专题66 阿氏圆中的双线段模型与最值问题(解析版)

中考数学几何模型：阿氏圆最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A B P O【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25 OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。

故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。

【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DPMPDCBA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM 即可得13．变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=37例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF ⊥BC 于F ．∵PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，∴BP 2＝BE •BD ，∴＝，∵∠PBE ＝∠PBD ，∴△PBE ∽△DBP ， ∴＝＝，∴PE ＝PD ，∴PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），∵PE +PC ≥EC ，在Rt △EFC 中，EF ＝，FC ＝，∴EC ＝，∴PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152． ABCD P MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=52，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴525PEME==12，∵525MEAE==12，∴PE MEME AE==12，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PE MEME AE==12，∴PM=12AM，∴12AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52，∴5（p+2）2=54，∴p=52-或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52-，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==552，即：12AM+CM=552．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PA+PB 的最小值为________.[答案]：25.3. 如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是⊙O 上一动点，则2PB+PC 的最小值为________.[答案]37.4. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C 的半径为2，点P 是C 上的一动点，则12AP PB+的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？[答案]426. 如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝+1．②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴P A2＝AE•AD，∴＝，∵∠P AE＝∠DAP，∴△P AE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．。

圆中的最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学中常常作为压轴题出现，其中“阿氏圆”(又称“阿波罗尼斯圆”)是一个重要的考点。

这类题目主要考察学生的转化与化归等数学思想，并且在各类考试中通常都被视为高档题。

为了帮助学生更好地理解和掌握这一知识点，本专题将对最值模型中的阿氏圆问题进行系统的梳理，并提供对应的试题分析，以便学生能够熟练掌握并灵活应用。

目录例题讲模型 1模型1.阿氏圆模型 1习题练模型 12例题讲模型模型1.阿氏圆模型动点到两定点距离之比为定值(即：平面上两点A、B，动点P满足P A/PB=k(k为常数，且k≠1))，那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。

如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB(即OPOB=k)，连接P A、PB，则当“P A+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r(即OCOP=k)，∵OPOB=k，∴OPOB=OCOP，∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴PCPB=k，即k·PB=PC。

故本题求“P A+k·PB”的最小值可以转化为“P A+PC”的最小值。

其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“P A+PC”值最小，如图3所示。

阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。

阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点(系数小于1)；点在圆内：向外取点(系数大于1)；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。

注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．1.(2024·浙江·校考一模)如图，AB为⊙O的直径，AB=2，点C与点D在AB的同侧，且AD⊥AB，BC⊥AB，AD=1，BC=3，点P是⊙O上的一动点，则22PD+PC的最小值为．【答案】34 2【分析】连接OD，先利用勾股定理求得OD=2，∠AOD=45°，在OD上截取OI=22，过I作IH⊥AB于H，IG⊥BC于G，求得BG=IH=12，IG=BH=32，CG=52，进而求得CI=342，证明△POI∽△DOP求得PI=22PD，利用两点之间线段最短得到22PD+PC=PI+PC≥IC，当C、P、I共线时取等号，即可求解．【详解】解：连接OD，∵AB为⊙O的直径，AB=2，∴OA=OB=1，∵在Rt△AOD中，OA=AD=1，∴OD=AD2+OA2=2，∠AOD=45°，在OD上截取OI=22，过I作IH⊥AB于H，IG⊥BC于G，连接IP、IC，∴四边形IHBG是矩形，IH=OH=22OI=12，∴BG=IH=12，IG=BH=OH+OB=32，∴CG=BC-BG=3-12=52，在Rt△CIG中，CI=IG2+CG2=32 2+52 2=342，∵OI OP =OPOD=22，∠POD是公共角，∴△POI∽△DOP，∴PIPD=OPOD=22，则PI=22PD，∴22PD+PC=PI+PC≥IC，当C、P、I共线时取等号，故22PD+PC的最小值为CI=342，故答案为：342．2.(2024·湖北·九年级专题练习)如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为．【答案】5【详解】分析:由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=5．详解:在BC上取一点G，使得BG=1，如图，∵PBBG=21=2，BCPB=42=2，∴PBBG=BCPB，∵∠PBG=∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴PGPC =BGPB=12，∴PG=12PC，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=42+32=5．故答案为5点睛:本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中3.(2023·北京·九年级专题练习)如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2P A +PB的最小值为．【答案】25【分析】2P A+PB=2P A+22PB，利用相似三角形构造22PB即可解答．【详解】解：设⊙O 半径为r ，OP =r =12BC =2，OB =2r =22，取OB 的中点I ，连接PI ，∴OI =IB =2，∵OP OI =22=2，OB OP =222=2，∴OP OI =OB OP ，∠O 是公共角，∴△BOP ∽△POI ，∴PI PB =OI OP=22，∴PI =22PB ，∴AP +22PB =AP +PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP +22PB 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO =45°，∴IE =BE =22BI =1，∴AE =AB -BE =3，∴AI =32+12=10，∴AP +22PB 最小值=AI =10，∵2P A +PB =2P A +22PB ，∴2P A +PB 的最小值是2AI =2×10=25．故答案是25．【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．4.(2023·江苏泰州·模拟预测)如图，⊙O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，⊙O 半径为6，点A (0，3)，点B (5，0)，点C (0，12)，将线段OC 绕点O 顺时针旋转α(0°≤α≤90°)，得线段OC '，OC '与弧MN 交于点P ，连P A ，PB ．则2P A +PB 的最小值为．【答案】13【分析】连接PC ，易证△OP A ∼△OCP ，相似比为12，即可得到2P A =PC ，可知当C 、P 、B 三点在同一条直线上的时候，2P A +PB 取得最小值，利用勾股定理即可求解．【详解】解：连接PC ，∵OA =3，OP =6，OC =12，在△OP A和△OCP中，∠POA=∠COP OAOP=OPOC=12，∴△OP A∼△OCP，相似比为12，故2P A=PC，∴当C、P、B三点在同一条直线上的时候，2P A+PB取得最小值，在Rt△OCB中，2P A+PB=CB=OC2+OB2=122+52=13．故2P A+PB的最小值为13．【点睛】本题考查相似三角形中与圆结合中的动点问题，难度一般，正确作出辅助线，利用相似性，是顺利解题的关键．5.(2024·山东·模拟预测)如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为．【解答】解：在AB上取点E，使BE=32，∵AB=2BC=6，∴BPAB=BEBP=12，∵∠PBE=∠ABP，∴ΔPBE∽ΔABP，∴PEP A =BPAB=12，∴PE=12P A，在BD延长线上取BF=9，∵BD=1，则BFPB=BPBD=3，又∵∠PBD=∠FBP，∴ΔPBD∽ΔFBP，∴PFPD=PBBD=3，∴PF=3PD，∴P A +6PD =212P A +3PD=2(PE +PF )，∴当P 为EF 和圆的交点时PE +PF 最小，即P A +6PD 最小，且值为2EF ，∵EF =BE 2+BF 2=32 2+92=3372，∴P A +6PD 的最小值为2EF =337，故答案为：337．6.(2023·陕西咸阳·三模)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是OD 、OC 上的两个动点，且EF =4，P 是EF 的中点，连接OP 、PC 、PD ，若AC =12,BD =16，则PC +14PD 的最小值为．【答案】1452/12145【分析】在OD 上取一点G ，使得OG =12,连接PG 、CG ．根据菱形的性质可知OC =6,OD =8，则OG OP =OP OD =14，结合∠GOP =∠POD ，可得△POG ∽△DOP ，利用相似三角形的性质证得PG =14PD ,根据PC +PG ≥CG 可知CG 的长即为PC +14PD 的最小值，利用勾股定理求出CG 便可解决问题．【详解】解：如图，在OD 上取一点G ，使得OG =12，连接PG 、CG ．∵四边形ABCD 为菱形，AC =12,BD =16，∴OC =12AC =6，OD =12BD =8，AC ⊥BD ，∵EF =4，P 是EF 的中点，∴OP =12EF =2，∴OG OP =122=14，OP OD =28=14，又∵∠GOP =∠POD ，∴△POG ∽△DOP ，∴GP PD =14，即GP =14PD ，∵PC +PG ≥CG ，∴当点G 、P 、C 在同一直线上时，PC +14PD 取得最小值，此时PC +14PD =PC +PG =CG =OC 2+OG 2=1452，故答案为：1452．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握“胡不归”问题模型，正确画出辅助线，构造相似三角形，根据相似三角形的性质和勾股定理求解．7.(2024·广东·九年级阶段练习)如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，D(5，3)，点P是第一象限内一动点，且∠APB=135°，则4PD+2PC的最小值为．【答案】20【分析】取一点T(1,0)，连接OP，PT，TD，首先利用四点共圆证明OP=2，再利用相似三角形的性质证明PT=12PC，推出4PD+2PC=4PD+12PC=4(PD+PT)，根据PD+PT≥DT，过点D作DE⊥OC交OC于点E，即可求出DT的最小值，即可得．【详解】解：如图所示，取一点T(1,0)，连接OP，PT，TD，∵A(2，0)，B(0，2)，C(4，0)，∴OA=OB=2，OC=4，以O为圆心，OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，∵∠Q=12∠AOB=45°，∠APB=135°，∴∠Q+∠APB=45°+135°=180°，∴A，P，B，Q四点共圆，∴OP=OA=2，∵OP=2，OT=1，OC=4，∴OP2=OC∙OT，∴OPOC =OT OP，∵∠POT=∠POC，∴△POT∽△COP，∴PTPC =OPOC=12，∴PT=12PC，∴4PD+2PC=4PD+12PC=4(PD+PT)，过点D作DE⊥OC交OC于点E，∵D的坐标为(5，3)，∴点E的坐标为(5，0)，TE=4，∴DT=32+42=5∵PD+PT≥DT，∴4PD+2PC≥20，∴4PD+2PC的最小值是20，故答案为：20．【点睛】本题考查了四点共圆，相似三角形，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是掌握这些知识点．8.(2024·湖北·九年级专题练习)(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+12PC的最小值，2PD+4PC的最小值，PD-12PC的最大值．(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求PD+23PC的最小值，PD-23PC的最大值，PC+23PD的最小值．(3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+1 2PC的最小值和PD-12PC的最大值．PC+36PD的最小值【答案】见详解【分析】(1)如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出PGPC=BGPB=12，推出PG=12PC，推出PD+12PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大(如图2中)，最大值为DG=5；可以把2PD+4PC转化为424PD+PC，这样只需求出2PD+4PC的最小值，问题即可解决。

