 是ABC ∆的外心||||||OC OB OA ==⇔(或222==)；4、 O 是ABC ∆的内心-⋅=-⋅=⋅⇔||(||||(||||(CA OC BC BA OB AC AB OA )||CB 0=；注意：向量）0(≠+λλACAB所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线) 二、典型例题(一) 将平面向量与三角形内心结合考查例1．(03年新课标)O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不 共线的三个点，动点P 满足+=OA OP (ACAB+λ，[)+∞∈,0λ, 则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 解析：因为AB是向量AB 的单位向量，设AB 与AC 方向上的单位向量分别为12=-，则原式可化为)(21e e AP +=λ，由菱形基本性质可知AP 平分BAC ∠，那么在ABC ∆中，AP 平分BAC ∠，故选B ．(二) 将平面向量与三角形垂心结合考查例2．(2005．湖南文)P 是ABC ∆所在平面上一点，若PA PC PC PB PB PA ⋅=⋅=⋅，则P 是ABC ∆的（ ）A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心解析：由PC PB PB PA ⋅=⋅得0=⋅-⋅PC PB PB PA . 即,0)(=-⋅PC PA PB 即0=⋅CA PB ,则,CA PB ⊥AB PC BC PA ⊥⊥,同理，所以P 为ABC ∆的垂心．故选D ．(三) 将平面向量与三角形重心结合考查例3．P 是△ABC 所在平面内任一点.G 是ABC ∆的重心⇔)(31++=. 证明：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++=，∵G 是△ABC 的重心，∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3,由此得)(31PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）） (四) 将平面向量与三角形外心结合考查例4．若O 为ABC ∆内一点，||||||OC OB OA ==，则O 是ABC ∆的（ ）A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心解析：由向量模的定义知O 到ABC ∆的三顶点距离相等．故O 是ABC ∆的外心，故选B ． (五) 将平面向量与三角形四心结合考查例5．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证:△P 1P 2P 3是正三角形．（《数学》第一册（下），复习参考题五B 组第6题） 证明：由已知1OP +2OP =3OP -，两边平方得1OP ·2OP =21-，同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =21-， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形. 反之，若点O 是正△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |． 即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心．三、专题训练1．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是ABC ∆的重心，动点P 满足OP =31(21OA +OB 21+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的（ ）A ．AB 边中线的中点 B ．AB 边中线的三等分点（非重心）C ．重心D ．AB 边的中点2．在同一个平面上有ABC ∆及一点O 满足关系式：+=+=+22222OC CA OB BC OA 2AB ，则Ｏ为ABC∆的 （ ）Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心3．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足+=OA OP )(AC AB +λ，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的 Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心 （ ）4．已知P 为ABC ∆所在平面上一点，且点P 满足0=⋅+⋅+⋅PC c PB b PA a ，则点P 为ABC ∆的 Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心 （ ） 5．在ABC ∆中，动点P 满足CP AB CB CA ⋅-=222, 则P 点轨迹一定通过ABC ∆的 （ ） Ａ．外心 Ｂ．内心 C ．重心 D ．垂心6．已知非零向量AB 与AC 满足0)||||(=⋅+BC AC AC AB AB ,且21||||=⋅AC ACAB AB, 则ABC ∆为（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 7．（2009年．陕西卷文）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于 Ａ．49Ｂ．43C ．43- D ．49-（ ）8．（2009年．宁夏海南卷理）已知,,O N P 在ABC ∆所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点,,O N P 依次是ABC ∆的 （ ） A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心 D ．外心、重心、内心9. (2005.全国理)ABC ∆外接圆的圆心为O ，两条边上高的交点为H ，++=OB OA m OH ()OC ，则实数=m 参考答案或提示1、B ．提示：取AB 边中点M ，则OM OB OA 2=+，由OP =31(21+21+2OC ),可得+=332，∴32=，即点P 为ABC ∆中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B ．2、D ．提示：由2222-=-得))(())((+-=-+, 即⋅+)(⋅+=)(,∴02)(=⋅=--+⋅,∴⊥, 同理CA OB ⊥,CB OA ⊥, 故选D ． 3、C ．提示：设BC 边中点为D, 则有=-OA OP )(AC AB +λ，即=AP AD AD λλ22=⋅, ∴AP 过ABC ∆的重心，故选C ．4、B ．提示：,,AC PA PC AB PA PB +=+=则=⋅+⋅+⋅PC c PB b PA a)(=+⋅+⋅++c b c b a ,所以)(b c c b a bc AP +++=，因为bc +分别为AB ,AC 方向上的单位向量，所以向量b c +平分BAC ∠,因为AP 与bc +共线，所以AP 平分BAC ∠，同理BP 平分ABC ∠,CP 平分ACB ∠,所以P 是ABC ∆的内心，故选B ．5、A ．提示：)()()(222+⋅=+⋅-=-=⋅，即=⋅CP AB 2+⋅()，∴0)()2(=+⋅=--⋅, ∴以,为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，∴点P 在线段AB 的中垂线上，故选A ． 6、D ．提示： 0)||||=⋅+BC AC AB ，∴角A 的平分线垂直于BC ，又 AB =AC ，且cos A 21=, ∴∠A =3π．∴ABC ∆为等边三角形，故选D ． 7、D ．提示：由2AP PM =知, P 为ABC ∆的重心,根据向量的加法, 2PB PC PM +=，则2224()2()()39PA PB PC PA PM PA AP PA MA ⋅+=⋅=⋅=-=-=-．故选D ．8、C ．提示：由||||||OA OB OC ==知，O 为ABC ∆的外心；由0NA NB NC ++=知，N 为ABC ∆的重心； ,PA PB PB PC ⋅=⋅∴()0,PA PC PB -⋅=∴0,CA PB ⋅=∴,CA PB ⊥同理,BC AP ⊥∴P 为ABC ∆的垂心，故选C ．9、1．提示：特殊法，设ABC ∆为∆Rt ，则O 为斜边BC 中点，H 与A 重合，∴OA m OA ⋅=，∴1=m ．。