中考最值难点突破阿氏圆问题模块一典例剖析+针对训练【模型简介】在圆上找一点P使得PA+k·PB的值最小．类型一：求和最小求PA+k·PB的最小值，PA+k·PB=PA+PC≥AC，当A，P，C三点共线时，最小值为AC1.(2019秋•山西期末)阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C(m，0)，D(0，n)，点P是平面内一动点，且OP=r，设OPOD=k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k；第二步：证明kPD=PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：(1)将以上解答过程补充完整．(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为△ABC内一动点，满足CD =2，利用(1)中的结论，请直接写出AD+23BD的最小值．思路引领：(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．(2)利用(1)中结论计算即可．解(1)在OD上取点M，使得OM：OP=OP：OD=k，又∵∠POD=∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD=k，∴MP=kPD，∴PC+kPD=PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得CM=OC2+OM2=m2+(kr)2=m2+k2r2．(2)∵AC=m=4，CDBC =23，在CB上取一点M，使得CM=23CD=43，∴AD+23BD的最小值为42+43 2=4103．总结提升：本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．针对训练1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+12BP的最小值．思路引领：连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连接DP、AD，则有CDCP=CPCB=12，以此可证明△PCD ∽△BCP ，即可得到PD BP=12，AP +12BP =AP +PD ，以此可推出当点A 、P 、D 在同一条直线上时，AP +12BP 的最小值为AD 的长，再根据勾股定理即可求解．解：连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，连接DP 、AD ，则有CD CP =CP CB=12，∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ，要使AP +12BP 最小，只要AP +PD 最小，当点A 、P 、D 在同一条直线上时，AP +PD 最小，即AP +12BP 的最小值为AD 的长，在Rt △ACD 中，CD =1，AC =6，∴AD =AC 2+CD 2=37．∴AP +12BP 的最小值为37．总结提升：本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据题意分析出点A 、P 、D 在同一条直线上时，AP +12BP 的最小值为AD 的长是解题关键．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (6，-1)，M (4，4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO +2PA 的最小值为10．思路引领：连接OM ，在OM 上截取MN ，使得MN =2，连接PN ，AN ．证明△PMN ∽△OMP ，推出PN OP=MN MP =12，推出PN =12OP ，推出OP +2OA =212OP +PA =2(PN +PA )，再根据PN +PA ≥AN ，求出AN ，可得结论．解：连接OM ，在OM 上截取MN ，使得MN =2，连接PN ，AN ．∵M(4，4)，∴OM=42+42=42，∵PM=22，MN=2，∴PM2=MN•MO，∴PM MN =MO PM，∵∠PMN=∠OMP，∴△PMN∽△OMP，∴PN OP =MNMP=12，∴PN=12OP，∵N(3，3)，A(6，-1)，∴AN=32+42=5，∴OP+2OA=212OP+PA=2(PN+PA)，∵PN+PA≥AN，∴PN+PA≥5，∴OP+2OA≥10，∴OP+2OA的最小值为10，故答案为：10．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．3.(2018•碑林区校级三模)问题提出：(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD=CE：问题探究：(2)如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA=3，求PC+ 12PD的最小值；问题解决：(3)如图3，在矩形ABCD中，AB=18，BC=25，点M是矩形内部一动点，MA=15，当MC+35MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+35MD的最小值．思路引领：(1)如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求，再根据SAS证明△BAD≌△CAE即可解决问题；(2)如图2中，在AD上截取AE，使得AE=32．首先证明△PAE∽△DAP，推出PE DP=PA AD =12，可得PE=12PD，推出PC+12PD=PC+PE，利用三角形的三边关系即可解决问题；(3)如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE=9．由△MAE∽△DAM，推出EMMD =MA AD =1525=35，可得ME=35MD，推出MC+35MD=MC+ME，利用三角形的三边关系即可解决问题；解：(1)如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB=AC，AE=EC，AD=CD，∴AE=AD，∵AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD=CE．(2)如图2中，在AD上截取AE，使得AE=32．∵PA2=9，AE•AD=32×6=9，∴PA2=AE•AD，∴PA AD =AEPA，∵∠PAE=∠DAP，∴△PAE∽△DAP，∴PE DP =PAAD=12，∴PE=12PD，∴PC+12PD=PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+12PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE=90°，CD=6，DE=9 2，∴EC=62+92 2=152，∴PC+12PD的最小值为152．(3)如图3中，在AD上截取AE，使得AE=9．∵MA2=225，AE•AD=9×25=225，∴MA2=AE•AE，∴MA AD =AE MA，∵∠MAE=∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴EM MD =MAAD=1525=35，∴ME=35MD，∴MC+35MD=MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+35MD的最小值为EC的长，此时点M在线段EC上(如图M′)．在Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=18，DE=16，∴EC=162+182=2145，∴MC+35MD的最小值为2145．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，最短问题等知识，解题的关键是运用数形结合的思想解决问题，添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．类型二：　求差最大2.(2020秋•天宁区校级月考)如图，已知菱形ABCD的边长为8，∠B=60°，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为　237　．思路引领：连接PB，在BC上取一点G，使得BG=2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．利用相似三角形的性质证明PG=12PC，再根据PD-12PC=PD-PG≤DG，求出DG，可得结论．解：连接PB，在BC上取一点G，使得BG=2，连接PG，DG，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于H．∵PB=4，BG=2，BC=8，∴PB2=BG•BC，∴PB BG =BC PB，∵∠PBG=∠CBP，∴△PBG∽△CBP，∴PG PC =PBBC=12，∴PG=12PC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD=BC=8，∴∠DCH=∠ABC=60°，在Rt△CDH中，CH=CD•cos60°=4，DH=CD•sin60°=43，∴GH=CG+CH=6+4=10，∴DG=GH2+DH2=102+(43)2=237，∵PD-12PC=PD-PG≤DG，∴PD-12PC≤237，∴PD-12PC的最大值为237．总结提升：本题考查阿氏圆问题，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．针对训练1.(2022•常熟市二模)如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD-12PC的最大值为5．思路引领：由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=5．解：在BC上取一点G，使得BG=1，如图，∵PB BG =21=2，BCPB=42=2，∴PB BG =BC PB，∵∠PBG=∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴PG PC =BGPB=12，∴PG=12PC，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的值最大，最大值为DG=42+32=5．故答案为：5总结提升：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．2.(2021•商河县校级模拟)(1)初步思考：如图1，在△PCB中，已知PB=2，BC=4，N为BC上一点且BN=1，试证明：PN=12 PC(2)问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+ 12PC的最小值．(3)推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD-12PC的最大值．思路引领：(1)通过相似三角形△BPN∽△BCP的性质证得结论；(2)如图2中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出PGPC =BGPB=12，推出PG=12PC，推出PD+12PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG；(3)如图3中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．解法类似(2)；解：(1)证明：如图1，∵PB=2，BC=4，BN=1，∴PB2=4，BN•BC=4．∴PB2=BN•BC．∴BN BP =BP BC．又∵∠B=∠B，∴△BPN∽△BCP．∴PN PC =BNBP=12．∴PN=12PC；(2)如图2，在BC上取一点G，使得BG=1，∵PB BG =21=2，BCPB=42=2∴PB BG =BCPB，∠PBG=∠PBC∴△PBG∽△CBP∴PG PC =BGPB=12∴PG=12PC∴PD+12PC=DP+PG∵DP+PG≥DG∴当D、P、G共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5 (3)同(2)中证法，如图3，当点P在DG的延长线上时，PD-12PC的最大值，最大值为DG=37．总结提升：本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．类型三：综合应用3.((2020•成华区校级模拟)如图1，抛物线y=mx2-3mx+n(m≠0)与x轴交于点C( -1，0)与y轴交于点B(0，3)，在线段OA上有一动点E(不与O、A重合)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；(2)设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，当S1S2=3625时，求点P的坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α(0°<α< 90°)，连接E′A、E′B，求E'A+23E'B的最小值．思路引领：(1)令y =0，求出抛物线与x 轴交点，列出方程即可求出a ，根据待定系数法可以确定直线AB 解析式．(2)由△PNM ∽△ANE ，推出PN AN =65，列出方程即可解决问题．(3)在y 轴上取一点M 使得OM ′=43，构造相似三角形，可以证明AM ′就是E ′A +23E ′B 的最小值．解：(1)∵抛物线y =mx 2-3mx +n (m ≠0)与x 轴交于点C (-1，0)与y 轴交于点B (0，3)，则有n =3m +3m +n =0 ，解得m =-34n =3，∴抛物线y =-34x 2+94x +3，令y =0，得到-34x 2+94x +3=0，解得：x =4或-1，∴A (4，0)，B (0，3)，设直线AB 解析式为y =kx +b ，则b =34k +b =0，解得k =-34b =3 ，∴直线AB 解析式为y =-34x +3．(2)如图1中，设P m ，-34m 2+94m +3 ，则E (m ，0)，∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN =∠AEN ，∵∠PNM =∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∵△PMN 的面积为S 1，△AEN 的面积为S 2，S 1S 2=3625，∴PN AN=65，∵NE∥OB，∴AN AB =AE OA，∴AN=54(4-m)，∵抛物线解析式为y=-34x2+94x+3，∴PN=-34m2+94m+3--34m+3=-34m2+3m，∴-34m2+3m54(4-m)=65，解得m=2或4(舍弃)，∴m=2，∴P2，92．(3)如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′=43，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．∵OE′=2，OM′•OB=43×3=4，∴OE′2=OM′•OB，∴OE' OM'=OB OE'，∵∠BOE′=∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴M'E'BE'=OE'OB=23，∴M′E′=23BE′，∴AE′+23BE′=AE′+E′M′=AM′，此时AE′+23BE′最小(两点间线段最短，A、M′、E′共线时)，最小值=AM′=42+432=4103．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+23E′B的最小值，属于中考压轴题针对训练4.(2021•九龙坡区校级模拟)在△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB．若点D为AC上一点，连接BD，将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，连接CE，交AB于点F．(1)如图1，若∠ABE=75°，BD=4，求AC的长；(2)如图2，点G为BC的中点，连接FG交BD于点H．若∠ABD=30°，猜想线段DC与线段HG的数量关系，并写出证明过程；(3)如图3，若AB=4，D为AC的中点，将△ABD绕点B旋转得△A′BD′，连接A′C、A′D，当A′D+2A′C最小时，求S△A′BC．2思路引领：(1)通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；(2)通过作辅助线，构造全等三角形，设AC=a，利用中位线定理，解直角三角形，用a的代数式表示CD和HG，即可得CD与HG的数量关系；(3)构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A'(4)的位置，继而求得相关三角形的面积．解：(1)过D作DG⊥BC，垂足是G，如图1：∵将BD绕点B顺时针旋转90°得到BE，∴∠EBD=90°，∵∠ABE=75°，∴∠ABD=15°，∵∠ABC=45°，∴∠DBC=30°，BD=2，BG=3DG=23，∴在直角△BDG中有DG=12∵∠ACB=45°，∴在直角△DCG中，CG=DG=2，∴BC=BG+CG=2+23，BC=2+6；∴AC=22(2)线段DC与线段HG的数量关系为：HG=3CD，4证明：延长CA，过E作EN垂直于CA的延长线，垂足是N，连接BN，ED，过G作GM⊥AB于M，如图：∴∠END=90°，由旋转可知∠EBD=90°，∴∠EDB=45°∴∠END =∠EBD =90°，∴E ，B ，D ，N 四点共圆，∴∠BNE =∠EDB =45°，∠NEB +∠BDN =180°∵∠BDC +∠BDN =180°，∠BCD =45°，∴∠BEN =∠BDC ，∴∠BNE =45°=∠BCD ，在△BEN 和△BDC 中，∠BNE =∠BCD∠BEN =∠BDC BE =BA，∴△BEN ≌△BDC (AAS )，∴BN =BC ，∵∠BAC =90°，在等腰△BNC 中，由三线合一可知BA 是CN 的中线，∵∠BAC =∠END =90°，∴EN ∥AB ，∵A 是CN 的中点，∴F 是EC 的中点，∵G 是BC 的中点，∴FG 是△BEC 的中位线，∴FG ∥BE ，FG =12BE ，∵BE ⊥BD ，∴FG ⊥BD ，∵∠ABD =30°，∴∠BFG =60°，∵∠ABC =45°，∴∠BGF =75°，设AC =a ，则AB =a ，在Rt △ABD 中，AD =33a ，BD =BE =233a ，∴FG =12BE ，∴FG =33a ，∵GM ⊥AB ，∴△BGM 是等腰三角形，∴MG =MB =22BG =22×12BC =22×12×2AC =12a ，在Rt △MFG 中，∠MFG =60°，∴3MF =MG ，∴MF =36a ，∴BF=BM+MF=3+36a，在Rt△BFH中，∠BFG=60°，∴FH=12BF=3+312a，∴HG=FG-FH=33a-3+312a=14(3-1)a，又∵CD=a-33a=33(3-1)a，∴CD HG =43，∴HG=34CD；(3)设AB=a，则BC=2a，取BC的中点N，连接A′D，A′C，A′N，连接DN，如图3，由旋转可知A′B=AB=a，∵A'BBN =a22a=2，BCA'B=2aa=2，∴A'BBN =BCA'B=2，又∠A'BN=∠CBA'，∴△A′BN∽△CBA′，∴A'N A'C =A'BBC=22，∴A'N=22A'C，根据旋转和两点之间线段最短可知，A'D+22A'C最小，即是A'D+A'N最小，此时D、A'、N共线，即A'在线段DN上，设此时A'落在A''处，过A''作A''F⊥AB于F，连接AA''，如图4，∵D，N分别是AC，BC的中点，∴DN是△ABC的中位线，∴DN∥AB，∵AB⊥AC，∴DN⊥AC，∵∠A=∠A''FA=∠A''DA=90°，∴四边形A''FAD是矩形，∴AF=A''D，A''F=AD=2，∵又A''B=AB=4，设AF=x，在直角三角形A''FB中，A''B2=A''F2+BF2，∴42=22+(4-x)2，解得x=4-23．∴此时S△A''BC=S△ABC-S△AA''B-S△A''AC=12AB•AC-12AB•A''F-12AC•A''D=12×4×4-1 2×4×2-12×4×(4-23)=43-4．总结提升：此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四点共圆，几何最值的阿氏圆模型等知识，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题．5.(2022•高唐县二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-4，-4)，B(0，4)，直线AC的解析式为y=-12x-6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．(1)求抛物线y=-x2+bx+c的解析式；(2)点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；(3)在(2)的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求12AM+ CM的最小值．思路引领：(1)直接利用待定系数法求解即可；(2)先利用待定系数法求出直线AB的解析式，可判断出AB⊥AC，当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，分别点E、H、F的坐标，再利用中点坐标公式求解即可；(3)先取EG的中点P，进而判断出△PEM∽△MEA，即可得出PM=12AM，连接CP交⊙E于点M，再求出点P坐标，即可得出结论．解：(1)将点A(-4，-4)，B(0，4)代入y=-x2+bx+c得：-16-4b+c=-4c=4，解得：b=-2 c=4，∴抛物线解析式为：y =-x 2-2x +4；(2)如图，当点E 运动到(-2，0)时，四边形EAFH 是矩形，设直线AB 的解析式为y =kx +b ，将点A (-4，-4)，B (0，4)代入得：-4k +b =-4b =4 ，解得：k =2b =4 ，∴线AB 的解析式为y =2x +4，∵直线AC 的解析式为y =-12x -6，∴AB ⊥AC ，∴当四边形EAFH 是平行四边形时，四边形EAFH 是矩形，此时，EF 与AH 互相平分，设E (m ，2m +4)，H (0，t )则F m ，-12m -6 ，∵A (-4，-4)，∴12(m +m )=12(-4+0)122m +4-12m -6 =12(-4+t )，解得：m =-2t =-1∴E (-2，0)，H (0，-1)；(3)如图，由(2)可知E (-2，0)，H (0，-1)，A (-4，-4)，∴EH =5，AE =25，设AE 交⊙E 于点G ，取GE 的中点P ，则PE =52，设P (k ，2k +4)，∵E (-2，0)，∴PE 2=(k +2)2+(2k +4)2=522，∴k =-52或k =-32(舍去)，∴P -52，-1 ，∵C (0，-6)，∴PC =-52 2+(-1+6)2=552，连接PC 交⊙E 于点M ，连接EM ，则EM =EH =5，∴PE ME =525=12，∵ME AE =525=12，∴PE ME =MEAE，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PM AM =MEAE=12，∴PM=12AM，∴12AM+CM=PM+CM，∴当P、M、C三点共线时，12AM+CM取得最小值即PC的长，∴1 2AM+CM最小值为552．总结提升：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，极值的确定，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用中点坐标公式构建方程，以及构造相似三角形是解决问题的关键．模块二2023中考押题预测1.(2021秋•西峡县期末)如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则12PB+PC的最小值等于()A.4B.32C.17D.15思路引领：在AB上截取AQ=1，连接AP，PQ，CQ，证明△APQ∽△ABP，可得PQ=1 2PB，则12PB+PC=PC+PQ，当C、Q、P三点共线时，PC+PQ的值最小，求出CQ即为所求．解：在AB上截取AQ=1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴AP AB =12，∵AP=2，AQ=1，∴AQAP=12，∵∠PAQ=∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ=12PB，∴12PB+PC=PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC=4，AQ=1，∴QB=AC2+AQ2=17，∴12PB+PC的最小值17，故选：C．总结提升：本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．2.(2022秋•永嘉县校级期末)如图所示，∠ACB=60°，半径为2的圆O内切于∠ACB．P 为圆O上一动点，过点P作PM、PN分别垂直于∠ACB的两边，垂足为M、N，则PM+ 2PN的取值范围为6-23≤PM+2PN≤6+23　．思路引领：PM+2PN=212PM+PN，作MH⊥PN，HP=12PM，确定HN的最大值和最小值．解：作MH⊥NP于H，作MF⊥BC于F，∵PM⊥AC，PN⊥CB，∴∠PMC=∠PNC=90°，∴∠MPN=360°-∠PMC-∠PNC-∠C=120°，∴∠MPH=180°-∠MPN=60°，∴HP=PM•cos∠MPH=PM•cos60°=12PM，∴PN+12PM=PN+HP=NH，∵MF=NH，∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，如图1，连接OP，OG，OC，可得：四边形OPMG是正方形，∴MG=OP=2，在Rt△COG中，CG=OG•tan60°=23，∴CM=CG+GM=2+23，在Rt△CMF中，MF=CM•sin C=(2+23)×32=3+3，∴HN=MF=3+3，PM+2PN=212PM+PN=2HN=6+23，如图2，由上知：CG=23，MG=2，∴CM=23-2，∴HM=(23-2)×32=3-3，∴PM+2PN=212PM+PN=2HN=6-23，∴6-23≤PM+2PN≤6+23．总结提升：本题考查的是解直角三角形等知识，解决问题的关键是构造12 PM．3.(2021秋•龙凤区期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=4，以点C为圆心，3为半径做⊙C，分别交AC，BC于D，E两点，点P是⊙C上一个动点，则13PA+PB的最小值为　17　．思路引领：在AC上截取CQ=1，连接CP，PQ，BQ，证明△ACP∽△PCQ，可得PQ=13AP，当B、Q、P三点共线时，13PA+PB的值最小，求出BQ即为所求．解：在AC上截取CQ=1，连接CP，PQ，BQ，∵AC=9，CP=3，∴CP AC =13，∵CP=3，CQ=1，∴CQCP=13，∴△ACP∽△PCQ，∴PQ=13AP，∴13PA+PB=PQ+PB≥BQ，∴当B、Q、P三点共线时，13PA+PB的值最小，在Rt△BCQ中，BC=4，CQ=1，∴QB=17，∴13PA+PB的最小值17，故答案为：17．总结提升：本题考查阿氏圆求最短距离，熟练掌握胡不归求最短距离的方法，利用三角形相似将13PA转化为PQ是解题的关键．4.(2022春•长顺县月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+14PB的最小值为　1452　．思路引领：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明PF=14PB，根据PF+PA≥AF，利用勾股定理求出AF即可解决问题．解：如图，在CB上取一点F，使得CF=12，连接PF，AF．∵∠DCE=90°，DE=4，DP=PE，∴PC=12DE=2，∵CF CP =14，CPCB=14，∴CF CP =CP CB，∵∠PCF=∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴PF PB =CFCP=14，∴PF=14PB，∴PA+14PB=PA+PF，∵PA+PF≥AF，AF=CF2+AC2=12 2+62=1452，∴PA+14PB≥1452，∴PA+14PB的最小值为1452，故答案为145 2．总结提升：本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．5.(2021秋•梁溪区校级期中)如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O 半径为3，点A(0，1)，点B(2，0)，点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为　85　．思路引领：在y轴上取点H(0，9)，连接BH，通过证明△AOP∽△POH，可证HP=3AP，则3PA+PB=PH+PB，当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，即可求解．解：如图，在y轴上取点H(0，9)，连接BH，∵点A(0，1)，点B(2，0)，点H(0，9)，∴AO=1，OB=2，OH=9，∵OA OP =13=39=OPOH，∠AOP=∠POH，∴△AOP∽△POH，∴AP HP =OPOH=13，∴HP=3AP，∴3PA+PB=PH+PB，∴当点P在BH上时，3PA+PB有最小值为HB的长，∴BH=OB2+OH2=4+81=85，故答案为：85．总结提升：本题考查了阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．6.(2020•武汉模拟)【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足PA PB=k (k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在△ABC 中，CB =4，AB =2AC ，则△ABC 面积的最大值为　163　．思路引领：以A 为顶点，AC 为边，在△ABC 外部作∠CAP =∠ABC ，AP 与BC 的延长线交于点P ，证明△APC ∽△BPA ，由相似三角形的性质可得BP =2AP ，CP =12AP ，从而求出AP 、BP 和CP ，即可求出点A 的运动轨迹，再找出距离BC 最远的A 点的位置即可求解．解：以A 为顶点，AC 为边，在△ABC 外部作∠CAP =∠ABC ，AP 与BC 的延长线交于点P ，∵∠CAP =∠ABC ，∠BPA =∠APC ，AB =2AC ，∴△APC ∽△BPA ，AP BP =CP AP =AC AB =12，∴BP =2AP ，CP =12AP ，∵BP -CP =BC =4，∴2AP -12AP =4，解得：AP =83，∴BP =163，CP =43，即点P 为定点，∴点A 的轨迹为以点P 为圆心，83为半径的圆上，如图，过点P 作BC 的垂线，交圆P 与点A 1，此时点A 1到BC 的距离最大，即△ABC 的面积最大，S △ABC =12BC •A 1P =12×4×83=163．故答案为：163．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积，确定点的运动轨迹，熟练掌握三角形的判定和性质以及三角形的面积公式是解题的关键．7.(2020•溧阳市一模)如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB =90°，OA =6，点C 在OA 上，且OC =2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为　410　．思路引领：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．利用相似三角形的性质证明MT= 2DM，求CM+2DM的最小值问题转化为求CM+MT的最小值．求出CT即可判断．解：延长OB到T，使得BT=OB，连接MT，CT．∵OM=6，OD=DB=3，OT=12，∴OM2=OD•OT，∴OMOD =OT OM，∵∠MOD=∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴DM MT =OMOT=12，∴MT=2DM，∵CM+2DM=CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT=90°，OC=4，OT=12，∴CT=OC2+OT2=42+122=410，∴CM+2DM≥410，∴CM+2DM的最小值为410，∴答案为410．总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，阿氏圆问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．8.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+12PC的最小值为5．思路引领：如图，在BC上取一点T，使得BT=1，连接PB，PT，DT．证明△PBT∽△CBP，推出PTPC=PBCB=12，推出PT=12PC，由PD+12PC=PD+PT≥DT=5，由此可得结论．解：如图，在BC上取一点T，使得BT=1，连接PB，PT，DT．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCT=90°，∵CD=4，CT=3，∴DT=CD2+CT2=42+32=5，∵PB=2，BT=1，BC=4，∴PB2=BT•BC，∴PB BT =BC PB，∵∠PBT=∠PBC，∴△PBT∽△CBP，∴PT PC =PBCB=12，∴PT=12PC，∵PD+12PC=PD+PT≥DT=5，∴PD+12PC的最小值为5，故答案为：5．总结提升：本题考查阿氏圆问题，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．9.如图，扇形AOB中，∠AOB=90°，OA=6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD=5，P是AB上一动点，则PC+12PD的最小值为　132　．思路引领：如图，延长OA使AE=OB，连接EC，EP，OP，证明△OPE∽△OCP推出PCPE =OPOE=12，推出EP=2PC，推出PC+12PD=12(2PC+PD)=12(PD+PE)，推出当点E，点P，点D三点共线时，PC+12PD的值最小．解：如图，延长OA使AE=OB，连接EC，EP，OP，∵AO=OB=6，C分别是OA的中点，∴OE=12，OP=6，OC=AC=3，∴OP OE =OCOP=12，且∠COP=∠EOP∴△OPE ∽△OCP ∴PC PE =OP OE=12，∴EP =2PC ，∴PC +12PD =12(2PC +PD )=12(PD +PE )，∴当点E ，点P ，点D 三点共线时，PC +12PD 的值最小，∵DE =OD 2+OE 2=52+122=13，∴PD +PE ≥DE =13，∴PD +PE 的最小值为13，∴PC +12PD 的值最小值为132．故答案为：132．总结提升：本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．10.如图所示的平面直角坐标系中，A (0，4)，B (4，0)，P 是第一象限内一动点，OP =2，连接AP 、BP ，则BP +12AP 的最小值是　17　．思路引领：如图，取点T (0，1)，连接PT ，BT ．利用相似三角形的性质证明PT =12PB ，推出PB +12PA =PB +PT ≥BT ，求出BT ，可得结论．解：如图，取点T (0，1)，连接PT ，BT ．∵T (0，1)，A (0，4)，B (4，0)，∴OT =1，OA =4，OB =4，∵OP =2，∴OP 2=OT •OA ，∴OP OT =OA OP，∵∠POT =∠AOP ，∴△POT ∽△AOP ，∴PT PA =OPOA=12，∴PT=12PA，∴PB+12PA=PB+PT，∵BT=12+42=17，∴PB+PT≥17，∴BP+12AP≥17∴BP+12PB的最小值为17．故答案为：17．总结提升：本题考查阿氏圆问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．11.如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则2PA+PB的最小值为25　．思路引领：2PA+PB=2PA+22PB，利用相似三角形构造22PB．解：设⊙O半径为r，OP=r=12BC=2，OB=2r=22，取OB的中点I，连接PI，∴OI=IB=2，∵OPOI =22=2，OB OP =222=2，∴OPOI =OB OP，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴PI PB =OIOP=22，∴PI=22PB，∴AP +22PB =AP +PI ，∴当A 、P 、I 在一条直线上时，AP +22PB 最小，作IE ⊥AB 于E ，∵∠ABO =45°，∴IE =BE =22BI =1，∴AE =AB -BE =3，∴AI =32+12=10，∴AP +22PB 最小值=AI =10，∵2PA +PB =2PA +22PB ，∴2PA +PB 的最小值是2AI =2×10=25．故答案是25．总结提升：本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．12.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB 的顶点O ，A ，B 均在格点上，点E 在OA 上，且点E 也在格点上．(I )OE OB的值为　23　；(Ⅱ)DE 是以点O 为圆心，2为半径的一段圆弧．在如图所示的网格中，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α(0°<α<90°)连接E 'A ，E 'B ，当E 'A +23E 'B 的值最小时，请用无刻度的直尺画出点E ′，并简要说明点E '的位置是如何找到的(不要求证明)　通过取格点K 、T ，使得OH ：OD =2：3，构造相似三角形将23E ′B 转化为E ′H ．思路引领：(1)求出OE ，OB 即可解决问题．(2)构造相似三角形把23E ′B 转化为E ′H ，利用两点之间线段最短即可解决问题．解：(1)由题意OE =2，OB =3，∴OE OB =23，故答案为：23．(2)如图，取格点K，T，连接KT交OB于H，连接AH交DE于E′，连接BE′，点E′即为所求．故答案为：通过取格点K、T，使得OH：OD=2：3，构造相似三角形将23E′B转化为E′H，利用两点之间线段最短即可解决问题．总结提升：本题是作图-旋转变换，主要考查了相似三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等知识，找到点H是解题的关键．13.(2021秋•定海区期末)如图1，正方形OABC边长是2，以OA为半径作圆，P为弧AC上的一点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连结PO、PA，设PM=m，PA=n．(1)求证：∠POA=2∠PAM；(2)探求m、n的数量关系，并求n-m最大值；(3)如图2：连结PB，设PB=h，求2h+2m的最小值．思路引领：(1)根据正方形性质和三角形内角和定理即可证得结论；(2)如图1，过点O作OE⊥PA于E，先证明△APM∽△OAE，利用相似三角形性质可得出m=14n2，进而可得：n-m=n-14n2=-14(n-2)2+1，再运用二次函数性质即可得出答案；(3)如图2，连接AC、BD交于点D，连接PD，当D、P、M三点共线且DM⊥AB时，PD+ PM=DM最小，即2h+2m=2DM最小，根据正方形和等腰直角三角形的性质即可求得答案．解：(1)证明：∵四边形OABC是正方形，∴∠OAB=90°，∴∠OAP+∠PAM=90°，即2∠OAP+2∠PAM)=180°，∵OA=OP，∴∠OPA=∠OAP，∵∠OPA+∠OAP+∠POA=180°，∴2∠OAP+∠POA=180°，∴∠POA=2∠PAM；(2)解：如图1，过点O作OE⊥PA于E，∵OA=OP，OE⊥PA，∴AE=12PA，∠AOE=∠POE=12∠POA，∵∠POA=2∠PAM，∴∠PAM=12∠POA，∴∠PAM=∠AOE，∵PM⊥AB，∴∠AMP=90°=∠OEA，∴△APM∽△OAE，∴PMPA =AEOA，即mn=12n2，∴m=14n2，∴n-m=n-14n2=-14(n-2)2+1，∴当n=2时，n-m取得最大值，n-m最大值为1；(3)解：如图2，连接AC、OB交于点D，连接PD，∵四边形ABCO是正方形，∴AC⊥BD，OD=AD=BD，∴OD OA =OAOB=22，∵OP=OA，∴OD OP =OPOB=22，∵∠POD=∠BOP，∴△POD∽△BOP，∴PD PB =OPOB=22，∴PD=22PB，∵PB=h，PM=m，∴2h +2m =222h +m=222PB +PM =2(PD +PM )，∵当D 、P 、M 三点共线且DM ⊥AB 于M 时，PD +PM =DM 最小，∴当D 、P 、M 三点共线且DM ⊥AB 时，2h +2m =2(PD +PM )=2DM 最小，如图3，∵△ABD 是等腰直角三角形，DM ⊥AB ，∴DM =12AB =1，∴2DM =2，即2h +2m 的最小值为2．总结提升：本题是圆的综合题，考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，三角形内角和定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短，点到直线的距离垂线段最短，二次函数最值的应用，利用相似三角形性质列出关于m 、n 的关系式恰当运用配方法是解题关键．14.(2022•从化区一模)已知，AB 是⊙O 的直径，AB =42，AC =BC ．(1)求弦BC 的长；(2)若点D 是AB 下方⊙O 上的动点(不与点A ，B 重合)，以CD 为边，作正方形CDEF ，如图1所示，若M 是DF 的中点，N 是BC 的中点，求证：线段MN 的长为定值；(3)如图2，点P 是动点，且AP =2，连接CP ，PB ，一动点Q 从点C 出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位的速度沿线段PB 匀速运动到点B ，到达点B 后停止运动，求点Q 的运动时间t 的最小值．思路引领：(1)AB 是⊙O 的直径，AC =BC 可得到△ABC 是等腰直角三角形，从而得道答案；(2)连接AD 、CM 、DB 、FB ，首先利用△ACD ≌△BCF ，∠CBF =∠CAD ，证明D 、B 、F 共线，再证明△CMB 是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证；(3)“阿氏圆”的应用问题，以A 为圆心，AP 为半径作圆，在AC 上取点M ，使AM =1，连接PM ，过M 作MH ⊥AB 于H ，连接BM 交⊙A 于P '，先证明PM =PC 2，PC 2+BP 最小，即是PM +BP 最小，此时P 、B 、M 共线，再计算BM 的长度即可．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ABC =90°，∵AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠CAB=45°，∵AB=42，∴BC=AB•sin45°=4；(2)连接AD、CM、DB、FB，如图：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形CDEF是正方形，∴CD=CF，∠DCF=∠ACB=90°，∴∠ACD=90-∠DCB=∠BCF，又AC=BC，∴△ACD≌△BCF(SAS)，∴∠CBF=∠CAD，∴∠CBF+∠ABC+∠ABD=∠CAD+∠ABC+∠ABD=∠DAB+∠CAB++∠ABC+∠ABD=∠DAB+45°+45°+∠ABD，而AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°，∴∠CBF+∠ABC+∠ABD=180°，∴D、B、F共线，∵四边形CDEF是正方形，∴△DCF是等腰直角三角形，∵M是DF的中点，∴CM⊥DF，即△CMB是直角三角形，∵N是BC的中点，∴MN=12BC=2，即MN为定值；(3)以A为圆心，AP为半径作圆，在AC上取点M，使AM=1，连接PM，过M作MH⊥AB 于H，连接BM交⊙A于P'，如图：一动点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度沿线段CP匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段PB匀速运动到点B，∴Q运动时间t=PC2+BP，∵AM=1，AP=2，AC=BC=4，∴AMAP =APAC=12，又∠MAP=∠PAC，∴△MAP∽△PAC，∴PMPC =AMAP=12，∴PM=PC2，。

中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。

这个定理叫阿波罗尼斯定理。

【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。

②两点之间线段最短。

③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。

②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。

③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。

所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。

总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。

【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。

（2）求13AP BP+的最小值为。

【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。

练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。

2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。

阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。

【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。

即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。

【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。

但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。

即“两腰之比”等于“两底边之比”。

其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。

知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。

即“两腰之比”等于“两底边之比”。

其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。

【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。

①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。

专题：阿氏圆与线段和最值问题以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m(≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似例题1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP+BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB上取点D ，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴＝，∴PD ＝BP ，∴AP+BP ＝AP+PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP 的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP 的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，求2P A+PB 的最小值．【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD ＝；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2P A，得到2P A+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．【解答】解：（1）如图1，连结AD，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴，∴PD＝AP，∴AP+BP＝BP+PD，∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．故答案为：；（3）如图3，延长OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，连接PE、OP，∵OA＝3，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2P A，∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出△PCD ∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本题的难点．例题2、问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．【分析】问题初探：设AC＝x，则AB＝2x，根据三角形三边间的关系知2x﹣x＜4且2x+x ＞4，解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；问题再探：设CD＝a、AD＝b，证△DAC∽△DBA得＝＝，据此知，解之可得；问题解决：设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝2m，由余弦定理可得cosC，代入化简S△ABC＝，结合m的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：问题初探，设AC＝x，则AB＝2x，∵BC＝4，∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，解得：＜x＜4，取x＝3，则AC＝3、AB＝6，故答案为：6、3；问题再探，∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA，则＝＝，设CD＝a、AD＝b，∴，解得：，即CD＝；问题解决，设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝AC?BCsinC＝2msinC＝2m，由余弦定理可得cosC＝，∴S△ABC＝2m＝2m＝＝＝由三角形三边关系知＜m＜4，所以当m＝时，S△ABC取得最大值．【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次函数的性质．例题3、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为 4，点 D 是⊙C上的动点，连接AD，BD，则12AD BD的最小值为_________【解答】210例题4、在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P是⊙A上的动点，连接PB，PC，则3PC+2PB的最小值为___________【解答】21练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则AP+BP的最小值是．【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得＝＝，推出PK＝PA，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长．【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，∴＝＝，∵∠POK＝∠AOP，∴△POK∽△AOP，∴＝＝，∴PK＝P A，∴PB+P A＝PB+PK，在△PBK中，PB+PK≥BK，∴PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长，∵B（4，4），K（1，0），∴BK＝＝5．故答案为5．【点评】本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．2．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC的最小值等于．【分析】在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3，可证△PBE∽△CBP，可得PE＝PC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE 有最小值，即PD+PC有最小值，【解答】解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值为DE＝＝5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+ PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．【分析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．只要证明△PBE∽△CBP，可得＝＝，推出PD+PC＝PD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PD≤DE即可解决问题；②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．只要证明△PBE∽△DBP，可得＝＝，推出PE＝PD，推出PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），根据三角形的三边关系PE+PC≤EC即可解决问题；【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE?BC＝4，∴PB2＝BE?BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE?BD＝×4＝4，∴BP2＝BE?BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【分析】如图当A、P、D共线时，PC+PD最小，根据PC+PD＝PM+PD＝DM＝AD﹣AM即可计算．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．【点评】本题考查切线的性质、轴对称﹣最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题，找到解题的突破口，属于中考常考题型．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD～△ACF；（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+F A的最小值．【分析】（1）结论：相切．作CM⊥AB于M．，只要证明CM＝4，即可解决问题；（2）由CF＝4，CD＝2，CA＝8，推出CF2＝CD?CA，推出＝，由∠FCD＝∠ACF，即可推出△FCD∽△ACF；（3）作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．由△FCD∽△ACF，可得＝＝，推出DF＝AC，推出EF+AF＝EF+DF，所以欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF 的最小值；【解答】（1）解：结论：相切．理由：作CM⊥AB于M．在Rt△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠CAM＝30°，AC＝8，∴CM＝AC＝4，∵⊙O的半径为4，∴CM＝r，∴AB是⊙C的切线．（2）证明：∵CF＝4，CD＝2，CA＝8，∴CF2＝CD?CA，∴＝，∵∠FCD＝∠ACF，∴△FCD∽△ACF．（3）解：作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．∵△FCD∽△ACF，∴＝＝，∴DF＝AC，∴EF+AF＝EF+DF，∴欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，当E与E′，F与F′重合时，EF+DF的值最小，最小值＝DE′＝AD＝3．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考压轴题．6．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB 上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF＝6，AF＝6，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF＝AP，即AP+PC＝PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF＝2AP，即2PA+PB＝PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2PA+PB的最小值．【解答】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝6，AF＝6∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3∴AD＝＝3∴AP+BP的最小值为3（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5∴AP+PC的值最小值为5，（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴∴PF＝2AP∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点．7．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．由△PBG∽△CBP，推出＝＝，推出PG＝PC，推出PD+PC＝DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P 共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．由PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5；（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．解法类似（1）；（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD?sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）把A、B点的坐标分别代入代入y＝﹣x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），根据平行四边形的判定，当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，从而得到﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，然后解方程即可得到此时G 点坐标；（3）先确定C（0，﹣6），再利用勾股定理的逆定理证明△BAC为直角三角形，∠BAC ＝90°，接着根据圆周角定理，由∠AHF＝∠AEF可判断点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），由于E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），则M（﹣2，﹣），然后根据HM＝EF得到22+（t+）2＝×52，最后解方程即可得到H点的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），∵OB∥GE，∴当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，∴﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，解得x1＝x2＝﹣2，此时G点坐标为（﹣2，4）；（3）存在．当x＝0时，y＝﹣x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），∵AB2＝42+82＝80，AC2＝42+22＝20，BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴△BAC为直角三角形，∠BAC＝90°，∵∠AHF＝∠AEF，∴点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），∵G（﹣2，4），∴E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），∴M（﹣2，﹣），∵HM＝EF，∴22+（t+）2＝×52，解得t1＝﹣1，t2＝﹣4，∴H点的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，能运用圆周角定理判断点在圆上；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式．9．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题．（3）在y轴上取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′？OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′？OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值，属于中考压轴题．。

最值模型之胡不归与阿氏圆模型模型一胡不归模型知识梳理【模型来源】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.【模型建立】如图1，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BCV 1的值最小．(注意与阿氏圆模型的区分)图1图2图3【解题方法】(1)AC V 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值.(2)如图2，构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH AC=k ，CH =kAC ,将问题转化为求BC +CH 最小值.(3)如图3，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．例题解析【题型1】胡不归模型·已有相关角直接作垂线1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AB =OB =3，点M 在线段AC 上，且AM =2．点P 为线段OB 上的一个动点，则MP +12PB 的最小值为．【答案】2【分析】过点P 作PE ⊥BC 于点E ，过点M 作MF ⊥BC 于点F ，证明MP +12PB =MP +PE ≥MF ，进一求解MF 即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OB =OC =OD ，∠ABC =90°，∵AB =OB ，∴AB =OB =OA ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠ABO =60°，∴∠OBC =∠ABC -∠ABO =90°-60°=30°。

2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)【知识背景】阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。

阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。

【定 义】阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。

即：)1(≠=k k PBPA，如下图所示：上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。

【几何证明】证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。

但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：CDBDAC AB =。

即“两腰之比”等于“两底边之比”。

其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。

知识点2：外角平分线定理及其逆定理若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有CDBDAC AB =。

即“两腰之比”等于“两底边之比”。

其逆定理也成立：即CDBDAC AB =，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。

【阿氏圆的证明】有了上述两个知识储备后，我们开始着手证明阿氏圆。

①如上图，根据阿氏圆的定义： 当P 点位于图中P 点位置时有：k PB PA =，当P 点位于图中N 点位置时有：k NBNA=， 所以有：NBNAPB PA =，所以PN 是∠APB 的角平分线，∴∠1=∠2. 当P 点位于图中M 点位置时有：PBPAk MB MA ==， 所以有：MBMNPB PA =，所以PM 是∠EPA 的角平分线，∴∠3=∠4. 又∵∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴2∠1+2∠3=180° ∴∠1+∠3=90°故∠MPN=90°，所以动点P 是在以MN 为直线的圆上。

专题：阿氏圆与线段和最值问题以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下： 阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似例题1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP +BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴＝，∴PD ＝BP ，∴AP +BP ＝AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +BP 的最小值为 ．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP +BP 的最小值为 ． （3）拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90°，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是上一点，求2P A +PB 的最小值．【分析】（1）利用勾股定理即可求出，最小值为AD ＝；（2）连接CP，在CA上取点D，使CD＝，则有，可证△PCD∽△ACP，得到PD＝AP，即：AP+BP＝BP+PD，从而AP+BP的最小值为BD；（3）延长OA到点E，使CE＝6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到EP＝2P A，得到2P A+PB＝EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到最小值．【解答】解：（1）如图1，连结AD，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为，故答案为：；（2）如图2，连接CP，在CA上取点D，使CD＝，∴，∵∠PCD＝∠ACP，∴△PCD∽△ACP，∴，∴PD＝AP，∴AP+BP＝BP+PD，∴同（1）的方法得出AP+BP的最小值为BD＝＝．故答案为：；（3）如图3，延长OA到点E，使CE＝6，∴OE＝OC+CE＝12，连接PE、OP，∵OA＝3，∴，∵∠AOP＝∠AOP，∴△OAP∽△OPE，∴，∴EP＝2P A，∴2P A+PB＝EP+PB，∴当E、P、B三点共线时，取得最小值为：BE＝＝13．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出△PCD ∽△ACP和△OAP∽△OPE，也是解本题的难点．例题2、问题背景如图1，在△ABC中，BC＝4，AB＝2AC．问题初探请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB＝，AC＝．问题再探如图2，在AC右侧作∠CAD＝∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决求△ABC的面积的最大值．【分析】问题初探：设AC＝x，则AB＝2x，根据三角形三边间的关系知2x﹣x＜4且2x+x ＞4，解之得出x的范围，在此范围内确定AC的值即可得出答案；问题再探：设CD＝a、AD＝b，证△DAC∽△DBA得＝＝，据此知，解之可得；问题解决：设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝2m，由余弦定理可得cos C，代入化简S△ABC＝，结合m的取值范围，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：问题初探，设AC＝x，则AB＝2x，∵BC＝4，∴2x﹣x＜4且2x+x＞4，解得：＜x＜4，取x＝3，则AC＝3、AB＝6，故答案为：6、3；问题再探，∵∠CAD＝∠B，∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA，则＝＝，设CD＝a、AD＝b，∴，解得：，即CD＝；问题解决，设AC＝m、则AB＝2m，根据面积公式可得S△ABC＝AC•BC sin C＝2m sin C＝2m，由余弦定理可得cos C＝，∴S△ABC＝2m＝2m＝＝＝由三角形三边关系知＜m＜4，所以当m＝时，S△ABC取得最大值．【点评】本题主要考查三角形三边关系、相似三角形的判定与性质及二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、余弦定理及二次函数的性质．例题3、如图，已知AC＝6，BC＝8，AB＝10，⊙C的半径为 4，点D 是⊙C上的动点，连接AD，BD，则12AD BD的最小值为_________【解答】例题4、在△ABC中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P是⊙A上的动点，连接PB，PC，则3PC+2PB的最小值为___________【解答】21练习1．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（4，4），点P在半径为2的圆O上运动，则AP+BP的最小值是．【分析】如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．由△POK∽△AOP，可得＝＝，推出PK＝P A，在△PBK中，PB+PK≥BK，推出PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长．【解答】解：如图，取点K（1，0），连接OP、PK、BK．∵OP＝2，OA＝4，OK＝1，∴＝＝，∵∠POK＝∠AOP，∴△POK∽△AOP，∴＝＝，∴PK＝P A，∴PB+P A＝PB+PK，在△PBK中，PB+PK≥BK，∴PB+P A＝PB+PK的最小值为BK的长，∵B（4，4），K（1，0），∴BK＝＝5．故答案为5．【点评】本题考查坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的三边关系、两点之间的距离公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．2．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC的最小值等于．【分析】在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，由正方形的性质可得BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3，可证△PBE∽△CBP，可得PE＝PC，即当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE 有最小值，即PD+PC有最小值，【解答】解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值为DE＝＝5故答案为：5【点评】本题考查了正方形的性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+ PC的最小值为；PD+4PC的最小值为．【分析】①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．只要证明△PBE∽△CBP，可得＝＝，推出PD+PC＝PD+PE，再根据三角形的三边关系PE+PD≤DE即可解决问题；②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．只要证明△PBE∽△DBP，可得＝＝，推出PE＝PD，推出PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），根据三角形的三边关系PE+PC≤EC即可解决问题；【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBP，∴△PBE∽△CBP，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝，连接EC，作EF⊥BC于F．∵PB2＝4，BE•BD＝×4＝4，∴BP2＝BE•BD，∴＝，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝，∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．【点评】本题考查轴对称最短问题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会根据相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．4．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【分析】如图当A、P、D共线时，PC+PD最小，根据PC+PD＝PM+PD＝DM＝AD﹣AM即可计算．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．【点评】本题考查切线的性质、轴对称﹣最短问题、正方形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是找到点P的位置，学会通过特殊点探究问题，找到解题的突破口，属于中考常考题型．5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，以C为圆心，4为半径作⊙C．（1）试判断⊙C与AB的位置关系，并说明理由；（2）点F是⊙C上一动点，点D在AC上且CD＝2，试说明△FCD～△ACF；（3）点E是AB边上任意一点，在（2）的情况下，试求出EF+F A的最小值．【分析】（1）结论：相切．作CM⊥AB于M．，只要证明CM＝4，即可解决问题；（2）由CF＝4，CD＝2，CA＝8，推出CF2＝CD•CA，推出＝，由∠FCD＝∠ACF，即可推出△FCD∽△ACF；（3）作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．由△FCD∽△ACF，可得＝＝，推出DF＝AC，推出EF+AF＝EF+DF，所以欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF 的最小值；【解答】（1）解：结论：相切．理由：作CM⊥AB于M．在Rt△ACM中，∵∠AMC＝90°，∠CAM＝30°，AC＝8，∴CM＝AC＝4，∵⊙O的半径为4，∴CM＝r，∴AB是⊙C的切线．（2）证明：∵CF＝4，CD＝2，CA＝8，∴CF2＝CD•CA，∴＝，∵∠FCD＝∠ACF，∴△FCD∽△ACF．（3）解：作DE′⊥AB于E′，交⊙C于F′．∵△FCD∽△ACF，∴＝＝，∴DF＝AC，∴EF+AF＝EF+DF，∴欲求EF+AF的最小值，就是要求EF+DF的最小值，当E与E′，F与F′重合时，EF+DF的值最小，最小值＝DE′＝AD＝3．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确切线的证明方法，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决问题，属于中考压轴题．6．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB 上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【分析】（1）由等边三角形的性质可得CF＝6，AF＝6，由勾股定理可求AD的长；（2）在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，由，可证△ABP∽△PBF，可得PF＝AP，即AP+PC＝PF+PC，则当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，由勾股定理可求AP+PC的值最小值；（3）延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，由，可得△AOP∽△POF，可得PF＝2AP，即2P A+PB＝PF+PB，则当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，由勾股定理可求2P A+PB的最小值．【解答】解：（1）解：（1）如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝6，AF＝6∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3∴AD＝＝3∴AP+BP的最小值为3（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴∴PF＝AP∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5∴AP+PC的值最小值为5，（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF∴∴PF＝2AP∴2P A+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM∴OM＝4，FM＝4∴MB＝OM+OB＝4+3＝7∴FB＝＝∴2P A+PB的最小值为．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，还考查了学生的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点．7．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．由△PBG∽△CBP，推出＝＝，推出PG＝PC，推出PD+PC＝DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P 共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．由PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5；（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．解法类似（1）；（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．【点评】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）在（2）的前提下，y轴上是否存在一点H，使∠AHF＝∠AEF？如果存在，求出此时点H的坐标，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）把A、B点的坐标分别代入代入y＝﹣x2+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c，从而得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），根据平行四边形的判定，当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，从而得到﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，然后解方程即可得到此时G 点坐标；（3）先确定C（0，﹣6），再利用勾股定理的逆定理证明△BAC为直角三角形，∠BAC ＝90°，接着根据圆周角定理，由∠AHF＝∠AEF可判断点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），由于E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），则M（﹣2，﹣），然后根据HM＝EF得到22+（t+）2＝×52，最后解方程即可得到H点的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，把A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设G（x，﹣x2﹣2x+4），则E（x，2x+4），∵OB∥GE，∴当GE＝OB时，且点G在点E的上方，四边形GEOB为平行四边形，∴﹣x2﹣2x+4﹣（2x+4）＝4，解得x1＝x2＝﹣2，此时G点坐标为（﹣2，4）；（3）存在．当x＝0时，y＝﹣x﹣6＝﹣6，则C（0，﹣6），∵AB2＝42+82＝80，AC2＝42+22＝20，BC2＝102＝100，∴AB2+AC2＝BC2，∴△BAC为直角三角形，∠BAC＝90°，∵∠AHF＝∠AEF，∴点H在以EF为直径的圆上，EF的中点为M，如图，设H（0，t），∵G（﹣2，4），∴E（﹣2，0），F（﹣2，﹣5），∴M（﹣2，﹣），∵HM＝EF，∴22+（t+）2＝×52，解得t1＝﹣1，t2＝﹣4，∴H点的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和平行四边形的判定；会利用待定系数法求函数解析式；会利用勾股定理的逆定理证明直角三角形，能运用圆周角定理判断点在圆上；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式．9．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题．（3）在y轴上取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值，属于中考压轴题．。